introduÇÃo a algoritmos numÉricos prof. renata s.s. guizzardi 2009/02

INTRODUÇÃO A ALGORITMOS NUMÉRICOSProf. Renata S.S. Guizzardi

2009/02

AGENDA Introdução Detalhes da Disciplina:

Ementa Métodos de Avaliação Outros Detalhes

INTRODUÇÃO

O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS? São programas de computador capazes de

solucionar problemas matemáticos, fornecendo resultado numérico aproximado.

Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida em um grau crescente de exatidão.

1) Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.

Ex.: solução de sistemas de equações lineares.

5

POR QUE UTILIZAR? (1/2)

2) O problema não tem solução analítica.

Exemplos:

a) não representável por funções elementares;

b) não pode ser resolvido analiticamente;

6

dxex2

22 tyy

POR QUE UTILIZAR? (2/2)

FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA

Solucionar problemas técnicos através

de métodos numéricos, usando um

modelo matemático

7

Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag. 117):

No nó 1, pela lei de Kirchhoff:

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2)

1

2

3

4

0432216

02

14

2

13

1

12

1

10

VVVV

VVVVVVV

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (2/2)

O problema é resolvido a partir de um sistema linear de quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.

0

254

0

0

4

3

2

1

3201

61323

0143

1126

V

V

V

V

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Problema Real

Levantar Dados

Construir Modelo

Matemático

Escolher Método

Numérico

Implementar Método

Computacionalmente

Solução Numérica

AnalisarResultados

EventualmenteRever

NO EXEMPLO ANTERIOR Problema real: determinar tensões nos nós dos

circuitos. Levantamento de dados: valores das resistências e

tensões nos pontos A e B. Construir modelo matemático: montar equações e

criar as matrizes a partir delas. Escolher método numérico: Decomposição LU,

Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de Jacobi etc.

Implementar Método Computacionalmente: criar e processar programa.

Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o método numérico precisam ser alterados.

TIPOS DE ERROS (1/6)

Erro na Modelagem Devido à expressão matemática que não reflete

perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão.

Erro Grosseiro Devido a erro na elaboração ou implementação

do algoritmo ou a erro de digitação.

TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO

Erro de Truncamento: Devido à aproximação de uma fórmula.

expansão da função exponencial

em séries de potência

Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

TIPOS DE ERROS (3/6) - ARREDONDAMENTO

Erro de Arredondamento: Devido à forma de representação de números no

computador. Conversão de base (decimal→binário)

Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários).

Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 = 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).

Exercícios


ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: 5 = 0.5 x 101

0,007 = 0.7 x 10-2

35,42 = 0,3542 x 102

Representação no computador



Suponha uma mantissa de tamanho 2: Represente 35,42 Some 4,32 e 0,064 Subtraia 372 e 371 Multiplique 1234 por 0,016



Formato IEEE de ponto flutuante

Aritmética de ponto flutuante A perda de precisao quando dois numeros

aproximadamente iguais são subtraidos eh a maior fonte de erro nas operacoes de ponto flutuante.

Dar exercicio Levar exemplos no papel, inclusive para

explicar conversão na aula.

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3)

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

19

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits)

Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)

20

Erro de trajetória 36,7 sapós o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Prejuízo: U$ 7,5 bilhões



Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima

(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner)

Rompimento de uma das Células que compunham a

parede

Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito

Prejuízo: U$ 700 milhões

ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO

Duas formas de medir o erro.

Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.

Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real

Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios anteriores.

OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES Complexidade computacional

Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema.

Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas.

Convergência Propriedade de gerar solução exata. Ordem de Convergência: rapidez com que a

sequência gerada por dado método converge para a solução exata.

DETALHES DA DISCIPLINA

EMENTA

1. Introdução2. Sistemas Lineares3. Interpolação Polinomial4. Ajuste de Curvas5. Integração Numérica6. Raízes de Equações7. Equações Diferenciais Ordinárias

AVALIAÇÃO

Duas provas parciais 1ª prova: 13/10 (4 primeiros itens da ementa) 2ª prova: 26/11 (3 últimos itens da ementa)

Um trabalho computacional Entrega: primeira semana de novembro

Duas listas de exercício Entrega: uma aula antes das provas.

Cálculo da Média: (0,6 x Médias das provas) + (0,3 x Trabalho

Computacional) + (0,1 x Entrega das listas de exercício completas)

LIVRO TEXTO

Frederico Ferreira CamposFilho. Algoritmos

Numéricos, 2 ed., Rio de Janeiro: LTC.2007. 428 p.

HORÁRIO DE ATENDIMENTO

Horário de Atendimento 3ªs – 15:00 às 18:00

PÁGINA DO CURSO

http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/eletrica.htm

introduÇÃo a algoritmos numÉricos prof. renata s.s. guizzardi 2009/02

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