UFFUniversidade Federal Fluminense

Instituto de Matemática / Laboratório de Novas Tecnologias do Ensino - LANTE.

Curso: Pós-Graduação Lato Sensu - Especialização à distância em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática.

Trabalho Final de Curso – Práticas – Parte 1.

Informática Educativa: história das funções com a Web 2.0

Carmelita F. dos Santos RibeiroClaudio Teixeira Miguel

Helio Pinho GutterresJalline Berriel

Rafael Alves de Araújo

Orientadora: Alessandreia Marta de Oliveira

Campos dos Goytacazes, 19 de abril de 2011

Informática Educativa: história das funções com a Web 2.0

Este trabalho é destinado à alunos e professores do 1º ano do Ensino Médio.

Vemos e sentimos a necessidade de reavaliação contínua e mudanças nas práticas docentes para o ensino – aprendizagem de matemática, em particular, as que envolvem o tema funções. Propõe-se aqui uma reavaliação dos professores sobre suas práticas docentes atuais.

Seja pelas práticas tradicionais de alguns professores ou pela falta de recursos metodológicos convenientes, estudos apontam que a maioria dos alunos se mostra insatisfeita em relação à aprendizagem de matemática sobre o tema funções.

A Informática Educativa surge como uma alternativa atual e contém infinitos recursos que se aproximam da realidade vivida pelos alunos de hoje como, por exemplo, ferramentas virtuais de aprendizagem, softwares, ambientes virtuais de aprendizagem, Blogs (ferramentas da Web 2.0), etc. Todos estes recursos podem ser acrescidos e motivados pela contextualização da história da matemática, metodologia útil para fomentar o trabalho pautado num aspecto investigativo, aproximando o trabalho dos alunos aos contextos sociais e culturais .

Neste trabalho os alunos terão a oportunidade de aprender os temas Funções do 1º e 2º Graus de maneira dinâmica, interativa e colaborativa, usando softwares educativos de aprendizagem matemática e um blog. Espera-se que os alunos sejam capazes de construir os seus próprios saberes através da mediação dos professores, tornando-se cidadãos mais críticos e construtivos.

Objetivos:

• Ensinar funções do 1º e 2º graus por meio de ferramentas da Web 2.0, utlizando recursos dos softwares educativos, história da matemática e modelagem matemática.

Parte 1: Funções do 1º grau:

Num ensaio em condições ideais, como calcular o tempo gasto hipoteticamente por um paraquedista que saltou em queda livre sabendo a altura que se encontrava o avião e a altura que o paraquedas foi aberto? Deve-se desconsiderar o tempo em que o paraquedista levou voando depois que o paraquedas foi aberto. Como calcular o comprimento do pneu de uma bicicleta sabendo o tamanho do seu raio? Perguntas parecidas com estas foram feitas há séculos atrás: os astrônomos, em Alexandria, construíram tabelas que davam os comprimentos das cordas de um círculo conhecido o raio.

Através de estudos em variados círculos, eles se organizavam por meio de tabelas como as da Figura 1.1 abaixo:

Figura 1.1: AlmagesteFonte: http://matematicanacidadela.blogspot.com/2007/11/funes-na-histria.html

A figura anterior compõe a coletânea das mais antigas destas tabelas, que hoje são tão conhecidas e encontram-se na célebre obra de Ptolomeu, ALMAGESTE (em árabe: "o maior", publicada entre 125 e 150 a.C).Uma representação mais visível destas tabelas foi reescrita conforme mostra a figura 1.2, por Katz (1998, página 149) no seu livro “A History of Mathematics. An Introduction”:

Figura 1.2: Ptolemy and the Almagest

Galileu (1564-1642) com a queda dos corpos, tendo estudado a relação entre espaço e o tempo, conseguiu aprimorar estas pesquisas e passou a usar tabelas para representar tais relações:

A Figura 1.3 retrata um corpo em queda livre, como imaginou Galileu:

Figura 1.3: Queda livre de um corpo

Fonte: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20041/Ghisiane/queda_dos_corpos.htm

Até os dias de hoje, por muitas vezes, nos deparamos com este mesmo tipo de problema!

Observação: Todas as questões levantadas neste estudo deverão ser comentadas no blog que criamos para vocês:

http://www.novamatematica.blogspot.com/

O que você observa em relação ao tempo, ele pode regredir?

Escreva suas conclusões sobre a relação altura e tempo para este caso particular:

Observe novamente a figura do corpo caindo em queda livre e reflita sobre o que você acabou de escrever!

Resposta esperada: A medida um corpo deixado em queda livre se aproxima do solo, o tempo total da queda para cada instante vai aumentando.

Porém, existiu um outro ser humano curioso que não ficou para trás de Galileu com suas observações, ele chama-se René Descartes. Ele foi um filósofo, físico e matemático francês. Durante a Idade Moderna também era conhecido por seu nome latino Renatus Cartesius.

Vamos saber quais foram as contribuições dele para nós com suas magníficas idéias!

Altura Tempo

Vamos construir algumas tabelas? Tente montar uma tabela com números segundo as idéias de Galileu, insira seus dados no quadro abaixo, partindo de uma altura inicial, chegando até o solo:

Descartes (1596-1650), doente, seguia o movimento de uma mosca na janela do seu quarto e surgiu-lhe:

Figura 1.4: Reflexão!

Fonte: http://matematicanacidadela.blogspot.com/2007/11/funes-na-histria.html

Figura 1.5: Conclusões de Descartes!

Fonte: http://matematicanacidadela.blogspot.com/2007/11/funes-na-histria.html

A Figura 1.5 acima representa como Descartes estruturou seu pensamento após observar a mosca na janela! Você entendeu alguma coisa sobre esta figura?

Vamos à frente, Descartes imaginou a mosca como se fosse um ponto na janela, ele também imaginou esta mosca na superfície da janela e pensou que esta superfície era plana, que podia ser representada por duas retas.

Descartes também observou que esta mosca (ponto) ocupava um lugar nesta superfície plana e ele quis representar sua posição na janela do quarto, ou seja, ele projetou a mosca sobre as duas retas, concomitantemente, representando as projeções pelos valores que indicavam as retas.

Tal plano ficou conhecido como plano cartesiano, por causa de descartes, e os valores que indicavam a posição da mosca foram agrupados em pares e ficaram conhecidos como coordenadas dos possíveis pontos (moscas) no plano cartesiano!

Figura 1.6: Plano cartesiano

Descartes, com a introdução de um sistema de coordenadas no plano permitiu representar graficamente as relações entre duas variáveis, como a relação dos problemas de Galileu.

Na Figura 1.6 apresentada acima, consideramos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.

Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas: x // x'  e  y // y’.

Denominamos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x' .

Nessas condições, definimos:

- Abscissa de P é um número real representado por P1.- Ordenada de P é um número real representado por P2.- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y’ ).- O eixo das abscissas é o eixo x.- O eixo das ordenadas é o eixo y.- A origem do sistema é o ponto 0.- Plano cartesiano é o plano A.

Após Descartes, temos muitos outros nomes importantes para a história das funções como, por exemplo, Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716).

A partir de agora, vamos interpretar um pouquinho melhor os resultados obtidos por todos estes matemáticos, vamos usar um programa computacional que nos fornece possibilidade de estudarmos todas estas descobertas e fazermos também nossas próprias descobertas:

O software que usaremos para trabalhar as funções do 1º e 2º graus chama-se Geogebra.

Nosso interesse aqui não é detalhar como funciona o Geogebra, muito menos criar algum manual de utilização!

Focaremos nossos estudos somente nos resultados que o Geogebra proporciona em relação ao traçado de curvas e utilizá-lo como ferramenta de suporte para investigação matemática.

Fica, portanto, como um desafio para vocês, alunos e professores, uma pesquisa mais detalhada sobre o geogebra!

Adiante, vamos estudar fenômenos de relação entre váriáveis com o programa conveniente, através de exemplos contextualizados. Trabalharemos com modelos de atividades usando a ferramenta geogebra, trabalhando com aspectos investigativos sobre funções do 1º grau:

A princípio, vamos reconstruir uma outra tabela usando o modelo próprio da tabela de altura x tempo que foi criada acima, seguindo as instruções do professor, vamos gerar o gráfico no software:

Gráfico!

Se imaginarmos o problema do paraquedista proposto no início do nosso estudo, podemos perceber que o gráfico altura x tempo gasto o qual ele voou livremente pode ser representado hipoteticamente pelo gráfico que acabamos de construir.

Discutir e comentar o que significa o gráfico!

Fazendo uma relação sobre a variação da altura e o tempo, ou seja, encontrando uma razão entre a variação da altura (distância percorrida pelo paraquedista até ele abrir o paraquedas) e a variação de tempo gasto para ele abrir o paraquedas, podemos calcular a velocidade média que o paraquedista voou livremente!

Vamos estudar agora outro modelo atual :

Proposta: Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

Solução: y=salário fixo + comissão        y=500 + 50x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

Solução: y=500+50x , onde x=4        y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

Solução: y=500 + 50x , onde y=1000        1000=500+50x  »  50x=1000-500  »  50x=500  »  x=10

Vamos explorar o software para as respostas, por enquanto só verificar, sem aprofundar!

O conceito de funções do 1º grau:

A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:

Definição: chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.

O desenho que foi feito neste exemplo é parecido com quaisquer outros casos de função polinomial do 1º grau. Este desenho chama-se Gráfico da função do 1º grau. Verificar no geogebra!

Pergunta: Vocês perceberam que o gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta?

Vamos estudar outro exemplo:

O problema de Iraci:

O preço da empada de Iraci pode ser representado pela variação entre o custo do material gasto por ela para confeccionar a sua empada e o lucro que ela deseja obter, gerando um gráfico da função determinada por f(x) = x + 1. S

Seja f(x) o preço da empada, x o custo e 1 o lucro (em reais), vamos analisar a equação criada por Iraci:

Solução: Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

.0....,..,..)( aeRbRaondebaxxfy

Vejamos a tabela abaixo:

x y=f(x)=x+1

-2 -1

-1  0

0  1

1  2

2  3

O conjunto dos pares ordenados determinados é

f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

Podemos traçar o gráfico da função estudada de maneira mais rápida usando o geogebra.

Vamos fazer?

O que vocês observam? Quando Iraci tomará prejuízo? Quando ela lucrará?  Quando Iraci não terá lucro nem prejuízo financeiro?

Comentar que caso o valor obtido para o preço da empada seja 0, o custo x é chamado de raiz da função, ou seja, este valor zera o preço da empada?

Na prática seria bom isto ocorrer?

Qual a relação entre o custo e o preço observados na empada de Iraci?

Outra etapa: Iraci quis modificar o modelo de preço da sua empada e atribuiu o custo como uma perda, construa o gráfico da nova função criada por Iraci, ou seja, f(x)= - x+1:

Solução: Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)=-x+1

-2  3

-1  2

0  1

1  0

2 -1

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

Podemos traçar o gráfico da função estudada de maneira mais rápida usando o geogebra.

Vamos fazer?

O que podemos observar entre as variáveis custo e preço da empada agora, Iraci está indo pelo caminho certo? O que aconteceu agora?

Os dois gráficos acima são chamados de Gráficos crescente e decrescente, respectivamente! Por que estes foram assim?

Vamos fazer algumas análises trocando os valores o coeficiente a, o que vocês observam?

Para y = -x+1 ( a < 0 ) ; onde a = -1, temos:Para y = x+1 ( a > 0 ) ; onde a = 1, temos:

Função crescente Função decrescente

Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y= ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0). Este é o ponto onde y = 0 e x = -b/a. Logo, teremos:

Sinal de uma função de 1º grau:

Observe os gráficos:

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função).

Quando a função é crescente, quando x > -b/a, f(x) será positivo. Para x < -b/a, f(x) tem sinal negativo.

Quando a função é decrescente, quando x > -b/a, f(x) será negativo. Para x < -b/a, f(x) tem sinal positivo.

Estudo: Vamos fazer o estudo do sinal no problema de Iraci?

Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0.

a) y = f(x) = x+1

Solução: x+1> 0  »  x > -1        Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1. Isto mostra que Iraci terá ganho sempre que o custo for maior que -1. Em reais isto significa que a medida que o custo aumenta, o ganho também aumenta.       x+1<0  »  x< -1       Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1. Isto mostra que Iraci terá perda sempre que o custo for menor que -1. Em reais isto significa que a medida que o custo diminui, o ganho também diminui, podendo gerar até dívidas.

b) y = f(x) = -x+1

Solução: -x+1 > 0  »  -x > -1  »  x < 1

Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1. Isto mostra que Iraci terá ganho sempre que o custo for menor que 1. Em reais isto significa que a medida que o custo diminui, o preço aumenta.       -x+1<0  »  -x<-1  »  x>1       Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1. Isto mostra que Iraci terá perda sempre que o custo for menor que 1. Em reais isto significa que a medida que o custo aumenta, o preço diminui.

Referências Bibliográficas

AMSON, Glenn A. J. et al. Coleção Anglo - Livro 1 – Matemática: Álgebra 1 - Livros - textos, Ensino Médio. - São Paulo:

Anglo, 1990 - 1991.

IEZZI, Gelson; et al. Matemática: volume único. – São Paulo: Atual, 1997.

KATZ, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. Reading, Massachusetts ; Menlo Park, California; New

York; Harlow, England Don Mills, Ontario; Sydney; Mexico City; Madrid ; Amsterdam . Addison – Wesley, Segunda

Edição, 1998.

TEIXEIRA, Margarida P. Funções na História. Disponível em: <http://matematicanacidadela.blogspot.com/2007/11/funes-

na-histria.html>. Acesso: 18 jan. 2011.

VARGAS, Ghisiane Spinelli. Queda dos Corpos. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20041/Ghisiane/

queda_dos_corpos.htm>. Acesso: 19 jan. 2011.