Os algarismos na civilização suméria 

    A . De origem desconhecida (vinda provavelmente da Anatólia e

chegada à Mesopotâmia por volta de 3300 a.C), a civilização Suméria

é a mais antiga civilização.  No extremo sul da Mesopotâmia, entre os

rios Tigre e Eufrates (área onde posteriormente se desenvolveu a

civilização  Babilónica  que hoje corresponde ao sul do Iraque, entre

Bagdad e o Golfo Pérsico), aí floresceram cidades-estados (Ur, Eridu,

Lagash, Uma, Adab, Kish, Sipar, Larak, Akshak, Nipur, Larsa e Bad-

tibira)

    A crescente rivalidade entre as cidades enfraqueceu esta

civilização, tornando-a extremamente vunerável a invasores. Depois

de 1900 a.C., após a conquista de todo o território mesopotâmio

pelos amorritas, os sumérios perderam a sua identidade como povo,

mas a sua cultura foi assimilada pelos sucessores semitas.

    De entre os feitos desta civilização destacam-se a invenção da

escrita cuneiforme (a mais antiga forma registada para representar

sons da língua, em vez dos próprios objectos), os primeiros veículos

sobre rodas e os primeiros tornos de cerâmica.

    A escrita cuneiforme surgiu na Mesopotâmia por volta de 3000

a.C., sendo utilizadas para seu registo tábulas de argila e estiletes de

bambu. Graças a esta escrita, decifrada no século XIX por linguístas e

arqueólogos, foi possível conhecer inúmeros aspectos da vida,

religião e instituições desta civilização.

 

O sistema sexagesimal

 

    Na civilização suméria utilizavam-se dois  sistemas de contagem

diferentes: um na base 5 e outro na base 12.

    A base 5 resumia-se à utilização dos dedos das mãos como

processo de contagem, servindo-se de uma mão para contar e da

outra como auxílio a contagens de maior dimensão, para "armazenar"

a quantidade dos "cincos" contados.

    A base 12 assentava na utilização das três falanges que compõe

cada um dos dedos, usando o polegar como auxiliar de contagem

(apoiava-se o polegar em cada uma das falanges, sendo assim

possível a contagem até 12).

    Na sequência de uma combinação entre os dois sistemas manuais

de contagem, surge a base 60. Esta nova técnica de contagem era

praticada da seguinte maneira: na mão direita, contam-se as

falanges, tal como na base 12, "guardando" o número de contagens

na mão esquerda, assim como na base 5.

    Esta é uma das muitas hipóteses que existem acerca da origem do

sistema sexagesimal, sistema este que constituiu um dos maiores

méritos da cultura suméria.

 

Mão esquerda              Mão direita

Contagem dos

dedos, cada um

valendo uma

dúzia.

Contagem das

falanges pelo

polegar oposto,

cada.

      Sistema de contagem sexagesimal.

 

   É importante frisar que ainda é notório, na nossa cultura, a

utilização deste sistema, quer por exemplo na expressão das medidas

do tempo, em horas, minutos e segundos, ou a dos arcos e ângulos

em graus, minutos e segundos.

 

A evolução gráfica dos algarismos

 

    Os mais antigos algarismos conhecidos da história são

representados através de marcas de baixo relevo que correspondem

às diferentes classes de unidades consecutivas da numeração escrita

suméria. Assim, a unidade era representada por um entalhe fino, a

dezena por uma impressão circular de pequeno diâmetro, a

sessentena por um entalhe grosso, o número 600 por um a

combinação de dois algarismos precedentes, o número 3600 por uma

grande impressão circular e o número 36.000 por essa última munida

de uma pequena impressão circular.

    Essa sequência era obtida da seguinte forma:

1

10

60=10×6

600=(10×6)×10

3600=(10×6×10)×6

36000=(10×6×10×6)×

10

 

    Cerca do século XXVII a. C., estes algarismos foram alterados,

passando a estar dirigidos para a direita, em vez de estarem 

dirigidos para baixo, conforme ilustra a figura:

1 10 60 600 3 600 36 000

 Forma dos algarismos sumérios arcaicos após uma rotação de 90º

    Com a evolução da escrita cuneiforme, estes algarismos voltaram

ser a alterados, passando a ter formas diferentes: a unidade era

representada por um pequeno prego vertical, a dezena por uma viga,

a sessentena por um prego vertical de maior dimensão, o número 600

por um prego vertical do tipo precedente associada a uma viga, o

3600 por um polígono formado pela reunião de quatro pregos, o

número 36000 por um polígono do tipo precedente, munido de uma

viga e por fim o número 216000 combinando o polígono de 3600 com

o prego da sessentena.

 

  1 10 60 600 3 600 36 000 21 600

ALGARISMOS ARCAICOS (conhecidos desde 3 200 - 3 100

a. C.)

DISPOSIÇÃO VERTICAL

 

DISPOSIÇÃO HORIZONTAL

 

ALGARISMOS CUNEIFORMES (conhecidos ao menos desde o

século XVII a. C.)

Evolução gráfica dos algarismos de origem suméria.

 

O princípio da numeração escrita suméria

    Com estes sistemas de representação de algarismos os sumérios

conseguiam obter qualquer número, baseando-se no princípio aditivo

e, repetindo as vezes necessárias em cada ordem de unidades um

algarismo,  obtinha-se o número pretendido. É de notar a

preocupação que existia em agrupar os algarismos idênticos com o

objectivo de facilitar a sua rápida visualização e compreensão.

36 000 reproduzido 3 vezes = 36 000 × 3 = 108 000

3 600 reproduzido 4 vezes = 3 600 × 4 = 14 400

600 reproduzido 3 vezes = 600 × 3 = 1 800

60 reproduzido 1 vez = 60 × 1 = 60

10 reproduzido 3 vezes = 10 × 3 = 30

1 reproduzido 6 vezes = 1 ×6 = 6

          124296

 Representação do número 164571, com recurso aos algarismos arcaicos.

 

  30 8 60 50 7 180 40 1 240 40 1 120 10 9

4 38 117 221 281 139Representação do número 800, com recurso aos algarismos cuneiformes.

 

    De forma a simplificar e evitar as desmedidas repetições de sinais

idênticos, os escribas de Sumer usaram frequentemente o método

subtractivo, escrevendo, por exemplo, os números 9, 18, 38, 57,

2360, 3110, da seguinte forma:

 

10 - 1 20 - 2 40 - 2 60 - 3

9 18 38 57

2 400 - 40 3 120 - 10

2360 3 110

O sinal ou era precisamente o equivalente ao nosso "menos"

Representação de números recorrendo ao método subtractivo.

 

    Também no sentido da simplificação da escrita, os múltiplos de

36000 passaram a ser representados da seguinte forma (em vez de

se usar a repetição continua dos símbolos):

 

72 000 108 000 144 000 180 000 216 000

 Representação simplificada de alguns múltiplos de 36000.

 

Como calculavam os sumérios  

 

    Bilhas, cones e esferas para calcular

        Para fazer cálculos os sumérios utilizavam objectos que,

consoante a sua forma e tamanho, representavam as diferentes

ordens de unidade do sistema sexagesimal:

1   pequeno cone

10   bilha

60   grande cone

600  grande cone

perfurado

3600   esfera

36000   esfera perfurada

Objectos utilizados no cálculo.

       

            O processo operatório no qual se baseavam para realizar a

divisão consistia, no final de cada etapa, em trocar os objectos pelos

de ordem imediatamente inferior. Com efeito, consideremos o

seguinte exemplo:

    Dividir 324000 por 7

    324000=9×36000

    Como se pretende a divisão por 7, repartiremos 9 esferas

perfuradas por grupos de 7 (note-se que as esferas representam a

maior unidade neste sistema):

  1 grupo

Primeiro resto            

   

    O número de grupos de 7 esferas perfuradas que resulta desta

primeira divisão é igual a 1, ou seja, o quociente desta primeira

divisão parcial é 1. No final desta primeira divisão restam 2 esferas

perfuradas.

    Para se poder prosseguir a operação é necessário converter

2×36000 em múltiplos de 3600 (unidade imediatamente inferior a

36000). Deste modo 2×36000=2×10×3600=20×3600. Obtemos assim

20 esferas simples, que repartimos novamente por grupos de 7:

 

2 grupos

 

Segundo resto    

  

    O número de grupos de 7 esferas simples que resulta da segunda

divisão é igual a 2, ou seja, o quociente desta segunda divisão parcial

é 2 e restam 6 esferas simples.

    Para prosseguir  a operação vamos converter 6×3600 em múltiplos

de 600. Obtemos assim 36 grandes cones perfurados, que repartimos

novamente por grupos de 7:

 

  5 grupos

 

 

 

 

Terceiro resto              

   

    O número de grupos de 7 grandes cones perfurados que resulta da

terceira divisão é igual a 5 (quociente) e sobra 1 grande cone

perfurado (resto).

    De seguida converteremos 1×600 em múltiplos de 60. Obtemos

assim 10 grandes cones simples, que repartimos novamente por

grupos de 7:

  1 grupo

Quarto resto          

   

    O número de grupos de 7 grandes cones simples que resulta da

quarta divisão é igual a 1 (quociente) e sobram 3 grandes cones

simples (resto).

    Depois de converter 3×60 em múltiplos de 10 obtemos 18 bilhas,

que repartimos novamente por grupos de 7:

 

  2 grupos

   

Quinto resto        

    

    O número de grupos de 7 bilhas que resulta da quinta divisão é

igual a 2 (quociente) restando 4 bilhas.

    Para terminar a operação resta-nos converter 4×10=40 por grupos

de 7:

 

 

5 grupos

 

 

 

 

 

Sexto resto      

    O número de grupos de 7 pequenos cones que resulta da quinta

divisão é igual a 50 (quociente) e restam 5 pequenos cones.

    O quociente final obtém-se fazendo a adição dos quocientes obtidos

nas várias divisões, com efeito:

        1×36000+2×3600+5×600+1×60+2×10+5×1=46285 (quociente

da divisão de 324000 por 7)

 

    Das pedras ao ábaco

 

    Posteriormente foi adoptado um outro processo que consistia em

organizar por colunas as contagens que se efectuavam, sendo a

primeira (a da direita) associada às unidades, a seguinte às dezenas e

assim sucessivamente.

Consideremos o seguinte o exemplo: Representação do número 3672

M C D U

 

   

   

   

     

       

       

 

    Mais tarde este método de cálculo deu origem ao ábaco de pedras.

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/algarismos/sumeria.htm