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Apostila de Geometria 2007

GEOMETRIA PLANA

Introdução

No Egito, bem como em outras civilizações, ageometria era utilizada para medir glebas de terra,planejar canais de irrigação, construir edificações, etc.

´´geo = terra e metria= medida``

Foi apenas na Grécia e no ´´mundo helênico``que ela evoluiu e ganhou o título como disciplinacientífica por meio da ordenação e da lógica dosconhecimentos geométricos. Nesse momento houve anecessidade de definir objetos geométricos (noções) esuas sentenças, mostrando as relações entre eles.

Definir um objeto geométrico (noção), consisteem descreve-lo por meio de idéias que já foramdefinidas. No entanto nem tudo pode ser definido como,por exemplo, um ponto, uma reta, um plano, por não teralgo como referencia anterior. Essas noções sãochamadas primitivas, ou não definidas.

Postulados→ trata-se de preposições primitivas, sãoteorias aceitas sem demonstração.

1º. postulado: Numa reta, assim como fora dela, existeminfinitos pontos.

C B r A

➢ Diz-se que os pontos A e B pertencem a reta r ou areta r passa pelos pontos A e B.

➢ Diz-se que o ponto C não pertence a reta r ou o pontoC está fora da reta r.

➢ Infinito, em Geometria, significa´´o quanto nósquisermos``.

➢ Pontos de uma mesma reta são chamados pontoscolineares.

➢ Os pontos A e B da reta r determinam o segmento dereta AB. Indica-se AB .

A B r

➢ Um ponto O de uma reta r separa-a em duas semi-retas opostas de uma origem O: OA e OB.

Ângulos

É a união de duas semi-retas distintas de mesmaorigem e não opostas.

A

B O

onde:O ... vérticeOA e OB ... ladosIndica-se: AOB ou O

1. Ângulos Consecutivos

Dois ângulos que tem um lados comum entreoutros dois lados. Na figura segue, os ângulos AOC eCOB são consecutivos.

A

B O C

2. Ângulos Adjacentes

Dois ângulos que tem um único lado em comume os lados não comuns são semi retas opostas.

Na figura os Ângulos AOB e BOC sãoadjacentes. B

C O A

3.Medida de um Ângulo

A medida de um ângulo corresponde a aberturaentre duas semi-retas, unidas pelo vértice O. A

α O B

Indica-se: AÔB = α ou Ô = α .A unidade de medida de um ângulo corresponde

a razão de um grau (1º).

3. a) Ângulos Congruentes: São dois ângulos demedidas iguais, na mesma unidade.

APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana Pág .1

Ex: C F D α

α A B E

ABC = DEF

5.b) Ângulos nulos: são ângulos cujos lados coincidem.Na figura , AÔB é nulo.

O A B

5.c) Ângulos rasos: são ângulos cujos lados são semi-retas opostas. Na figura AÔB é raso.

A O B

´´O grau e seus submúltiplos``

1° (grau) __________ 60` (minutos)

Sendo que:1` (minuto) __________ 60`` (segundos)

Exemplo: Como 1º corresponde a 60`, então 81`correspondem a 1º 21`.

5.d) Ângulo reto: È todo ângulo congruente ao seuadjacente. A medida de um ângulo reto é 90°.

A

· · : : O B5.e) Ângulo agudo:É todo ângulo cuja medida é menorque um ângulo reto. B

· O A5.f ) Ângulo obtuso:É todo ângulo cuja medida é maiorque um ângulo reto.

A

α

· O B

3.g) Ângulos Complementares: Dois Ângulos cujasmedidas somam 90°.

3.h) Ângulos Suplementares: Dois Ângulos cujasmedidas somam 180°.

3.i) Ângulos Replementares: Dois Ângulos cujas medidassomam 360°.

3.j) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v): Duas retasconcorrentes determinam dois pares de ângulosopostos pelo vértice.

C B β O α α

β D A

4.Posições relativas de duas retas distintas

Retas ParalelasSão retas que não tem ponto em comum, ou seja,

em um plano, as retas não se cruzarão em nenhum ponto.

Retas ConcorrentesSão retas que tem um único ponto em comum.

Retas perpendicularesDuas retas concorrentes que formam ângulos

adjacentes congruentes.

5. Duas retas paralelas distintas interceptadas poruma transversal

Se duas retas distintas r e s são interceptadas poruma transversal t, então os ângulos alternos sãocongruentes. t α β r β α

α β s β α

Obs.:➢ α + β = 180º ➢ as retas r e s são paralelas ´´r // s``➢ a reta t é transversal as retas r e s, em cada reta há

apenas um único ponto de encontro.

APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana Pág. 2

Triângulos

É a união de três segmentos de reta,considerando três pontos não colineares. A

α

β γ B C

Elementos do triângulo➢ Vértices: pontos A, B e C. ➢ Lados: os segmentos AB, BC e AC.➢ Ângulos: BÂC = α, ABC = β e ACB = γ.➢ Perímetro: soma das medidas dos lados;

AB + BC + AC.

1. Classificação dos Triângulos.

Os triângulos são classificados de dois modos.

a) Quanto aos lados:

• Triângulo Escaleno: tem os três lados com medidasdiferentes. A

AB ≠ BC ≠ AC ≠ AB B C • Triângulo Isósceles: tem pelo menos dois lados com

medidas iguais. A

AB = AC

B C• Triângulo Equilátero: tem os três lados com

medidas iguais. A AB = BC = AC

B C

b) Quanto aos ângulos: • Triângulo Acutângulo: tem os três ângulos agudos. • Triângulo Retângulo: Tem um ângulo reto.• Triângulo obtusângulo : Tem um ângulo obtuso.

2.Propriedades dos ângulos de um triângulo:a) A soma das medidas dos ângulos de um triângulo éigual a 180°.

A α α + β + γ = 180°

β γ B Cb) Um ângulo externo de um triângulo tem medida igualà soma das medidas dos ângulos internos não adjacentesa ele. A

α

e β γ

B C e = α + β

c) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos dabase tem medidas iguais. A

α α B C Se AB = AC, então B = C = α

3.Segmentos Notáveis de um triângulo.

I. Mediana

É um segmento de reta que une um vértice aoponto médio do lado oposto. A AM é uma mediana. Um triângulo tem três medianas uma para cada vértice. B M C

O ponto onde as três medianas se encontram échamado ``baricentro´´.

II. Bissetriz InternaÉ um segmento de reta que une o vértice ao lado

oposto e divide o ângulo desse vértice ao meio.O ponto de encontro das três bissetrizes é

chamado de ``Incentro´´.

Ex:


A

B C SIII. Altura

É um segmento de reta perpendicular que une ovértice ao lado oposto.

O ponto de encontro das três alturas é chamadode ``Ortocentro´´. A

B ˙ C HIV. Mediatriz

É uma reta perpendicular ao segmento pelo seuponto médio.

O ponto de encontro das três mediatrizes échamado de ``Circuncentro´´. A m

· B M C4. Congruência de Triângulo:

*Congruência = mesma medida

Dois triângulos são congruentes se, e somente se,é possível estabelecer uma correspondência entre seusvértices, de tal modo que:• os pares de lados correspondentes são congruentes;• os pares de ângulos correspondentes são congruentes.

A D

B C E F

Diz – se que o ΔABC ~ ΔDEF.OBS.:• ΔABC ~ΔDEF significa que existem três

congruências lineares e três congruências angulares.• Em dois triângulos congruentes:a) os lados opostos a ângulos correspondentes são

congruentes.b) os ângulos opostos a lados correspondentes são

congruentes.• Segmentos congruentes tem medidas iguais e ângulos congruentes também tem medidas iguais.

Polígono

Chama-se polí gono a união dos segmentos:{ P1P2, P2P3, ... PnP1}.

Assim, dado três conjuntos ordenados de cincopontos cada um são polígonos as seguintes figuras:

P1 P2 P1 P2

P3 P5 P3 P4 P1 P4 P3 P4 P5

P5 P2

Um polígono também é chamado de contornopoligonal fechado. Dois segmentos, como P1P2 e P2P3por exemplo, são dois segmentos consecutivos.

1.Elementos de um Polígono.

Definimos os seguinte elementos para umpolígono simples de n pontos:✗ Vértices: os pontos P1, P2, ... Pn. ✗ Lados: são os seguimentos consecutivos: P1Pn✗ perímetro: a soma das medidas dos n lados.(n>3)✗ Ângulos internos: P1, P2, ..., Pn.

2.Diagonal

Diagonal de um polígono é um segmento cujasextremidades são vértices não consecutivos dessepolígono. P1 P2 P1 P2

P3 P5 P3 P4 P1 P4 P5 * Consecutivo = que segue imediatamente,conseguinte.

3.Nomentura dos Polígonos

Conforme o número de lados, alguns polígonosrecebem nomes especiais.


Nº. de lados Nomenclatura3 Triângulo4 Quadrilátero5 Pentágono6 Hexágono7 Heptágono8 Octógono9 Eneágono

10 Decágono11 Undecágono12 Dodecágono13 Tridecágono

. . . . . .

20 Icoságono

3. Polígono Convexo.

*Convexo = arredondado externamente.

Um polígono é convexo se, e somente se,qualquer segmento de reta, cujas extremidadespertencem a região poligonal.

A B A B

Convexo Não - convexo

4. Polígono Regular.

Um polígono convexo é um polígono regular se,e somente se, ele for equilátero e eqüiângulo. A B A

C D B C 5. Número de Diagonais.

Sendo d o número de diagonais de um polígono

que tem n (n >3) lados, então:

d = n ( n – 3) 2

6. Soma das Medidas dos Ângulos Internos.

A soma das medidas dos ângulos internos (Si) deum polígono convexo de n (n >3) lados é tal que:

Si = (n – 2) 180º

7. Soma das Medidas dos Ângulos Externos.

A soma das medidas dos ângulos externos (Se)de um polígono convexo é 360 º, isto é :

Se = 360 º

8. Medida dos Ângulos em polígono Regular.

Ângulos Internos: Sendo Ai a medida de cada Ângulo interno de

um polígono regular de n (n >3) lados, tem -se;

Ai = ( n – 2 ) 180 º n

Ângulos Externos:Sendo Ae a medida de cada Ângulo externo de

um polígono regular de n (n >3) lados, tem -se:

Ae = 360 º n

Observação:

P1 Ae Pn Ai Ai Ae Ae P2 Ai Ai P5

Ae Ae Ai Ai

P3 Ae P4

Considere um polígono regular de n lados dafigura que segue acima, onde P1, P2, ..., Pn são osvértices:

Assim Temos: Ai + Ae = 180 º


Quadriláteros Notáveis e Base Média deTriângulos e Trapézios

São os quadriláteros convexos que tem os doislados paralelos.

Há cinco tipos de quadriláteros notáveis. Sãoeles:

1. Trapézio

Um quadrilátero convexo é um trapézio se, esomente se,ele tiver um par de lados opostos paralelos. A D

B C

Os trapézios classificam – se em :

(a)Trapézio escaleno: um par de lados não- paralelosnão- congruentes.

A D

B C

AB ≠ CD

(b)Trapézio Isósceles: um par de lados não- paraleloscongruentes.

A D

B C

AB = CD

(c) Trapézio Retângulo: um dos lados não- paralelosperpendicular as bases.

A D

B ˙ C

Â = B = 90 º

2. Paralelogramo. Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se,

e somente se, ele tiver pares de lados opostos paralelos.

A D

B C AD // BC e AB // DC

Nota > todo paralelogramo é trapézio, porque tem doislados paralelos.

➔ Propriedades do Paralelogramo

A D α α β M α β α B C

Considere o paralelogramo ABCD:

a) Â = Ĉ = β e B = D = αb) α + β = 180 ºc) AD = BC e AB = DCd) M é o ponto médio das diagonais.

2. Retângulo

Um quadrilátero convexo é um retângulo se, esomente se,ele for eqüiângulo, isto é, os seus ângulosinternos são retos. A D : :

Â = B = Ĉ = D = 90 º

: : B C

Nota > todo retângulo é paralelogramo, porque temlados opostos paralelos. Assim, todo retângulo étrapézio.

➔ Propriedades do Retângulo A D

M

B CConsidere o retângulo ABCD.


a) Â + B = Ĉ + D = 180 º = Â + D = Ĉ + Bb) AD // BC e AB // DCc) AD = BC e AB = DC.d) M é o ponto médio das diagonais. e) AC = BD.

3. Losango

Um quadrilátero convexo é um losango se, esomente se, ele for eqüilátero, isto é, os seus lados temmedidas iguais. A

B C

D AB = BC = CD = DA

Nota > Todo losango é paralelogramo.

➔ Propriedades do Losango

Considere o Losango ABCD: A

. . B · · M C

Da) Â = Ĉ e B = D b) Â + B = Ĉ + D = 180 º = Â + D = Ĉ + Bc) AD // BC e AB // DCd) M é o ponto médio das diagonais. e) As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.f) As diagonais são perpendiculares entre si no ponto M.

4. Quadrado

Um quadrilátero convexo é um quadrado se, esomente se, ele for eqüiângulo e equilátero.

A D : :

: : B C

Nota > Todo quadrado é retângulo porque é eqüiângulo.Todo quadrado é losango porque é equilátero.

➔ Propriedades do Quadrado

Considere o quadrado ABCD:

A D 45º 45º 45º 45º

45º 45º 45º 45º B C

a) Â = Ĉ e B = D b) Â + B = Ĉ + D = 180 º = Â + D = Ĉ + Bc) AD // BC e AB // DCd) M é o ponto médio das diagonaise) As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.f) As diagonais são perpendiculares entre si no ponto M.

5. Diagrama de Venn

Sejam:

U : conj. dos quadriláteros convexos.T : conj. dos trapézios.P : conj. dos paralelogramos.R : conj dos retângulos.L : conj. dos losangos.Q : conj. dos quadrados.

Para facilitar o estudo do comportamento dosquadriláteros notáveis, relativamente às suaspropriedades, cada subconjunto de U pode serrepresentado pelo Diagrama de Venn .

O conjunto T dos trapézios é, então, umsubconjunto de do conjunto U dos quadriláterosconvexos e assim por diante.

Q R L P

T U

Diagrama de Venn


6. Base Média De Um Triângulo

Um segmento de reta é base média de umtriângulo se, e somente se, esse segmento tiver asextremidades nos pontos médios de dois lados dessetriângulo. A

M N

B C M e N são os pontos médios dos lados AB e AC; MN éuma base média do ∆ ABC. ➔ Propriedade

A base média de um triângulo é paralela àbase desse triângulo e mede a metade dessa base.

Assim, na figura anterior, temos: MN // BC e MN = BC 2

7. Base Média De Um Trapézio.

Um segmento se reta é base média de umtrapézio se, e somente se, esse segmento tiverextremidades nos pontos médios dos lados adjacentes.

A D

M N

B C M e N são os pontos médios dos lados AB e CDadjacentes às bases; MN é a base média do trapézioABCD. ➔ Propriedade

A base média de um trapézio é paralela àsbases e sua medida é a média aritmética das medidasdas bases.

Assim, temos:

MN // AD // BC e MN = AD + BC 2

Circunferência e Ângulos NumaCircunferência

Circunferência: é o conjunto de todos os pontos de umplano cuja a distância a um ponto fixo desse plano é umaconstante.

Círculo ou disco: é a união de uma circunferência comseus pontos internos.

Elementos de uma Circunferência ou de um Círculo.

Na circunferência de centro O ( ponto fixo) eraio r da figura, tem-se: M DRaio: AO Diâmetro: AB CCorda: CDArco: CMD r O r A BObs.: o diâmetromede o dobro do raio. AB = 2AO = 2r

Posições relativas de reta e circunferência

Considere uma reta p, uma circunferência λ decentro O e raio r e a distância d do centro O à reta p.

• A reta p é secante á circunferência λ , isto é, ela temdois pontos distintos em comum com a circunferênciaλ .- p é se cante a λ se, e somente se, d < r.

B p

A · d r O

λ • A reta p é tangente a circunferência λ, isto é, ela tem

um só ponto em comum com a circunferência λ ,sendo que a reta tangente a uma circunferência éperpendicular ao raio.– p é tangente a λ se, e somente se, d = ar.

p A O ponto A é r d chamado de ponto de tangência. O λ


• A reta p é exterior á circunferência λ , isto é, a reta pnão tem nenhum ponto em comum com acircunferência λ . – p é exterior a λ se, e somente se, d > r.

p

d r

O

λ Ângulo Central

É aquele cujo vértice é o centro dacircunferência. Na figura a seguir, estão representadosum ângulo central de medida α em graus, e o seu arcocorrespondente.

B

α α O

A

A medida, em graus, de um ângulo central éigual à medida do seu arco correspondente.

Ângulo Inscrito

É aquele cujo vértice pertence à circunferência ecujos lados são secantes a essa circunferência.

B

O 2α P α

A

A medida de um ângulo inscrito numacircunferência é a metade da medida do seu arcocorrespondente.

Observações:** Inscrito = incluído

1. Na figura, o ângulo BVA está inscrito nacircunferência λ , mas o ângulo CVA não estáinscrito.

λ B

V O C

A3. O ângulo CAB d figura a seguir é chamado de ângulo

de segmento. Seus lados são:> AB, secante à λ.> AC, tangente à λ em A

Sendo que OA é perpendicular a AC

λ

O

A · α B D 2α C

Temos que : CÂB = ADC 2

Quadrilátero Inscrito Numa Circunferência

É um quadrilátero que tem os quatro vérticesnuma circunferência. D A β α O γ λ C δ

B

Num quadrilátero convexo inscrito numacircunferência, os ângulo opostos são suplementares.

Assim, na figura temos que:

α + γ = δ + β

Segmento de Reta Tangente

Um segmento de reta que tem uma extremidadenuma circunferência e cuja reta suporte é tangente a essa


circunferência é chamada de segmento de reta tangente.

O

T A

AT é um segmento de reta tangente a λ.

Se por um ponto externo a umacircunferência traçam-se segmentos de reta tangentesa essa circunferência, então esses segmentos de retasão congruentes.

A

P

B PA e PB são segmentos de reta tangente à circunferência,logo: PA = PB.

Quadrilátero Circunscrito a uma Circunferência

É um quadrilátero que tem os quatro vérticestangentes a uma circunferência.

** Circunscrito = limitado

D A

O

C B

Se um quadrilátero convexo está circunscritoa uma circunferência, então a soma das medidas dedois lados opostos é igual a soma das medidas dosoutros dois lados.

Portanto, na figura temos que:

AD + BC = AB + DC

Pontos Notáveis de um Triângulo

Baricentro A

F E G

B D C

O Baricentro de um triângulo divide cadamediana em duas partes, sendo a parte que contém ovértice o dobro daquela que contém o ponto médio.

Considerando a figura, temos:➢ O ponto G é baricentro do triângulo ABC.➢ AG = 2GD, BG = 2CG e CG = 2GF.

Incentro A

L J T R

B S K CO incentro de um triângulo eqüidista dos três

lados desse triângulo.O incentro de um triângulo é o centro da

circunferência inscrita nesse triângulo.Considerando a figura, temos:

➢ O ponto I é incentro do triângulo ABC.➢ A circunferência com centro no ponto I e raio de

medida IJ = IK = IL está inscrita no triângulo ABC,onde os pontos L, J e K são pontos de tangencia.

Eqüidistante = que dista igualmente .

Circuncentro A

mb

mc

E O B D C

ma

O circuncentro de um triângulo eqüidista dos trêsvértices desse triângulo.

O circuncentro desse triângulo é o centro dacircunferência circunscrita ao triângulo.


Considerando a figura, temos:➢ O ponto O é o circuncentro do triângulo ABC➢ OA = OB = OC. ➢ A circunferência com centro no ponto O e raio de

medida OA = OB = OC está circunscrita ai triânguloABC .

Ortocentro A

F E H

B C D

O ponto h é o ortocentro do triângulo ABC. Um triângulo cujos vértices são os pés das

alturas de um outro triângulo chama – se triângulo órticodo primeiro triângulo.

A

F E H

B C D

Na figura ao lado, o triângulo DEF é o triânguloórtico do triângulo ABC.

As bissetrizes internas do triângulo DEF estãonas retas suporte das alturas do triângulo ABC.

Segmentos Proporcionais

Geometria Métrica: é a parte da geometria que trata daassociação entre figuras geométricas e números reaispositivos que são representações das medidas relativas àsfiguras. A geometria métrica fundamenta-se nosconceitos de razão (entre dois segmentos, entre duasregiões poligonais, etc) e de proporção ( igualdade entreduas ou mais razões).

1. Feixe de Retas Paralelas

É um conjunto de três ou mais retas paralelasdistintas num plano.

a

b c

• Transversal de um feixe de retas paralelas é uma retaque intercepta todas as retas de um feixe.

• Pontos correspondentes em duas transversais deum feixe de retas paralelas são pontos que estão numamesma reta do feixe.

• Segmentos correspondentes em duas transversaissão segmentos cujas extremidades são pontoscorrespondentes.

Ex.: A A´ a

B B ´ b

C C´ c

t t´

Na figura temos os seguintes dados:✗ A reta t e t´são transversais do feixe de retas paralelas

a, b e c.✗ Os pontos A e A´ na reta a, B e B´ na reta b e C e C´

na reta c são pontos correspondentes das transversais te t´ do feixe de paralelas a, b e c.

✗ São correspondentes os seguintes pares de segmentos:AB e AB´, BC e BC´, AC e AC´.

2. Teorema Linear de Tales

Se um feixe paralelas tem duas transversais,então a razão de dois segmentos quaisquer de umatransversal é igual à razão dos segmentoscorrespondentes da outra.

Ex.: A A´ a

B B ´ b C C´ c

t t´

O Teorema de Tales afirma que são válidas asseguintes proporções:

AB = A´B´ BC B´C´

AC = A´C´ , etc. AB A´B´


3. Teorema da Bissetriz Interna A Bissetriz α α c b

B x S y C

a

Em todo triângulo, uma bissetriz internadivide o lado oposto em segmentos proporcionais aoslados adjacentes.

Na figura, AS é bissetriz interna do triânguloABC. O teorema da bissetriz interna estabelece que:

c = b , com x + y = a x y

4. Teorema da Bissetriz Externa

A β

β c b

B a C y R

x

Se a bissetriz de um triângulo externo de umtriângulo intercepta a reta suporte do lado oposto,então ela divide externamente esse lado em segmentosproporcionais aos lados adjacentes.

O teorema da bissetriz externa estabelece:

c = b , com x - y = a x y

Semelhança de Triângulos

Intuitivamente , semelhança entre duas figurassignifica igualdade de forma e não, necessariamente,igualdade de tamanho. D

A

B C

E F

1. Definição A D

α α

β γ E F β γB C

Dois triângulos são semelhantes se, e somentese, seus ângulos internos tiverem respectivamente, asmesmas medidas, e os seus lados correspondentesforem proporcionais.

Para os dois triângulos, são válidas as seguintesigualdades:

Â = F

B = Ê e AB = BC = AC = k DE EF DE

Ĉ = F

Nessas condições , os triângulos ABC e DEF sãosemelhantes , e k é a razão de semelhança entre eles.

Em símbolos, indica-se: Δ ABC ~ Δ DEF, emque ~ lê-se ´´ é semelhante a ´´.

Notas > I. Ângulos Correspondentes: A ↔ D, B ↔ E , C ↔ F.II. Lad os correspondentes:

AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF.III.Dois elementos correspondentes também são

chamados de elementos homólogos, porque ocupam ´´um mesmo lugar´´ nos respectivos triângulos.

IV.Em dois triângulos semelhantes, a razão desemelhança k é a razão de dois elementos linearescorrespondentes quaisquer. Sendo k a razão desemelhança, tem-se: * a razão dos perímetros é k.* a razão das alturas correspondentes é k.* a razão das medianas correspondentes é k. *a razão das bissetrizes internas correspondentes é k.

V. Os lados opostos a ângulos congruentes sãoproporcionais.

VI.Dois triângulos congruentes são triângulossemelhantes de razão 1.

VII.Decorre da definição que a relação de semelhançaentre triângulos é:a) Reflexiva : Δ ABC ~ Δ ABCb) Simétrica: Δ ABC ~ Δ DEFc) Transitiva: Δ ABC ~ Δ DEF ~ Δ LMN, então:


2. Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de umtriângulo e intercepta os outros dois lados em pontosdistintos, então o triângulo que ela determina ésemelhante ao primeiro. A

D E

B C

Na figura DE // BC = Δ ABC ~ Δ ADE

3. Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se, e somente se,os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, asmesmas medidas e os seus lados correspondentes foremproporcionais.

A1 A5 B1 B5

B2 B4A2 A4

B3 A3

Dois polígonos regulares de mesmo número delados são semelhantes.

4. Potência de um Ponto

Seja uma circunferência λ (O, r) e um ponto Pfora de λ.

Pelo ponto P conduzimos uma reta secante à λem A e B, ou tangente em P.

Temos Três situações:

P P A A T P B B O O O

O produto PA · PB ou (PT) ² é chamado depotência do ponto P em relação a circunferência λ .

A potência de um ponto em relação a umacircunferência é constante, isto é, não depende daescolha de uma reta particular que passe por ele.

Desta forma temos: B E λ C P D O

A F

PA · PB = PC · PD = PE · PF = ...

P T A E B O C F

D

PA · PB = PC · PD = PE · PF = ... = (PT) ²

Triângulo Retângulo

1. Projeção Ortogonal

Num plano, considere um ponto e uma reta.Chama- se projeção ortogonal desse ponto sobre essa retao pé da perpendicular construída do ponto à reta. Nafigura, o ponto P´ é a projeção ortogonal do ponto Psobre a reta r. P

· P´ r

Projeção ortogonal de um segmento de reta é oconjunto de projeções ortogonais de todos os pontosdesse segmento. B

A

r A´ B ´*A´B´ é a medida da projeção ortogonal do segmentoAB.


2. Relações Métricas Num Triângulo Retângulo

Sendo um triângulo ABC, retângulo em A, e ADa altura relativa à hipotenusa. A

c γ β b

β · · γ B m D n C a Catetos: AB e AC.Hipotenusa: BC Altura relativa à hipotenusa: AD

Nomenclatura: BC = a ... medida da hipotenusa BC.AC = b ... medida do cateto AC AB = c ... medida do cateto AB.BD = m ...medida da projeção ortogonal do cateto ABsobre a hipotenusa BC.CD = n ... medida da projeção ortogonal do cateto ACsobre a hipotenusa BC. AD = h ...medida da altura relativa à hipotenusa BC.

Relações Métricas• c ² = m · a • b ² = n · a • h ² = m · n• a · h = b · c• a ² = b ² + c ² ( Teorema de Pítagoras)

A altura relativa a hipotenusa determina doistriângulos retângulo semelhantes ao primeiro, e tambémsemelhantes entre si.

(a) Δ DBA ~ Δ ABC → m = h = c → c ² = m · a ( I ) c b a a · h = b · c ( II)

(b)Δ DAC ~ Δ ABC → n = b → b ² = n · a ( III ) b a

(c) Δ DBA ~ Δ ABC → m = h → b ² = m · n ( IV ) h n

Somando-se membro a membro (I) e (III), temos:( I ) c ² = m · a( III ) b ² = n · ab ² + c ² = ma + nab ² + c ² = a ( m + n )b ² + c ² = a · a

Logo, a ² = b ² + c ²A relação a ² = b ² + c ², isto é, o Teorema de

Pitágoras, pode ser enunciado da seguinte maneira:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado damedida de hipotenusa é igual à soma dos quadradosdas medidas dos catetos.

Triângulos Quaisquer

Teorema dos Co-senos.

Num triângulo qualquer, o quadrado da medidade um lado é igual à soma dos quadrados das medidasdos outros dois lados, menos o dobro do produto dasmedidas desses dois lados pelo co-seno da medida doângulo por eles determinado. C

β b a

α γ A c B

Em símbolos, temos:a ² = b ² + c ² – 2 · b · c · cos α b ² = a ² + c ² – 2 · a · c · cos γc ² = a ² + b ² – 2 · a · b · cos β

Demonstração:Considere o triângulo ABC na figura a baixo,

onde Â > 90º. C

β c a h

α γ A r H b-r B bNo triângulo AHB,cos Â = cos α = r cportanto, r = c · cos α (1)No triângulo AHB, pelo Teorema de Pitágoras, c ² = r ² + h ² (2)No triângulo CHB, pelo Teorema de Pitágoras, a ² = ( b – r ) ² + h ² portanto, a ² = b ² – 2br + r ² + h ² (3)De (2) e (3), a ² = b ² + c ² – 2br (4)De (1) e ( 4),a ² = b ² + c ² – 2 · b · c · cos α


Teorema dos Senos

As medidas dos lados de um triângulo sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos na razãoda medida do diâmetro da circunferência circunscrita aesse triângulo. A α c b O γ β C B a

R: medida do raio da circunferência circunscrita notriângulo ABC.O: centro da circunferência circunscrita no triânguloABC.OA = OB = OC = R

Em símbolos, temos:

a = b = c = 2R sen α sen β sen γ

Demonstração:Seja o triângulo acutângulo ABC inscrito na

circunferência (O,R), conforme a figura:

A D b R c O R C B a

Considere o diâmetro BD e a corda CD,formando o triângulo BCD, retângulo em C, inscrito nacircunferência de diâmetro BD.

Observe que D = Â, pois são ângulos inscritosnuma mesma circunferência e determinam o mesmo arcoBC. Observe, também que no triângulo retângulo BCD,temos:

sen D = a 2R

Como D = Â, então

sen Â = a , ou seja, 2R

a = 2R sen Â

Comprimento de uma Circunferência

Razão do Comprimento de uma Circunferência para o seu Diâmetro

Teorema

A razão dos comprimentos de duascircunferências é a razão das medidas dos respectivosraios.

Conseqüência

A razão do comprimento de uma circunferênciapara a medida do seu diâmetro é constante.

Comparando duas circunferências, pelo teoremaanterior: C C´ R O R´ O

C = comprimento da circunferência.R = raio da circunferência.

C = R , ou seja, C = C´ C´ R´ R R´e daí resulta C = C´ 2R´ 2R´

A razão constante do comprimento de umacircunferência para a medida de seu diâmetro érepresentada pela letra minúscula grega π ( pi, inicial dapalavra ´´perímetro´´, que significa ´´ medida em tornode´´.

Um valor aproximado de π, calculado com seusdez primeiros algarismos decimais é: 3,1415926535. Paraefeito de cálculo, é comum adotar o valor 3,14.

Comprimento de uma Circunferência

Teorema

O comprimento de uma circunferência é oproduto da medida de seu diâmetro pela constante π .

C C = π, ou C = 2πR R 2R

O


Comprimento de um arco de circunferência

Um arco AB de uma circunferência de raio Rmede α, em graus,. Vamos determinar a medida l do arcoAB em unidades de comprimento, em função de R e α.

Como a mesma grandeza arco é medida usando-se duas unidades diferentes, resulta que as medidasobtidas são proporcionais. Desta forma, temos a regra detrês: comprimento grau 2πR 360 º l α º

Radiano

B B´

R 1 rad R A A´

Um radiano é a medida de um arco decircunferência com comprimento igual à medida do raiodessa circunferência. comprimento do arco radiano R 1 2πR x

Pela regra de três: x = 2πPortanto, a circunferência mede, em radianos, 2π.Por fim, a expressão do comprimento l de um

arco de circunferência de raio R que, em radianos, medeα é: comprimento radiano 2πR 2π l α Nota: 1 rad corresponde a aproximadamente 57º 17´ 45´´, adotando-se π = 3,1415927.

Áreas de Regiões Planas

(1) Introdução

Uma região poligonal pode ser consideradacomo a união de uma ou mais regiões poligonais cujasintersecções são apenas os lados e os respectivosvértices.

Ex.: S2 S1 S

S3

S = S1 U S2 U S3

Em Geometria, a palavra área é utilizada para

fazer referências a um número real positivo que medeuma superfície numa determinada unidade.

Nos casos mais simples,``quadricula-se a região´´, dividindo-a em quadrados de lado unitário, e faz-se acontagem dos quadrados resultantes da divisão para obtera sua área. Assim, a área da superfície de um quadradode lado 4 cm é 16 cm2 .

Observe que a área é 16 e que cm2 é a unidadede medida da superfície. 4 cm 1 1 1 1

· · 1 1 4 cm 1 . . 1

(2)Expressões para Cálculo de Algumas Áreas

• Área de um Retângulo

A área de um retângulo é o produto da suabase pela sua altura.

A = b · h h

b

• Área de um Paralelogramo.

A área de um paralelogramo é o produto deuma base, isto é, um lado, pela altura relativa.

A = b · h h

bA área de um paralelogramo também pode ser

calculada pela somatória de áreas existentes dentro do dafigura.

Ex.: A 3

h h A 2

A 1

At = A 1 + A 2 + A 3


• Área de um Triângulo.

A área de um triângulo é a metade do produtode uma base pela sua altura relativa.

h h h · · ·

A = 1 · b · h 2

• Algumas Expressões para o Cálculo de Áreas de Triângulos

1. Área de um Triângulo em Função da Medida de DoisLados e a Medida do Ângulo por eles compreendido.

A

b c h α C H B a A = 1 · b · h · sen α 2

2. Área de um Triângulo em Função do Semiperímetro edo raio da circunferência inscrita.

3. A

b O c

r C B a Onde : A = p · r p = semiperímetro r raio da circunferência

• Área de um Trapézio.

A área de um trapézio é o produto da médiadas bases pela altura. b

A = B + b · h h 2

B

• Área de um Losango.

A área do losango é o semiproduto dasdiagonais.

d

D

A = 1 · D · d 2

• Área de um Hexágono Regular.

Considere o hexágono regular ABCDEF, cujoslados medem l, inscrito na circunferência de centro O eraio OA = l, conforme a figura. l B C l l O D A

E F

Sua área é tal que A = 3 l² √ 3 2

O hexágono regular ABCDEF pode serdecomposto em seis triângulos equiláteros com ladosmedindo l.

Logo, sua área é tal que

A = 6 · l² √ 3 , isto é, A = 3 l² √ 3 4 2

• Área de um Polígono Regular.

A área de um polígono regular é o produto dosemipeímetro pelo apótema.

Semiperímetro = metade do perímetro apótema = perpendicular do centro de um

polígono regular a um de seus lados.

O

a

l


l = medida do lado a = medida do apótemap = medida do semiperímetro

Considere um polígono regular de n lados. Ocentro é o ponto O, l é o lado, medindo l = 2p , e a é oapótema. n

Unindo o centro desse polígono aos seusvértices, obtêm-se n triângulos isósceles congruentesentre si, cada um com área T = ½ · l · a

Substituindo l na segunda equação temos: T = 1 · 2p · a , isto é, T = p · a 2 n n

Como A = n · T :A = p · a

• Área de um Círculo.

A área de um círculo é o produto do seusemiperímetro pelo raio.

O λ A = 2πR · R 2 R A = π · R²

• Coroa Circular.

Dadas duas circunferências concêntricas de raiosr e R, r < R, chama-se coroa circular ao conjunto dospontos pertencentes ao círculo de raio R e não-internos ao círculo de raio r.

A área da coroa circular é:

A = π ( R² – r² )

*concêntrica = possuem o mesmo centro.

• Setor Circular

É uma parte do círculo limitado por um arco decircunferência e por dois raios com extremidades nasextremidades do arco.

B r C O

r A

A área do setor circular de raio R é proporcionalà medida do arco correspondente.

Ex: arco medido em graus (α º). Área Medida do arco π r ² 360 º A setor α º

A setor = α π r ² 360

• Segmento Circular

Segmento circular é uma parte do círculolimitada por um arco de circunferência e por uma cordacom extremidades nas extremidades do arco.

1º caso: 2 º caso: B C B

C O O A A

1 º caso: a medida do arco correspondente AB é α, talque 180 º < α < 360 º.

A área do segmento circular é:

A = A setor + A triângulo

2 º caso: a medida do arco correspondente AB é α, talque 0< α < 180 º.

A área do segmento circular é:

A = A setor - A triângulo

**corda = segmento de reta que une dois ptos de uma curva


introdução b - ufersa · por exemplo, um ponto, uma reta, um plano, por não ter algo como...

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