INTRODUÇÃO ÀS INVERSAS GENERALIZADAS DE MATRIZES

DE APLICAÇÃO COMUM EM ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL1

João Batista Duarte2

RESUMO: Este texto propõe-se a apresentar os princípios fundamentais relacionados às inversas de matrizes, com

ênfase para as inversas generalizadas, ou simplesmente inversas-g, as quais têm grande utilidade e aplicação em

estatística. O entendimento de áreas importantes da estatística teórica e aplicada como a de modelos lineares não pode

ser completo, sem algum domínio básico do que seja uma matriz inversa, sobretudo uma inversa generalizada. Aqui são

apresentados conceitos, propriedades e alguns exemplos simples de como se obter algumas destas matrizes. Foram

tomados quatro tipos de matrizes inversas, dada a sua maior aplicação na estatística experimental, a saber: inversa

generalizada de Moore-Penrose, inversa generalizada condicional, inversa generalizada de quadrados mínimos e inversa generalizada reflexiva ou inversa-g2.

INTRODUÇÃO

O conceito clássico sobre inversa de uma matriz3, amplamente difundido, enuncia que “se

uma matriz A tem inversa A-1

, essa matriz necessariamente é quadrada e deve ter determinante

diferente de zero”. Isto equivale a dizer que a matriz A é não-singular (uma matriz quadrada é dita

singular se tiver determinante nulo), ou ainda, que tem posto completo (linhas e colunas

linearmente independentes). A partir desse enunciado, várias propriedades interessantes podem ser

verificadas, como:

i) AA-1

= A-1

A = I , sendo I uma matriz identidade de mesma dimensão ou ordem

ii) A-1

é única, com determinante igual ao recíproco do determinante de A

iii) (A-1

)-1

= A

iv) (A’)-1

= (A-1

)’

v) (AB)-1

= B-1

A-1

Uma considerável parte dos problemas estatísticos, teóricos e aplicados, envolve a solução

de sistemas de equações lineares do tipo Ax = b (ou y = X). Se A é de ordem nxn, não singular,

então, a solução do sistema existe (sistema consistente) e é única (sistema determinado), sendo dada

por: x = A-1

b (ou = X-1

y). Porém, há, com freqüência, casos em que A não é quadrada, ou mesmo

sendo A quadrada, pode ocorrer de ser singular (matriz com determinante igual a zero ou, ainda, de

posto incompleto). Nestas situações também pode haver solução para os sistemas associados, de

1 Texto didático produzido durante o curso de Álgebra de Matrizes, na Escola Superior de Agricultura ‘Luiz de Queiroz’ / USP,

Piracicaba, SP, em 1996. 2 Professor na Escola de Agronomia da Universidade Federal de Goiás, Caixa Postal 131, CEP 74001-970, Goiânia, GO, Brasil (E-

mail: jbduarte@ufg.br).

3 A inversa regular de uma matriz A={aij}, não-singular, é dada por: A-1 = [1/det(A)] Adj(A); sendo det(A) o

determinante de A (diferente de zero) e Adj(A), a matriz adjunta de A. Esta é dada por: Adj(A) = [Cof(A)]’ , em que

Cof(A) é a chamada matriz de cofatores de A, com cada elemento definido por: cij = (-1)i+j Mij ; sendo Mij (menor de

entrada aij) o determinante da matriz obtida de A, pela eliminação de sua i-ésima linha e j-ésima coluna.

2

modo que uma teoria unificadora para tratar todas as situações é altamente desejável. Uma

abordagem neste sentido envolve o uso das inversas generalizadas de matrizes (Graybill, 1983).

Trataremos a seguir de alguns tipos de inversas generalizadas de uso mais freqüente na

solução de problemas estatísticos: i) inversa generalizada de Moore-Penrose, por suas fortes

propriedades algébricas; ii) inversa generalizada condicional, pela sua abrangência e simplicidade;

iii) inversa generalizada de quadrados mínimos, por sua ampla aplicação em estatística

experimental; e iv) inversa generalizada reflexiva ou inversa-g2, também de grande aplicação, em

especial pelo sistema estatístico-computacional SAS

(Statistical Analysis System), que é de uso

bastante generalizado em análise de dados.

INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE

A idéia de obter uma matriz com as propriedade de uma matriz inversa, para uma matriz A

de ordem mxn, de posto ou ‘rank’ r [A] = r, com r min {m, n}, surgiu com os trabalhos de E. H.

Moore, em 1920, tendo sido formalizada, em 1956, por R. Penrose (Souza, 1988). Daí a

denominação inversa generalizada de Moore-Penrose ou pseudo-inversa, definida como a matriz A+

que satisfaz às seguintes condições:

i) A A+A = A (note-se que AA

+ e A

+A têm papel de matriz identidade I)

ii) A+A A

+ = A

+

iii) A A+

= (A A+)’ (AA

+ é simétrica)

iv) A+A = (A

+A)’ (A

+A é simétrica)

Embora AA+

e A+A desempenhem o papel de matriz I (identidade) na pré-multiplicação por

A e A+ (ou na pós-multiplicação por A

+ e A), respectivamente, essas matrizes só serão mesmo

iguais à identidade em situações especiais. Ex.: se A for não-singular (n.s.), então: AA+

= A+A = I;

e, sendo A n.s., A-1

atende todas as condições especificadas. Logo, A-1

é um caso particular de A+.

É possível mostrar que qualquer matriz, inclusive vetor, possui sempre uma única inversa

generalizada de Moore-Penrose. Logo, A+ sempre existe e é única para uma dada matriz A, o que

caracteriza suas propriedades de existência e unicidade. Outra característica de A+ é que, sendo

AA+ simétrica e A de ordem mxn, então, A

+ será nxm. Veja: se AA

+ = (AA

+)’, então ambas são

mxm; pois, resultam de mAn x nA+

m . Raciocínio idêntico verifica-se para A+A .

A obtenção de A+ a partir de A é apresentada de algumas formas. A primeira delas a ser

apresentada aqui é dada a partir da chamada decomposição por valores singulares (DVS) da matriz

3

que se deseja inverter (A). Tal decomposição é descrita, com exemplos, no Apêndice 1. Assim,

dada a DVS da matriz: A = USV’ ou A= ii1i

i vu

r

, então:

A+

= V S

-1 U’ ou A

+ = ii

1ii

uv1

r

(com i = 1, 2, ..., r)

em que:

U: é a matriz cujas colunas são os autovetores (ui) de AA’, associados aos seus respectivos

autovalores não nulos (i); estes vetores são ortogonais entre si (ui’ui’=0, para ii’) e de norma

(comprimento) unitária, ou seja, são também normalizados (ui’ui=1), o que implica em

UU’=U’U=I, caracterizando U como uma matriz ortogonal (Searle, 1982)4;

S: é a matriz diagonal com os sucessivos valores singulares de A, dispostos em ordem decrescente,

isto é, S = diag { r ...,,, 21 }, tal que i i’ , com i>i’ ;e

V: é a matriz cujas colunas são os autovetores (vi) de A’A, ortonormais (V’V=VV’=I), associados

aos seus respectivos autovalores não nulos (i), os quais são idênticos aos de AA’.

Obs.: Sendo AA’ e A’A matrizes simétricas, todas as suas raízes (autovalores) são reais e positivas5 (i 0).

Vejamos, então, se A+, assim definida, satisfaz às condições especificadas. Se A

+ = , então

é evidente que satisfaz às quatro condições. Para A+ e r 0, tem-se:

i) AA+A = USV’ VS

-1U’ USV’ = US I

S

-1 I SV’ = U SS

-1 SV’ = USV’ = A

ii) A+A A

+ = VS

-1U’ USV’ VS

-1U’ = VS

-1 I S I S

-1U’ = VS

-1S S

-1U’ = VS

-1U’ = A

+

iii) AA+

= USV’ VS-1

U’ = US I S

-1U’ = UU’, que é uma forma de matriz simétrica; por outro lado:

(AA+)’ = A

+’A’ = (VS

-1U’)’ (USV’)’ = US

-1’V’VS’U’ = US

-1 I S’U’ = UU’ (simétrica).

iv) A+A = VS

-1U’ USV’ = VS

-1 I

SV’ = VV’, que também é uma forma simétrica; por outro lado:

(A+A)’ = A’A

+’ = VS’U’ US

-1’V’ = VS’ I S

-1’V’ = VV’ (simétrica).

Obs.: Sendo S uma matriz diagonal, assim como S-1, ambas são logicamente simétricas, então: S’=S e S-1’=S

-1.

Feitas estas demonstrações, pode-se afirmar que a inversa de Moore-Penrose, definida como

A+

= V S

-1 U’, existe para qualquer matriz A (inclusive se A for um vetor). Outra definição de A

+ é

dada a partir da fatoração de mAn, com posto r>0, em matrizes mBr e rCn , ambas de posto r, tal que:

A = B C (fatoração de posto completo – algoritmo de Dwivedi citado por Iemma, 1988). Neste

caso, encontradas as matrizes B e C (exemplo numérico em Apêndice 2, letra b), a inversa

generalizada é dada por:

A+

= C’(CC’)-1

(B’B)-1

B’

4 Se P é uma matriz ortogonal, então: P-1 = P’ P’P = PP’=I ; logo, suas linhas e colunas são vetores ortonormais, isto

é, são ortogonais e normalizadas; além disso, P é uma matriz quadrada, com det (P)=1 (não nulo).

4

Usando o mesmo raciocínio desenvolvido anteriormente é fácil demonstrar que A+, assim

definida, também existe, satisfazendo as quatro condições. Para verificar a propriedade de que A+ é

única (unicidade) pode-se assumir, por hipótese, que A tenha duas inversas, A1+ e A2

+. Se

provarmos que A1+

= A2+, então, mostraremos que A admite uma única inversa generalizada de

Moore-Penrose. Sob esta hipótese, A1+ e A2

+ devem, portanto, satisfazer aos seguintes conjuntos de

condições:

i.1) A A1+A = A i.2) A A2

+A = A

ii.1) A1+A A1

+ = A1

+ ii.2) A2

+A A2

+ = A2

+

iii.1) AA1+

= A1+’A’ iii.2) AA2

+ = A2

+’A’

iv.1) A1+A = A’A1

+’ iv.2) A2

+A = A’A2

+’

Para chegarmos a essa demonstração obteremos, inicialmente, dois resultados:

1o) AA1

+ = (A A2

+A) A1

+ = (AA2

+)’(AA1

+)’ = A2

+’A’A1

+’A’ = A2

+’(AA1

+A)’ = A2

+’A’

Logo, AA1+ = (A A2

+)’ = AA2

+ (I)

2o) A1

+A = A1

+(A A2

+A) = (A1

+A)’(A2

+A)’ = A’A1

+’A’A2

+’= (AA1

+A)’A2

+’= A’A2

+’

Logo, A1+A = (A2

+A)’ = A2

+A (II)

Sabendo-se que: A1+

= A1+A A1

+ e AA1

+ = AA2

+ (do resultado I) A1

+ = A1

+(A A2

+) = (A1

+A)A2

+ ;

assim, substituindo-se II neste resultado temos: A1+

= A2+A A2

+ = A2

+ A1

+ = A2

+ . Logo, a matriz

A admite uma única inversa generalizada de Moore-Penrose.

Outras propriedades desse tipo de matriz inversa mostram a sua semelhança com o conceito

clássico de inversa regular (A-1

) , por exemplo:

a) (A’)+

= (A+)’ A

+’ = A’

+

b) (A+)

+ = A

c) r [A+] = r [A]

d) (A’A)+

= A+A’

+

e) (AA+)

+ = A A

+

f) se A = A’ A+

= A+’

g) se A é n.s. A+

= A-1

e AA+

= A+A = I

h) se AA = A (idempotente) A+

= A

i) se A = diag {d11, d22, ..., dnn} A+

= diag {d11-1

, d22-1

, ..., dnn-1},

para dii 0; se dii = 0 dii-1

= 0 (i=1, 2, ..., n).

j) se mAn tem posto r = n A+

= (A’A)-1

A’ e A+A = I ; e

se mAn tem posto r = m A+

= A’(AA’)-1

e AA+ = I ;

ademais, também é válido: A+

= (A’A)+A’ = A’(AA’)

+ , r [A] .

5 Matrizes com esta característica são classificadas como “não negativas”.

5

k) AA+

, A+A , (I – AA

+) e (I – A

+A) são todas matrizes simétricas e idempotentes.

l) sejam mBr , de posto r, e rCn , também de posto r (com r > 0), então: (BC)+

= C+

B+

m) se P(m) e Q(n) são matrizes ortogonais, então: (PAQ)+ = Q’A

+P’

n) se k é um escalar, então: (kA)+

= k1 A

+ .

INVERSA GENERALIZADA CONDICIONAL

Em determinados problemas estatísticos, como na solução de sistemas de equações lineares,

exigências tão restritivas quanto aquelas da inversa generalizada de Moore-Penrose não são

necessárias. Dessa forma, uma classe de matrizes inversas generalizadas, satisfazendo apenas

algumas daquelas condições, pode ser de interesse, especialmente se forem de fácil obtenção. Neste

caso, enquadram-se as chamadas inversas generalizadas condicionais ou simplesmente inversas

generalizadas.

Inversa condicional de uma matriz A, de ordem mxn, é uma matriz denotada por A– , de

ordem nxm, que satisfaz à condição: A A–A = A . Dessa forma, A+ é inversa condicional de A, pois

satisfaz tal propriedade (primeira condição da inversa de Moore-Penrose); a recíproca, no entanto,

não é verdadeira. Atente-se de que A– é “uma” inversa-g de A e não “a” inversa-g de A, pois podem

existir muitas matrizes que satisfazem tal condição. A exceção ocorre quando A é não-singular;

situação em que A– = A

-1, sendo, portanto, única. Além disso, todas as propriedades de A+ discutidas

anteriormente e que estejam associadas a esta condição são também propriedades de A– .

A obtenção de uma inversa condicional não apresenta uma expressão definida, já que podem

haver várias inversas condicionais para uma certa matriz. Assim, há uma série de procedimentos,

entre os quais o algoritmo de Searle (1971) será aqui descrito por se mostrar de simples utilização.

Considere, então, uma matriz mAn de posto r e as seguintes operações:

i) Na matriz A, tomar-se qualquer sub-matriz M, não-singular, também de posto r (M é

denominada menor principal não nulo);

ii) Obter-se M-1

e, em seguida, a sua transposta (M-1

’);

iii) Substituir-se em A os elementos de M pelos correspondentes elementos de M-1

’ e zera-se

os demais; e

iv) A transposta da matriz resultante é uma inversa condicional de A .

Obs.: Se A for uma matriz simétrica, dispensa-se as referidas transposições. Ademais, as matrizes inversas

condicionais obtidas por esse algoritmo são também inversas reflexivas.

Outros processos são disponíveis. Um deles, para matrizes quadradas, baseia-se na obtenção

de uma forma de Hermite (H) da matriz A, por meio de operações elementares de linhas e colunas:

6

[ A | I ] ~ ... (operações elementares) ... ~ [ M A | M ], em que: M A = H .

Neste caso a matriz M (não-singular) é uma inversa condicional de A, pois, sendo MA uma

forma de Hermite, então, MA é idempotente (propriedade de H), ou seja: MA MA = MA; como M

é não-singular, existe M-1

. Pré-multiplicando ambos os termos por M-1

tem-se: M-1

MAMA = M-

1MA AMA = A; logo: M = A–

.

Se A não for quadrada, por este último procedimento, recomenda-se aumentar a matriz A de

linhas ou colunas nulas para se obter A0 quadrada. Obtém-se, então: M0A0 = H, por meio de

operações elementares. A inversa condicional de A é obtida tomando-se a partição M de M0,

conforme o número de linhas ou colunas aumentadas em A. Para l linhas nulas aumentadas em A,

descarta-se as l últimas colunas de M0 para obter M. O inverso é feito no caso de se aumentar

colunas em A.

INVERSA DE QUADRADOS MÍNIMOS

Provavelmente nenhum procedimento em estatística aplicada seja usado com mais

freqüência do que a teoria de Quadrados Mínimos (Graybill, 1983). Os sistemas de equações

lineares advindos dessa teoria podem ser resolvidos usando-se outra categoria de matrizes inversas

generalizadas, as inversas de quadrados mínimos, cuja definição é apresentada a seguir.

Seja uma matriz mAn , denota-se Al uma inversa generalizada de quadrados mínimos de A,

se e somente se essa matriz satisfizer às duas condições:

i) A Al A = A ; e

ii) AAl = (AA

l )’ (forma simétrica)

Obs.: Conclui-se, portanto, que toda inversa de quadrados mínimos é uma inversa condicional e que

A+ é também inversa de quadrados mínimos.

Uma matriz Al pode ser obtida a partir de uma matriz inversa condicional por meio da

seguinte expressão: Al = (A’A)- A’ . Provemos, então, que A

l , assim definida, satisfaz às duas

condições:

i) A [(A’A)- A’] A = A , pré-multiplicando-se (ambos os termos) por A+’A’ tem-se:

A+’A’A(A’A)- A’A = A

+’A’A

(AA+)’A (A’A)- A’A = (AA

+)’A

AA+A(A’A)- A’A = AA

+A

A (A’A)- A’ A = A

A Al

A = A

7

ii) pós-multiplicando-se AAl por AA

+ tem-se:

AAl AA

+ = AA

+ (que é uma forma já sabidamente simétrica). Do primeiro termo ainda segue:

A[(A’A)-A’]AA+

= A(A’A)-A’(AA+)’

= A(A’A)-A’A

+’A’

= A(A’A)-A’

= AA

l AA

l = AA

+ .

Logo, AAl é simétrica. Como AA

+ é idempotente, então, AA

l também o é.

Entre as propriedades das matrizes inversas de quadrados mínimos verifica-se, então, que:

AAl = AA

+ = A (A’A)- A’ ; logo, como A

+ é única, AA

l = AA

+ = A (A’A)- A’ é uma forma

invariante para qualquer Al e para qualquer (A’A)- .

INVERSA REFLEXIVA OU INVERSA-G2

Este tipo de inversa é incluído neste texto em virtude de sua aplicação pelo sistema

estatístico SAS, de uso bastante difundido em termos de análise de dados. É assim denominada por

atender a duas condições recíprocas (inversa-g2).

Dada uma matriz qualquer mAn , uma matriz AR

(ou Ag2

), de ordem nxm, é definida inversa

reflexiva de A, se e somente se satisfizer as duas condições:

i) A AR

A = A ; e

ii) ARA A

R = A

R .

Obs.: Disso, conclui-se que toda inversa reflexiva é uma inversa condicional e que A+ é também uma

inversa reflexiva.

As inversas reflexivas também não são únicas e uma forma de obtê-las é por meio da

seguinte expressão: AR

= A-A A- ; ou seja, a partir de uma inversa condicional de A é possível

obter, então, uma inversa reflexiva de A . Mostremos, portanto, que matrizes assim definidas são

inversas reflexivas; ou seja, satisfazem às duas condições:

i) A (A- A A-) A = ( A-

A)(A- A) A = A , como AA- é idempotente, tem-se: AA-

A = A .

ii) (A-A A-)A(A-A A-) = ( A-A)(A-A)( A-A)A- = A

R , novamente partindo-se da idempotência de

A-A tem-se: ( A-A)(A-A)A- = A-A A- = A

R .

Logo, AR

= A-A A- é uma inversa reflexiva de A (tomando-se diferente matrizes A- obtém-

se diferentes inversas reflexivas AR para a mesma matriz A ).

No contexto da estatística experimental é comum trabalhar-se com matrizes do tipo X’X(n)

(quadradas e simétricas), derivadas de matrizes de delineamentos (de posto incompleto r<n). Neste

caso, o SAS usa o seguinte algoritmo para obter sua inversa-g2 de X’X:

8

i) Toma-se, seqüencialmente, as colunas linearmente independentes (l.i.) de mXn , para

formar a matriz mX1r ;

ii) Obtém-se r(X1’X1)r e sua inversa regular (X1’X1)-1

;

iii) Substituem-se em X’X os elementos correspondentes às r colunas l.i. pelos elementos de

(X1’X1)-1

, operando simetricamente com as linhas;

iv) Zeram-se as colunas e linhas restantes; e

v) A matriz resultante é uma inversa-g2 de X’X, ou seja (X’X)R .

CONCLUSÃO

Todas as idéias aqui apresentadas, relativas ao conceito de inversas generalizadas de

matrizes, ampliam a base conceitual para um melhor entendimento da teoria estatística em geral,

sobretudo, dos problemas relacionados à busca de soluções em sistemas de equações lineares.

Assim, conclui-se pela relevância da iniciação neste tópico, sobretudo àqueles com interesse em

avançar no entendimento da teoria de modelos lineares, de aplicação rotineira na análise de dados

provenientes de delineamentos experimentais.

BIBLIOGRAFIA

DWIVEDI, P. 1975. A method to compute the rank factors of a matrix. Sankhya, 36(B.4): 463-464.

GABRIEL, K.R. 1978. Least squares approximation of matrices by additive and multiplicative models. J. R.

Statist. Soc. (Series B), 40: 186-196.

GOOD, I.J. 1969. Some applications of the singular decomposition of a matrix. Technometrics, 11: 823-

831.

GRAYBILL, F. A. 1983. Matrices with applications in statistics. 2. ed. California: Wadsworth. 461 p.

HILL, D. R. & MOLER, C. B. 1988. Experiments in computacional matrix algebra. New York: Random. 446 p.

IEMMA, A. F. 1988. Matrizes para estatística: Um texto para profissionais de ciências aplicadas.

Piracicaba: ESALQ/USP. 339 p.

IEMMA, A. F. & PALM, R. 1992. Les matrices inverses généralisees et leur utilisation dans le modèle

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SEARLE, S. R. 1971. Linear models. New York: John Wiley & Sons. 420 p.

SEARLE, S. R. 1982. Matrix algebra useful for statistics. New York: John Wiley & Sons. 438 p.

SOUZA, J. de. 1988. Análise em componentes principais. v. II. Brasília: Thesaurus. 67 p.

9

Apêndice 1

DECOMPOSIÇÃO POR VALORES SINGULARES (DVS) – EXEMPLOS E PROPRIEDADES

Exemplo 1:

Considere, inicialmente, a DVS de uma matriz quadrada simples (A(2x2) ):

A(2) = 4 2 = U S V’ = k k uk vk’ = 1 u1 v1’ + 2 u2 v2’ = A1 + A2 . 1 3 k =1,2, ..., p; onde: p = min{nlinhas l.i., ncolunas l.i.}=2, é o posto de A.

Para obter essa decomposição faz-se necessário, em princípio, encontrar os p escalares k, bem como os p vetores uk e vk’ (neste caso k=1,2; pois p=2), denominados valores singulares e vetores singulares

coluna e linha, respectivamente. Uma forma de obter os valores singulares de uma matriz (A) é extraindo-se

a raiz quadrada dos autovalores (k2) de uma das correspondentes matrizes simétricas AA’ ou A’A, que

possuem os mesmos autovalores (Iemma, 1988). Os autovetores de AA’ associados a cada k2, dispostos em

ordem decrescente destes autovalores, são exatamente os p vetores-coluna que formam a matriz U, ou seja, os vetores singulares-coluna de A. Analogamente, os p autovetores de A’A são os vetores singulares-linha

de A, dispostos como linhas da matriz V’. As matrizes AA’ e A’A, neste caso, são dadas por:

AA’= 20 10 , com polinômio característico dado por:

10 10 (20 - ) (10 -

) - (10 . 10) = 0

A’A= 17 11 , com polinômio característico dado por:

11 13 (17 - ) (13-

) - (11 . 11) = 0

Tomando-se o primeiro polinômio obtêm-se as duas raízes características (ou autovalores) da matriz AA’:

200- 20

- 10

+ ()

2 - 100 = 0

()

2 - 30

+ 100 = 0 1

2 = 26,18034 e 2

2 = 3, 81966.

Note-se que: 12 + 2

2 = 26,18 + 3,82 = 30 = i,j aij

2 = (4)

2 + (2)

2 + (1)

2 +(3)

2 = 30.

Da mesma forma, as duas raízes ou autovalores de A’A são obtidas a partir de:

221- 17

- 13

+ ()

2 - 121 = 0

()

2 - 30

+ 100 = 0 mesmas raízes (1

2 = 26,18034 e 2

2 = 3, 81966).

Os p autovetores normalizados (de comprimento unitário) de AA’ associados a cada autovalor k2

(neste caso: k=1,2) são obtidos por:

k=1) 20-26,18 10 u11 = 0 10 10-26,18 u12 0

-6,18 10 u11 = 0 u1 = 0,8506508 , com u112 + u12

2 =1.

10 -16,18 u12 0 0,5257311

k=2) 20-3,82 10 u21 = 0

10 10-3,82 u22 0

16,18 10 u21 = 0 u2 = -0,5257311 , com u212 + u22

2 =1.

10 6,18 u22 0 0,8506508

10

Da mesma forma, os p autovetores normalizados de A’A associados a cada k2 são obtidos por:

k=1) 17-26,18 11 v11 = 0

11 13-26,18 v12 0

-9,18 11 v11 = 0 v1 = 0,7677517 , com v112 + v12

2 =1.

11 -13,18 v12 0 0,6407474

k=2) 17-3,82 11 v21 = 0 11 13-3,82 v22 0

13,18 11 v21 = 0 v2 = -0,6407474 , com v212 + v22

2 =1.

11 9,18 v22 0 0,7677517

A decomposição por valores singulares (DVS) da matriz A é, portanto, dada pelas seguintes parcelas

(neste caso duas, em razão do posto 2 de A):

1 u1 v1’ = (26,18)1 /2

. 0,8506 . 0,7677 0,6407 = 3,341640 2,788854 = A1 0,5257 2,065225 1,723607

e

2 u2 v2’ = ( 3,82)1 /2

. -0,5257 . -0,6407 0,7677 = 0,658360 -0,78885 = A2

0,8506 -1,065225 1,276393

Fazendo-se: A1 + A2 , obtém-se exatamente a matriz A={aij}. Ademais, tomando-se a soma de

quadrados dos elementos da matriz A1={a1ij}, obtém-se exatamente 12 (ij a1ij

2 =1

2 =26,18034), o mesmo

verificando-se para a soma de quadrados dos elementos de A2={a2ij}, isto é: ij a2ij2

=22

= 3,81966. Note-se que A1 representa ainda uma aproximação da matriz A, no caso, a aproximação DVS de posto unitário para

A. Observe-se que esta aproximação (A1) é especialmente boa em termos da soma de quadrados dos elementos de A (26,18 versus 30). Good (1969) mostra que uma aproximação DVS de posto n, com n<p,

resulta também na menor soma de quadrados de desvios entre os elementos das duas matrizes. Ou seja,

ij(aij - anij)2

é mínima para An={anij} obtida pela soma das n primeiras parcelas da DVS de A. O que

significa dizer que nenhuma outra aproximação de posto n para a matriz A resultará num valor igual ou inferior a este. No presente caso, nenhuma outra matriz de posto unitário é capaz de aproximar-se tão bem a

A quanto A1; logicamente em termos do critério de dispersão ij (aij - a1ij)

2 .

Equivalentemente, como já mencionado, a DVS de A pode também ser obtida multiplicando-se as matrizes U, S e V’, nesta ordem (A = U S V’), fazendo-se:

0,8506 -0,5257 (26,18)1/2

0 0,7677 0,6407 v1’ U = 0,5257 0,8506 ; S= 0 (3,82)

1/2 ; e V’ = -0,6407 0,7677 v2’

u1 u2 1 2

11

Exemplo 2:

Considere agora outra matriz A(3x2) de maior ordem e sua decomposição singular (DVS):

2 3

A = 1 7 = U S V’ = k k uk vk’ = 1 u1 v1’ + 2 u2 v2’ = A1 + A2 . 1 5 k =1,2, ..., p(A) ; p(A) = min{nlinhas LI, ncolunas LI}=2;

i,j aij2 = 89.

Para matrizes de ordem elevada, a tarefa de encontrar autovalores e conseqüentemente valores

singulares, bem como os respectivos autovetores e vetores singulares, torna-se impraticável manualmente.

Entretanto, através de um programa computacional para álgebra de matrizes pode-se obter com facilidade as matrizes U, S e V que determinam a DVS. No SAS / proc IML, por exemplo

6, fazendo-se uso do comando

“call svd(U,S,V,A)”, obtém-se as seguintes matrizes como resultado da DVS de A:

0,3605 0,9204 9,3274 0,0000 0,2169 0,9762

U = 0,7559 -0,3835 ; S = 0,0000 1,4142 ; e V = 0,9762 -0,2169

0,5465 -0,0767

1 2 v1 v2

u1 u2 (valores singulares de A) (vetores singulares-linha de A) (vetores singulares-coluna de A) (autovalores de AA’ e A’A)

1/2 (autovetores de A’A)

(autovetores de AA’) 12 + 2

2 = 87 + 2 = 89.

Assim, A é decomposta em duas parcelas (matrizes de posto unitário), quais sejam:

0,7294 3,2824

A1 = 1 u1 v1’= 1,5294 6,8824 ; i,j a1ij2 = 87.

1,1059 4,9765 2 3

A1 + A2 = 1 7 = A 1 5

1,2706 -0,2824

A2 = 2 u2 v2’ = -0,5294 0,1176 ; i,j a2ij2 = 2.

-0,1059 0,0235

Algumas propriedades dos resultados obtidos:

1)- A decomposição por valores singulares (DVS) de uma matriz, definida como A={aij}, corresponde a uma

partição da soma de quadrados de seus elementos, isto é: ij aij2 = k k

2 (Mandel, 1971). Ademais esta

partição é ortogonal, pois: U’U=V’V=I A1’A2= A2’A1, sem perda de generalidade (Ai’Aj=, i j).

2)- No exemplo anterior, foram necessários dois termos (duas matizes parciais) para reproduzir a matriz A

exatamente. Isso deve-se ao posto de A ser dois (duas colunas independentes). Adicionando-se uma linha e/ou uma coluna linearmente dependentes, a decomposição continua sendo feita com base em apenas dois

termos, pois apenas dois de seus valores singulares (ou dos autovalores de AA’ e de A’A) serão não nulos.

3)- Tomando-se A1 tem-se uma aproximação de posto ‘um’ para A. Assim, se existir alguma lei regendo a construção da matriz A e se tal lei tiver algum efeito sobre a soma de quadrados de seus elementos, não há

dúvida de que A1 fornece uma boa aproximação para essa medida (Good, 1969; Gabriel, 1978). Assim, A1

representa a aproximação de quadrados mínimos, de posto ‘um’, para a matriz A, com: 12 /k k

2 =0,98. Se

p(A)>2, então, A1 +A2 seria a aproximação DVS de posto ‘dois’ para A e assim por diante.

6 proc iml; reset print log; A={2 3, 1 7, 1 5};

call svd (U,S,V,A);

quit;

12

Apêndice 2

INVERSAS DE MATRIZES - EXEMPLOS NUMÉRICOS

a) INVERSA REGULAR

Exemplo 1:

Considere a matriz quadrada a seguir:

A(2) =

61

23

Seu determinante é obtido por: det (A) = (3x6) – (1x2) = 16

Como det (A) 0, A é uma matriz não-singular; logo, existe A-1, tal que: AA

-1 = A-1

A = I .

Partindo-se da definição, A-1 = [1/det(A)] Adj(A) , temos que, primeiramente, obter Adj(A):

Adj(A) = [Cof(A)]’ , sendo Cof(A) a matriz de cofatores de A, com: cij = (-1)i+j Mij, logo:

c11 = (-1)1+1 . 6 = 6 ; c12 = (-1)1+2 . 1 = –1 ; c21 = (-1)2+1 . 2 = –2 ; c22 = (-1)2+2 . 3 = 3 Assim:

Cof(A) =

32

16 Adj(A) =

31

26

Logo:

A-1 =

31

2616

1 A-1 =

163

161

81

83

A partir disso, pode-se também construir uma regra geral para obter a inversa de uma

matriz não-singular (n.s.), de dimensão 2x2, isto é:

Se A é n.s., dada por: A(2) =

dc

ba, então: A

-1 =

ac

bdA

1)det(

.

Exemplo 2:

Considere agora um sistema de equações descrito por: y = X .

d

a

m

011

101

011

6

12

14

, em que:

d

a

m

e

011

101

011

X

6

12

14

y ;; .

Um problema matemático associado a um sistema desse tipo consiste em encontrar o vetor

(incógnitas) que pré-multiplicado por X produz y , ou seja, a solução do sistema de

equações lineares. Em estatística aplicada essa solução (vetor ) pode corresponder aos

coeficientes que ponderam a matriz X de informações, associada à origem dos dados (por

exemplo, uma matriz de delineamento experimental), para produzir as respostas observadas

(vetor y).

Se X for uma matriz não-singular (com determinante não nulo), existe X-1 e a solução do

sistema, única, pode ser obtida por: = X-1

y (resultado da pré-multiplicação dos dois

lados da equação por X-1 X

-1 y= X-1

X X-1

y= I = ).

13

O determinante de X é dado por:

det (X) = [1x0x0 + 1x1x1 + 0x1x(-1)] – [1x0x0 + (-1)x1x1 + 0x1x1] = 1 – (-1) = 2

Como det (X) 0 X é n.s. X-1 , tal que: XX

-1 = X-1

X = I .

Da definição de inversa regular sabemos: X-1=[1/det(X)]Adj(X). Assim, temos que,

primeiramente, obter Adj(X) e, conseqüentemente, Cof(X), cujos elementos são dados por:

c11 = (-1)1+1 . det (M11) = 1x [0x0-(-1x1)] = 1

c12 = (-1)1+2 . det (M12) = (-1)x[1x0-(1x1)] = 1

c13 = (-1)1+3 . det (M13) = 1x [1x(-1)-(1x0)] = -1

c21 = (-1)2+1 . det (M21) = (-1)x[1x0-(-1x0)] = 0

c22 = (-1)2+2 . det (M22) = 1x [1x0-(1x0)] = 0

c23 = (-1)2+3 . det (M23) = (-1)x[1x(-1)-(1x1)] = 2

c31 = (-1)3+1 . det (M31) = 1x [1x1-0x0] = 1

c32 = (-1)3+2 . det (M32) = (-1)x[1x1-(1x0)] = -1

c33 = (-1)3+3 . det (M33) = 1x [1x0-(1x1)] = -1

Logo:

Cof(X) =

111

200

111

Adj(X) =

121

101

101

Então temos:

X-1 =

121

101

101

21 =

21

21

21

21

21

21

1

0

0

.

De posse desta matriz pode-se obter a solução do referido sistema. Sendo X uma matriz

não-singular sabe-se também que o sistema y = X é consistente e determinado, ou seja, tem

sempre uma solução e esta é única, respectivamente. Busquemos, então, esta solução (= X-1

y):

d

a

m

=

21

21

21

21

21

21

1

0

0

2

4

10

6

12

14

2d

4a

10m

b) INVERSA DE MOORE-PENROSE

A seguir é ilustrada a obtenção da inversa-g de Moore-Penrose por meio de dois

procedimentos. Ambos exigem, inicialmente, uma fatoração ou decomposição da matriz a ser

invertida. O primeiro desses procedimentos usa a chamada fatoração de posto completo do

tipo A = BC; o outro procedimento parte da chamada decomposição por valores singulares da

matriz (A = U SV’).

Exemplo 1:

Considere a matriz a seguir (exemplo extraído de Iemma, 1988):

A(3) =

202

022

224

, com det (A) = 0 (matriz singular)

14

Embora a matriz seja quadrada, sua singularidade implica que a matriz não admite inversa

regular (A-1). Apesar disso, em alguns problemas estatísticos pode-se ter interesse em

inverter matrizes desse tipo.

O procedimento adotado neste exemplo para obter a inversa-g de Moore-Penrose usa a

fatoração de posto completo mAn = mBr rCn; em que rmin{m,n} é o posto de A e as matrizes B e C

são posto coluna e posto linha completos, respectivamente (também de postos iguais a r).

O algoritmo de Dwivedi (1975) permite obter essa fatoração em r ciclos de quatro passos

cada:

1o.Ciclo:

passo 1 - Tomar algum elemento não nulo em A = {aij}, o qual será denotado apq;

passo 2 - Obter a matriz resultante do produto vetorial u1 v1’, com:

u1 =

nq

q2

q1

pqa1

a

a

a

e v1’ = pm2p1p aaa .

passo 3 - Fazer A1 = A - u1v1’

passo 4 - Se A1 = (matriz nula), então r=1 e o processo está encerrado; logo: B=u1 e C=v1’

B C = A .

Se A1 , um novo ciclo deve ser iniciado a partir da matriz A1 e assim sucessivamente

até a convergência, quando Ar = . Neste ponto, as matrizes B e C são dadas por:

B = ruuu 21 e C =

rv

v

v

2

1

B C = A

No caso presente, o posto da matriz A(3x2) é nitidamente dois (a primeira linha é a soma

das outras duas ou a primeira coluna é a soma das outras duas). Assim, o processo deve

encerrar em dois ciclos:

1o.Ciclo:

1o.passo - Tomemos, por exemplo, apq = a11 = 4 (elemento chamado pivot);

2o.passo - Obter a matriz resultante do produto vetorial u1 v1’, com:

u1 v1’ =

112

112

224

224

2

2

4

1v

1u

41

3o.passo - Fazer A1 = A - u1v1’ (zera as linha e coluna do povot)

A1

110

110

000

112

112

224

202

022

224

4o.passo - Como A1 , então, um novo ciclo deve ser iniciado a partir de A1.

15

2o.Ciclo:

1o.passo - Tomemos agora, por exemplo, apq = a22 = 1 (elemento não nulo);

2o.passo - A matriz resultante do produto vetorial u2 v2’ (de 2o.ciclo) é dada por:

u2 v2’ =

110

110

000

110

1

1

0

2v

2u

11

3o.passo - Fazer A2 = A1 - u2v2’ (zera as linha e coluna do pivot)

A2

000

000

000

110

110

000

110

110

000

4o.passo - Como A2 = (matriz nula), o processo está encerrado com dois ciclos,

comprovando o posto dois de A, assim como das matrizes B e C, as quais são

dadas por:

B =

1

1

01

uu

21

21

21 e C =

110

224

v

v

2

1

De posse das matrizes B e C, tal que BC=A (fatoração de posto completo), pode-se agora

obter a inversa-g de Moore-Penrose da matriz A por:

A+ = C’(CC’)-1 (B’B)

-1 B’

Neste caso, é necessário, primeiramente, obter as inversas regulares de (B’B) e de (CC’),

as quais são matrizes não-singulares, haja vista B e C serem posto coluna e posto linha

completos, respectivamente. Segue-se, então:

(B’B) =

20

0

1

1

01

110

123

21

212

121

(B’B)-1 =

21

32

0

0

(CC’) =

20

024

12

12

04

110

224 (CC’)-1

=

21

241

0

0

Logo:

A+

=

12

12

04

21

241

0

0

21

32

0

0

110

121

21

=

21

121

21

121

61 0

21

21

31

31

32

0

A+ =

541

451

112

18

1

185

92

181

92

185

181

181

181

91

16

Como exercício adicional pode-se verificar se esta matriz atende às quatro condições que

caracterizam a inversa-g de Moore-Penrose.

Exemplo 2:

Considere agora a matriz A(3x2):

A(3x2) =

51

71

32

Como a matriz não é quadrada (retangular), não se aplicam a esta os conceitos de

determinante, singularidade, bem como o conceito clássico de inversa regular.

Entretanto, também neste caso, pode-se ter interesse em inverter esse tipo de matriz.

Neste exemplo, a obtenção da inversa-g de Moore-Penrose é ilustrada a partir do outro

procedimento referido, a decomposição singular (DVS). Assim, dada a DVS da matriz, A =

USV’ , a sua inversa-g A+ é obtida diretamente por: A

+ = V S

-1 U’. Para simplificação do

procedimento, escolheu-se a matriz A(3x2) anterior, que já foi objeto de ilustração da DVS

no Apêndice 1. Disto decorre:

0,3605 0,9204 9,3274 0,0000 0,2169 0,9762

U = 0,7559 -0,3835 ; S = 0,0000 1,4142 ; e V = 0,9762 -0,2169

0,5465 -0,0767

A inversa-g de Moore-Penrose é obtida a partir destas mesmas matrizes, bastando-se

inverter a matriz S, não-singular, cuja inversão é bastante simples; tendo em vista

tratar-se de uma matriz diagonal. Assim:

A+ =

076703835092040

546507559036050

0

0

2169097620

9762021690

414211

327491

,,,

,,,

,,

,,

,

,

A+ =

076703835092040

546507559036050

153393010465820

6902685002325740

,,,

,,,

,,

,,

A+ =

0689655013793101034480

040230247126064367820

,,,

,,,

Verifiquemos, então, se a matriz obtida anteriormente atende às quatro condições

exigidas para a inversa A+:

i) AA+A = A

AA+A =

51

71

32

0689655013793101034480

040230247126064367820

,,,

,,,

51

71

32

AA+A =

AA

304600442530126440

442530718390080460

126440080460977010

,,,

,,,

,,,

51

71

32

=

51

71

32

= A

17

ii) A+A A

+ = A

+

A+AA

+ =

069001379010340

040202471064370

,,,

,,,

51

71

32

069001379010340

040202471064370

,,,

,,,

A+AA

+ =

AA

10

01

069001379010340

040202471064370

,,,

,,,=

069001379010340

040202471064370

,,,

,,, = A+

iii) AA+

= (AA+)’ (AA

+ é simétrica): pode ser verificada no desenvolvimento da primeira

propriedade (i).

iv) A+A = (A

+A)’ (A+

A é simétrica): pode ser verificada no desenvolvimento da segunda

propriedade (ii).

c) INVERSA GENERALIZADA CONDICIONAL

A seguir é ilustrada a obtenção da inversa-g condicional, seguindo-se o Algoritmo de

Searle (1971):

Exemplo 1:

Considere novamente a matriz:

A(3) =

202

022

224

, com r (A) = 2

Dado o posto dois da matriz, pelo algoritmo, tem-se:

i) Toma-se em A qualquer sub-matriz M, não-singular, também de posto r, por exemplo:

M =

20

02

ii) Obtém-se M-1 e, em seguida, a sua transposta (M-1’):

M-1

=

21

21

0

0 = M-1

’

iii) Substitui-se em A os elementos de M pelos correspondentes elementos de M-1’ e zeram-se os demais:

21

21

00

00

000

18

iv) Uma inversa-g condicional (A-) é dada pela transposta da matriz resultante:

A- =

21

21

00

00

000

A verificação de que esta matriz satisfaz à condição desse tipo de inversa-g é muito

simples:

A A-A =

202

022

224

21

21

00

00

000

202

022

224

=

AA

100

010

110

A

202

022

224

=

202

022

224

= A

Exemplo 2:

Considere agora a matriz:

X =

101

101

011

011

, r (X) = 2 (i): M =

10

01 (ii): M-1 = M

-1’ (iii):

000

100

010

000

;

Logo:

X =

0100

0010

0000

, é uma inversa-g condicional de X.

d) INVERSA-G DE QUADRADOS MÍNIMOS

Da definição de desse tipo de inversa-g tem-se: Xl = (X’X)- X’. Considere, então, a seguinte

matriz, para a qual se buscará sua inversa de quadrados mínimos:

X =

101

101

011

011

X’X =

202

022

224

, com (X’X)- =

21

21

00

00

000

(obtida no exemplo 1, letra c)

Logo:

Xl =

21

21

00

00

000

1100

0011

1111

=

21

21

21

21

00

00

0000

.

19

Passemos, então, a verificar se esta matriz satisfaz às duas condições exigidas por esse

tipo de inversa:

i) X Xl X = X

XXlX =

101

101

011

011

21

21

21

21

00

00

0000

101

101

011

011

=

lXX

21

21

21

21

21

21

21

21

00

00

00

00

X

101

101

011

011

=

101

101

011

011

= X

ii) XXl = (XX

l )’; isto é, XXl é uma forma simétrica; o que se pode verificar do resultado

parcial anterior.