interaÇÃo entre ondas guiadas e defeitos...
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INTERAÇÃO ENTRE ONDAS GUIADAS E DEFEITOS
EM PLACAS COMPÓSITAS LAMINADAS
Juan Carlos Figueroa Barra
Tese de Doutorado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Engenharia Mecânica,
COPPE, da Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários á obtenção do título de Doutor
em Engenharia Mecânica.
Orientadores : Fernando Alves Rochinha
Ricardo Leiderman
Rio de Janeiro
Abril de 2011
INTERAÇÃO ENTRE ONDAS GUIADAS E DEFEITOS
EM PLACAS COMPÓSITAS LAMINADAS
Juan Carlos Figueroa Barra
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM
CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________ Prof. Fernando Alves Rochinha, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Ricardo Leiderman , D.Sc.
________________________________________________ Prof. Arthur Martins Barbosa Braga, Ph.D.
________________________________________________
Profa. Lavinia Maria Sanábio Alves Borges, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Antonio Lopes Gama, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2011
Figueroa Barra, Juan Carlos
Interação entre Ondas Guiadas e Defeitos em Placas
Compósitas Laminadas/Juan Carlos Figueroa Barra – Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
VI, 64 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Fernando Alves Rochinha e Ricardo
Leiderman.
Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 62-64.
1. Placas Compósitas Laminadas. 2. Aproximação Quase-
Estática. 3. O Método da imersão invariante. I. Rochinha,
Fernando Alves e Leiderman, Ricardo. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia
Mecânica. III. Título.
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.).
INTERAÇÃO ENTRE ONDAS GUIADAS E DEFEITOS
EM PLACAS COMPÓSITAS LAMINADAS
Juan Carlos Figueroa Barra
Abril /2011
Orientadores: Fernando Alves Rochinha
Ricardo Leiderman.
Programa: Engenharia Mecânica
Na presente contribuição, com o auxílio do método das perturbações e adaptação
da aproximação quase-estática, desenvolve-se um método analítico-numérico que
permite modelar o campo acústico resultante da interação entre ondas guiadas e
interfaces imperfeitas em placas compósitas. O método desenvolvido admite que as
camadas da placa sejam arbitrariamente anisotrópicas e é incondicionalmente estável
mesmo para altas freqüências. Tal método pode ser ferramenta valiosa no desenho de
ensaios não destrutivos por ultrassom de estruturas laminadas.
.
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
INTERACTION BETWEEN GUIDED WAVE AND DEFECTS IN
LAMINATED PLATES
Juan Carlos Figueroa Barra
April/2011
Advisor : Fernando Alves Rochinha
Ricardo Leiderman.
Program: Mechanical Engineering In this contribution, with the aid of the perturbation method and adjustment of
quasi-static approximation, we discuss the application of an analytical-numerical model
that allows modelling the sound field resulting from the interaction between guided
waves and interfaces of imperfect composite plates. The method, which admits that the
layers of composite material are arbitrarily anisotropic and is stable to higher
frequencies, is used here to study the interaction between beams of ultrasonic wave and
localized defects present in interfaces for adhesive joint.
Sumário 1. Introdução.
2. Revisão Bibliográfica.
3. Ondas em Placas.
3.1 Ondas em Placas.
4. Modelando Interfaces de Adesão.
4.1 A aproximação quase estática (QSA).
4.2 Modelando defeitos localizados em interfaces de adesão.
5. O método da imersão invariante.
5.1 Introdução.
5.2 Campo Especular.
5.3 Campo espalhado.
6. Resultados Numéricos e discussão.
6.1 Simulação com placa homogênea de Alumínio.
6.2 Simulação com placa composta por três camadas isotrópicas.
7. Conclusão e sugestões para trabalhos futuros.
Apêndice A
A.1 Sólido anisotrópico homogéneo
A.2 Sólido isotrópico homogêneo em estado plano de deformação
Referências Bibliográficas
1
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11
15
15
17
20
20
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34
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47
49
49
55
62
Capítulo 1 Introdução
1.1 Materiais Compósitos Laminados
A presente Tese tem por objetivo desenvolver um método analítico-numérico
que auxilie no desenho de ensaios por ultrasom de materiais compósitos laminados. Na
atualidade, estes materiais compósitos têm uma grande variedade de aplicações na área
da engenharia estrutural, apresentando excelente desempenho, especialmente do ponto
de vista de sua resistência e rigidez.
Os materiais compósitos laminados ou multicamada, estão constituídos por
várias camadas de diferentes materiais, coladas, conseguindo assim formar um novo
material, cujas propriedades podem ser manipuladas e otimizadas de acordo com a
aplicação para a qual foi projetado.
As propriedades a serem controladas são variadas e dependerão de cada aplicação, entre
elas:
• Resistência estática e à fadiga;
• Rigidez;
• Resistência à corrosão;
• Resistência à abrasão;
• Redução de peso;
• Dureza, ductilidade;
• Isolamento ou condutividade térmica, elétrica ou acústica.
Em relação às suas aplicações, os materiais compósitos são empregados numa
grande variedade de campos da engenharia e construção, alguns exemplos são a
indústria automobilística e a aeroespacial, e em diversos produtos de uso cotidiano.
Mendonça (2005) apresentou algumas características típicas dos materiais
compósitos laminados, particularmente no que se refere a lamina, elemento básico de
1
um laminado, a qual pode se encontrar reforçada por fibras com diferentes orientações,
dependendo das características que o projetista deseja dar ao material. Estas fibras
podem ser longas ou curtas, paralelas entre elas, unidirecionais, bidirecionais ou
formando tecidos. Este procedimento tem por objetivo melhorar as propriedades
mecânicas da lâmina na direção das fibras. Nesse sentido, diferentes lâminas podem ser
combinadas com a finalidade de melhorar as propriedades em direções específicas de
acordo com as solicitações do projeto.
Como foi mencionado anteriormente, o elemento básico de um material
compósito laminado é a lâmina, a qual se encontra unida a outras lâminas através de um
adesivo. Com o passar do tempo e pelo efeito do meio ambiente, a junta pode perder
suas propriedades de aderência, resultando então na degradação da união.
Segundo Garg e Pagano (1988), a integridade da união adesiva entre lâminas
depende das propriedades entre o adesivo e as laminas aderentes. Quando estas
propriedades diminuem, gera-se a degradação da união laminada, a qual é classificada
em dois tipos, e que são conhecidas como delaminação e dano intra-laminar. A
delaminação se caracteriza pela perda de aderência entre as laminas adjacentes e o dano
intra-laminar consiste numa trinca na matriz da lâmina, ou uma ruptura de fibras, ou
descolamento entre fibra e matriz. Cabe salientar que em qualquer dos casos anteriores
se gera a falha do material.
1.2 Ensaios não destrutivos (END)
Os ensaios não destrutivos são métodos de ensaios tecnológicos utilizados no controle
da qualidade de materiais, mecanismos e estruturas. Os ensaios não destrutivos (END)
são definidos em Siqueira (2007) como um conjunto de técnicas não intrusivas, as quais
são utilizadas para a detecção de descontinuidades o para a determinação de
propriedades físicas ou geométricas de materiais. Neste contexto os ensaios não
destrutivos abrangem um conjunto de métodos os quais permitem obter informação
sobre o estado de degradação do material do elemento ensaiado.
2
As técnicas mais usadas em ensaios não destrutivos são o ultra-som, radiografia
com raios-X ou gama, análise de vibrações, correntes parasitas, líquidos penetrantes,
partículas magnéticas, termografia, ensaio visual, emissão acústica e estanqueidade [4].
Um sistema de inspeção por ultra-som é basicamente composto por um
gerador/receptor de pulsos, um ou mais transdutores, dispositivos de aquisição,
processamento e visualização de dados e cabos de conexão. O ensaio com ultra-som
utiliza ondas acústicas com freqüências acima do limite audível. Normalmente, estas
freqüências ultra-sônicas situam-se na faixa de 20 Khz a 25 Mhz [2]. O gerador de
pulsos emite um sinal elétrico em freqüências ultra-sônicas. Este sinal elétrico é
recebido pelo transdutor e transformado em excitação mecânica. O sinal mecânico,
geralmente uma onda longitudinal ultra-sônica, é então transmitido à peça ensaiada por
meio de um acoplamento existente entre o transdutor e a peça. A onda ultra-sônica
interage com o meio ensaiado e retorna parcialmente ao transdutor, que a transforma em
sinal elétrico enviando ao sistema de aquisição de dados. Por meio de processamento
dos sinais emitidos e recebidos, é possível mapear a geometria e possíveis
descontinuidades da peça ensaiada. Geralmente, as dimensões reais de uma
descontinuidade interna podem ser estimadas com uma razoável precisão através dos
ecos refletidos, fornecendo meios para que a peça possa ser aceita, ou rejeitada,
baseando-se nos critérios de aceitação da norma aplicável.
As maiores aplicações deste ensaio são os ensaios em soldas, laminados,
forjados, fundidos, materiais compostos, medição de espessura, corrosão, etc. O ensaio
ultra-sônico é o método de ensaio não destrutivo mais utilizado e o que apresenta o
maior crescimento para a detecção de descontinuidades internas.
As técnicas ultra-sônicas são classificadas de acordo com a posição do transdutor, o
número de transdutores usados e o tipo de acoplamento entre o transdutor e a peça. De
acordo com este último critério são divididas em técnicas de contato e técnicas sem
contato (imersão) [5].
Na técnica de contato o transdutor é diretamente aplicado no objeto usando-se
água, óleo ou outros agentes que sirvam de meio acoplante, na técnica sem contato o
transdutor é manipulado a certa distância do objeto de ensaio, dentro de um meio que
3
pode ser água ou óleo leve; isto traz vantagens por eliminar a influência da variação do
acoplamento. A escolha da técnica deverá ser feita levando-se em consideração a
sensibilidade, geometria da peça, tipo e orientação da descontinuidade, simplicidade de
operação, velocidade necessária para a inspeção, etc.
A técnica de contato é mais aplicada a produtos de grandes dimensões e
estruturas soldadas, ao passo que a técnica de imersão é utilizada para ensaio de grandes
lotes de peças pequenas e idênticas através de sistemas automatizados, especialmente na
indústria automobilística e aeronáutica onde se exige alta sensibilidade no ensaio.
Como foi mencionado anteriormente o ensaio ultra-sônico se baseia no
fenômeno de reflexão de ondas acústicas quando encontram obstáculos à sua
propagação. É importante observar que apenas uma fração do sinal emitido retorna ao
transdutor. Isto ocorre devido aos seguintes efeitos:
• Impedância acústica: afeta a transmissibilidade e a refletividade das ondas.
• Absorção: transformação da energia mecânica em energia térmica.
• Espalhamento: desvios do feixe sônico devido a imperfeições do material.
• Difração: efeito que ocorre quando um feixe sônico passa pela borda de
um elemento refletor.
• Dispersão do feixe: divergência do feixe sônico com a profundidade da
peça.
Além dos efeitos acima citados, a freqüência da onda sônica influi na sua
atenuação. Ondas de alta freqüência possuem alta sensibilidade de detecção, porém são
fortemente amortecidas, ou seja, possuem baixo poder de penetração. Ondas de baixa
freqüência, em contrapartida, apresentam baixa sensibilidade, porém boa capacidade de
penetração.
4
O trabalho aqui proposto tem como objetivo principal a identificação e
caracterização de modos guiados em placas compósitas que sejam bons candidatos para
o ensaio de interfaces de adesão, bem como a modelagem do espalhamento acústico
resultante da interação entre os modos identificados e defeitos interfaciais.
Para atingir estes objetivos, a presente tese é estruturada em sete capítulos. No
primeiro capítulo são apresentadas algumas características gerais de um material
compósito e dos ensaios não destrutivos. Particularmente, são mencionadas algumas
características dos ensaios por ultrasom. O segundo capítulo apresenta uma revisão da
literatura sobre as principais técnicas de inspeção de interfaces por ultra-som atualmente
utilizadas. No terceiro capítulo são mostradas as equações governantes para a
propagação de ondas em placas. No quarto capítulo é detalhada a Aproximação Quase-
Estática e aplicado o método das perturbações para a modelagem de defeitos
localizados. No quinto capítulo o método da imersão invariante é aplicado ao problema
de propagação de Ondas Guiadas em placas livres. No sexto capítulo são apresentados
os resultados numéricos da simulação de uma placa homogênea de alumínio e a
simulação de uma placa compósita Al-Cu. Além disso, este capítulo traz uma discussão
dos resultados obtidos. Finalmente, o capítulo sétimo apresenta as conclusões desta tese
e sugestões para trabalhos futuros.
5
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
Neste capitulo apresenta-se uma breve revisão bibliográfica sobre os assuntos
relacionados ao tema de juntas coladas em estruturas. Sabe-se que a resistência de
muitas estruturas mecânicas depende criticamente das uniões entre as estruturas
componentes. Alguns exemplos são as uniões sólidas formadas por soldagem e as
uniões adesivo-aderente em juntas adesivas. A eficiente transferência do carregamento
entre os componentes colados faz com que em muitos casos a utilização deste tipo de
juntas adesivas seja a mais adequada.
Nas juntas coladas são identificadas três regiões distintas: o adesivo, o aderente
e a interface de adesão entre adesivo e aderente. Normalmente a camada de adesivo
apresenta centenas de mícrons de espessura, enquanto a interface de adesão possui
apenas alguns mícrons. É nesta interface, mais do que na camada adesiva, que
freqüentemente ocorrem os maiores problemas em juntas coladas. Estes problemas
podem surgir durante o processo de fabricação da estrutura ou aparecer, gradativamente,
durante a vida útil da mesma. Imperfeições nesta interface tais como gretas, porosidade,
inclusões, etc. podem significativamente degradar o desempenho da união.
Freqüentemente imperfeições confinadas na fina camada interfacial de adesão são muito
difíceis de se caracterizar.
Quando a camada interfacial é fina comparado com o comprimento de onda excitado ela
pode ser modelada como uma interface infinitamente delgada que se constitui em uma
distribuição de molas normais e tangenciais. Á esta aproximação, que aparentemente foi
primeiramente proposta por Baik e Thompsom (1984), dá-se o nome de Aproximação
Quase Estática (QSA). Uma grande quantidade de estudos tem sido publicada a
respeito. Exemplos de tais trabalhos são os de Pecorari e Kelly (1999) e Baltazar,
Rockhlin e Percorari (1999). Nos artigos citados, apresenta-se um estudo da
aproximação quase estática (QSA) utilizadas para descrever a interação de ondas ultra-
sônicas com interfaces imperfeitas ou danificadas. Na formulação matemática da QSA
6
se definem constantes de rigidez e de molas distribuídas na interfase, que
permitem relacionar a descontinuidade das componentes de deslocamento com as
correspondentes componentes de esforço na interface. Zakharv (2006) desenvolveu um
estudo do comportamento dinâmico tridimensional da interação ultra-sônica de uma fina
lâmina elástica acoplada a dois sólidos elásticos anisotrópicos. Foram utilizadas
condições de contorno de molas para simular a lâmina. A teoria desenvolvida pode ser
utilizada para o estudo de superfícies e fenômenos interfaciais. Hasheminejad e Maleki
(2008) estudaram a interação de ondas acústicas com uma casca esférica isotrópica
laminada transversalmente com defeitos inter-laminares. Neste trabalho, foi adotado um
modelo de molas lineares para descrever o comportamento da união adesiva inter-
laminar. De forma semelhante ao trabalho anterior, Rajabi e Hasheminejad (2009)
estudaram a dispersão tridimensional de um campo acústico harmônico, com incidência
oblíqua sobre um cilindro oco multi-laminado, o qual apresentava defeitos inter-
laminares. O mesmo modelo de molas lineares foi utilizado para descrever a união
adesiva inter-laminar. O estudo mostrou como resultados que o estado de integridade da
união tem um grande efeito sobre a resposta dinâmica das placas laminadas, e que as
características da ressonância dominante dos modos altos, podem ser um bom indicador
do estado da junta de placas cilíndricas. Golub (2010) estudou a propagação de ondas
elásticas em materiais compósitos laminados, os quais possuem zonas de concentração
de micro-defeitos na interfase de adesão. Esta interface foi modelada usando um modelo
de molas lineares (QSA). A rigidez da condição de contorno das molas foi determinada
através da densidade de fissuras e o tamanho médio dos micro-defeitos na interface,
como também das propriedades elásticas dos materiais ao redor deles.
NK TK
Outros autores têm estudado o comportamento de uniões coladas, focando suas
pesquisas na caracterização de interfaces de adesão. Nesse sentido, os trabalhos de
Balasubramaniam (1990), mostraram a avaliação da qualidade das propriedades de
interface adesiva de uma lâmina usando técnicas de dispersão ultra-sônica. Da mesma
forma, o trabalho de Lavrentyev e Rokhlin (1994,1997) apresentou um estudo para a
determinação do conjunto de propriedades geométricas e acústicas de uma lâmina
isotrópica entre dois materiais conhecidos utilizando uma técnica ultra-sônica. A partir
dos resultados destes trabalhos, derivaram-se correlações válidas entre estas
propriedades e a resistência da união. Entretanto, Pilarski e Rose (1990), estudaram as
7
características angulares e do espectro de freqüência da refletividade de placas
laminadas isotrópicas e anisotrópicas, mostrando que os coeficientes de transmissão e
reflexão para incidência oblíqua de ondas longitudinais e transversais podem ser
calculados numericamente como uma função do ângulo de incidência, freqüência de
incidência, condições da interface e propriedades do material. Por outro lado, Pialucha
e Cawley (1992) encontraram em seus resultados que o coeficiente de reflexão pode ser
usado para determinar a degradação interfacial com suficiente segurança apenas se a
interface estiver severamente danificada, mesmo que se use uma alta freqüência e que
a espessura da camada interfacial seja grande. Por ultimo, nesta mesma linha, Li,
Hefetz e Rokhlin (1992) desenvolveram um estudo da avaliação ultra-sônica da
degradação pelo meio ambiente de uniões adesivas. As peças ensaiadas foram
degradadas em água fresca e com sal para diferentes temperaturas e diferentes cargas. O
estudo mostrou que alguns parâmetros do sinal ultra-sônico refletido no domínio da
freqüência podem ser usados como indicador da degradação da união. Concluiu-se que
a magnitude e posição de mínimo no espectro de freqüência ultra-sônico refletido está
relacionado com as propriedades mecânicas da união, e pode ser um indicador da
degradação da união adesiva.
Alguns autores têm ainda investigado o uso de ondas “Lamb”, ou outro tipo de
onda guiada, na inspeção de interfaces de adesão em placas laminadas. Nesses casos,
mede-se a atenuação e a velocidade de grupo ou de fase do modo que se propaga, e
tenta-se relacioná-los com as propriedades da interface de adesão, ou outras
propriedades de interesse. Ensaios que utilizam ondas Lamb, ou outro tipo de ondas
guiadas, têm a vantagem de inspecionar grandes áreas em curto período de tempo. A
seleção dos modos mais sensíveis à presença de defeitos não é tarefa simples e os
critérios para a definição de parâmetros de um ensaio ótimo ainda são tema de
discussão. Além disso, métodos para a modelagem da interação destes modos com
defeitos interfaciais localizados, que pode servir de ferramenta para o planejamento de
ensaios, ainda são pouco encontrados na literatura. Alguns autores que podem ser
citados são Pilarski, Rose et al. (1993). Estes propõem critérios para a seleção de modos
de excitações de ondas Lamb para incrementar a sensibilidade na detecção de falhas
interfaciais. Kundu e Blodgett (1994) realizaram estudos para a determinação de
defeitos profundos em laminados múltiplos, encontrando os modos de ondas Lamb mais
apropriados. Singher, Seagal et al. (1994), estudaram a avaliação da resistência da união
8
usando ondas guiadas ultra-sônicas. Os resultados mostraram que as medições da
velocidade de propagação podem fornecer informação acerca da resistência da união.
Por outro lado, Leiderman e Braga (2005), desenvolveram um método analítico-
numérico para simular a interação entre ondas ultra-sônicas incidentes e placas
laminadas cujas uniões são imperfeitas. O problema de espalhamento ultra-sônico em
materiais laminados anisotrópicos, unidos por meio de adesivos foi estudado. O
espalhamento se produz devido à presença de falhas não uniformes no adesivo da
interface em um meio anisotrópico elástico de múltiplas lâminas. A interface entre o
adesivo e o aderente é modelada como uma lâmina separada, a qual tem suas próprias
propriedades constitutivas. Considerando que esta lâmina tem uma espessura
infinitesimal, pode-se modelar por um conjunto equivalente de molas tangenciais e
normais. As molas conectam o adesivo com o aderente. Neste tipo de aproximações a
interface é representada como uma distribuição continua de molas, com uma dada
rigidez. Uma falha na interface é modelada como uma região que possui uma rigidez
menor que à normal. Leiderman e Braga utilizaram a aproximação quase-estática,
assumindo a hipótese que a rigidez da união e a resistência da união estão
correlacionadas. Fazendo uso do método das perturbações e da aproximação quase-
estática, modelam-se os defeitos não uniformes na interface. Para a avaliação de cada
termo da série de perturbação se utilizou um algoritmo recursivo baseado no método da
imersão invariante. O método da imersão invariante é adequado para problemas de
propagação de ondas em estruturas estratificadas, sendo numericamente estável mesmo
para altas freqüências, as quais são mais propícias para a inspeção de finas camadas
interfaciais.
Finalmente, o trabalho aqui proposto, seguindo a linha de estudos de Leiderman
et Al. (2005), tem como objetivo principal o desenvolvimento de um método analítico
numérico para a identificação e caracterização de modos guiados em placas compósitas
que sejam adequados para o ensaio de interfaces de adesão, bem como para a
modelagem do espalhamento acústico resultante da interação entre os modos
identificados e defeitos interfaciais.
9
No sentido do que está dito acima, aqui foi dado ênfase ao planejamento de
ensaios experimentais nos quais se possa identificar claramente o sinal resultante da
interação entre o modo guiado e uma interface defeituosa em uma placa laminada.
10
Capítulo 3
Ondas em Placas
3.1 Ondas em Placas.
Neste capítulo se apresentam as equações governantes da Elastodinâmica para
ondas em placas. O método dos potenciais de deslocamento é usado para obter a
solução para o caso de propagação de ondas guiadas em placas livres.
As ondas guiadas se diferenciam das ondas de volume, pois estas últimas viajam
no volume do material, longe dos contornos. Porem, com freqüência interage com os
contornos através de fenômenos de refração e reflexão, gerando modos de conversão
entre ondas longitudinais e transversais. As ondas de volume e as ondas guiadas são
fundamentalmente diferentes, a despeito a que elas são modeladas pelo mesmo conjunto
de equações diferenciais parciais. Matematicamente, diferenciam-se em que as ondas de
volume não precisam satisfazer certas condições de contorno, ao contrario do que
acontece com as ondas guiadas que precisam satisfazer certas condições de contorno.
A introdução de condições de contorno torna o problema de ondas guiadas mais
difícil de se resolver e, na grande maioria dos casos, a solução não pode ser encontrada
analiticamente. Outro fato interessante na propagação de ondas guiadas é que existe um
número infinito de modos associados a sua propagação.
Os primeiros estudos de propagação de ondas em placas foram realizados por
Rayleigh (1945) e Lamb (1917). As ondas de Rayleigh são ondas livres que agem sobre
a superfície de um sólido semi-infinito, caracterizam-se por forças de tração sobre a
superfície de contorno nulas que decaem exponensialmente com a profundidade. As
Ondas Lamb são ondas que se propagam em placas livres. Estas ondas têm sido
amplamente estudadas no campo dos Ensaios Não Destrutivos especialmente devido à
sua capacidade para se propagar ao longo de grandes distâncias com baixa atenuação.
11
As equações que governam as ondas em placas são oriundas da teoria da
elasticidade e são apresentadas usando notação tensorial cartesiana.
,ij j i if uσ ρ ρ+ = && 3 equações de balanço ( 1, 2,3i = ) (3.1)
, ,1 (2ij i j j iu uε = + ) 6 equações de deformação independentes (3.2)
, 2i j kk ij ijσ λε δ με= + 6 equações constitutivas independentes (3.3)
As duas primeiras equações são válidas para qualquer meio contínuo. A terceira
assume isotropia do meio. Substituindo os esforços e deformações na equação (3.1),
pode-se obter a equação de movimento (3.4), a qual é expressa em função dos
deslocamentos. (anexo A.2)
, ,( )i jj j ji i iu u f uμ λ μ ρ ρ+ + + = && (3.4)
Se o domínio no qual a solução é procurada é o infinito, então as equações
anteriores são suficientes. Se o domínio é finito, então condições de contorno são
necessárias para ter um problema bem formulado. As condições de contorno adquirem a
forma de trações e/ou deslocamentos prescritos.
As formas gerais de tais condições de contorno podem ser as seguintes:
0( , ) ( , )u x t u x t= em superfícies de deslocamentos. (3.5)
i ijt jnσ= em superfícies de tração. (3.6)
0( , ) ( , )u x t u x t= em 1S
e i ijt jnσ= em Condições de contorno mistas. (3.7) 2S
A geometria do problema de Placa Livre esta ilustrada na Figura 3.1, este
problema é governado pela equação (3.4) e condições de contorno tipo (3.6).
12
Fig. 3.1 Geometria do problema de Placa Livre.
As superfícies nas coordenadas 3 / 2x d h= = y 3 / 2x d h= = − são consideradas
livres de tração. Se alguma excitação ultra-sônica ocorre num ponto da placa, a energia
ultra-sônica encontra as superfícies de contorno superior e inferior, ocorrendo modos de
conversão. Ao se propagarem, a superposição destes modos de conversão gera a
formação de pacotes de ondas, que comumente são chamados modos de ondas guiadas
na placa.
A solução deste problema tem sido obtida através de diferentes abordagens. As
técnicas mais comuns de solução correspondem ao método de funções potenciais de
deslocamento e a técnica de ondas parciais (Achenbach 1984 e Auld 1990,
respectivamente). Em Rose [29], apresentam-se o desenvolvimento das relações
conhecidas como equações de freqüências Rayleigh-Lamb, as quais foram obtidas
usando o método das funções potenciais de deslocamento. Estas podem ser escritas
como:
2
2 2
tan( ) 4tan( ) ( )
qh k pq2ph q k
= −−
para Modos Simétricos (3.8)
2 2
2
tan( ) ( )tan( ) 4
qh q k 2
ph k p−
= −q
para Modos Anti-simétricos (3.9)
onde: 2
2 2
L
p kCω⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
y 2
2 2
T
q kCω⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.10)
13
: Frecuencia angular.: Comprimento da onda.: Número de onda.: Velocidade de fase da onda longitudinal.: Velocidade de fase da onda transversal.
L
T
kCC
ωλ
O Número de Onda k é numericamente igual a / pCω , onde é a Velocidade
de Fase do modo de Onda Lamb e
pC
ω é a Freqüência Circular. A Velocidade de Fase
está relacionada com o comprimento de Onda pela equação ( / 2 )pC ω π λ= . Através
das equações (3.8) e (3.9) se relacionam a freqüência ω com o número de onda dos
modos de Ondas Lamb, resultando um espectro de freqüências. Também se pode
relacionar a Velocidade de Fase com a freqüência
k
pC ω , resultando as Curvas de
Dispersão. É conhecido que para qualquer freqüência dada, existe um número infinito
de velocidades de fase que satisfaz as equações (3.8) e (3.9), dando origem a
famílias de Curvas de Dispersão.
pC
No texto de Rose [29] são apresentadas as curvas de dispersão para uma placa de
alumínio livre de tração. Estas curvas de dispersão foram obtidas de forma numérica
utilizando as equações (3.8) e (3.9).
No mesmo texto de Rose podem ser vistos gráficos dos modos de deslocamentos
para o modo S0 e distintos valores de fd de uma placa de alumínio, que serão usados
para efeitos de validação do código numérico aqui desenvolvido.
A seguir, no Capítulo 4 é apresentada a modelagem quase-estática para
interfaces de adesão e para defeitos localizados. No Capítulo 5, será tratado o método da
imersão invariante e sua aplicação ao problema aqui descrito.
14
Capítulo 4
Modelando Interfaces de Adesão
4.1 A aproximação quase estática (QSA)
No estudo da propagação de ondas elásticas em meios estratificados formados
por uma superposição de camadas homogêneas, entre as quais se enquadram as
estruturas laminadas consideradas neste trabalho, o problema a ser resolvido pode ser
equacionado a partir da teoria da elasticidade linear. Os campos de deslocamento e de
tensão no interior de cada camada devem obedecer às seguintes equações:
2
2tρ ∂∇ =∂
uσ (4.1)
:= ∇σ C u (4.2)
onde é o tensor de tensões e u o vetor de deslocamentos, e C é o tensor de
elasticidade [ 29].
σ
Além disso, para cada camada, as soluções devem obedecer a condições de
contorno que representem o tipo de adesão considerada. Quando se modelam camadas
perfeitamente coladas, e não é levada em conta a fina interface de adesão, utiliza-se a
condição de contorno clássica, que impõe a continuidade dos campos de deslocamento e
do vetor tração que atua no plano da superfície de contato entre as camadas. Neste caso,
na interface entre as camadas denotadas, por exemplo, pelos índices I e II , os campos
devem satisfazer às condições:
0II I− =u u (4.3)
0II I− =t t (4.4)
15
Onde representa o vetor tração que atua na superfície normal à direção de
estratificação, caracterizada pelo vetor unitário n ou seja:
t
= ⋅t σ n (4.5)
A modelagem de interfaces de adesão pode ser convenientemente introduzida no
problema na forma simplificada proposta por Baik e Thompson [30] na década de
oitenta, hoje denominada Aproximação Quase-estática (QSA). Em [12] Rokhlin e
Huang mostraram que, desprezando-se termos de acoplamento e inércia, as condições
de contorno para uma fina interface de adesão podem ser modeladas com a ajuda de
uma matriz diagonal de rigidez. Segundo esta aproximação, a fina interface de adesão é
representada por uma distribuição homogênea de molas transversais e normais
conforme esquematicamente mostrado na Figura 4.1.
Figura 4.1: Modelo matemático da QSA.
As condições de contorno entre os meios I e II podem então ser escritas como
[8,13,18,20,30]:
( )II I II− =K u u t (4.6)
II I=t t (4.7)
16
Onde é a matriz diagonal de rigidez. É importante salientar que se a interface
possui o mesmo nível de adesão em toda sua extensão, a matriz é uniforme, não
variando com a coordenada
KK
x .
4.2 Modelando defeitos localizados em interfaces de adesão
Em situações reais, a fina interface de adesão pode estar degradada por efeito do
meio ambiente ou apresentar defeitos oriundos do processo de fabricação. Estes defeitos
localizados são então responsáveis pelo espalhamento de ondas elásticas quando estas
incidem sobre a interface. Matematicamente, os defeitos localizados podem ser
representados por variações locais na matriz diagonal de rigidez da aproximação QSA.
Neste trabalho, foi adotada a direção z como a direção de estratificação.
Portanto, como indicado na Figura 4.1, as camadas e suas interfaces de adesão são
paralelas ao plano xy . O vetor deslocamento é então escrito na forma:
uvw
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
u (4.8)
Enquanto o vetor tensão é dado por :
zx
zy
zz
σσσ
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
t (4.9)
Neste caso, a matriz diagonal de rigidez pode ser escrita como:
0 000 0
x
y
KTKT 0
KN
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
K (4.10)
17
Considerando uma situação na qual a interface de adesão possui defeitos
localizados, a matriz de rigidez original pode ser perturbada introduzindo-se um
segundo termo:
0 1( , )x yε= +K K K (4.11)
onde é constante e 0K 1( )xK é função da coordenada espacial x , enquanto ε é um
parâmetro adimensional, representando a magnitude do defeito.
Expandindo-se os campos de deslocamento e tensão em uma série de potência
do parâmetro ε , tem-se:
2 3
0 1 2 3 ...n n n n nε ε ε= + + + +u u u u u (4.12)
2 3
0 1 2 3 ...n n n n nε ε ε= + + + +t t t t t (4.13)
Então as condições de contorno (4.3) e (4.4) podem ser divididas em grupos de
acordo com o expoente de ε .
Para , pode-se escrever: (1)O
( )0 0 0 0II I− =K u u t II em 0z = (4.14)
0II I
0=t t em 0z = (4.15)
Para ( )O ε , pode-se escrever:
( ) ( )0 1 1 1 0 0 1II I II I II− + − =K u u K u u t em 0z = (4.16)
1II I
1=t t em 0z = (4.17)
18
Para 2( )O ε , pode-se escrever:
( ) ( )0 2 2 1 1 1 2II I II I II− + − =K u u K u u t em 0z = (4.18)
2II I
2=t t em 0z = (4.19)
E assim por diante.
Pelas equações mostradas acima, pode-se notar que os termos de
obedecem a aproximação quase-estática na sua forma original, e são obtidos como se
não existisse defeito localizado na interface. Neste trabalho estes termos serão referidos
como campo especular.
(1)O
Também está implícito acima que os termos de ( )nO ε podem ser determinados
a partir dos termos de 1( nO )ε − . Então, um cálculo iterativo pode ser aplicado para
determinar-se tantos termos da série quantos forem desejados. A soma destes termos
será referida neste trabalho como campo espalhado.
É interessante notar que os termos do tipo ( )1II In n−K u u , que aparecem nas
equações acima podem ser entendidos como fontes, ou forças de superfície atuando ao
longo das interfaces de adesão. Para efeito de simbologia, será utilizada agora e
doravante a seguinte definição:
( )1II I
n nϕ = −K u un (4.20)
19
Capítulo 5
O método da imersão invariante 5.1 Introdução
A técnica aqui proposta para resolver o problema em questão é baseada no
método da imersão invariante, também conhecido como método da varredura ou método
de Ricatti. Trata-se de um método utilizado para transformar problemas de valor de
contorno em problemas de valor inicial. Pode-se descrever o procedimento para
aplicação da técnica aqui proposta da seguinte forma [32]: Partindo-se da impedância
superficial conhecida na superfície inferior de uma placa laminada, avança-se
recursivamente ao longo de sua espessura obtendo-se a impedância em cada interface
interna da mesma, até obter-se a impedância na superfície superior da placa. Esta
primeira etapa é conhecida como varredura de ida. A impedância na superfície inferior
da placa é em geral conhecida. Por exemplo, se a superfície inferior da placa estiver
engastada, esta impedância é infinita. Se a mesma estiver livre, esta impedância e zero.
Entre estes dois limites existe uma infinidade de possibilidades. Uma vez calculada a
impedância na superfície superior da placa, pode-se, a partir de condições de contorno
conhecidas, calcular os deslocamentos nesta superfície. Na varredura de ida efeitos de
forçamento associados a presença de fontes ao longo da espessura da placa são
transportados para a superfície superior da mesma na forma de esforços equivalentes.
Posteriormente, na varredura de volta, determina-se o campo de deslocamentos e de
esforços generalizados, também recursivamente, agora na direção oposta a da varredura
de ida.Uma das principais vantagens da utilização deste método é sua estabilidade para
altas freqüências, evitando-se trabalhar com matrizes mal condicionadas que possam
causar problemas numéricos que contaminem a solução de problemas.
A seguir mostra-se de forma esquemática a utilização desde método, em
conjunto com a aproximação quase estática e o método das perturbações, na modelagem
de uma placa laminada em contato com um substrato conhecido (vácuo) conforme
mostra a figura 5.1.
20
Figura 5.1: Figura esquemática para mostrar a aplicação do método da imersão
invariante em problemas com placas compósitas laminadas livres.
A placa é infinita na direção x e tem suas camadas constituintes unidas por camadas de
adesivo, apresentando assim uma interface de adesão entre cada camada. Estas
interfaces de adesão estão representadas por molas na figura 5.1. Vale ressaltar que
segundo a aproximação quase estática as interfaces de adesão não possuem espessura, e
são representadas através de condições de contorno entre aderente/adesivo. A placa
também possui um defeito localizado em uma de suas interfaces de adesão,
representado pelo termo K1 na figura. Ainda na figura, os algarismos romanos são
utilizados para endereçar cada meio (camada), enquanto os algarismos arábicos são
21
utilizados para endereçar cada interface. O sinal de + ao lado de algarismos arábicos ou
de letras indica posição imediatamente acima de interface de adesão. N é ó número total
de meios (números de camadas + dois semi-espaços) e n refere-se a uma camada ou
interface qualquer. Os símbolo h1,h2, etc. representam a espessura de cada camada.
Os tensores relativos a aplicação do método, representados na figura, são:
R : Matriz de reflexão. É uma matriz em todas as interfaces exceto na superior, onde é
um escalar representado pela letra r.
G : Tensor de impedância superficial que contém informação sobre as características
físicas e geométricas da estrutura. Ele é calculado em todas as interfaces da estrutura
nas superfícies imediatamente abaixo das interfaces de adesão.
G+ : Similar ao tensor acima, porém calculado em todas as interfaces da estrutura nas
superfícies imediatamente acima das interfaces de adesão. Este termo não é calculado
nas interfaces entre semi-espaços e sólido pois, obviamente, estas interfaces não são
modeladas com a ajuda de molas.
K0 : Matriz que representa as constantes de mola da aproximação QSA. Como já dito
anteriormente esta matriz é uma constante, não sendo função da coordenada espacial x.
K1 : Matriz que representa a perturbação na matriz original, K0, de constantes de mola.
Fisicamente ela representa o defeito localizado na interface de adesão. Como já visto
anteriormente, ela é função da coordenada espacial x. Neste trabalho admitir-se-á
defeitos localizados em apenas uma das interfaces de adesão, logo este termo aparecerá
em apenas uma interface, que pode ser qualquer uma menos as interfaces entre semi-
espaço e sólido.
S : Como definido anteriormente na expressão 4.20, o termo ϕ pode ser entendido
como uma força de superfície distribuída ao longo da interface de adesão. S é o tensor
que relaciona a fonte de tensão, ou esforço equivalente, com deslocamento. Ele é
calculado em superfícies imediatamente abaixo e interfaces de adesão e, neste método,
ele começa a aparecer na avaliação da primeira interface acima da interface com defeito
22
localizado e continua sendo calculada até a última interface (interface superior entre
sólido e vácuo).
S+ : Similar ao tensor S porém aparece sempre nas superfícies imediatamente acima das
interfaces de adesão. Neste método ele começa a aparecer na avaliação da interface com
defeito localizado e continua sendo calculada até a penúltima interface (ultima interface
entre sólidos)
W : Termo do tensor de impedância superficial que contém informação referente a
fonte, ou fontes, existentes no interior da estrutura. Ele é responsável pelo transporte, de
maneira recursiva, de efeitos associados a presença de fontes no interior da estrutura
para a superfície superior da mesma na forma de esforços equivalentes. Ele é calculado
em superfícies imediatamente abaixo de interfaces de adesão e, neste método, ele
começa a aparecer na avaliação da primeira interface acima da interface com defeito
localizado e continua sendo calculado até a última interface.
W+ : Similar ao termo W, porém aparece sempre nas superfícies imediatamente acima
das interfaces de adesão. Neste método ele começa a aparecer na avaliação da interface
com defeitos localizados e continua sendo calculado até a penúltima interface (última
interface entre sólidos).
A seguir, passo a passo, está mostrada a estratégia geral de solução adotada neste
trabalho:
1 – Determina-se, como será mostrado posteriormente, o modo de interesse.
2 – A partir do modo selecionado, calcula-se o termo na interface que
apresenta o defeito localizado. Aqui o sub-escrito 0 serve para denotar o primeiro termo
na série definida em 4.12, ou seja, o campo especular.
−+ − nn00 uu
3 - Calcula-se o termo φ para a primeira rodada de iteração.
4 - Transforma-se o termo φ para o domínio da freqüência espacial na direção x.
23
5 - Calcula-se o primeiro termo da série do campo espalhado e o termo −+ − nn11 uu na
interface que apresenta o defeito localizado. Aqui o sub-escrito 1 serve para denotar o
segundo termo na série definida em 4.12.
6 - Transforma-se de volta o campo especular e o termo 11 1n n−−u u para o domínio
espacial x
7 - Repete-se procedimentos 3 até 6 tantas vezes quantos forem os termos da série do
campo espalhado que se queira calcular, obviamente substituindose no passo 3 campo
especular e φ pelos correspondentes, de acordo com a iteração.
8 – Soma-se todos os termos da série calculados, com excessão do campo especular,
determinando assim o campo espalhado.
5.2 Campo Especular
Baseado no estudo de Leiderman e Braga [26], o qual foi desenvolvido para
placas laminadas submersas, foram realizadas modificações nas condições de contorno
da placa com a finalidade de modelar a propagação de ondas em placas livres. Tais
modificações são apresentadas a seguir.
5.2.1 A interface vácuo/sólido
Como foi mencionado, na presente tese se estudará a interação de um pulso
ultrassônico com uma falha numa placa composta laminada. A placa estará livre de
trações em sua superfície superior e inferior. A Figura 5.1 vai ser utilizada como
referência para definir as condições de contorno da placa. A figura a qual mostra uma
placa laminada que em seu contorno inferior se encontra em contacto com um substrato
conhecido (vácuo) e caracterizado por um tensor de impedância . A placa tem N-2
lâminas, e sua espessura total é denominada por . Um sistema coordenado é
0G
d
24
escolhido, tal que este coincida com a superfície inferior da placa, de tal forma que a
coordenada . 0z =
A condição de contorno livre de tração na superfície inferior é automaticamente
satisfeita se:
0 0=G (5.1)
logo:
10 0 II II− 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 2R G Z Z G (5.2)
5.2.2 A interface sólido/sólido
Uma vez que e estão determinados, pode ser escrito que na interface 1: 0G 0R
( ) ( )02 1 2 1 1 2II IIh h 0 0+ += +1u M u M R u (5.3)
Definindo:
1 iω= −t G1 1u (5.4)
E lembrando que:
1 1
1 1 2 2II IIiω 1⎡ ⎤= − +⎣ ⎦t Z u Z u (5.5)
Mostra-se que:
25
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 11 11 0 02 1 1 1 2 1 1 1 2 1II II II II II IIh h h h
−− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦G Z Z M R M I M R M (5.6)
As condições de contorno na interface 1 são:
1 1+=t t (5.7)
e:
1 1 10
+⎡ ⎤ 1− =⎣ ⎦K u u t (5.8)
Definindo:
1 1iω+ + 1+⎡ ⎤= − ⎣ ⎦t G u (5.9)
Mostra-se que:
{ } 111 1 1 1iω−−+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦G G K G I+ (5.10)
Definindo:
1
2+ + += +1
2u u R u1 1+
+ ⎤⎦
(5.11)
Mostra-se que:
(5.12) 11 1 1
1 2III III−+ +⎡ ⎤ ⎡= − −⎣ ⎦ ⎣R G Z Z G
O procedimento descrito acima pode ser repetido até que se determine . 3N − +R
26
5.2.3 A interface sólido/Vácuo
Na superfície superior (z = d) se tem :
( ) ( )n nd i dω= −t G u (5.13)
Onde corresponde ao tensor de impedância superficial calculado pelo algoritmo de
Imersão Invariante. A condição de contorno livre de esforços na superfície superior da
placa
nG
z d= é expressa por:
( ) 0n n d =G u (5.14)
De acordo com a equação anterior tem-se que:
det 0n =G (5.15)
A equação (5.15) é a equação de dispersão para as ondas Rayleigh-Lamb. Neste caso o
tensor de impedância superficial é skew-hermitian, e sua determinante é imaginária. A
equação (5.15) impõe restrições sobre o par ( , )xkω , e tem que ser resolvida
numericamente para gerar as curvas de dispersão para as ondas na placa. Braga [36].
5.2.4 Determinação dos vetores deslocamento em cada interface
Uma vez determinado o par ( , )xkω , calculam-se os vetores de deslocamento na
interface superior sólido/Vácuo do campo especular. Para o calculo de ( )n du utiliza-se
a decomposição SVD (singular value decomposition).
Lembrando que a condição de contorno livre de esforços na superfície superior
da placa z d= é expressa por:
27
( ) 0n ni dω− =G u (5.16)
A decomposição SVD decompõe a matriz num produto dos fatores de
outras três matrizes: , onde U e V são matrizes ortogonais e S é diagonal.
Os valores da matriz diagonal são chamados de valores singulares e por isso a
decomposição recebe este nome.
nG
TnG = USV
Os deslocamentos ( )n du são então calculados usando )13(:, +−= rn Vu . Isto
devido a que as últimas (3-r) colunas de V pertencem ao espaço nulo de , onde n
corresponde ao ordem da matriz V e r ao número de valores singulares sobre a diagonal
de S diferentes do zero.
nG
Logo:
2 12 ( )N d− −= nu F u (5.17)
Onde:
( ) ( )1 3 11 2 2 2N N N
N Nh h− − + −−=F M R M I−− + (5.18)
e :
3 1
2 2 2( )N NNh− + − −−= −u M u 2
2N (5.19)
3 3
1N N N− + − + − +=u R u 3
2 (5.20)
2 1
1 1 2 1( )N N NNh− −−=u M u 3− + (5.21)
28
Para qualquer interface sólido/sólido mostra-se:
( ) ( ) 11 1 2 1 1 12 1 1 2 1n n n n n n n n
n nh h−− − − + − − + − +
− −⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦u G M R M G G I R u 12n− +⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.22)
Logo:
2
2 2 2( )n nnh− + −−= −u M u 1
2n (5.23)
2 2
1n n n− + − + − +=u R u 2
2 (5.24)
1
1 1 1 1( )n n nnh−−=u M u 2− + (5.25)
5.3 Campo espalhado
5.3.1 A interface sólido/sólido
Supondo que a n-ésima interface de adesão, que pode ser qualquer interface
sólido/sólido, possua defeitos localizados, têm-se como condições de contorno nesta
interface:
n n+=t t (5.26)
0n n n ϕ+⎡ ⎤ n− + =⎣ ⎦K u u t (5.27)
Definindo:
n n ni nω ϕ+ + + +⎡ ⎤= − +⎣ ⎦t G u W (5.28)
29
Mostra-se que:
1
0n n n −+ + ⎡ ⎤= ⎣ ⎦W G K (5.29)
Onde é definido da mesma maneira que no campo especular. n+G
Definindo:
2 2n n n n n ϕ+ + + + += + +u u R u S (5.30)
Mostra-se que:
12
1n n n −+ + +⎡ ⎤= −⎣ ⎦S Z G Wn+ (5.31)
Onde é definido da mesma maneira que no campo especular. n+R
Para interfaces livres de defeitos localizados W , +W , e podem ser
determinados, em qualquer interface localizada acima da que contém defeito localizado,
utilizando-se as condições de contorno do campo especular. Então, continuando-se a
desenvolvimento para a placa na qual a n-ésima interface de adesão apresenta defeito
localizados, tem-se que na interface
S +S
1n+ :
( ) ( )1 2 2 12 1 2 1 1 2
n n n n n n nn nh h ϕ+ + + + + + ++ += + +u M u M R u S ⋅ (5.32)
Onde:
( )1 21 1
n nnh n+ ++=S M S + (5.33)
30
E utilizando-se novamente a definição que:
1 1 1n n ni 1nω ϕ+ + + +⎡ ⎤= − +⎣ ⎦t G u W (5.34)
Mostra-se que:
1 2 1
1n n n 1n+ + +⎡= −⎣W Z G S +⎤⎦
1
(5.35)
Onde é definido da mesma maneira que no campo especular. 1n+G
Finalmente, utilizando-se as condições de contorno 5.7 e 5.8 e as definições 5.28 e
5.30 , mostra-se que:
11 1 1 1
0n n n n niω
−+ + + + + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦W W G K W (5.36)
e:
11 3 1
1n n n −+ + + + + + +⎡ ⎤= −⎣ ⎦S Z G W 1n (5.37)
5.3.2 Determinação dos vetores deslocamento em cada interface
Para a interface superior sólido/vácuo o campo espalhado do deslocamento
é 2N−u , utilizando-se as condições de contorno, mostra-se que:
12 -2 -N N N 2ϕ−− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦u G W (5.38)
onde:
2 12N 2N− − −=u F u (5.39)
31
Onde F está definido em 5.18
Logo:
( )3 12 2 2N N
Nh− + − −−= −u M u 2
2N (5.40)
3 3 3 3
1 2N N N N ϕ− + − + − + − += +u R u S (5.41)
e:
( )2 11 1 2 1N N N
Nh− −−=u M u 3− + (5.42)
A interface sólido/sólido pode ser dividida em dois grupos. As interfaces livres
de defeitos localizados e a interface que possui defeitos localizados. Para as que estão
livres de defeitos localizados e conseqüentemente localizadas acima da interface com
defeito localizado mostra-se:
11
2n n n n n n n ϕ
−− + + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦nu F G G u W G S W (5.43)
Logo:
( )1 12 2n n
nh− + += −u M 2nu (5.44)
1 1 1 1
1 2n n n n ϕ− + − + − + − += +u R u S (5.45)
( )11 1 1 1n n n
nh 1+ − +−=u M u (5.46)
Para a que possui defeito localizado mostra-se que:
32
112n n n n n ϕ
−− + +⎡ ⎤ ⎡= ⎣ ⎦ ⎣u F G G u W + ⎤+ ⎦ (5.47)
Logo:
( )1 12 2n n
nh− + += −u M 2nu (5.48)
1 1
1n n n− + − + − +=u R u 1
2 (5.49)
( )11 1 1n n n
nh 1+ − +=u M u (5.50)
A seguir, no Capítulo 6 apresenta-se os resultados numéricos que permitem a
validação da implementação comparando curvas de dispersão obtidas com o código
com curvas de dispersão mostradas em Rose [29].
33
Capítulo 6
Resultados numéricos e discussão
6.1 Simulação com placa homogênea de alumínio.
A seguir se utilizará um código programado na plataforma Matlab ®, o qual por
meio da aproximação quase-estática e de um algoritmo recursivo baseado no método de
Imersão Invariante, pretende reproduzir as curvas de dispersão de una placa homogênea
de alumínio, isto como uma forma de validar o código, antes de começar com o estudo
de modos guiados para a detecção de falhas em placas laminadas compostas.
A configuração da placa de alumínio, cuja espessura é de 1 mm, é apresentada
na Figura 6.1. A placa foi adaptada como sendo uma placa laminada para podermos
utilisar o código desenvolvido. É importante salientar que os valores de rigidez da
matriz da aproximação quase-estática, utilizada para simular as interfaces a e b, são
valores da ordem de 10 vezes a rigidez do alumínio, isto com o propósito de poder
simular a continuidade de deslocamento entre cada lâmina que componham a placa, ou
seja, as condições de contorno clássicas. As propriedades mecânicas da placa de
alumínio são as mostradas na Tabela 6.1
Figura 6.1: Placa homogênea de alumínio de 1 mm de espessura.
34
Material Densidade (kg/m3) Vel. Onda P (m/s) Vel. Onda S (m/s)
Alumínio 2700 6300 3100 Tabela 6.1: Propriedades mecânicas do alumínio.
Figura 6.2: Curvas de Dispersão para una placa de alumínio, utilizando o Método de
Imersão Invariante.
A Figura 6.2 apresenta os resultados obtidos utilizando o método de imersão
invariante. Da comparação dos gráficos obtidos pela simulação com os gráficos da
pagina 17, figura 2-14, de Rose [29], pode-se observar certas diferenças, no particular
pode-se apreciar a aparição de novas curvas que correspondem a modos de ondas SH.
No entanto se observa, na comparação das curvas existentes em ambos os gráficos, uma
total correspondência nos valores obtidos, o qual indica que o código numérico utilizado
satisfaz o benchmark proposto. A seguir realizaram-se outras simulações com o objetivo
de validar o código em todas suas etapas, tanto na varredura de ida como na varredura
de volta.
Na Figura 6.3 são apresentadas as curvas de os deslocamentos através da
espessura da placa, para o modo S0 e distintos valores de f d⋅ , o qual torna possível
35
verificar o cálculo de deslocamentos por meio do código desenvolvido. Os resultados
obtidos indicam o bom desempenho do código programado.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5S0 f*d=0.5 Mhz-mm
Deslocamento Adimensional
d (m
m)
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5S0 f*d=1.5 Mhz-mm
Deslocamento Adimensional
d (m
m)
-1 -0.5 0 0.5 1 1-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5S0 f*d=2 Mhz-mm
Deslocamento Adimensional
d (m
m)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5S0 f*d=3 Mhz-mm
Deslocamento Adimensional
d (m
m)
Figura 6.3 Modos de deslocamentos para o modo S0
Na figura 6.3 se apresentam os cálculos de deslocamentos nas componentes
e , para o modo simétrico S0. A linha azul mostra os deslocamentos na
direção
,u v w u
X , a linha vermelha os deslocamentos na direção Y e a linha verde os
deslocamentos na direção
v
w Z . Conforme o esperado, os deslocamentos na direção Y
foram nulos. Dos resultados obtidos nas simulações realizadas, pode-se concluir que o
uso da aproximação quase-estática (QSA) para simular as interfaces de adesão e o
método de Imersão Invariante apresentou um bom desempenho, obtendo-se resultados
similares aos mostrados na literatura, o qual indica que o código numérico utilizado
satisfaz o benchmark proposto.
36
6.2 Simulação com placa composta por três camadas isotrópicas
Nesta seção apresenta-se os resultados de uma simulação feita com uma placa
composta por uma camada de 3 mm de cobre, uma camada de 200 μm de epóxi,
atuando como camada de adesão, e uma camada de 3 mm de alumínio, estando todo o
conjunto conforme mostrado na Figura 6.4. As propriedades mecânicas dos materiais
constituintes estão mostradas na Tabela 6.2.
Figura 6.4: Placa livre cobre-epoxi-alumínio
Material Densidade (kg/m3) Vel. Onda P (m/s) Vel. Onda S (m/s) Alumínio 2700 6320 3130 Cobre 8930 4660 2660 Epoxi 1200 2200 1100
Tabela 6.2: Propriedades mecânicas dos materiais constituintes
A placa, portanto, possui duas interfaces de adesão, uma entre a camada de
cobre e a camada de epóxi, a interface b, e outra entre a camada de epóxi e a camada de
alumínio, a interface , conforme ao mostrado na Figura 6.4. Para efeitos da estimativa
da matriz de rigidez interfacial, as interfaces são consideradas como tendo 3
a
mμ
[Leiderman 2005] de espessura cada uma e tendo as mesmas propriedades mecânicas
37
das do epóxi, quando intactas. De acordo com a referência [26], estas interfaces podem
ser representadas por:
30
0.583353 0 00 0.583353 0 1 10 Pa/m0 0 2.527865
K⎡ ⎤⎢ ⎥= ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Como previamente mencionado, um dos objetivos desta Tese é a identificação e
caracterização de modos guiados em placas compostas laminadas que sejam bons
candidatos para ensaios de interfaces de adesão. Portanto, será dada ênfase ao desenho
dos ensaios nos quais se possa identificar claramente no sinal resultante a interação do
campo guiado com uma interface de adesão defeituosa. Isso significa que o sinal
medido na superfície da placa (região da placa onde temos fácil acesso) deve ser muito
diferente para placas com e sem defeitos. Uma opção seria a utilização de um modo cuja
energia seja nula, no caso ideal, nas superfícies superior e inferior e significativa na
região de interesse, a interface de adesão, de modo que o modo seja sensível a defeitos
interfaciais localizados e que o sinal (espalhamento) resultante seja nítido na superfície
da placa laminada.
Para determinar o modo de ondas Lamb que interagem significativamente com o
defeito na placa, foram obtidas as curvas de dispersão da placa sem defeito e com
defeito, de modo a fazer uma comparação entre ambas as curvas de dispersão e
determinar os modos mais apropriados a serem investigados. A Figura 6.5 apresenta as
curvas de dispersão para a placa de cobre-epoxi-alumínio sem defeito.
38
Figura 6.5: Curvas de dispersão da placa laminada sem defeito.
Na Figura 6.6, é observada uma superposição das curvas de dispersão da placa
Cu-Al com e sem defeitos. Em cor azul se identificam as curvas de dispersão da placa
com rigidez interfacial original (sem defeito) e com cor vermelha as curvas de dispersão
para a placa com 50% de redução da rigidez transversal na direção x .
Figura 6.6: Superposição das curvas de dispersão da placa Cu-Al com e sem defeitos
39
Modo selecionado
Figura 6.7: Zoom Superposição das curvas de dispersão da placa com e sem defeitos
Na Figura 6.7, é observada uma ampliação das curvas de dispersão da placa
Cu-epoxi-Al. É observado que para a faixa de freqüências de 4.6 a 5.2 MHz existem
modos nos quais as ondas de Lamb interagem com o defeito gerando mudanças
importantes nas Curvas de Dispersão. Foram pesquisados vários modos, mas o que
apresentou melhores resultados foi o modo com freqüência 4.9 MHz e uma velocidade
de fase igual a 9.867 km/s, que corresponde a um pC 9.14786xk = .
Para verificar que o modo selecionado satisfaz as características mencionadas
nos parágrafos anteriores, ou seja, um modo cuja energia seja nula, no caso ideal, nas
superfícies superior e inferior e significativa na região de interesse, foram calculados os
deslocamentos ao longo da espessura da placa e de seu comprimento, considerando a
placa sem defeito. Estes resultados são apresentados nas Figuras 6.8, 6.9 e 6.10.
40
0 5 10 150
1
2
3
4
5
6
x 10-3
Deslocamento Absoluto Adimensional
Esp
esor
(mm
)
Deslocamento u na direção x
Deslocamento v na direção y
Deslocamento na direção w z
Figura 6.8: Magnitude dos Deslocamentos y w nas direções ,u v , ,x y z .
Na Figura 6.8 é observado que para a freqüência de 4.9 MHz e um
os deslocamentos adimensionais gerados nas direções
9.14786xk =
xyz através da espessura da
placa, são de maior magnitude nas proximidades da interfase de adesão e menores na
zonas próximas à superfícies superior e inferior. Essa foi uma condição exigida para o
modo selecionado, isto com o propósito de que ao se produzir a interação com o defeito,
a dispersão possa ser facilmente detectada nas superfícies da placa.
Nas Figuras 6.9 e 6.10 são apresentados os deslocamentos adimensionais em
todo o comprimento da placa nas direções x e . z
41
Figura 6.9: Deslocamentos na direção u x ao longo da placa.
Figura 6.10: Deslocamentos na direção ao longo da placa. w z
42
No que se segue, são apresentados os resultados obtidos na simulação da
interação entre o modo selecionado e a placa composta laminada Cu-epoxi-Al a qual
apresenta um defeito localizado na interface . Aqui, modelou-se um defeito que só
afeta a componente
a
x da rigidez interfacial. O defeito terá a forma de uma gaussiana,
onde seu valor máximo será igual a 0.5 xKT− , com um comprimento aproximado de 4
mm, tal como se observa na figura 6.11.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-250
-200
-150
-100
-50
0
x(mm)
Rig
idez
(Pa/
m)
Figura 6.11: Defeito Gaussiano modelado 0.5 xKT− .
Como foi discutido por Leiderman [31], a convergência da serie depende do
tamanho e magnitude do defeito modelado, logo a convergência deve ser verificada
antes de obter os resultados, para o qual foram graficados os valores parciais de cada
termo da serie, tal como pode ser observado da Figura 6.12.
43
9.147 9.1475 9.148 9.1485 9.149 9.14950
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 104
kx (adimensional)
Am
plitu
de
1 termo da serie2 termo da serie3 termo da serie4 termo da serie5 termo da serie30 termo da serie
Figura 6.12: Amplitude Adimensional do deslocamento para cada termo da serie.
Da analise obtida da Figura 6.12, conclui-se que a serie converge para valores
acima do quinto termo. Os resultados obtidos estão apresentados na Figura 6.13.
Pode ser observado claramente que o modo selecionado ao interagir com o
defeito excita dois modos próximos, cujos valores de amplitude fazem pensar que o
modo selecionado ( f = 4.9 MHz e 9.14786xk = ) poderia ser um bom candidato para a
realização de ensaios não-destrutivos utilizando as ondas guiadas de Lamb.
44
8 8.5 9 9.5 10 10.5 110
1
2
3
4
5
6
7x 105
kx (adimensional)
Am
plitu
de
Figura 6.13: Resultados para o modo f = 4.9 MHz y 9.14786xk =
Na Figura 6.14 é apresentada uma vista amplificada para o modo selecionado,
no qual se pode observar em cor vermelha o campo especular e em cor azul a soma do
campo especular mais o campo espalhado. Observa-se que a diferencia entre ambas é da
ordem de um 20% aproximadamente, o qual é considerado um valor razoável para ser
detectado mediante um sensor num ensaio ultrasônico.
9.147 9.1472 9.1474 9.1476 9.1478 9.148 9.1482 9.1484 9.1486 9.14880
1
2
3
4
5
6
7x 105
kx (adimensional)
Am
plitu
de
Figura 6.14: Vista Amplificada para o modo f = 4.9 MHz e 9.14786xk =
45
8.125 8.126 8.127 8.128 8.129 8.13 8.131 8.132 8.133 8.1340
1
2
3
4
5
6
7x 104
kx (adimensional)
Am
plitu
de
Figura 6.15: Vista Amplificada para o modo f = 4.9 MHz e 8.1285xk =
10.7810.780510.78110.781510.78210.782510.78310.783510.78410.784510.7850
1
2
3
4
5
6
7
x 104
kx (adimensional)
Am
plitu
de
Figura 6.16: Vista Amplificada para o modo f = 4.9 MHz e 10.7815xk =
Das Figuras 6.15 e 6.16 são observados os modos que foram excitados a partir
da interação entre o defeito modelado na placa e o modo selecionado para a realização
de um ensaio ultrassônico ( f = 4.9 MHz y 9.14786xk = ). Deve-se mencionar que este
modo corresponde a uma onda guiada tipo Lamb. Os modos excitados pelo defeito
possuem uma magnitude da ordem de um 15% do campo especular, o qual confirma
que o modo selecionado seja um ótimo candidato para a detecção de falhas em placas
compostas.
46
Capítulo 7 Conclusão e sugestões para trabalhos futuros
Neste trabalho foi discutida a aplicação de um método analítico-numérico para a
simulação da interação entre modos guiados em placas laminadas e interfaces de adesão
defeituosas. A técnica de modelagem baseia-se no emprego da Aproximação Quase-
Estática e no método das perturbações. O método da imersão invariante foi utilizado no
desenvolvimento de um algoritmo para solução de problemas que envolvam materiais
compósitos laminados. O algoritmo admite que as camadas do material compósito
sejam arbitrariamente anisotrópicas e é estável para altas freqüências.
De acordo com os objetivos propostos, pode-se afirmar que estes foram alcançados,
pois se desenvolveu um método de análises o qual pode ser uma ferramenta valiosa na
implementação de sistemas ultrassônicos que utilizem ondas guiadas de Lamb. A
análise proposta permite selecionar os modos Lamb mais apropriados para realização do
ensaio, bem como calcular quantitativamente a interação entre o modo de interesse e
interfaces defeituosas.
No sentido do que está dito acima, foi desenvolvida uma metodologia na qual a
seleção dos modos de interesse se realiza através de uma procura sistemática, onde a
viabilidade da detecção de defeitos interlaminares a partir de medições realizadas nas
superfícies livres da placa é priorizada. A seleção destes modos é complexa, mas foi
desenvolvida uma metodologia na qual se pode agilizar a seleção dos modos de
interesse. Para tal efeito foram programados códigos que ajudam a escolher um par
freqüência- xk que permita observar claramente os efeitos de interação, realizando um
refinamento dos valores selecionados.
É importante mencionar que o interesse por desenvolver uma investigação no
âmbito dos materiais compostos, teve sua origem na necessidade de ter disponível de
47
um sistema de avaliação não-destrutiva da integridade de vigas laminadas de madeira,
nas quais são utilizadas na construção de estruturas de madeira de grandes dimensões.
Para este efeito, durante o desenvolvimento da investigação, foram programados
algoritmos que permitem trabalhar com modelos de materiais anisotrópicos e, em
particular materiais ortotrópicos, os quais são utilizados para modelar o comportamento
da madeira.
Para trabalhos futuros, sugere-se :
1. Generalizar a formulação desenvolvida para casos onde todas as interfaces de
adesão são defeituosas.
2. Realização de experimentos no sentido de validar o método aqui proposto. As
experiências controladas poderão ser realizadas para confirmar a viabilidade da
detecção de defeitos nas interfaces de adesão, utilizando-se o método de ensaio
por ultra-som e aplicando-se a técnica de ondas Lamb.
3. Desenvolver uma formulação análoga para modelar a interação entre ondas
armadilhadas ( Trapped waves) e defeitos interfaciais localizados.
Finalmente, cabe mencionar a recente criação do Laboratório de Nanotecnologia
da Universidad del Bío-Bío de Chile, o qual dispõe de equipamentos que permite a
medição de propriedades mecânicas de finas camadas interlaminares. Experimentos no
sentido de levantar rigidez interfacial para ser utilizada em conjunção com o método
aqui proposto no desenho de ensaios não destrutivos serão realizados.
48
Apêndice A Meios homogêneos A.1 Sólido anisotrópico homogêneo
Derivara-se os operadores jM e jZ para propagação de ondas planas em laminados
anisotrópicos homogêneos. As ondas se propagam no plano xz e se aplicara o
formalismo de Stroh. As equações que governam o movimento linear e elástico em
sólidos anisotrópicos são, o balanço de momento linear e a equação constitutiva
mostrada abaixo em notação indicial:
,ik k iUσ ρ= && (A.1)
lik iklm
m
Ucx
σ ∂=
∂ (A.2)
Onde a equação de balanço acima é representativa de casos onde há ausência de forças
de corpo.
Fazendo-se nas equações acima 1 , 2x y= = e 3 z= , 1 2,U u U v= = e , e
tomando-se como solução ondas planas harmônicas no tempo e que têm como plano de
propagação o plano
3U = w
xz , pode-se escrever:
( , , ) ( , ) i tx z t x z e ω−=U u e ( , , ) ( , ) i tx z t x z e ω−=T t (A.3)
Onde u , o vetor deslocamento, tem a forma:
uvw
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
u (A.4)
t , o vetor de tração agindo no plano xy , tem a forma:
49
zx
zy
zz
σσσ
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
t (A.5)
e ω é a freqüência.
Utilizando-se a transformada menos de Fourier representada abaixo:
( , , ) ( , , ) i xz t x z t e αα∞ −
−∞= ∫U U dx (A.6)
1( , , ) ( , , )2
i xx z t z t e dαα απ
∞
−∞= ∫U U (A.7)
As equações (A.1) e (A.2), e as definições mostradas em (A.3), pode ser mostrado que:
ˆ( , ) ( ) ( , )z i zzξ α α ξ∂
=∂
N α (A.8)
Onde α é o numero de onda na direção x , ξ é a transformada do vetor de estado que
está definida na equação (A.9) e é a transformada da matriz de estado de sexta
ordem que esta definida na equação (A.10). Na expressão acima a dependência no
tempo foi cancelada por aparecer em ambos os lados da equação.
N̂
( , )( , )
( , )z
zi z
αξ α
α⎧ ⎫
= ⎨ ⎬⎩ ⎭
ut
(A.9)
1 1
2 2 2 1ˆ ( )
αα
ω ρ α α α
− −
− −
⎡ ⎤− −= ⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦
X2 X1 X2N
I Y1 Y2X2 X1 Y2X2 1 (A.10)
Na expressão acima e são matrizes representadas por: , ,X1 X2 Y1 Y2
50
51 56 55
41 46 45
31 36 35
c c cc c cc c c
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
X1 (A.11)
55 54 53
45 44 43
35 34 33
c c cc c cc c c
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
X2 (A.12)
11 16 15
11 16 15
51 56 55
c c cc c cc c c
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Y1 (A.13)
15 14 13
65 64 63
55 54 53
c c cc c cc c c
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Y1 (A.14)
De acordo com [32], a solução da equação (A.8) tem a forma:
( ) ( ) (0)z zξ =M ξ (A.15)
Onde é a matriz de propagação. Este 6-tensor relaciona o vetor de estado em um
plano de coordenadas
( )zM
z com seu valor em 0z = . A dependência na coordenada α foi
omitida na equação acima e doravante com o intuito de simplificar a notação.
A matriz de propagação para um meio anisotrópico homogêneo é dada por [32]
(A.16) ( ) i zz e= NM
Se representarmos por os autovalores e por Θ a matriz 6x6 da qual
as colunas são os autovetores de , então pode ser decomposta como:
( 1,2,...,6zIk I = )
N̂ N̂
51
{ } 11 2 6
ˆ ( , ,...,z z zdiag k k k −=N Θ Θ (A.17)
E a equação (A.16) pode ser escrita como:
{ }61 2 1( ) ( , ,..., zz z i k zi k z i k zz diag e e e −=M Θ Θ (A.18)
Claramente os autovalores de são os números de onda na direção N̂ z enquanto os
autovetores da mesma, aqui representados por ξI , são os vetores de polarização.
Devido as propriedades da matriz prova-se que seus autovalores aparecem em pares
com sinais opostos. Os autovalores, ou números de onda na direção
N̂z , podem então ser
divididos em dois subgrupos, cada qual associado a ondas que se propagam, ou são
atenuadas, na direção positiva ou negativa do eixo de coordenada z . Então se podem
ordenar os autopares ( , )zI Ik ξ de maneira que os primeiros três estejam associados a
ondas que se propagam, ou são atenuadas, na direção positiva de z e os últimos três a
ondas que se propagam, ou são atenuadas, na direção negativa do mesmo. O primeiro
grupo é referido como “ondas indo para cima” e o segundo é referido como “ondas indo
para baixo”.
Cada autovetor pode ser particionado em dois vetores tri-dimensionais, aqui chamados
de Ia e II , logo:
II
I
ξ⎧ ⎫
= ⎨ ⎬⎩ ⎭
al
(A.19)
Do mesmo modo pode-se decompor a matriz Θ em quatro submatrizez 3x3, ou seja:
1 2
1 2
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A AΘ
L L (A.20)
52
Onde:
[ ]1 1 2=A a a a3 , 1 1 2 3= ⎡ ⎤⎣ ⎦L l l l (A.21)
[ ]2 4 5=A a a a6 , 2 4 5 6= ⎡ ⎤⎣ ⎦L l l l (A.22)
Logo, pelas equações (A.15) e (A.18), em um sólido elástico homogêneo e anisotrópico,
o vetor de estado transformado pode ser escrito como:
{ }61 2 1( ) ( , ,..., (0)zz z i k zi k z i k zz diag e e eξ ξ−=Θ Θ (A.23)
A transformada do vetor de estado em 0z = pode ser expressa como combinação
linear dos seis autovetores do tensor fundamental de elasticidade, ou seja:
( )0ξ =ΘC , onde 1
2
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
CC
C (A.24)
Na expressão (A.24) e são vetores constantes tri-dimensionais. 1C 2C
Logo a equação (A.23) pode ser reescrita como:
1 2 1 1
1 2 2 2
( )( )
( )z
zz
ξ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧
=⎫
⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩
A A Φ 0 CL L 0 Φ C ⎭
(A.25)
Onde:
( ){ }31 21( ) , , zz z i k zi k z i k zz diag e e e=Φ (A.26)
e
({ )}5 642 ( ) , ,z zz i k z i k zi k zz diag e e e=Φ (A.27)
53
Do que foi exposto acima pode ser escrito que:
1 2( ) ( ) ( )z z= +u u u z (A.28)
e:
1 2( ) ( ) ( )z z= +t t t z (A.29)
Onde:
1 1 1( ) ( )z z=u A Φ C1 e 2 2 2( ) ( )z z 2=u A Φ C (A.30)
1 1 1 1( ) ( )z i z= −t L Φ C e 2 2 2 2( ) ( )z i z= −t L Φ C (A.31)
De acordo com a ordenação dos autovalores fica claro que o subescrito 1 está associado
com ondas se propagando, ou decaindo, na direção positiva de z , enquanto o subescrito
2 está associado com ondas se propagando, ou decaindo, na direção negativa de z .
Como em tem-se: 0z =
1(0) =u A1 1C e 2 2(0) 2=u A C (A.32)
Pode-se eliminar os vetores constantes e da equação (A.30) escrevendo-se: 1C 2C
1 1 1( ) ( ) (0)z z=u M u e 2 2 2( ) ( ) (0)z z=u M u (A.33)
Onde:
11 1 1( ) ( )z z 1
−=M A Φ A e 12 2 2( ) ( )z z 2
−=M A Φ A (A.34)
Também a fim de eliminar os vetores constantes e da equação (A.31), pode-se
escrever:
1C 2C
1 1( ) ( )1z i zω= −t Z u e 2 2( ) ( )2z i zω= −t Z u (A.35)
54
Onde:
[ ] 11 1 1
iω
−=Z L A e [ ] 12 2 2
iω
−=Z L A (A.36)
Os operadores de impedância local, e , relacionam o vetor de tração com
o campo de velocidade de partícula. Pode-se observar que para um meio homogêneo
eles são independentes da coordenada espacial
1Z 2Z
z , sendo iguais para qualquer plano
normal a mesma.
A.2 Sólido isotrópico homogêneo em estado plano de deformação
Para um sólido elástico isotrópico e homogêneo, a equação de movimento pode
ser escrita como:
2
22( ) ( )
tμ λ μ ρ ∂∇ + + ∇ ∇ =
∂uu u (A.37)
Onde é o vetor deslocamento, u λ e μ são as constantes de Lamé, e t∂
simboliza diferenciação em relação ao tempo.
Esta equação é uma equação vetorial diferencial parcial acoplada, e para resolvê-
la mais facilmente o vetor deslocamento é decomposto em duas funções, as funções
potenciais, então o vetor pode ser escrito na forma:
φ=∇ +∇×u ψ (A.38)
Esta decomposição é chamada decomposição de Helmholtz.
O potencial vetorial ψ se reduz á ( , )y x zψ para o estado plano de deformações.
Para este caso o potencial escalar φ é também função apenas de x e z . Agora a
55
equação (A.37) pode ser reescrita em termos destes potenciais na forma de duas
equações desacopladas:
2
22
1 0Lc t
φφ ∂∇ − =
∂ (A.39)
2
22
1 0Tc t
φψ ∂∇ − =
∂ (A.40)
Onde Lc é a velocidade longitudinal de propagação no material e a velocidade
transversal. Aqui o subescrito de
Tc
y yψ foi omitido. Uma vez que as funções potenciais
são determinadas, pode-se facilmente achar os campos de deslocamento e tensões
utilizando-se as relações:
ux zφ ψ∂ ∂
= −∂ ∂
(A.41)
wz xφ ψ∂ ∂
= +∂ ∂
(A.42)
2 2 2 2
2 2 22zz x z z x zφ φ φσ λ μ
⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝
ψ ⎞⎟⎠
(A.43)
2 2 2
2 22zx x z z xφ ψ ψσ μ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − +⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎟ (A.44)
Se o campo de deslocamento for harmônico no tempo, as funções potenciais
podem ser representadas como:
( , ) i tx z e ωφ −= Φ (A.45)
( , ) i tx z e ωψ −= Ψ (A.46)
56
Então as equações (A.39) e (A.40) podem ser reescritas como:
( )2 2
22 2 0lx z
β∂ Φ ∂ Φ+ + Φ =
∂ ∂ (A.47)
( )2 2
22 2 0tx z
β∂ Ψ ∂ Ψ+ + Ψ =
∂ ∂ (A.48)
Onde:
( )2
22lLc
ωβ = (A.49)
( )2
22tTcωβ = (A.50)
Com a finalidade de resolver estas duas equações, pode-se utilizar a
transformada de Fourier para representá-las no domínio do numero de onda na direção
x . Neste trabalho foi utilizada a transformada menos.
( )2
222
( , )( , ) ( , ) 0lzz z
zαα α β α∂ Φ
− Φ + + Φ =∂
(A.51)
( )2
222
( , )( , ) ( , ) 0tzz z
zαα α β α∂ Ψ
− Ψ + + Ψ =∂
(A.52)
Resolvendo estas duas equações diferenciais ordinárias acha-se:
ipz ipzAe Be−Φ = + (A.53)
iqz iqzCe De−Ψ = + (A.54)
57
Onde:
2 2 2
2 2 2
l
l l
parap
i para
2
2
lβ α β α
α β β
⎧ − >⎪= ⎨α− <⎪⎩
(A.55)
2 2 2
2 2 2
t
t t
paraq
i para
2
2
tβ α β α
α β β
⎧
α
− >⎪= ⎨− <⎪⎩
(A.56)
Substituindo Φ e Ψ na transformada das equações (A.41) e (A.42) obtém-se:
( ) ( )ipz ipz iqz iqzu i Ae Be iq Ce Deα −= + − − − (A.57)
( ) ( )iqz iqz ipz ipzw i Ce De ip Ae Beα −= + + − − (A.58)
De acordo com as equações (A.57) e (A.58), u pode ser escrito como:
[ ] 11 1 2γ γ −= +u A C A C2
q
(A.59)
Onde:
1
i iip iα
α−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A (A.60)
2
i iqip iα
α⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A (A.61)
0
0
ipz
iqz
ee
γ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(A.62)
58
1 00
ipz
iqz
ee
γ−
−−
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(A.63)
1
AC⎧ ⎫
= ⎨ ⎬⎩ ⎭
C (A.64)
2
BD
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
C (A.65)
Em : 0z = 1 1 2 2(0) = +u A C A C (A.66)
Definindo:
1 1=u A C1 (A.67)
2 2=u A C2 (A.68)
Pode-se escrever:
1(0) 2= +u u u (A.69)
Onde o subescrito 1 nas equações acima denota ondas se propagando na direção
positiva do eixo z , e o subescrito 2 denota propagação na direção negativa do mesmo.
O primeiro grupo é referido como “ondas indo para cima” e o segundo é referido como
“onda indo para baixo”.
Então, ( )zu pode ser escrito como:
1 1 2( ) ( ) ( )z z z 2= +u M u M u (A.70)
59
Onde:
[ ] 11 1( )z γ 1
−=M A A (A.71)
[ ] [ ]12 2( )z γ 1
2− −=M A A (A.72)
Notando que:
1 2(0) (0)= =M M I (A.73)
Similarmente, substituindo-se Φ e Ψ na transformada das equações (A.43) e (A.44):
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22ipz ipz ipz ipz ipz ipz iqz iqzzz Ae Be p Ae Be p Ae Be q Ce Deσ λ α μ α− − −⎡ ⎤ ⎡= − + − + + − + − −⎣ ⎦ ⎣
− ⎤⎦ (A.74)
( ) ( ) ( )2 22 ipz ipz iqz iqz iqz iqzzx p Ae Be q Ce De Ce Deσ μ α α− −⎡ ⎤= − + + + − +⎣ ⎦
−
(A.75)
Logo t pode ser escrito como:
[ ] 11 1 2γ γ −= +t L C L C2 (A.76)
Onde:
( )
( )
2 2
1 2 2
2
2 2
p q
p q
μ α μ α
λα λ μ μ α
⎡ ⎤− −= ⎢ ⎥
− − + −⎢ ⎥⎣ ⎦L (A.77)
( )
( )
2 2
2 2 2
2
2 2
p q
p q
μ α μ α
λα λ μ μ α
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥
− − +⎢ ⎥⎣ ⎦L (A.78)
60
Agora definindo:
[ ] 11 1 1
iω
−=Z L A (A.79)
[ ] 12 2 2
iω
−=Z L A (A.80)
Pode-se escrever:
1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )z i z i zω ω= − −t Z M u Z M u (A.81)
Logo, em : 0z =
1 1 2 2(0) i iω ω= − −t Z u Z u (A.82)
61
Referências Bibliográficas [1] P. Mendonça, “Materiais compostos & estruturas sanduíche”, Editora Manole Ltda.,
2005. [2] A.C. Garg, “Delamination - a damage mode in composite structures”, Eng. Fract.
Mech. 29 (1988) 557-584. [3] M. Siqueira, “Ensaios não-destrutivos”, Programa de formação Petrobras, 2007. [4] N.J. Pagano (Ed.), “Interlaminar Response of Composite Materials”, Composite
Material Series 5, Elsevier, Amsterdam, 1989. [5] R. Aundrecci, “Ensaios por Ultra-Som”, Ed. Julho, 2006. [6] A. Pilarski, J.L. Rose, K. Balasubramaniam, “The angular and frequency
characteristics of reflectivity from a solid layer embedded between two solids with imperfect boundary conditions”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 87, Nº 2 (1990) 532-542.
[7] W.T. Thompson, “Transmission of elastic waves through a stratified solid
medium”, J. Appl. Phys. Vol. 21, 87 (1950). [8] K. Balasubramaniam, C. Issa, R. Sullivan, “Quantitative evaluation of adhesive
layer properties using ultrasonic dispersion techniques”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 87, Nº 2 (1990) 1229-1236.
[9] B. Li, M. Hefetz, S.I. Rokhlin, “Ultrasonic evaluation of environmentally degraded
adhesive joints, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation”, Vol. 11, (1992) 1221-1228.
[10] T. Pialucha, P. Cawley, “The detection of a weak adhesive-adherend interface in
bonded joints by ultrasonic reflection measurements”, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, Vol. 11, (1992) 1261-1266.
[11] A. Pilarski, J.L. Rose, J. Ditri, D. Jiao, K. Rajana, “Lamb wave mode selection for
increased sensitivity to interfacial weaknesses of adhesive bonds”, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, Vol. 12, (1993) 1579-1585.
[12] S.I. Rokhlin, Y.J. Wang, “Analysis of boundary conditions for elastic wave
interaction with an interface between two solids”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 89, Nº 2 (1991) 503-515.
[13] A.I. Lavrentyev, S.I. Rokhlin, “Models for ultrasonic characterization of
environmental degradation of interfaces in adhesive joins”, J. Appl. Phys., Vol. 76, Nº 8 (1994) 4643-4650.
62
[14] T Kundu, M. Blodgett, “Detection of material defects in layered solids using Lamb waves”, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, Vol. 13, (1994) 1343-1350.
[15] L. Singher, Y. Segal, E. Segal, J. Shamir, “Considerations in bond strength
evaluation by ultrasonic guided waves”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 96, Nº 4 (1994) 2497-2505.
[16] A.I. Lavrentyev, S.I. Rokhlin, “Determination of elastic moduli, density,
attenuation, and thickness of a layer using ultrasonic spectroscopy at two angles”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 102, Nº 6 (1997) 3467-3477.
[17] A.I. Lavrentyev, S.I. Rokhlin, “Anomalous attenuation effect on reflectivity of an
ultrasonic wave from a thin layer between dissimilar materials”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 101, Nº 6 (1997) 3405-3414.
[18] A.I. Lavrentyev, S.I. Rokhlin, “Ultrasonic spectroscopy of imperfect contact
interfaces between a layer and two solids” , J. Acoust. Soc.Am., Vol. 103, Nº 2 (1998) 657-664.
[19] P.karpur, T. Kundu, J. Ditri, “Adhesive joint evaluation using Lamb wave modes
with appropriate displacement, stress, and energy distribution profiles”, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, Vol. 18, (1999) 1533-1542.
[20] C. Pecorari, P. Kelly, “The quasi-static approximation for cracked interfaces in
layered systems”, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, Vol. 18, (1999) 1471-1478.
[21] A. Baltazar, S.I. Rokhlin, C. Pecorari, “On the relationship between ultrasonic and
micro-structural properties of imperfect interfaces in layered solids” , Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, Vol. 18, (1999) 1463-1470.
[22] S. Hirsekorn, “Nolinear transfer of ultrasound by adhesive joints- a theoretical
description” , Ultrasonics, 39 (2001) 57-68. [23] P. Delsanto, S. Hirsekorn, V. Agostini, R. Loparco, A. Koka, “Modeling the
propagation of ultrasonic waves in the interface region between two bonded elements” , Ultrasonics, 40 (2002) 605-610.
[24] A. Baltazar, L. Wang, B. Xie, and S. Rokhlin, “Inverse ultrasonic determination of
imperfect interfaces and bulk properties of a layer between two solids”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 114, Nº 3 (2003) 1424-1434.
[25] S.I. Rokhlin, L. Wang, B. Xie, V. Yakovlev, L. Adler, “Modulated angle beam
ultrasonic spectroscopy for evaluation of imperfect interfaces and adhesive bonds”, Ultrasonics, 42 (2004) 1037-1047.
[26] R. Leiderman, A. Braga, P. Barbone, “Scattering of ultrasonic waves by defective
adhesion interfaces in submerged laminated plates”, J. Acoust. Soc.Am., Vol. 118, Nº 4 (2005) 2154-2166.
63
[27] R. Leiderman, A. Braga, P. Barbone, “Estudo do espalhamento de ondas ultra-sônicas por interfaces defeituosas”, 6ª conferência sobre Tecnologia de Equipamentos, Salvador 2002.
[28] K. Graff, “Wave Motion Elastic Solids”, Dover Publications, INC, 1991 [29] J. Rose, “ Ultrasonic wave in solid media”, Cambridge University Pres, UK, 1999 [30] J. Baik, R Thompsom, “ Ultrasonic scattering from imperfect interfaces: A Quasi-
static Model”, J. NDE, Vol. 14, (1984) 177-196 [31] R. Leiderman, “Estudo do espalhamento de ondas ultra-sônicas por interfaces
defeituosas”, Tese de Doutorado, PUC-Rio, 2002. [32] A. M. Braga, “Wave propagation in anisotripic layered composites”, Ph. D. thesis,
Stanford University, Stanford , California, 1990. [33] D.D. Zakharov, “High order approximate low frequency theory of elastic
anisotropic lining and coating”, J. Acoust. Soc.Am. Vol. 119, Nº 4 (2006) 1961-1970.
[34] S. Hasheminejad, M. Maleki, “Acoustic wave interaction with a laminated
transversely isotropic spherical shell with imperfect bonding”, Arch. Appl. Mech., (2008) 97-112.
[35] M. Rajabi, S. Hasheminejad, “Acoustic resonance scattering from a multilayered
cylindrical shell with imperfect bonding”, Ultrasonics, 49 (2009), 682-695. [36] M. V. Golub, “Propagation of Elastic Waves in Layered Composites with
Microdefect Concentration Zones and Their Simulation with Spring Boundary Conditions”, J. Acoustical Physics,vol. 56, N° 6, (2010), 848-855.
64