erros em alg. numÉricos e suas consequÊncias prof. renata s.s. guizzardi dpto. de informática...
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ERROS EM ALG. NUMÉRICOSE SUAS CONSEQUÊNCIASProf. Renata S.S. Guizzardi
Dpto. de Informática (CT/DI)
2010/01
AGENDA
Tipos de Erros Erro de Modelagem Erro Grosseiro Erro de Truncamento Erro de Arredondamento
Possíveis Consequências Erro absoluto e Relativo Outros Conceitos Relevantes
TIPOS DE ERROS (1/6)
Erro na Modelagem Devido à expressão matemática que não reflete
perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão.
Erro Grosseiro Devido a erro na elaboração ou implementação
do algoritmo ou a erro de digitação.
TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO
Erro de Truncamento: Devido à aproximação de uma fórmula.
expansão da função exponencial
em séries de potência
Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.
TIPOS DE ERROS (3/6) - ARREDONDAMENTO
Erro de Arredondamento: Devido à forma de representação de números no
computador. Conversão de base (decimal→binário)
Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários).
Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 = 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).
Exercícios
TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: 5 = 0.5 x 101
0,007 = 0.7 x 10-2
35,42 = 0,3542 x 102
Representação no computador
TIPOS DE ERROS (5/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Suponha uma mantissa de tamanho 2: Represente 35,42 Some 4,32 e 0,064 Subtraia 372 e 371 Multiplique 1234 por 0,016
TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Formato IEEE de ponto flutuante
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3)
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
9
Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento
Limitação na representação numérica (24 bits)
Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
10
Erro de trajetória 36,7 sapós o lançamento
Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (2/3)
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (3/3)
Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima
(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner)
Rompimento de uma das Células que compunham a
parede
Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito
Prejuízo: U$ 700 milhões
ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO
Duas formas de medir o erro.
Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.
Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real
Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios anteriores.
OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES Complexidade computacional
Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema.
Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas.
Convergência Propriedade de gerar solução exata. Ordem de Convergência: rapidez com que a
sequência gerada por dado método converge para a solução exata.
PÁGINA DO CURSO
http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/civil20101.htm
http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/mecanica20101.htm