interbits ®superpro web gabarito - prevest.com.br · 1234 p. portanto, sendo 972 um número par de...

Interbits – SuperPro ® Web

Página 1 de 79

Gabarito:

Resposta da questão 1: [B] Do enunciado, temos:

Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro.

O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após a escolha do goleiro é dado por:

12,3

12,3

12,3

12,3

12!C

3! 12 3 !

12!C

3! 9!

12 11 10 9!C

3 2 1 9!

C 220

Assim, o total de maneiras de escolher os quatro jogadores, pelo princípio fundamental da contagem é:

3 220 660 Resposta da questão 2: [D] Calculando: _ _ _

6 6 3 nº ímpar; final 3, 5 ou 7

total 6 6 3 108 possibilidades

Resposta da questão 3: [D] Do enunciado, antes da mudança, temos:

"A" indica um algarismo qualquer.

Observe que há 5 possibilidades para se colocar a letra minúscula.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, 4N 5 26 10

Analogamente,

5M 6 26 10

Daí,

5

5

4

M 6 26 10

M 6 26 10

N 5 26 10

M12

N

M 12 N

Resposta da questão 4: [C]


Página 2 de 79

Como cada tarefa pode ser distribuída de três modos distintos, podemos concluir, pelo

Princípio Multiplicativo, que o resultado é 3 3 3 3 3 3 729. Resposta da questão 5: [C] Sabemos, pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, que em pelo menos um mês há

25 11 3

12

aniversariantes.

Resposta da questão 6: [B]

Basta obter a combinação de 8 dois a dois. Logo temos:

8,28! 8 7 6!

C 282!(8 2)! 2!6!

Resposta da questão 7: [E]

De 1 até 12, temos 10 números consecutivos, pois o primeiro deles não pode ser o 11 e nem

o 12.

Total de grupos formados por 3 pessoas:

12,312!

C 2203! 9!

Portanto, o número máximo de grupos que se pode formar de modo que os crachás nãos sejam identificados por três números consecutivos será:

220 10 210.

Resposta da questão 8: [E] Calculando:

5,2

4,2

1) 2 pontos em r,1 ponto em s :

5!C 10

2! (5 2)!

T 10 4 40

2) 1 ponto em r, 2 pontos em s :

4!C 6

2! (4 2)!

T 6 5 30

Total 40 30 70 triângulos



Página 3 de 79

Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número de apertos de mãos seria igual a

2n.

2

Mas, como apenas adversários se cumprimentam, devemos descontar desse total o

número de apertos de mãos trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n. Portanto, segue que o resultado é tal que

2

2n (2n)!n 180 n 180

2 2!(2n 2)!

n n 90 0

n 10.


Basta determinar o número de combinações simples de 10 elementos tomados dois a dois.

10,210!

C 452! 8!

Resposta da questão 11: [C] Uma pilha pode ter blocos de duas ou três cores distintas. Para as pilhas de blocos de duas

cores existem 2 escolhas para a cor repetida e 3 para a segunda cor. Definidos os blocos, é

possível dispô-los de (2)3

3!P 3

2! maneiras. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que

existem 2 3 3 18 pilhas com blocos de duas cores.

Ademais, para as pilhas de blocos de três cores distintas, sabemos que existem 4 modos de

escolher a primeira cor, 3 modos de escolher a segunda cor e 2 modos de escolher a última

cor. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que há 4 3 2 24 pilhas possíveis.

Finalmente, pelo Princípio Aditivo, podemos concluir que o resultado é 18 24 42. Resposta da questão 12: [B] Como a palavra DIREITO possui sete letras com a letra I repetida duas vezes, basta aplicar a fórmula da permutação com repetições. Logo:

7! 5040total 2520

2! 2 anagramas.

Resposta da questão 13: [D]

Considerando que estes quadro dígitos săo distintos, o número de possibilidades para a ordem desses

quatro dígitos é:

4! 4 3 2 1 24


Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos:


Página 4 de 79

5P 5! 120

Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8,

temos:

8 7 6 336.

Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas restrições são:

P 120 336 40.320

Resposta da questão 15: [A]

Existem 8P 8! maneiras de acomodar os adultos e 8 maneiras de escolher o colo em que

sentará o bebê. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 8 8!. Resposta da questão 16: [E]

Podemos formar 4, 3A 24 números de três algarismos com os dígitos disponíveis. Ademais,

como temos quatro dígitos, segue que cada um figura 24

64

vezes em cada ordem e,

portanto, tem-se que a resposta é

6 (1 2 3 4) 10 6 (1 2 3 4) 100 6 (1 2 3 4) 6660.

Resposta da questão 17: [D] Calculando:

3

3 7

1semana 7 dias 7 24 horas 7 24 60 minutos 10.080 minutos

4,8 toneladas 4,8 10 kg

Por semana 4,8 10 10.080 4,8 10 kg


Sendo 3 325 m 25000dm 25000 L, podemos concluir que o consumo diário por pessoa foi

de 25000

167 L,5 30

ou seja, no limite do bom senso.


3 16 3

3

96 km 9,6 10 cm

0,92 g 0,92 10 kg

Massa de 396 km de gelo em quilogramas:

16 3 139,6 10 0,92 10 8,832 10 kg



Página 5 de 79

Portanto, (10) (2)99 1100011 .

Resposta da questão 21: [B] Temos que somar o tempo de aquecimento do forno mais o produto do tempo de cada quilo com o total de quilos do peru, logo:

12 (3,5 22) 89 minutos.

Resposta da questão 22: [A] Para obter o número total de barreiras, basta dividir o tamanho total do percurso pelo espaço que cada barreira está uma da outra, ou seja,

1000 25 40.

Porém, como a última barreira está a 25 metros da linha de chegada, deve-se subtrair uma

barreira, logo:

40 1 39 barreiras. Resposta da questão 23: [E] Obtendo o valor gasto nas camisetas temos:

4 15,50 62 reais.

Sabendo que ela pagou com 4 notas de R$ 20,00, temos que ela tinha 80 reais. Logo,

80 62 18 reais. Resposta da questão 24: [C] Como foram dois meses no primeiro emprego e um no segundo, temos:

2 (1232,66) 2521,57 4986,89


Sabendo que uma hora corresponde a 60 minutos temos:

(7 60) 13 22 455 minutos.


Página 6 de 79

Note que para as 22h faltam treze minutos, das 22h as 05h são sete horas e mais vinte e

dois minutos. Resposta da questão 26: [B] Para obter após quanto tempo os dois amigos se encontram na linha de chegada, basta obter o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dos dois tempos. Ou seja:

28 24 2

14,12 2

7, 6 2MMC(28, 24) 2 2 2 3 7 1 168

7, 3 3

7,1 7

1,1 1

Dividindo 168 segundos por 60 para obter o tempo em minutos temos:

1682,8 2 min

60 e 48 segundos.


Desde que R 16 Q e N 13Q R, temos

N 13Q 16 Q N 12Q 16.

Ademais, se N 2 13(Q 1), então

12Q 16 2 13Q 13 Q 5.

Portanto, vem R 11 e N 76.

Escrevendo 276 2 19, podemos concluir que os divisores primos de N são 2 e 19.

Resposta da questão 28: [C] Fatorando-se o produto das idades, tem-se:

37037 7

5291 11

481 13

37 37

1

Logo, a idade da mãe será 37 anos e das filhas 7,11 e 13 anos. A diferença de idade entre a

filha mais velha e a mais nova será de 6 anos.


Sejam x e y, respectivamente, o número de dúzias compradas de canetas do tipo A e o

número de dúzias compradas de canetas do tipo B. Tem-se que

20x 15y 1020 4x 3y 204.


Página 7 de 79

Ademais, sendo 777 36 21 21, podemos concluir que ele ganhou 21 canetas e, portanto,

comprou 3 21 63 dúzias de canetas. Em consequência, vem

4 (63 y) 3y 204 y 48.

Resposta da questão 30: [B] Transformando os tempos dados para minutos e calculando-se o mínimo múltiplo comum entre eles, tem-se:

45 s 0,75 min

60 s 1min MMC 0,75; 1; 0,45 9

27 s 0,45min

Assim, a cada 9 minutos as lâmpadas vermelhas estarão acesas (pois todas as outras estarão

acesas ao mesmo tempo). Lembrando que para encontrar o MMC deve-se fatorar os números (dividir sucessivamente por números primos em ordem crescente). Ou seja:

0,75 1 0,45 2

0,75 0,50 0,45 2

0,75 0,25 0,45 3

0,25 0,25 0,15 3900

0,25 0,25 0,05 5 2 2 3 3 5 5 900 9100

0,05 0,05 0,01 5

0,01 0,01 0,01

Resposta da questão 31: [B] Utilizando o diagrama de Venn temos:

Subtraindo o total de cada matéria pelas intersecções temos:


Página 8 de 79

Logo, somando todos os valores e subtraindo 500 temos:

500 428 72

Resposta da questão 32: [B] Tome reforma nas salas de aula como x e reformas na biblioteca como y.

Sabendo que 350 pessoas sugerem reformas nas salas de aula e na biblioteca, ou seja, a

intersecção entre x e y.

Logo, pode-se aplicar o Diagrama de Venn para tal situação da seguinte maneira:

Como 350 representa a intersecção entre reformas nas salas de aula e na biblioteca, basta

achar a diferença da parte das duas partes com a parte em comum. Desta forma:

538 350 188 e 582 350 232

Transcrevendo para o Diagrama de Venn, temos:

Para obter a quantidade de pessoas entrevistadas basta somar todos os valores. Note que a

amostra possui 110 pessoas que opinaram reformas em outras instalações. Somando todos

os valores:

188 350 232 110 880 pessoas.


Página 9 de 79

Resposta da questão 33: [B] O tempo em que as três emissoras apresentam a programação simultaneamente é dado por (13 h 20min 11h 40min) (16 h 40min 14 h 50min) 1h 40min 1h 50min

3 h 30min.


Como 550 B e c550 C , temos 550 R. Ademais, 1234 A implica em 1234 P. Portanto,

sendo 972 um número par de três algarismos, 1234 um número de quatro algarismos que não

possui nenhum dígito 5 e 500 um número que apresenta um único algarismo 5, segue o

resultado. Resposta da questão 35: [C] [I] Incorreta. É maior. Note que o ano de 2007 está muito mais acima da linha de referência que

o ano de 2009.

[II] Correta. Note que o ano de 2007 está acima da linha de 9,0 e o ano de 2015 está abaixo.

[III] Correta. Note que o ano de 2009 está acima da linha de 9,0 e o ano de 2011 está abaixo.


Sabendo que 2x 0 e 2y 0 para quaisquer x e y inteiros, podemos concluir que

2 2x y 3 se, e somente se, 2 2(x , y ) {(0, 3), (3, 0), (1, 2), (2,1)}. Porém, os inteiros 2 e 3

não são quadrados de nenhum inteiro e, assim, a equação 2 2x y 3 não possui solução

com x e y inteiros.


O resultado pedido é 240 3 180 2 R$1.080,00.

Resposta da questão 38: [C] Considere os diagramas.

A região hachurada pode ser representada por (B C) (A D).

Resposta da questão 39:


Página 10 de 79

[A]

Como {1, 6} não está contido em X e está contido em X Y {1, 2, 3, 4, 5, 6}, concluímos que

{1, 6} Y.


22

1 3 5 3 5 3 5 3 1w 5

4 4 43 5 3 5 3 5

3 1 2 1a b

4 4 4 2

Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Calculando:

2

300 livros 300x livros / prateleira x

N prateleiras N

300 300 300 60 60x 5 5 1

N 3 N 3 N N 3 N

N 15N 3N 180 0

N 12 (não convém)

N 15 múltiplo de 3

Resposta da questão 2: [C] Considerando que o valor que caberia a mãe seria x, podemos escrever que:

Valor que caberia a cada menino: 2x

Valor que caberia a cada menina: 3x

Podemos, então, escrever a seguinte equação:

x 2x 2x 3x 180 x 10

Portanto, a mãe recebeu 10 milhões, cada menino recebeu 20 milhões e a menina recebeu

30 milhões. Resposta da questão 3: [B] Horas que passaram: x

Horas que faltam passar: 24 x De acordo com o enunciado, podemos escrever que:

x (24 x) 3 horas 16 minutos.

2x 27 horas 16 minutos

x 13 horas 30 minutos 8 minutos

Portanto, o horário em que o aluno fez a pergunta foi 13h 38min.


Página 11 de 79

Resposta da questão 4: [A] Seja x a quantia que a senhora dispunha ao sair de casa. Logo, sabendo que a quantia que

restou após as despesas é igual a R$ 88,00, temos

4 x10 88 x R$ 240,00.

5 2

Portanto, como o livro custava 1 240

10 R$ 22,00,5 2

se ela tivesse ido apenas à livraria e

comprado o mesmo livro, ter-lhe-ia restado 240 22 R$ 218,00.

Resposta da questão 5: [D] Sejam a e , respectivamente, a massa de um cubo azul e a massa de um cubo laranja.

Assim, temos

2a 2 a 2 3

a 3 2 4 6 2

a 0,2 kg.

1,6 kg

Portanto, a resposta é a 1,4 kg.


Obtendo as raízes de 2x 10x 21 0, através da Fórmula de Bhaskara, temos:

2

2

b 4 a c

( 10) 4 1 21 16

b ( 10) 16x

2 a 2 1

x ' 310 4x

x '' 72

Δ

Δ

Δ

Logo, como a área do outdoor out(A ) é dada pelo produto de seus lados, temos:

2out out(A ) x ' x '' (A ) 3 7 21m .

Resposta da questão 7: [A] Sendo x o número de convites de recebeu cada funcionário de planejamento, podemos escrever que:

Número de funcionários do atendimento será dado por: 90

x 4

Número de funcionários do atendimento será dado por: 90

x


Página 12 de 79

Podemos então escrever que:

2

2

2

90 9060 30

x 4 x

3 32

x 4 x

3 x 3 (x 4) 2 x (x 4)

3x 3x 12 2x 8x

2x 2x 12 0 2

x x 6 0

1 25x

2 1

x 2 ou x = -3

Portanto, cada funcionário do planejamento recebeu dois convites e cada funcionário do

atendimento recebeu 6 convites.

[A] Verdadeira, pois 4 2 6.

[B] Falsa, pois x 2.

[C] Falsa, pois 90

15.2 4

[D] Falsa, pois 90

45.2

Resposta da questão 8: [E] Primeiramente deve-se obter as dimensões do cercado através das raízes da equação

2x 45x 500 0 :

2 2b b 4 a c 45 45 4 1 500x

2 a 2 1

45 2025 2000 45 5x

2 2

25x

20

Sabendo as dimensões do cercado, basta obter o perímetro (2p) do retângulo de dimensões

20 25, logo:

(2p) 20 25 20 25

(2p) 90 m

Como Pedro irá utilizar cinco voltas de arame, basta multiplicar o perímetro por cinco para se

obter a quantidade de arame: 90 5 450 m.

Resposta da questão 9: [A] Como a distância entre quaisquer dois pontos consecutivos é a mesma, podemos subtrair os pontos da seguinte maneira:

2 2

2

(3x 2x) (x 3x) x x 3x

x 0x 4x 0 x(x 4) 0

x 4


Página 13 de 79

Como a distancia é necessariamente maior que zero temos: x 4 metros. Resposta da questão 10: [B] Total de professores: x

Número de professores de Matemática: M 20% de x 0,2x

Demais professores: 28

Portanto, a equação será:

x28x2,0

Resolvendo a equação, temos:

35x28x8,028x2,0x

Logo, o número de professores de Matemática será dado por:

7352,0M

Resposta: E 0,2x 28 x e M 7 professores.

Resposta da questão 11: [E] Tem-se que

0 17 2 1 0 0

M I 2 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

17 2

2 0 .

1 0

λ λ

λ

λ

λ

Logo, vem

17 2

det(M I) 0 2 0 0

1 0

( 6)( 6) 0

6 ou 0 ou 6.

λ

λ λ

λ

λ λ λ

λ λ λ

A resposta é, portanto, 6.λ Resposta da questão 12: [A] Calculando:

3 24 26 28 30 32 4 33 35 2 36Média 30,5

3 1 1 1 1 4 1 2

Já a mediana será a média entre o sétimo e o oitavo termo, ou seja:

32 33Mediana 32,5

2


Página 14 de 79

E a moda será o termo que mais aparece, ou seja, 33 anos. Portanto, a alternativa correta é a [A]. Resposta da questão 13: [E] A resposta é dada por:

159162360 250 .

25007 159162 45255

Resposta da questão 14: [B] De acordo com o gráfico, podemos escrever que:

(M H) 0,37 0,32 M 0,42 H

0,37 M 0,37 H 0,32 M 0,42 H

0,37 M 0,32 M 0,42 H 0,37 H

0,05 M 0,05 H

M H


[A] Falsa, pois 10

240 24.100

[B] Falsa, pois 30

240 72.100

[C] Falsa, pois 15

240 36.100

[D] Verdadeira, pois 45

240 108.100

Resposta da questão 16: [C] Ordenando as alturas, encontramos:

2,05; 2,06; 2,07; 2,07; 2,08; 2,08; 2,10; 2,10; 2,11; 2,11.

A resposta é

2,08 2,08

2,08.2


[A] Falsa, pois 600(1 100%) 1.200 (maior que 1.000)

[B] Falsa, pois 600(1 600%) 4.200 ( maior que 4.000)

[C] Falsa, pois 4000(1 66,6%) 6.664 (maior que 6.000)

[D] Verdadeira, pois 600(1 900%) 6.000

[E] Falsa, pois 600(1 1000%) 6.600



Página 15 de 79

[A] Falsa, pois 15% de 40 6.

[B] Falsa, pois (15 25)% de 40 16.

[C] Falsa, pois 40 6 34 (alunos que não precisam de recuperação).

[D] Verdadeira, (35 25)% de 40 24.

Resposta da questão 19: [C] Colocando inicialmente os dados em ordem crescente, temos:

8%,11%,12%,13%,13%,13%,15%,15%, 83%, 86%.

Calculando a mediana, obtemos:

e13% 13%

M 13%2

A moda oM é a porcentagem que aparece com maior frequência, portanto oM 13%.

Logo, a opção correta é a da letra [C]. Resposta da questão 20: [D] Seja n o número retirado. Logo, desde que a soma dos elementos do conjunto

{11,12,17,18, 23, 29, 30} é igual a 140, temos

140 n18,5 n 29.

6

Em consequência, o novo conjunto é {11,12,17,18, 23, 30}.

A resposta é igual a 17 18

17,5.2

Resposta da questão 21: [A] A perda de peso média do grupo 1 é dada por

2 3 4 4 5 6 8 10 425,25.

8 8

Ordenando as perdas de peso do grupo 3, obtemos: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6. Daí, segue que a perda

de peso mediana deste grupo é 4 5

4,5.2

É imediato que a perda de peso modal do grupo 2 é igual a 2. Resposta da questão 22: [B]

11,12,12,18,19, 20, 21, 30, 41, 46

11 12 12 18

Rol :

Média 2310

19 20Mediana 19,5

2

Mod

19 20 21 3

a :

0 41 46

12


Página 16 de 79


i i

ia

r

6 f 16 f 10

f 16 3 19

f 100 10 40 15 5 30

Portanto,

i ia rf 8; f 19; f 30


Média de gols por jogo do jogador A: Ag

Mp

Média de gols por jogo do jogador B: 3

Bp

Mg

Como as médias dos dois jogadores são iguais, temos:

34 2 24g p

p g p g p gp g

Como p 1, temos:

p g

Resposta da questão 25: [A] Considerando a tabela dos percentuais (valores relativos), a alternativa correta é a [A].

Órgãos Transplantes realizados Pessoas na fila de espera

Rim 33% 75%

Fígado 9% 15%

Pulmão 3% 6%

Coração 1% 1%

Rim/ pâncreas 1% 1%

Córnea 53% 2%

Total 100% 100%

Resposta da questão 26: [B] A mediana é o valor que divide um conjunto de valores ordenados em partes iguais. Assim,

ordenando os pontos da Itália, tem-se que a mediana é igual a 20.

16 16 20 26 27 mediana 20

Resposta da questão 27: [D] A maior vantagem relativa corresponde à maior diferença entre a nota do produto proposto e as

notas dos produtos A e B, de tal sorte que a nota do produto proposto seja maior do que as

notas alcançadas por A e B. Desse modo, é fácil ver que a característica a ser escolhida é o sabor.


Página 17 de 79

Resposta da questão 28: [E] Escrevendo as pontuações em ordem crescente, vem:

10,10,10,15,15, 22, 23 e 23.

Portanto, segue que a média é

3 10 2 15 22 2 2316,

8

a moda é 10 e a mediana é 15. Resposta da questão 29: [D]

Se a mediana é 24, então

22 a24 a 26.

2

Logo, sabendo que a média também é igual a 24, temos

14 17 22 26 b 3724 b 28.

6

Considere a tabela.

ix 2i(x x)

14 100 17 49 22 4 26 4 28 16 37 169

62

i

i 1

(x x) 342

A resposta é

62

i

i 1

(x x)342

S 57.n 6


Considerando um grupo de 20 alunos, temos a seguinte distribuição de frequências.

Nota Número de

alunos

5 4

6 9

7,5 4

10 3


Página 18 de 79

A mediana dos dados será dada pela média aritmética dos dois termos centrais.

d6 6

M 62

Calculando, agora, a média aritmética, temos:

4 5 9 6 4 7,5 3 10x 6,7

20

Portanto, a diferença entre a média e a mediana será dada por: dx M 6,7 6 0,7.

Gabarito:


Vamos determinar t de modo que N(t) seja 678, resolvendo a equação abaixo:

t t

2t t

t

t t

t

9 2 3 3 678

3 2 3 675 0

( 2) 27043

2 1

3 27 3 3

ou

3 25 (não convém)

Resposta: t 3 horas.


Seja k o índice de visitas ao site S. Desse modo, temos k 6 k 0,5 6 k 6,54 2 4 4 4 4 4 4 .

A resposta é k 6,5.

Resposta da questão 3: [D] Calculando o número inicial de bactérias, temos:

1,5 0N(0) 20 2 20

Vamos determinar o valor de t em horas de modo que o número de bactérias seja 40. 1,5 t

1,5 t

40 20 2 .

2 2

1,5 t 1

1 2t h

1,5 3

2 2 60minh 40 min

3 3


Página 19 de 79


Para obter o valor do empréstimo deve-se calcular quanto 30% representa de R$1.368,00.

Ou seja:

1368 0,3 410,40 reais

Sabendo o valor do empréstimo, basta aplicar a fórmula de juros compostos:

tM C (1 i)

Onde M representa o montante final, C representa o capital inicial, i representa a taxa de

juros, t representa o tempo de aplicação. Sabendo que o valor do empréstimo representa

capital inicial, temos: t

2

2 2

M C (1 i)

M (410,4) (1 2%)

M (410,4) (1 0,02) (410,4) (1,02)

M 426,98 reais

Resposta da questão 5: [A] Nesse caso é preciso escrever a quantidade de “meia horas” contido em N horas. Cada hora

possui 2 metades, logo teremos 2N “meia horas” em N horas. Dessas, a primeira custa

15 reais e a demais 10 reais. Assim, pode-se escrever:

f(N) 15 (2N 1) 10

f(N) 20N 5

Resposta da questão 6: [E] Seja x quantia de dinheiro com que ele saiu de casa, temos:

x 20x 20 10

2x 20x 20 10 10 50

2 2

2x 40 x 20 20

(x 20) 2 2 2(x 20) 10 10 50

2 2

2x 40 x 20 20

(x 20) 2(x 20) 10 10 50

2 2

4x 80 (2x 40) 40 x 40 200

4 4 4 4 4 4

4x 80 2x 40 40 x 40 200

4x

2x x 80 40 40 40 200

x 40 200

x 240

Segue o passo a passo dos gastos:


Página 20 de 79

i) 240 20 260

260ii) 260 130

2

iii) 130 10 120

120iv) 120 60

2

v) 60 10 50

Resposta da questão 7: [A] Basta substituir o valo procurado na equação. Primeiramente note o valor de 2015

t 0Q(t) 3,2 (1,2) Q(0) 3,2 (1,2) Q(0) 3,2

Aplicando o valor procurado:

t t t1,2Q(t) 3,2 (1,2) 6,64 3,2 (1,2) 2,075 (1,2) log (2,075) t

Aplicando todos os valores de t possíveis para as alternativas temos: 1

2

3

4

t 1 (1,2) 1,2

t 2 (1,2) 1,44

t 3 (1,2) 1,728

t 4 (1,2) 2,0736

Logo, como t 0 corresponde ao ano de 2015 o ano correto seria de 2019. Resposta da questão 8: [A]

Considerando 10B(t) 6,4 10 , temos a seguinte equação:

1010 9 3t 3t 3t 3t 3

9

6,4 106,4 10 10 4 4 4 64 4 4 3t 3 t 1h.

10


4 10aP a a

6 6

3 15aQ 2a a

6 6

10a 15a 25aP Q P Q

6 6 6


De acordo com os dados do enunciado, sendo V a vazão de cada torneira e C a capacidade

total do reservatório, pode-se escrever:

1 1

2 2

CV 15 C V

15

CV 10 C V

10


Página 21 de 79

Durante 2 horas, a quantidade de água eliminada por ambas as torneiras seria igual a:

1 22C 2C 4C 6C 1

2V 2V C15 10 30 3


A produção P das duas máquinas juntas será (considerando o tempo em minutos):

nP

160

A produção de n 2 peças da máquina A funcionando sozinha será:

A A

nn 1 n2P P

120 2 120 240

A produção de n 2 peças da máquina B funcionando sozinha durante o tempo t será:

B B

nn 1 n2P P

t 2 t 2t

Se a velocidade de produção é constante, então pode-se escrever:

A Bn

P P160

n n n n n (t 120) 1 t 12080t 19200 t 240 minutos

160 240 2t 160 240t 160 240t

Resposta da questão 12: [B] Sendo x o tempo que ele levou para ler cada página, em minutos, pode-se escrever:

3,75 60x x 1,5 minuto

150

Resposta da questão 13: [D] [I] VERDADEIRA. Transformando todas as unidades para metros, calculando o volume de cada um dos recipientes e quantas vezes cada um teria que ser usado para encher a caixa, tem-se:

3 3 3A

3 3 3B

3 3 3C

Recipiente A V 0,4 0,4 0,4 0,064 m 6,4 m 0,064 m 100 vezes

Recipiente B V 0,2 0,4 0,8 0,064 m 6,4 m 0,064 m 100 vezes

Recipiente C V 0,8 0,8 0,1 0,064 m 6,4 m 0,064 m 100 vezes

[II] FALSA. Como a capacidade de todos os recipientes é a mesma, então os recipientes serão

usados 16 33 50 99 vezes. É necessário usar qualquer um dos recipientes 100 vezes

para encher a caixa. [III] FALSA. Como a capacidade de todos os recipientes é a mesma, pode-se escrever:

A B C recipiente

3 3A B C recipiente

V V V V

20V 20V 20V 60 V 60 0,064 3,84 m 3,2 m (metade da caixa)

Portanto, após usar 20 vezes cada um dos recipientes, teremos mais da metade da caixa cheia.


Página 22 de 79

Resposta da questão 14: [D] Considerando como x o número de pacientes atendidos por Antonieta, pode-se escrever, com base nos dados do enunciado:

x 25 12 x 5 2 x 108x 10 (18 x)

18 x 40 6 18 x 8 1 18 x 8

8x 180 10x 18x 180 0 x 10 0 x 10

Assim, se Antonieta atendeu 10 pacientes, Bernadete atendeu 8 pacientes. Logo, Antonieta atendeu 2 pacientes a mais do que Bernardete. Resposta da questão 15: [A] Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se:

2

2 2

2

900 90015 900x 900 15x x 3 900x 900x 2700 15x 45x

x 3 x

15x 45x 2700 0 x 3x 180 0

3 4 1 180 729

x 153 729 3 27x

x 122 2

Como X representa um número de setores, ele deve ser um número inteiro e positivo. Logo,

descarta-se a solução negativa. Assim, X é um número menor do que 20. Resposta da questão 16: [C]

máx máx

2máx máx

b 8x x 2

2a 2 2

h 2 2 8 2 h 8 m


2retângulo

máx máx máx

2retângulo

y 2x 60 y 60 2x

S x y x 60 2x 60x 2x

60x x 15 y 30

2 2

S 15 30 450 m


Seja 2L ax bx c, com L sendo o lucro obtido com a venda de x unidades. É fácil ver que

c 0. Ademais, como a parábola passa pelos pontos (10,1200) e (20,1200), temos

100a 10b 1200 a 6

400a 20b 1200 b 180


Página 23 de 79

Portanto, segue que

2 2L 6x 180x 1350 6(x 15) .

O lucro máximo ocorre para x 15 e é igual a R$1.350,00.


Para obter a altura máxima basta obter o valor do vértice vy da função h(t). Logo,

v v

2

2

bV x ; y ;

2a 4a

b 4 a c

8 4 ( 2) (0)

64

8 64V ; (2; 8)

2 ( 2) 4 ( 2)

Δ

Δ

Δ

Δ

A altura máxima é 8 m.

Resposta da questão 20: [D] Desde que a parábola apresenta concavidade para baixo e intersecta o eixo das abscissas em

dois pontos distintos, temos a 0 e 2b 4ac 0. Resposta da questão 21: [A]

Pelo gráfico, o pássaro começa a cair a partir do ponto (2, 4), que é o vértice da parábola.

Resposta da questão 22: [B] A parte do gráfico que apresenta concavidade para cima denota aumento na taxa de crescimento da altura da água, enquanto que a parte côncava para baixo indica redução na taxa de crescimento da altura da água. Desse modo, podemos concluir que só pode ser o copo da alternativa [B]. Resposta da questão 23: [A]

A cadeira 1 nunca toca o solo, logo a distância d nunca será zero (logo, o gráfico apresentado

na alternativa [B] está incorreto). A distância d aumenta nos primeiros 15 segundos, até a

cadeira 1 atingir a posição 3. Depois, dos 15 aos 45 segundos a distância d diminui (até a

cadeira 1 atingir a posição 7) e então novamente aumenta entre os segundos 45 e 60, até

chegar na posição 1 (recomeçando o ciclo). O único gráfico com estas características é o apresentado na alternativa [A]. Resposta da questão 24: [D]


Página 24 de 79

Para obter o montante obtido ao final de quatro meses basta aplicar t 4 na função tM(t) C (1,1) . Porém, deve-se observar o que o valor do capital inicial (C), segundo o gráfico,

é C 1000, pois é o primeiro valor da curva exponencial. Desta forma, temos:

t

t

4

M(t) C (1,1)

M(t) 1000 (1,1)

M(4) 1000 (1,1)

M(4) 1000 1,4641

M(4) 1464,10 reais

Resposta da questão 25: [D] Aplicando os dados fornecidos temos:

8

pH log[H ]

pH log(2 10 )

Aplicando a propriedade de produto dentro do argumento dos logaritmos:

8pH (log(2) log(10 ))

Aplicando a propriedade dos expoentes:

pH (log(2) 8 log(10))

Sabendo que log2 0,3 e log10 1:

pH (log(2) 8 log(10))

pH (0,3 8 (1))

pH 7,7

Resposta da questão 26: [D] Sendo o retângulo de dimensões x e y, a distância cercada será:

2

máx máx

4y 2 4x 1200 4y 8x 1200 y 2x 300 y 300 2x

A xy 300 2x x 200x 2x

b 300x x 75

2a 4

y 300 2x y 300 2 75 y 150

Resposta da questão 27: [E] Primeiramente deve-se obter as dimensões do cercado através das raízes da equação

2x 45x 500 0 :

2 2b b 4 a c 45 45 4 1 500x

2 a 2 1

45 2025 2000 45 5x

2 2

25x

20


Página 25 de 79

Sabendo as dimensões do cercado, basta obter o perímetro (2p) do retângulo de dimensões

20 25, logo:

(2p) 20 25 20 25

(2p) 90 m

Como Pedro irá utilizar cinco voltas de arame, basta multiplicar o perímetro por cinco para se

obter a quantidade de arame: 90 5 450 m.

Resposta da questão 28: [A] O gráfico do peso em função da altura para um dado IMC será uma parábola (função do segundo grau) com vértice na origem e concavidade voltada para cima (eliminando-se assim as alternativas [D] e [E]). Além disso, pode-se escrever:

2

pI

h e normal18,5 I 24,9

Logo:

2normal normal

normal

I h p

18,5 I 24,9

Mas 1,5 h 1,9

Note que os pontos referentes a 1,90 m de altura não estão incluídos no intervalo especificado.

Calculando:

Para h 1,5 :

2 2 2 2 2normal18,5 h I h 24,9 h 18,5 1,5 p 24,9 1,5 41,625 p 56,025

Para h 1,9 :

2 218,5 1,9 p 24,9 1,9 66,785 p 89,889

Assim, o gráfico que apresenta todos estes pontos é o indicado na alternativa [A]. Resposta da questão 29: [E] Analisando as propriedades da elipse dada versus os usuários cadastrados, tem-se:

- A elipse E passa pelo ponto (1, 0) : apenas e Egbert e Olímpico. Calculando:

Para x 1 e y 0

Bento 2 2 22(x 2) (y 1) sen (7)

2 2 2 22(1 2) (0 1) sen (7) 2 1 sen (7), pois 0 sen 1

Macabéa 2 2(x 1 sen (3)) (y cos (3)) 2

2 2 2 2(1 1 sen (3)) (0 cos (3)) 2 sen 3 cos 7 2


Página 26 de 79

Marius 2

2 (y 3)(x 1) 3 1

3

22 (0 3)

(1 1) 3 1 3 3 13

Egbert 2 232(x 1) (y 2) log (9)

2 232(1 1) (0 2) log (9) 2 2

Olímpico 2 257(x 1) (y 2) 5 cos(0)

2

2 25 57(1 1) (0 2) 5 cos(0) 2 5 1 5 5

2 2

- A elipse E não intercepta o eixo y : apenas Olímpico. Calculando:

Para x 0

Egbert 2 232(x 1) (y 2) log (9)

2 2 2 232(0 1) (y 2) log (9) 2 (y 2) 2 (y 2) 0

y 2 intersepta y!

Olímpico 2 257(x 1) (y 2) 5 cos(0)

2

2 2 25 57(0 1) (y 2) 5 cos(0) (y 2) 2

2 2

2 4(y 2) y

5

não é real, logo não intercepta y!

- A elipse E intercepta o eixo x em apenas um ponto: apenas Olímpico.

Para y 0

Olímpico 2 257(x 1) (y 2) 5 cos(0)

2

2 2 2

2

57(x 1) (0 2) 5 cos(0) 7(x 1) 5 5

2

(x 1) 0 x 1

2 2

2 2 2

2

Para y 0

5Olímpico 7(x 1) (y 2) 5 cos(0)

2

57(x 1) (0 2) 5 cos(0) 7(x 1) 5 5

2

(x 1) 0 x 1

Assim a alternativa correta é a letra [E]. Resposta da questão 30: [C]

É fácil ver que a declividade da reta u é negativa. Ademais, claramente tem-se r t sa a a .

Em consequência, pode-se afirmar que u r t sa a a a .


Página 27 de 79


Desenhando o gráfico (intervalo [35; 55] representado pelo trecho em vermelho):

Para encontrar a equação da reta em vermelho pode-se escrever:

50 5 45m m 3

55 35 15

y 5 3 x 35 y 3x 100

Para x 55, tem-se:

y 3 55 100 y 65%

Para reduzir esse risco à metade, pode-se escrever:

65%y 32,5%

2

32,5 3x 100 x 44,2

55 44,20,2 20% de redução

55



Página 28 de 79

2 2T,O

r s {T}

y 6x 4T 0,4 d 0 4 4

y 4

2 2

S,O

r t {S}

y 6x 4S 1, 2 d 1 2 5

2y 3x 1 0

2 2R,O

s t {R}

y 4R 3,4 d 3 4 5 (raio da circunferência)

2y 3x 1 0

Logo, a inequação que representa o círculo será dada por:

2 2 2x, y) ; x y 25(

Resposta da questão 33: [D] Sabendo que o volume é dado pelo produto entre a área da base e a altura temos:

2V 3 6 54π π

E a área total é a soma da área lateral (retangular) e as áreas da base e superior (áreas de um círculo) temos:

2A (2 3 6) 2 3 54π π π

Dividindo:

541

54

π

π



Página 29 de 79

Para obter o volume da piscina de formato retangular, basta multiplicar as três dimensões, ou seja:

350 25 2 2500 m

Sabendo que 31m 1000 litros, temos:

2500 1000 2500000 litros.

Dividindo por 100 para obter a quantidade de pessoas, temos:

250000025.000

100 pessoas.

Resposta da questão 35: [D] Do enunciado, o número máximo de imagens distintas do botão, que podem ser vistas por João é dado por:

360N 1

60

N 5

Resposta da questão 36: [A] O sólido da figura é um icosaedro. Portanto, só pode ser a alternativa [A]. Resposta da questão 37: [D]

Sejam a, b e c, respectivamente, a medida do lado da primeira, a medida do lado da segunda

e a altura das caixas d’água. Desse modo, vem 2a c 16000 e 2b c 25000 e, portanto,

dividindo ordenadamente essas equações, encontramos

2

2

a c 16000 a 16

25000 b 25b c

a0,8.

b


Medida da aresta do cubo maior: x 4 Medida da aresta do cubo menor: x

Como a diferença entre os volumes é de 3208 cm , podemos escrever que:

3 3

3 2 3

2

2

(x 4) x 208

x 12x 48x 64 x 208

12x 48x 144 0

x 4x 12 0

Resolvendo a equação, temos:

x 6 ou x 2.


Página 30 de 79

Portanto, a aresta do cubo maior será 6 cm.

Considerando a área lateral da figura igual a área lateral do cubo, temos: 2 2

LA 4 6 144 cm .

Resposta da questão 39: [A] De acordo com os dados do enunciado, podemos concluir que:

DB DA 7 e BA BC 5.

Construindo o tetraedro, temos:

Portanto, a soma das arestas será dada por:

3 5 6 7 7 5 33.


Sendo 1m a medida do apótema da base e p a medida do apótema da pirâmide, pelo

Teorema de Pitágoras, segue que 2 2 2p 3 1 p 10 m 320cm.

Portanto, tem-se que o resultado pedido é dado por

2

1200 320

24 320.20

Resposta da questão 41: [D] Do enunciado e da figura, temos:


Página 31 de 79

G é ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD, pois EABCD é uma pirâmide

quadrangular regular.

O comprimento de R é dado por AG GF, pois AG é a projeção perpendicular de AE sobre

ABCD e GF é a projeção perpendicular de EF sobre ABCD.

Note que 1

AG AC2

e 1

GF AD.2

No triângulo ACD,

2 2 2

2 2

2 2

AC 40 40

2AG 2 40

4 AG 2 40

Como AG 0,

2 24 AG 2 40

2AG 40 2

AG 20 2 cm

Como AD 40 cm,

1GF 40

2

GF 20 cm

Assim,

AG GF 20 2 20 cm

AG GF 20 1 2 cm

Resposta da questão 42: [A] Devemos resolver esse problema em duas partes: A parte 1 que será o cálculo da área da base e a parte 2 que será o cálculo do volume da pirâmide. Parte 1: Área da base.


Página 32 de 79

Sendo que a base da pirâmide é um hexágono regular, este hexágono pode ser divido em seis

triângulos equiláteros de lado "a" e sua área (área da base) será a soma das áreas destes

triângulos (ver figura abaixo). Para se obter a área da base, basta calcular a área de um dos triângulos e multiplicá-la por seis.

Sendo assim, analisando apenas um triângulo temos:

Sendo a área do triângulo tb h

A ,2

onde b é base e h é altura do triângulo equilátero, pode-

se obter a altura aplicando-se o teorema de Pitágoras em metade do triângulo:

2 2 2

2 2 2

2

hip cat cat

2 h 1

h 4 1

h 3 m

Assim sendo a área do triângulo será dada por: 2t

b h 2 3A 3 m .

2 2

A área da base da pirâmide será dada por: 2bA 6 3 m .

Parte 2:

Sendo que o volume dado pelo produto da área da base pela altura da pirâmide p(h ) teremos:

b p 3A h 6 3 3

Volume 6 3 m .3 3

Logo, 2Área da base 6 3 m e 3Volume 6 3 m .

Resposta da questão 43: [E] Calculando o volume (produto entre área da base e altura) do cilindro temos:

2 2 3V r 10 V 3,1 5 10 775 m V 775.000 litrosπ


Página 33 de 79

Resposta da questão 44: [D] Sabendo que o volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área da base e sua altura, temos:

2

2

3

V ( r ) 25

V 3,14 10 25

V 7.850 cm 7.850 m

π


Para obter a relação entre AV e BV deve-se calcular ambos os volumes. Sabendo que o

volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área de sua base (área do círculo) e sua altura. Logo,

2 2 2A

2 2 2B

V ( r ) 20 (3 r ) 20 60 r

V ( r ) 30 (3 r ) 30 90 r

π

π

Porém, o valor do raio (r) é desconhecido e deve-se obtê-lo utilizando o comprimento da

circunferência do cilindro, ou seja, sabendo que a possibilidade A possui 20 cm de altura,

logo, possuirá uma circunferência A(C ) de 30 cm. Já a possibilidade B, possui 30 cm de

altura, logo, possuirá uma circunferência B(C ) de 20 cm. Desta maneira,

A

B

C 2 r 30 2 3 r r 5 cm

10C 2 r 20 2 3 r r cm

3

π

π

Calculando os volumes temos:

2A

2A

3A

V 60 r

V 60 (5)

V 1.500 cm

2

B

2

B

3B

V 90 r

10V 90

3

V 1.000 cm

Resposta da questão 46: [D] Como os cilindros possuem a mesma área lateral podemos escrever que:

h2 6 H 2 r h 6 r 6 1,2 r r 5 cm

H

h1,2 h 1,2 H

H

π π

O volume do cilindro B é 3240 cm ,π logo:

25 h 240 h 9,6 cm e H 8 cmπ π

Portanto, a diferença entre os volumes será dada por:


Página 34 de 79

2 3A BV V 6 8 240 48 cmπ π π

Resposta da questão 47: ANULADA Questão anulada no gabarito oficial. Justificativa: A banca equivocou-se ao apresentar nos gráficos o volume como função do tempo e não altura como função do tempo. Resposta da questão 48: [C] Calculando:

e

2 2 2 2

c

c

3e e

2

c c

e

c

OM OP R 2 cm

OA 8 2 6 cm

OA OP AP 36 4 AP AP 4 2

R MC

AMC APO

AM MC 8 MCMC R 2 2

2AP PO 4 2

4 32V 2 V

3 3

1 64V 2 2 8 V

3 3

32V 32 13

64V 64 2

3

ππ

ππ

π

π

Resposta da questão 49: [C] De acordo com o enunciado:


Página 35 de 79

Considerando:

V volume total do cone

v ' volume cheio (tronco)

v '' volume vazio (topo)

H 12 altura total

h 6 altura topo / altura tronco

Pode-se calcular:

3 3

2 2

3

3

V H 12 VV 8v ''

v '' h 6 v ''

V 7v ' v '' V v ' V v ' V

8 8

1 1V R H 3,14 4 12 V 200,96

3 3

7 7v ' V 200,96 v ' 175,85 m

8 8

Tempo : 500 L / min 0,5 m / min

1min

π

30,5 m

t 3175,85 m

t 351,7 min 5h e 50 min

Resposta da questão 50: [A] Do enunciado e da figura, temos:


Página 36 de 79

3

3

3

2v H

v 1

2 H

H 2


setor

2 2cone cone

22 2 2 2 2

nova

1 1cone cone

22 2 2 2 2

2

1

R geratriz

5R 5

4 4

5 52 R R

4 8

5 15 7g R h 5 h h

8 8

Reduzindo g 20% g 20% 5 0,2 5 4 g 4

44

12 R R

2

1 3 7g R h 4 h h

2 2

1 5 15 7V

3 8 8

π πα

ππ

ππ

π π

π

2

2

2 2

1 1

2 1

1 25 15 7 1 25 5 3 7

3 64 8 3 64 4 2

1 1 3 7 1 1 3 7V

3 2 2 3 4 2

1 1 3 7V V1 1 64 643 4 2 0,512 51,2%

25 125V 125 V 1251 25 5 3 7 564 643 64 4 2

V 51,2% V redução de 48,8%

π π

π π

π

π

Resposta da questão 52: [A] Se g é a geratriz do cone, então

2 g 2 2 6 g 12cm.π π

Logo, sendo h a altura do cone, vem 2 2 2h 12 6 h 6 3 cm.

A resposta é dada por

236 6 3

72 3 cm .3

ππ

Resposta da questão 53: [E] Sendo v o volume da embalagem menor, temos


Página 37 de 79

3v 40

v 51,2mL.100 50


Admitindo x a medida do lado do octaedro da figura podemos escrever que:

2 22

22

a ax

2 2

2 ax

4

a 2x

2

Gabarito:


Sejam O, L e , respectivamente, o centro da circunferência, a medida do lado do quadrado

ABCD e a medida do quadrado BEFG. Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, do triângulo

OBC, encontramos

22 2 2 2 2L

OC OB BC (5 5) L2

L 10cm.

Em consequência, pelo Teorema de Pitágoras, do triângulo OEF, vem

2 2 2 2 2 2

2

OF OE EF (5 5) ( 5)

5 50 0

5cm.

Portanto, segue que a resposta é 2 25 25cm . Resposta da questão 2: [B]


Página 38 de 79

Sabendo que o suplemento de um ângulo α é dado por 180 ,α temos:

180 180 30 150α

Dividindo por dois, temos:

15075

2



Desdobrando a figura podemos observar uma coincidência entre os ângulos de medidas α β

é 155 . Podemos, então, escrever que:

155

180 155 155

25 155

130

α β

α

α

α

Resposta da questão 5: [D] De acordo com as informações do problema, obtemos a seguinte figura:

Portanto, o mercado fica entre a sapataria e a padaria.


Página 39 de 79

Resposta da questão 6: [C] Sabendo que um triângulo possui três lados temos:

36 11 12 13

Logo, o menor lado é 11dm.


Sabendo que a soma dos ângulos internos de um polígono é dado por S (n 2) 180 onde n

é o número de lados, temos:

S (n 2) 180 (8 2) 180 1080

Dividindo a soma pelos seis lados do hexágono temos que cada lado é dado por 1080

135 .8

Resposta da questão 8: [C] Considere a situação descrita:

Como sabemos que x y z 135 metros, aplicando o teorema de Talles temos a seguinte

proporção:

90 50x 75

135 x


Desde que os losangos FGCE e ABCD são semelhantes, temos


Página 40 de 79

2(FGCE) 1k ,

(ABCD) 2 com k sendo a razão de semelhança.

Por conseguinte, dado que AB 6cm, vem FG 1

FG 3 2 cm.AB 2

Resposta da questão 10: [E] Para obter a altura, basta aplicar a semelhança de triângulos, e neste caso, temos a seguinte relação:

h 8h 20

30 12 metros.


Seja 2p o perímetro desejado. Como os triângulos são semelhantes e o perímetro do primeiro

triângulo é igual a 13 14 15 42cm, temos

2 2

2p 336 2p4

42 84 42

2p 84cm.

Resposta da questão 12: [B] Analisando o problema temos a seguinte situação formando dois triângulos:

Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de 45 , temos:

cateto oposto htg(45 ) 1 h x

cateto adjacente x

Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de 30 temos:

cateto oposto 3 h 3 xtg(30 )

cateto adjacente 3 60 x 3 60 x

(60 x) 3 3x 60 3 x 3 3x

60 (1,73) 1,73x 3x

103,8 1,27x

x 82 h 82 m


Página 41 de 79

Resposta da questão 13: [C] Gabarito Oficial: Anulada Gabarito SuperPro®: [C] Primeiramente deve-se obter quanto Carlos anda de acordo com o trajeto apresentado somando todas as distâncias:

100 80 50 100 50 30 410 m.

Em seguida, deve-se obter o trajeto em linha reta (por construção), assim como apresentado no desenho traçando uma linha reta do ponto de partida até o final (Trabalho) e “fechando” o desenho a fim de formar um triangulo retângulo.

Observe que o segmento entre o trabalho e x mede 150 m, e, o segmento entre a Casa e x

mede 200 m, logo, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo representado pelos

pontos Casa, Trabalho e x, onde a hipotenusa representará o trajeto em linha reta e os catetos

a construção feita a fim de se obter um triângulo retângulo. 2 2 2

2 2 2

2

hip cat cat

hip 200 150

hip 62500

hip 62500

hip 250 m

Logo, devemos obter a diferença entre as duas distâncias.

410 250 160 m.

Resposta da questão 14: [D] Sendo os lados do canteiro iguais a x e y, pode-se escrever:

2 2 2 2 22 2

2 2

89 x y 89 x yx 2xy y 169

2xy 80xy 40

x y 13 x y 13

Perímetro 2 x y 2 13 26 m


Página 42 de 79


Como o triângulo ABC é isósceles e o ângulo ˆBAC 120 , os ângulos ˆˆABC ACB 30 .

Logo, como ˆABC 30 e os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC, ou seja,

formam um ângulo reto entre a base e os segmentos, o ângulo ˆBDE oposto pelo vértice DE,

também é reto e vale 90 .

Desta maneira, para obter o valor de x, deve-se somar todos ângulos do triângulo BDE :

ˆ ˆx BDE EBD 180

x 90 30 180 x 60 .

Resposta da questão 16: [B] Gabarito Oficial: [E] Gabarito SuperPro®: [B] A figura abaixo representa um hexágono regular de lado x inscrito em um cubo de aresta a,

conforme é descrito pelo enunciado.

3a 512 a 8

Logo,

2 2 2x 4 4

x 32

x 4 2

O perímetro P será dado por:

P 6 4 2

P 24 2

Portanto, m 24. Resposta da questão 17: [B]


Página 43 de 79

Tracemos inicialmente o segmento TH perpendicular a hipotenusa 2 3P P .

Calculada a medida do segmento 1 3PP , temos:

2 2 21 3 1 3 1 3(PP ) (24 3) (12 3) PP 1296 PP 36

Considerando que os triângulos 1 2 3PP P e 3THP são semelhantes, podemos escrever:

24 3 3636x 24 12 3 x 24

x 12 3


VC // WS // AR.

DV VW WA DE EF FG 1

DH // UK // TB.

AH HK KB AG GI IJ 1

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DAG, temos:

2 2 2 2AD 3 1 AD 10

Portanto, a área do quadrado ABCD é de 10 unidades quadradas. Resposta da questão 19: [A]


Página 44 de 79

Nos triângulos assinalados na figura temos o seguinte sistema:

2 2 2

2 2 2

d 10 (50 x)

d 20 x

Igualando as equações, temos:

2 2 2 2

2 2

20 x 10 (50 x)

400 x 100 2500 100x x

100x 2200

x 22


Para obter a metragem deve-se calcular o valor dos lados AB CD EF x. Observe estes

lados são iguais do fato dos três triângulos serem semelhantes pelo caso “lado, ângulo, lado”. Desta forma, obtendo o valor x, através do Teorema de Pitágoras, e, somando os lados

AB BC CD DE EF FG teremos a metragem utilizada.

Aplicando o Teorema de Pitágoras em qualquer dos triângulos (todos são iguais) temos:

2 2 2

2 2 2

2

hip cat cat

5 4 x

x 9 x 3 m

Somando todos os lados:

AB BC CD DE EF FG 3 4 3 4 3 4 21m

Multiplicando 21 2,50 para obter o valor gasto temos: 21 2,50 52,50 reais.



Página 45 de 79

Considerando que D e C são os centros das circunferências de raios 8 e 18,

respectivamente, tracemos por um uma reta paralela ao segmento de extremos A e B de

modo que ela intercepte o segmento CB no ponto E. como mostrado na figura acima.

Para determinarmos a medida AB bastar determinarmos a medida DE, pois DE AB. Para

isto devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE. 2 2 2 2DE 10 26 DE 576 DE 24mm


Como 2 2 217 8 15 , concluímos que o ângulo do triângulo com vértice no balão é reto.

Portanto, a altura h do balão desprezando a altura dos pesquisadores será dada por:

17 h 8 15 17 h 120 h 7 km


Admitindo que o ponto D, pertencente a hipotenusa, é o ponto mais próxima da ilha, situada no

ponto A.

2 2 2AC 8 10 AC 6

Calculando agora, a medida AD, temos:

10 AD 6 8 AD 4,8

Portanto, a menor distância do navio até a ilha, no lado de extremos B e C, será dada por

AD 4,8 km.



Página 46 de 79

Calculando:

2sala AFEB BEDC sala

4 2S S S 4 6 2 S 30 m

2

Custo 30 48 1440 reais


Como a área do quadrado menor é 4, seu lado será dois. Assim, a sequência de quadrados

com os lados proporcionais à sequência de Fibonacci é:

(2, 2, 4, 6,10,16) e a sequência das áreas será (4, 4,16, 36,100, 256).

Portanto, a razão pedida será dada por:

4 4 16 36 100 256 416104

4 4


Sabendo que a área do trapézio é t(B b) h

A ,2

onde B é base maior e b é base menor.

Logo,

t(B b) h (8 6,4) h

A 22,322 2

44,64 14,4 h h 3,10 m.


A área A da figura é igual a soma das áreas de um hexágono de lado 1 com 3 círculos de

raio 1

.2

221 3 1A 6 3

4 2

3A 3

2 2

π

π


Seja a área do quadrado de lado a : 2A a a a

Nota-se que: as hortas das alternativas [B] e [C] possuem metade a área do quadrado:

2

ha

A2

A horta da alternativa [A] é menor que a metade do quadrado, logo: 2

ha

A2

A área da horta da alternativa [D] é: 2 2 2 2

2 a 2a a aa ,

2 2 2

ou seja, a metade da área do

quadrado.


Página 47 de 79

Desta maneira, a alternativa [E] é a que possui maior área. Resposta da questão 29: [B] Podemos considerar o coração constituído por um quadrado e dois semicírculos, pois o raio de cada semicírculo é r. A figura abaixo ilustra esta consideração.

Portanto, a razão entre a área retirada e a área total será dada por:

2 2 2

2 2 2 22

r 3 r 3 r34 4 4

28r 4r 3r 7r2r 2

2

π

π

Resposta da questão 30: [D] De acordo com a figura temos:

Assim, basta calcular a área em metros quadrados. A área será dada pela soma dos dois retângulos. Logo:

2(5 4) (3 1) 20 3 23 m


Desde que o ponto N pode ser interno ou externo ao retângulo ABCD, temos

21 117 8 11 8 24cm .

2 2

Resposta da questão 32: ANULADA


Página 48 de 79

Gabarito Oficial: [B] Gabarito SuperPro®: Anulada (sem resposta) Para obter o número mínimo de peças utilizadas, basta obter área total da garagem e dividir

pela área de cada peça. A área da garagem G(A ) será obtida pela soma das áreas A e B

que corresponde a dois retângulos assim como apresentado na figura abaixo:

Note que:

2A 2

G2B

A 8 52 416 mA 416 192 608 m

A 24 8 192 m

Note que as áreas dos retângulos são o produto entre suas respectivas bases e alturas. Desta maneira, para obter quantas peças serão utilizadas basta dividir a área encontrada pela área

de cada peça. Sabendo que 50 cm 0,5 m e a fim de se utilizar uma mesma unidade de

medida, a área da peça P(A ) é dada por: 2PA 0,5 0,5 0,25 m .

Dividindo GA por PA temos:

G

P

A 6082.432

A 0,25 peças.

Resposta da questão 33: [C] Sabendo que um quadrado possui os quatro lados com a mesma medida e que sua área é

dada pelo quadrado de um dos lados (a), temos:

2a 289 a 17

Calculando perímetro temos:

Perímetro a a a a 17 17 17 17 68 dm.

Resposta da questão 34: [D] Considere a situação:


Página 49 de 79

Desta maneira, a área da nuvem será dada pela área dos três semicírculos de raio 5

centímetros somadas com a área do trapézio interior. Porém, deve-se obter a altura (h) do

trapézio através do teorema de Pitágoras, logo:

2 2 2

2 2 2

hip cat cat

5 h 3

h 4

Desta maneira, a área da nuvem é dada por:

2 2r B b 5 11 5 3,14 25 11 5A 3 h 3 4 3 4 117,5 32 149,5

2 2 2 2 2 2

π π

Resposta da questão 35: [E] Primeiramente deve-se obter a área do salão, logo,

s

2s

A largura comprimento

A 6 8 48 m .

Multiplicando pelo preço do metro quadrado:

48 18 864 reais.

Resposta da questão 36: [C] Considere a situação:

Como o perímetro é 74 temos: x x (x 5) (x 5) 74 x 16

Logo, suas dimensões são: 16 m, 21m e sua área é:


Página 50 de 79

2A 16 21 336 m

Resposta da questão 37: [A] Seja u a unidade de área da malha, de tal modo que

2 2 21u 160 25.600 m 0,0256km .

Dividindo o hexágono em um triângulo e dois trapézios, como indicado acima, segue que a área aproximada desse polígono é dada por

2

3 1 9 3 3 25 5 44 u

2 2 2

44 0,0256

1,1km .

Portanto, temos [0,8;11,1 ,3[.

Resposta da questão 38: [B] Sendo x a largura da calçada, pode-se desenhar:


Página 51 de 79

Calculando:

2 2calçada

2

2

S 69 m 8 2x 12 2x 8 12 69 96 16x 24x 4x 96

0 4x 40x 69

40 4 4 ( 69) 2704

x ' 11,5 (não convém)40 2704 40 52x

x '' 1,5 m2 4 8


Se a altura do retângulo é 1,5x, então a resposta é

221 x

A x 1,5x 1,5 x .2 2 8

ππ


Sabendo que o comprimento (C) de uma circunferência é dado por C 2 rπ e que o

diâmetro (D) representa o dobro do raio (r) de cada circunferência, temos:

D 2 r

80 2 r r 40 cm.

Logo, o comprimento de cada anel é dado por:

C 2 r 2 40

C 80 cm 0,8 m.

π π

π π

Assim, basta multiplicar o comprimento de cada anel pelo número total de anéis (cinco). Desta maneira:

0,8 5 4 m.π π

Resposta da questão 41: [E] Fazendo a subtração entre as marcas temos:

45,33 42,74 2,59 m

Sabendo que um metro equivale a 0,001 hectômetros, temos que a diferença é de 0,0259

hectômetros. Resposta da questão 42: [A]

É imediato que o resultado é dado por 12

2 g 4,8 g.5

Resposta da questão 43: [A] Calculando:


Página 52 de 79

final

final

final final final

B 4A

Total aplicado A B A 4B 5A

A 0,98A

B 1,15B 1,15 4A 4,6A

Total A B 0,98A 4,6A 5,58A

5,58Ataxa 1 100% 11,6%

5A


De acordo com a tabela, observa-se que 350 ml de refrigerante possui 37 g de açucares,

logo, para analisarmos quantas gramas de açucares estão presentes em um litro (1000 ml),

utilizamos a seguinte proporção:

350 1000,

37 x onde x representa a quantidade de gramais em um litro de refrigerante.

Resolvendo a equação:

37000350 x 1000 37 x

350

x 105,7 g.

Resposta da questão 45: [E] Para obter o número de blocos, basta aplicar a regra de três composta. Logo, considere a tabela:

2940 b 7 d 6 h

x 15 d 12 h

Sabendo que todas as variáveis são diretamente proporcionais, temos:

2940 7 6 2940 42 529200x

x 15 12 x 180 42

x 12600

Resposta da questão 46: [E] Sejam as grandezas:

n: número de operários

t : tempo de realização de uma determinada instalação elétrica

As grandezas n e t são inversamente proporcionais, ou seja, n t "constante".

Assim,

1 1 2 2n t n t , onde 1 2n 12, n 14 e 1t 21.

Então,

2

2

12 21 14 t

t 18 horas



Página 53 de 79

Segundo a situação temos a seguinte proporção:

20 5020x 1500 x 75

30 x metros.


A proporção de gastos com saúde será: 3

2400 9008 reais.

Resposta da questão 49: [B] Observe a tabela com os dados:

Equipamentos Horas Dias Produção

4 8 5 4

5 6 X 3

Note que: 1) O número de equipamentos é inversamente proporcional ao número de dias, pois, quanto maior o número de equipamentos na produção, menor o número de dias para realizar a produção; 2) O número de horas é inversamente proporcional ao número de dias, pois, quanto maior o número de dias a ser utilizado na produção, pode-se diminuir o número de horas de produção por dias; 3) A quantidade de toneladas do produto produzido é diretamente proporcional ao número de dias, ou seja, quanto mais dias operando, maior a produção. Logo, aplicando a regra de três composta:

5 5 6 4 5 120

X 4 8 3 x 96

120x 480 x 4 toneladas. Resposta da questão 50: [B]

A cidade de Campinas (não capital) apresenta 1,1 de E-commerce enquanto São Paulo

apresenta 6,8 de E-commerce. Portanto, a cidade de Campinas apresenta uma receita

aproximadamente 6 vezes menor que a cidade de São Paulo. Resposta da questão 51: [C]

Seja André (A), Bruno (B), Carlos (C), pode-se aplicar a regra de inversamente proporcional.

Daí temos:

A B C A B C 115 1155

1 1 1 16 3 41 3 116 112 16 3 4

3 16 12 48

C5 C 20

4


Página 54 de 79


A cada volta do piloto mais rápido o piloto mais lento dá 2 20

2,7 27 de uma volta. Logo, após n

(n ) voltas do piloto mais rápido, o piloto mais lento terá dado 20 n

27

voltas.

Em consequência, desde que 20 e 27 são primos entre si, podemos concluir que 27 é o

menor valor de n para o qual a condição do enunciado é satisfeita. A resposta é, portanto, 20 2,7 54 km.

Resposta da questão 53: [C] Seja x e y os filhos. Pela regra das proporções temos:

x y x 10 23x 2y

10 15 y 15 3

Sabendo que juntos receberão 800 reais:

3x 2y 3x 2y (I)

x y 800 x 800 y (II)

Substituindo (II) em (I):

3 (800 y) 2y

2400 3y 2y

y 480

Logo,

x y 800

x 480 800

x 320


Sabendo que a quantidade de ração produzida equivale a 20% do total da matéria prima e

seja x a quantidade de matéria prima necessária para produzir 150 toneladas, temos:

x 20% 150000 0,2 x 150000

150000x 750.000 kg.

0,2

Resposta da questão 55: [A] Primeiramente deve-se obter a fração sobre o total investido de cada uma e depois aplicá-lo

sobre o lucro. Somando todos os investimentos vemos que o total investido foi de 150.000

reais, logo:

Márcia: 60000 2

150000 5

Rosa: 40000 4

150000 15


Página 55 de 79

Vitória: 50000 1

150000 3

Aplicando as proporções sobre o total:

Márcia: 2

30000 12.0005

Rosa: 4

30000 8.00015

Vitória: 1

30000 10.0003


[A] Incorreto. 100 g deste alimento contém 72 g de carboidratos (4 18 72).

[B] Correto. 6 140 840 Kcal.

[C] Incorreto. 75 g deste alimento contém 17,5 g de proteínas (5 3,5 17,5).

[D] Incorreto. 50 g deste alimento contém menos de 5 g de gorduras totais.

[E] Incorreto. O triplo da porção de referência da tabela fornece 210 Kcal.


Do enunciado, sejam os números 5x, 8x e 9x, x 0.

9x 5x 5 8x 5x

4x 5 3x

Como x 0,

4x 5 3x

x 5

Assim, os números são: 25, 40 e 45.

Logo, o maior dos números é o 45.


Admitindo que o preço de uma camisa seja 2x, logo o preço de 2 camisas deveria ser 4x.

Com a promoção o comprador pagará por dois camisas o valor de 2x x 3x. Ocorrendo um

desconto de x, ou seja, 1 4 do valor. Portanto, se o comprador levar 4 camisas ela pagará

apenas três. Resposta da questão 59: [A] Para obter quanto Pedro recebeu, basta dividir o total pela soma de todas as idades e

multiplicar por 40, logo:

800008000 40 32000

100


Página 56 de 79

Resposta da questão 60: [A] Para obter os gastos, basta dividir a quilometragem pelo valor de consumo médio e multiplicar pelo valor do litro do combustível.

Consumo na cidade: 126

12 12 2,60 31,2010,5

reais.

Consumo na rodovia: 341

22 22 2,60 57,2015,5

reais.

Consumo total: 31,20 57,20 88,40 reais.


Se em doze minutos aumentou-se 348 m pois, 208 160 48. Desta maneira, sabe-se que o

açude aumentou 34 m por minuto, pois: 48

412

Logo, multiplicando todo o tempo de chuva pelo aumento constante temos: 342 4 168 m

Subtraindo do total temos: 208 168 40.


Sabendo que cada habitante produz em média 3

kg4

de lixo por dia e a cidade possui 72.000

habitantes, deve-se obter quantos quilos de lixo a cidade produz. Desta maneira, temos a seguinte proporção:

1 72000,

3 x

4

onde x representa o total de lixo produzido pela cidade.

Resolvendo a equação:

3x 7200 54.000 kg.

4

Para se obter o número de caminhões utilizados basta dividir, o total de quilos de lixo produzido pela capacidade de carga de cada caminhão:

54.0006

9 caminhões.


Para transformar 61cm em hectômetros basta dividir por 10000. Logo,

610,0061hm

10000



Página 57 de 79

Como a velocidade (v) é a razão entre a distancia (d) e o tempo (t) temos:

d dv t

t v

Como queremos que os dois completem uma volta no mesmo tempo basta igualar os tempos

dos atletas das raias A e B. Desta maneira, sabendo que o comprimento (C) de uma raia é

dado por C 2 rπ onde r é o raio da pista, temos:

A BA B

A B

A BB

B B

d dt t

v v

2 r 2 r 2 80 2 100v 5 m s

4 v 4 v

π π π π

Resposta da questão 65: [B] Calculando:

t

t

t tempo em horas

hVela1 h' h t

4

hVela2 h'' h t

3

h' 3h''

h h t th t 3 h t h 1 3h 1

4 3 4 3

t 3t1 3 t 2 t 2,67 h 2h 40min

4 4

Resposta da questão 66: [D] Para obter quando dias levariam para a produção, basta aplicar a regra de três composta. Considere a tabela:

10d 18 op 8h

x 12 op 6h

Sabendo que o número de operários e as horas de trabalho são inversamente proporcionais ao número de dias de trabalho, temos:

10 12 6 1440x 20

x 18 8 72 dias.


Seja t o número de horas que a torneira C ficará aberta, de modo que o reservatório fique

cheio. Assim, temos

1 1 14 4 t 1 t 68 h.

60 48 80

Portanto, a resposta é 4 4 68 76 horas.



Página 58 de 79

A densidade demográfica da zona rural é dada por

20,4 3000080hab km .

0,6 250

Resposta da questão 69: [E] Para obter quantos operários a mais serão necessários basta aplicar a regra de três composta. Considere a tabela:

12 meses 40 operarios 1obra

4 meses x 0,5 obra

Nota que os operários já concluíram metade da obra e agora possuem apenas quatro meses para concluir a outra metade. Sabendo que o total de tempo disponível é inversamente proporcional ao número de operários e a conclusão da obra é diretamente proporcional ao número de operários temos:

40 4 1x 60

x 12 0,5

Logo, precisa-se de 20 funcionários a mais. Resposta da questão 70: [E] Segundo a proporção dada, temos:

3 x 3 5400x

1800 5400 1800

x 9 máquinas. Gabarito:


Seja C o capital aplicado. Logo, sabendo que o montante resgatado foi de R$ 65.536,00,

temos 8

4 4

4

8

8

465536 C (1,01) (1,02) C

1,0302

4C

1,0302

C 3,94 .

Por conseguinte, podemos afirmar que o capital aplicado, em reais, foi aproximadamente igual

a 83,96 .



Página 59 de 79

10 27 3 1 a b 10 27B A

21 39 5 2 c d 21 39

3a c 3b d 10 27

5a 2c 5b 2d 21 39

3a c a 1

5a 2c c 13

3b d b 15

5b 2d d 18

a b c d 1 13 15 18 47


[I] Correta, pois, a temperatura registrada na posição 12a é o menor valor dentre todos os

valores presentes na matriz. Ou seja, 12 ij8,1 a a , i 1 e j 2.

[II] Correta, pois, a maior variação entre os tempos 1 e 2 está registrada no primeiro dia. Observe que as variações do primeiro ao sexto dia, respectivamente são:

2,8; 2,4; 2,6; 2,5;1,2;1,4. Logo, a maior variação é 2,8 respectivo ao primeiro dia.

[III] Correta, pois a temperatura registrada na posição 34a é o maior valor dentre todos os

valores presentes na matriz. Ou seja, 34 ij21 a a , i 3 e j 4.


Seja a função p : , dada por t0p(t) p (1,02) , com p(t) sendo a população do país

após t anos. Logo, como queremos calcular t para o qual se tem 0p(t) 2 p , vem

t t0 02 p p (1,02) log(1,02) log2

t log(1,02) log2

log2t

log1,02

0,301t

0,0086

t 35.


01

110

t t t t1 1 1 1

10 10 10 102 2 2

t 0 Q(t) 100% Q(0) 30 2 30 2 60

40% 60 0,4 60 24

24 t24 30 2 2 0,8 2 log 0,8 log 2 log 0,8 1

30 10

Mas,

31010 10 10 10 10

210 10 10 10

10

10

8loglog 0,8 log 8 log 10 log 2 log 1010log 0,8log 2 log 2 log 2 log 2

3 log 2 1 3 0,3 1 0,1 1

log 2 0,3 0,3 3


Página 60 de 79

Assim,

1 t 401 10 30 3t 3t 40 t horas 800min 13h20min

3 10 3


0,45 t0

0,45 t00

1 0,45 t

1 0,45 te e

e

Q(t) Q e

QQ e

2

2 e

log 2 log e

1 log 2 0,45 t

0,69 0,45t

t 1,5333... horas 1hora e 32 minutos.

Resposta da questão 7: [A] Do enunciado,

t

100

t

100

t

100

t

100

40 36 10

4010

36

1010

9

10log10 log

9

tlog10 log10 log9

100

t1 1 0,95

100

t 100 0,05

t 5 horas

Resposta da questão 8: [B] Desde que x é um número inteiro positivo, temos:

2 22

2

log ( x 32) 4 x 32 16

x 16.

x 4.



Página 61 de 79

Se pelo menos 120 alunos participarão da excursão, então 24x 40y 120. Ademais, como a

despesa máxima com os ônibus não pode superar R$ 4.000,00, devemos ter

500x 800y 400.

Portanto, o par ordenado (x, y) terá que pertencer, necessariamente, ao conjunto solução do

sistema de inequações

24x 40y 120.

500x 800y 4000

Resposta da questão 10: [A] De acordo com as informações do enunciado, podemos concluir que: Joana e Renata correm x e Juliana e Fernanda correm y e que x y.

Como: x y y x

Concluímos que Fernanda corre mais que Joana. Resposta da questão 11: [C]

A afirmação [1] é falsa, pois se multiplicarmos os membros de 2x

43

por 3, obtemos:

2x 12.

A afirmação [2] é falsa, pois se dividirmos os membros de 2x 12 por 2, obtemos:

12x

2

.

A afirmação [3] é verdadeira. Basta resolvermos a inequação corretamente:

2x4 2x 12 x 6

3

Portanto, existe somente uma afirmativa verdadeira. Resposta da questão 12: [B] Resolvendo a inequação temos:

x x 2 2541 127 x 2 254

2 2 2 2

x 252 x 251litros.



Página 62 de 79

os

(b B) h (b B) 50S 1800 b B 72

2 2

b B 72 b B9

8 8 8 8 8

1e 8 1 8 8 8 72

2 e 7 2 8 7 8 722 n inteiros cuja soma é 9 4 possibilidades

3 e 6 3 8 6 8 72

4 e 5 4 8 5 8 72

Resposta da questão 14: [A] Calculando:

geom

números a, 24, c

a 24 cMédia

3

Média a 16

Média c 14

a 24 ca 16 a 24 c 3a 48 c 2a 24

3

a 24 cc 14 a 24 c 3c 42 a 2c 66

3

a 2c 66 a 2 2a 24 66 a 4a 48 66 3a 18 a 6

c 2 6 24 c 36

Média 6 36 6 6


b c d 3a b c da 48 48 3a b c d 144

3 3

a c d a 3b c db 42 42 a 3b c d 126

3 3

a b d a b 3c dc 32 32 a b 3c d 96

3 3

a b c a b c 3dd 34 34 a b c 3d 102

3 3

3a b c d 144

a 3b c d 126

a b 3c d 96

a b c 3d 102

a 33

b 24

c 9

d 12

Resposta da questão 16: [C] Sabendo que a média das notas da turma é dada pela soma de todas as notas individuais e dividida pelo numero total de alunos, pode-se afirmar que:

Seja N a soma total das notas, temos que:

N7,6 N 152

20


Página 63 de 79

Logo, para obter a nota X, basta subtraí-la de N 152, dividir por 19, já que estamos

subtraindo um aluno e igualar a 7,5, já que, se retirar a nota do aluno Prudêncio, que é da

turma B, a média da sua turma seria idêntica à média da Turma D.

152 X7,5 x 9,5

19

Resposta da questão 17: [B] Sabendo que a média é dada pela soma de todos os valores dividido pelo total de valores somados, temos:

26000 25000 21000Média 24.000

3


Considere o conjunto 1 2 3 30A a ,a ,a ,...,a , onde:

1a é a nota do primeiro aluno, 2a é a nota do segundo aluno, 3a é a nota do terceiro aluno, ...,

30a é a nota do trigésimo aluno.

Sem perda de generalidade, tomemos 1 2a a 0.

Daí, pelo enunciado,

3 4 30

3 4 5 30

0 0 a a ... a5,6

30

a a a ... a 168

Tirando as notas iguais a zero que dois alunos tiraram, a nova média x é dada por:

3 4 5 30a a a ... ax

28

168x

28

x 6

Resposta da questão 19: [B] Para se obter a média de acertos deve-se multiplicar cada acerto pelo número correspondente de alunos e dividir por vinte (total de alunos):

(0 2) (1 4) (4 3) (5 2) (6 0) (7 4) (8 4) (9 1)média 4,75

20

Somando o número de alunos com média de acerto acima de 4,75 presentes na tabela temos:

2 0 4 4 1 11.

Resposta da questão 20: [D] Sendo uma média aritmética, para se obter a nota que resta, deve-se somar todas as notas das provas, dividir pelo total de provas e igualar à média. Sendo assim, temos que:


Página 64 de 79

10 8 6 x 78

5

31 x8

5

31 x 40

x 40 31

x 9

Logo, a nota restante é 9. Resposta da questão 21: [D]

Sendo 1A 2 e 1A 1, temos

1 1 2 2

1 2

x A x Ax

A A

3,5 2 1,5 1

2 1

8,5

3

17.

6


1 ano e 6 meses = 18 meses.

Sendo x, o capital aplicado por Patrícia, temos:

18

x 1,08 x 11960 x 3,99 x 11960 2,99x 11960 x 4000

Portanto, o capital empregado é de R$ 4.000,00.

Resposta da questão 23: [E] Fazendo os cálculos:

x 4 x 4 7 11 x 11 7 18 x 18 7 25 x 25 7 32 x 32 7 39

y 0 y 0 11 y 11 18 29 y 29 25 54 y 54 32 86 y 86 39 125

Resposta da questão 24: [E] Se Renato falou a verdade, então ele não é o ladrão e, assim, Aníbal é o gatuno. Portanto, Aníbal mente e Cláudio é o ladrão, o que é absurdo. Em consequência, Renato mentiu e Aníbal não roubou a joia. Logo, Aníbal fala a verdade e, portanto, Cláudio não é o ladrão. Mas se Cláudio não roubou a joia, então ele fala a verdade, implicando no fato de que Renato é o ladrão. Resposta da questão 25: [D]


Página 65 de 79

Calculando:

Gasolina 3240 km dia20 litros dia R$ 3,50 m R$ 70 dia

12 km L

GNV 3 3

3

240 km dia16 m dia R$ 2,00 m R$ 32 dia

15 km m

Economia por dia 70 32 38 reais

3.819100,5 101dias

38

Resposta da questão 26: [E] Sendo verdadeiras as proposições “Se Maria é casada, então Paula é divorciada” e “Se Paula não é divorciada, então Laura é casada”, usemos o fato de que as proposições, respectivamente, equivalentes “Maria não é casada ou Paula é divorciada” e “Paula é divorciada ou Laura é casada” também são verdadeiras. A proposição “Ou Laura não é casada ou Maria é casada” é uma disjunção exclusiva. Logo, sendo verdadeira essa proposição, as proposições “Laura não é casada” e “Maria é casada” não podem ser ambas verdadeiras e nem ambas falsas. Supondo que “Laura não é casada” é falsa e “Maria é casada” é verdadeira, podemos concluir de “Maria não é casada ou Paula é divorciada” que “Paula é divorciada” é verdadeira, pois, caso contrário, tal disjunção seria falsa. Por outro lado, supondo que “Laura não é casada” é verdadeira e “Maria é casada” é falsa, podemos concluir de “Paula é divorciada ou Laura é casada” que “Paula é divorciada” é verdadeira. Em consequência, Paula deve ser divorciada. Resposta da questão 27: [C]

Considerando um valor qualquer para o produto, por exemplo R$100,00, o custo de 4

unidades seria R$400,00 e o de 5 unidades seria R$500,00. Com a promoção o valor de 5

unidades passa a ser de R$400,00, ou seja, houve um desconto de R$100,00 que

corresponde a um quinto de R$500,00. Logo, um desconto de 20%. Ou ainda, sendo x o

valor do produto e d o desconto, pode-se escrever:

4 x 5 x (1 d)

4x1 d 1 d 0,8 d 1 0,8 d 0,2 20%

5x

Resposta da questão 28: [A] As opções de posicionamento de acordo com as informações das posições de Ayrton, Emerson e Rubens são:


Página 66 de 79

Largada Final

Largada Final

Largada Final

Emerson Rubens

A Rubens

Emerson Rubens

B Ayrton

Emerson

B Ayrton Emerson

C Ayrton

C Emerson

C

Ayrton Emerson

D Ayrton

D

E

Ayrton

Largada Final

Largada Final

Largada Final

A Rubens

A Rubens

A Rubens

Emerson Ayrton

B

B Ayrton

Emerson Ayrton

Emerson

D Emerson

Ayrton

D Ayrton

E

E Emerson

Ayrton Emerson

Como Felipe e Nelson trocaram de posição, suas respectivas posições não devem permutar com o posicionamento dos outros três participantes. Assim, a única opção válida de posicionamento será:

Largada Final

Emerson Rubens

Rubens Ayrton

Ayrton Emerson

C D

D C

Onde Felipe e Nelson ocupam as posições C e D (não há como precisar qual ocupa qual, apenas que elas se invertem na chegada). Resposta da questão 29: [A] A receita é dada por:

R p y p

R p 90 20p p

Fazendo R p 0, temos:

990 20p 0 p

2 ou p 0.

Assim,

90

2P2

9P

4

P 2,25

Resposta da questão 30: [C] Considerando que os juros são simples (informação omitida pelo problema), temos:


Página 67 de 79

1 2

1 2

2 1

75 8 5 12 6T T

100 12 100 12

T 50 T 30

5T T

3

Sabemos que 2 1T T 1600, logo:

11

1

1

1

5 TT 1600

3

2 T1600

3

2 T 4800

T 2400

Portanto, o menor dos capitais é R$ 2.400,00.

Observação: Se resolvermos o problema utilizando juros compostos a resposta não corresponderia ao gabarito oficial. Resposta da questão 31: [A]

Como ambas as situações estão sob juros simples temos um juros de 320 reais em quatro

meses na primeira situação: Aplicando a fórmula de juros simples temos:

J c i t 320 1000 i 4 i 0,08 8%

Na segunda situação temos:

J c i t 600 1200 i 5 i 0,1 10%

Resposta da questão 32: [A] Para obter a função que descreve o salário total do funcionário, basta calcular o valor do determinante da matriz e somá-lo ao salário fixo. Desta forma, utilizando o Método de Sarrus para o cálculo de determinantes, tem-se que:

2

2 2

2

1 x x 1 x

det(A) 2 1 0 2 1 (1 0 10x ) (3x 0 2x)

3 5 1 3 5

det(A) 7x 2x 1

Somando s(x) 1230 para obter ST(x) temos:

2

2

ST(x) 10x det A 1230 ST(x) 10x (7x 2x 1) 1230

ST(x) 7x 8x 1231

Resposta da questão 33: [C] A diferença entre os espaços percorridos pelo leão e pela presa, a cada segundo, aumenta

segundo uma progressão aritmética de primeiro termo 0 e razão 0,2. Portanto, sendo n um

inteiro positivo, temos

(n 1) 0,2n 38 n (n 1) 380 n 20.

2


Página 68 de 79


Sendo (4)10

10!P

4! o número de anagramas possíveis e 7P 7! o número de anagramas com

as vogais juntas, podemos concluir que a resposta é

7! 7! 4 3 2 1.

10! 10 9 8 7! 30

4!


Se t é o tempo decorrido até o encontro, então SA t e PA 3,5t. Logo, como

sen(180 ) sen cos(90 ),β β β para 0, ,2

πβ

pela Lei dos Senos, vem

SA PA t 3,5t

sen105senSPA senSPAsenPSA

sen75senSPA

3,5

cos15senSPA .

3,5

Em consequência, sabendo que SPA 90 e cos15 0,98, temos

0,98senSPA senSPA 0,28 SPA 16 .

3,5

Resposta da questão 36: [D] Seja o diagrama de Venn com todas as pessoas e as línguas que falam:

Para obter a probabilidade de quem fala espanhol ou francês deve-se obter a probabilidade de quem fala espanhol mais a probabilidade de quem fala francês menos a probabilidade de quem fala espanhol e francês, ou seja:

Sabendo que o total de pessoas é 80, temos a seguinte probabilidade:


Página 69 de 79

(espanhol) (francês) (espanhol francês)P P P P

32 20 6P

80 80 80

P 0,4 0,25 0,075

P 0,575

P 57,5%


Tem-se que os elementos de uma mesma coluna estćo em progressćo aritmética de razćo 9. Logo, sendo

18109 9 2013 8, podemos concluir que tal nśmero estį situado na primeira coluna e na linha

n 2013.


Sejam 1 2 nx , x , , x as idades dos n estatísticos. Logo, para n 2, temos

2 3 4 n

i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1

x 37 2 74, x 39 3 117, x 41 4 164, , x (2n 33) n.

Portanto, sendo

n n 1

n i i

i 1 i 1

x x x ,

com n 3, uma progressão aritmética de primeiro termo

43 e razão 4, vem

83 43 (n 3) 4 n 13.

Resposta da questão 39: [B] Os elementos da primeira coluna constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual

a 1 e razão 2. Logo, o primeiro elemento da linha de número 41 é dado por 1 40 2 81.

Desde que cada elemento da primeira coluna figura n vezes em cada linha n, com 1 n 51 e

n , podemos concluir que a resposta é dada por

83 10141 81 10 4241.

2


A sequência n(a ) (1, 6,19, 44, ) é uma progressão aritmética de terceira ordem. De fato, pois

a sequência

n n n 1 n(b ) ( a ) (a a ) (5,13, 25, 41, 61 )Δ

é uma progressão aritmética de segunda ordem, e a sequência

n n n 1 n(c ) ( b ) (b b ) (8,12,16, 20, )Δ

é uma progressão aritmética de primeira ordem. Portanto, segue que

6 5 5 4 4 5a a b a b b 44 41 61 146.


Página 70 de 79


Na etapa 1 temos: (1 2) quadrados.

Na etapa 2 temos: (1 2 3) quadrados.

Na etapa 3 temos: (1 2 3 4) quadrados.

Na etapa 100 temos:

(1 101) 1011 2 3 4 100 101 5.151

2

quadrados.


Do enunciado, o número mágico de um quadrado 4 4 é dado por:

1 16 161 2 3 ... 16 1

4 4 2

1 2 3 ... 16 18 17

4 4

1 2 3 ... 162 17

4

1 2 3 ... 1634

4

Resposta da questão 43: [C] Sabendo que a fila mais alta possui uma lata e última tem dez, trata-se de uma progressão

aritmética com primeiro termo 1a 1, último termo 10a 10 e razão r 1. Logo, basta obter a

soma desta progressão:

1 n(a a ) nS

2

1 10(a a ) 10 (1 10) 10S 55

2 2

latas de leite.


Seja q, com q 0, o fator constante de crescimento anual. Desse modo, vem

20 20

20

0,4 0,25 q q 1,6

q 1,6.

Resposta da questão 45: [B] A área de cada quadrado, a partir do segundo, é metade da área do quadrado anterior.

Portanto, as áreas dos triângulos retângulos assinalados formam um PG infinita de razão 1

.2


Página 71 de 79

A sequência 1 2 3A , A , A , é uma PG infinita de razão 1

.2

Calculando a área 1A , temos:

1

1 112 2A

2 8

Portanto, a soma de todas as áreas dos triângulos retângulos será dada por:

1 2 3 4S A A A A

11 1 1 1 18S ...

18 16 32 64 41

2


Visto que os ladrilhos seguem um crescimento geométrico de ordem 2, e que o número de

triângulos pretos é o mesmo número de ladrilhos, basta calcular o termo de numero dez. (n 1) (9)

10 1 10a a q a 1 10 512 triângulos pretos.

Resposta da questão 47: [C] Do enunciado, temos a sequência:

(x, x, 2x, 4x, )

Note que a sequência (x, 2x, 4x, ) é uma progressão geométrica, onde o primeiro termo é x

e a razão é 2.

Observe também que a progressão geométrica possui N 1 termos.

Assim,

N 1

N 1

N 1

N 1 7

x 2 1x 640

2 1

x x 2 x 640

x 2 640

x 2 5 2


Página 72 de 79

Como x e N são naturais e N é o maior possível,

x 5 e N 8

Logo,

N x 8 5

N x 40

Resposta da questão 48: [D] De acordo com as doações, as doações seguem um padrão de progressão geométrica, assim,

basta obter a soma desta progressão de primeiro termo 1a 1, e razão r 2 temos:

n 15 151

15

a (r 1) 1 (2 1) 2 1S 32767

r 1 2 1 1

caixas de bombom doadas.

Logo, cada aluno receberá duas caixas (2 16000 32000) e sobrarão 767 caixas.

Resposta da questão 49: [D] Seja x o número de alunos e y o valor de cada aluno, desta maneira temos as duas

situações:

3600y

x

3600y 75

x 8

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

2

2

2

3600 3600 3600 x 3600 (x 8) 75 x (x 8)75

x 8 x x (x 8) x (x 8) x (x 8)

3600x 3600x 28800 75x 600x 0

75x 600x 288000 0 ( 75)

x 8x 384 0

Aplicando soma e produto temos: x 16

x 24

Logo, o total de alunos da turma é 24. Resposta da questão 50: [E] Seja x o número de notas de cinco reais e y o número de notas de vinte reais, temos:

5x 20y 580 x 4y 116

x y 47

y 2347 y 4y 116

x 24



Página 73 de 79

Considerando que:

Márcia “pesa” x kg, Marta “pesa” y kg e Mônica “pesa” z kg, temos o seguinte sistema:

x y 115

y z 113

x z 108

Somando as equações, obtemos:

2x 2y 2z 336

Portanto,

x y z 168 kg


Seja Tales representado por t. Platão representado por p. Fermat representado por f.

Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e Tales e

Fermat, 134 kg:

t p 159 t p 159 t p 159

p f 147 p f 147 ( 1) p f 147

t f 134 t f 134 t f 134

Somando o sistema temos:

t p 159

p f 147t 73

t f 134

2t 146

Substituindo na primeira equação:

t p 159 73 p 159

p 86

Substituindo na última equação temos:

t f 134 73 f 134

f 61

Somando os três pesos temos:

t p f 73 86 61 220 kg


Seja maçãs (m) e abacaxis (a) temos: 0,8 m 4,5 a 34,20

m a 15

Desta maneira,

0,8 m 4,5 a 34,20 0,8 m 4,5 a 34,20

m a 15 m 15 a


Página 74 de 79

substituindo a segunda equação na primeira temos:

0,8 (15 a) 4,5a 34,20

12 0,8a 4,5a 34,20

3,7a 22,20

a 6 m 9

Resposta da questão 54: [C] De acordo com o texto do problema e considerando que cada aluno não poderá fazer dois cursos ao mesmo tempo, temos:

Temos então o seguinte sistema linear:

x y 110

x y 10

Somando as equações, temos:

2y 120 y 60

Portanto, o número de mulheres no curso de Náutica é 60.


8400 240n 2800 200n 5600 440n n 12,73 meses

Assim, pode-se escrever:

Carlos 8400 12 240 5520agosto / 2017 n 12

Marco 2800 12 200 5200

Carlos 8400 13 240 5280setembro / 2017 n 13

Marco 2800 13 200 5400

Resposta da questão 56: [C] Admitindo a situação temos o seguinte sistema:


Página 75 de 79

x y 64x y 64

x y 2x y 2

2x 66

2x 66 x 33

y 31

Obtendo o produto temos:

x y 31 33 1023

Resposta da questão 57: [A] [I] Verdadeira, pois, sabendo que a colheita segue um padrão de crescimento linear, ou seja,

podemos expressá-lo por uma função afim, e, sabendo que as 9 horas haviam sido colhidos

730 kg e as 14 horas haviam sido colhidos 3650 kg, temos as seguintes funções:

y ax b 3650 14a b

y ax b 730 9a b

Multiplicando a segunda equação por 1: 3650 14a b 3650 14a b

730 9a b ( 1) 730 9a b

Somando as duas equações do sistema:

3650 14a b

730 9a b

5a 2920

a 584

Substituindo a na segunda equação para obter b :

730 9a b 9 (584) b 730

5356 b 730

b 4526

Logo, a equação que permite calcular o número de quilogramas (y) em função do tempo (x) é

dada pela expressão y 584x 4526.

[II] Verdadeira, pois, para obter a produção as 18 horas basta utilizar a função encontrada em

[I], logo:

y(x) 584x 4526

y(18) 584 (18) 4526

y(18) 5986 kg.

[III] Falsa, pois, para obter o inicio da produção basta encontrar o valor que zera a função, ou

seja, deve-se obter y(x) 0.


Página 76 de 79

y(x) 584x 4526

y(0) 584x 4526

584x 4526

x 7,75 horas

x 7 horas 45 minutos.

Resposta da questão 58: [B] Calculando:

2

300 livros 300x livros / prateleira x

N prateleiras N

300 300 300 60 60x 5 5 1

N 3 N 3 N N 3 N

N 15N 3N 180 0

N 12 (não convém)

N 15 múltiplo de 3


Como ainda seria necessário um valor de R$ 4.100,00 para pagar a entrada no valor de

R$12.000,00, e, Renata (r) possui R$ 500,00 a mais que Carlos (c) temos:

r c 4100 12000

r c 500

Daí, temos:

r c 4100 12000 r c 7900

r c 500 r c 500

somando as equações temos:

2r 8400 r 4200

Como Renata possui R$ 500,00 a mais que Carlos temos: 4200 500 3700.

Resposta da questão 60: [B] Seja gasolina denominada por x e álcool por y.

Sabemos que o preço de 2 litros de gasolina com mais 4 litros de álcool é R$ 20,00, isto é:

2x 4y 20.

Sabemos também que 1 litro de gasolina juntamente com 12 litros de álcool é vendido por

R$ 40,00, isto é: 1x 12y 40.

Para obtermos o valor de cada litro de álcool devemos resolver ambas as equações através de um sistema da seguinte maneira:

2x 4y 20

1x 12y 40

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a primeira temos:


Página 77 de 79

2x 4y 20 2x 4y 20

y 31x 12y 40( 2) 2x 24y 80

20y 60

Logo, o valor do litro de álcool é de R$ 3,00.

Resposta da questão 61: [C] Calculando: Para o mínimo de carne:

240 gCarne

600

180 gx 450 calorias

x

250 gTorta 824 cal 450 cal 374 cal

500

yy 187 g

374

Para o máximo de carne:

240 gCarne

600

220 gx 550 calorias

x

240 gTorta 824 cal 550 cal 274 cal

500

yy 137 g

274


Sejam y e z, respectivamente, a distância entre A e B e a distância entre C e D, pela

rodovia. Logo, vem

y 5 3zy 3z 5

yy 2z 105 z

2

y 40km.

z 15km

Portanto, segue que 15

100% 37,5%40

e, assim, a resposta é 37,5.


Seja o espaço amostral e A um evento desse espaço amostral tais que:

A é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas, onde a primeira é de copas e a

segunda também.

é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas.

Então,

13,2 50n A A P , onde 13,2A é o total de maneiras de organizar a primeira e a última carta da

sequência, onde ambas são de copas e 50P é o total de maneiras de organizar as 50 cartas

restantes do baralho, após a organização da primeira e da última carta da sequência.

52n P , onde 52P é o total de maneiras de organizar as 52 cartas da sequência.

Assim,


Página 78 de 79

13,2 50

52

n AP A

n

A PP A

P

13 12 50!P A

52!

13 12 50!P A

52 51 50!

13 12P A

52 51

1P A

17


Para que B vença, as possíveis combinações dos dois dados devem ser:

4 6 ou 5 5 ou 6 4

Observe que a probabilidade de se lançar um dado e cair um número ao acaso é 1

,6

visto que

um dado possui seis faces. Desta forma, as probabilidades (P(X)), são o produto de ambas as

possibilidades de se obter a soma desejada. Ou seja,

1 1 1P(4 6)

6 6 36

1 1 1P(5 5)

6 6 36

1 1 1P(6 4)

6 6 36

Logo, somando as possíveis probabilidades temos:

1 1 1 1P(4 6) P(5 5) P(6 4)

36 36 36 12


Sendo 1 6

,17 102

podemos afirmar que as duas novas doações deverão ser de doadores do

grupo AB. Dessa forma, a probabilidade pedida é dada por

4 4!

2 12! 2!.

100!100 825

2! 98!2


É imediato que existem 6 6 36 resultados possíveis. Dentre esses resultados, não são

favoráveis: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 3) e (5, 6).


Página 79 de 79

Portanto, segue que a resposta é 17 19

1 .36 36


Sabendo que o valor máximo de 8

cos t3

π

é 1, podemos concluir que o valor da pressão

diastólica é 100 20 80mmHg.

Por outro lado, sendo 1 o valor mínimo de 8

cos t ,3

π

segue que o valor da pressão sistólica

é 100 20 ( 1) 120mmHg.

Resposta da questão 68: [A] Para obter as alturas máximas e mínimas basta analisar o comportamento da função senoide

A(t) e observar, em seu gráfico, sua amplitude. Ou seja, basta analisar os parâmetros 1,8 que

representa o valor do deslocamento vertical (para cima) da função dentro do eixo y e o

parâmetro 1,2 que representa um aumento na amplitude da curva, ou seja, da altura da curva

senoide.

Logo, sabendo que uma função y sen(x) possui como ponto de partida o valor zero no eixo

x e eixo y, e, sabendo que a curva A(t) se deslocará verticalmente para cima em 1,8 e terá

altura (amplitude) de 1,2 , temos que o ponto máximo da função será: 1,8 1,2 3,0 m.

E, seu ponto mínimo será: 1,8 1,2 0,6 m.

Desta maneira, as alturas máximas e mínimas serão, respectivamente, 3,0 m e 0,6 m.

interbits ®superpro web gabarito - prevest.com.br · 1234 p. portanto, sendo 972 um número par de...

Documents