LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICAPRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA

1 - A soma de uma sequência de números ímpares, começando do 1, é sempre igual a

um número quadrado perfeito. Com base nessa informação, responda:

a) Qual será a soma dos dez primeiros números ímpares?

102 = 100

É possível demonstrar esse truque por meio de um desenho. Observe:

Para formar um novo quadrado, sempre é acrescentada uma “camada” com quantidades

ímpares de bolinhas, o que mostra visualmente que a soma dos n primeiros números

ímpares é sempre um quadrado perfeito.

b) Como você explica o resultado da soma dos números ímpares com base no desenho.

A soma da sequência de números ímpares começando do 1 é sempre um quadrado

perfeito.

Qual é a soma da sequencia 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 33 + 35?

Do 1 ao 35 temos 18 números ímpares, portanto a soma será 182 = 324

2 - Para cada figura, escreva uma expressão reduzida (simplificada) que represente a

medida da área colorida:

a) (x + 3)(x – 3) = x2 – 9

b) x2 - 25

3 - Algumas potências e multiplicações de números podem ser resolvidas com os

produtos notáveis. Veja:

Usando esses padrões, determine o resultado das operações a seguir.

a) 232 = (20 + 3)2 = 202 + 2 . 20 . 3 + 32 = 400 + 120 + 9 = 529

b) 312 = (30 + 1)2 = 302 + 2 . 30 . 1 + 12 = 900 + 60 + 1 = 961

c) 382 = (40 – 2)2 = 402 – 2 . 40 . 2 + 22 = 1600 – 160 + 4 = 1444

d) 29 . 31 = (30 – 1)(30 + 1) = 302 – 11 = 900 – 1 = 899

e) 102 . 98 = (100 + 2)(100 – 2) = 1002 – 22 = 10000 – 4 = 9996

4 - Nos retângulos abaixo, as medidas estão indicadas numa mesma unidade de

comprimento. Determine a expressão algébrica que representa a área de cada um

desses retângulos.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

1052 = (100 + 5)2 = 1002 + 2 . 5 . 100 + 55 = 10000 + 1000 + 25 = 11025

472 = (50 – 3)2 = 502 – 2 . 3 . 50 + 32 = 2500 – 300 + 9 = 2209

35 . 25 = (30 + 5)(30 – 5) = 302 - 52 = 900 – 25 = 875

FORMA FATORADA

a) (x + 2)(2x + 3)

b) (x + 5)(x + 5) = (x + 5)2

c) (x + 10)(x + 10) = (x + 10)2

d) (2x + y)(2x + 6)

FORMA SIMPLIFICADA

a) 2x2 + 7x + 6

b) x2 + 10x + 25

c) x2 + 20x + 100

d) 4x2 + 12x + 2xy + 6y

5 - Observe que, na figura, a área de um quadrado é x2 e a área do outro quadrado é 49:

a) Qual a área do retângulo hachurado (riscado)?

7x

b) Qual a área do retângulo colorido (preto)?

7x

c) Qual a área total da figura?

(x + 7)(x + 7) = (x + 7)2 = x2 + 14x + 49

6 - Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de lado.

O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra

passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os terrenos perderam?

612 – 592 = (61 + 59)(61 – 59) = 120 . 2 = 240

7 - Ao redor do jardim da casa de Carlos, vai ser construída uma calçada revestida de

pedra. As medidas estão em metros.

a) Qual a área ocupada pelo jardim?

40

b) Escreva, na forma reduzida, um polinômio que expresse a área ocupada pela calçada.

4x2 + 28x

c) Se a largura da calçada for de 2m e o preço do metro quadrado de revestimento de

pedras for R$ 25,00, quanto Carlos irá gastar?

4 . 22 + 28 . 2 = 16 + 56 = 72

72 . 25 = 1800

8 - Bruno realizou a multiplicação: (2x + 3)(2x + 3) = 4x2 + 9

Observando o que Bruno fez em seu caderno, responda:

a) Ele acertou a multiplicação de polinômios? Tente entender e escreva o que ele fez.

Não, fez quadrado do primeiro termo mais quadrado do segundo termo.

b) Represente os polinômios como medidas de um quadrado e calcule a área desse

quadrado.

(2x+ 3)(2x + 3) = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9

9 - O desenho representa a planta de uma pequena casa construída sobre um terreno.

Indique o que representam as expressões:

a) x2 – área do quarto

b) 2xy – área da cozinha mais área do banheiro

c) y2 – área da sala

d) (x + y)2 – área da casa

10 - Utilize as regras práticas para desenvolver os produtos notáveis a seguir:

a) (x3 + y)2 = x6 + 2x3y + y2

b) (2a – 3)2 = 4a2 – 12a + 9

c) (2x + 3y)(2x – 3y) = 4x2 – 3y2

d) (4 – 3e)2 = 16 – 24e + 9e2

e) (5 + z2)2 = 25 + 10z2 + z4

f) (x3 – 3y2)(x3 – 3y2) = (x3 – 3y2)2 = x6 – 6x3y2 + 9y4

g) (2f – 3g)2 = 4f2 – 12fg + 9g2

11 - Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes:

a) (x + y)2 – 2xy = x2 + y2

b) (5 – 2z)2 – (25 +10z) = 4z² - 30z

c) (3x+1)2 + (3x-1)2 – 2 = 18x²

d) (2 – 2x)2 + (3 – 2x)2 – 2(x – 3) = 8x² - 22x + 19

e) (x – 3)(x + 3) – x(x – 3y) = 3xy - 9

f) (5a + 3)2 + (5a - 3)2 – 2(a + 5) = 50a² - 2a + 8

g) (2x – 3)2 + (x – 5)(x + 5) – (x + 4)2 = 4x2 – 20x - 32

12 - Fatore cada uma das expressões algébricas:

a) x2 – 121 = (x + 11) (x – 11)

b) 81 – q2 = (9 + q) (9 – q)

c) 4z2 – 25 = (2z + 5) (2z – 5)

d) 5x + 5z = 5(x + z)

e) a(x – 2) + b(x – 2) = (x – 2) (a + b)

f) ax2 + bx + cx = x(ax + b + c)

g) x + bx + cz +dz = x(1 + b) + z(c + d)

h) 5z2t + 10t – 3ab +5b = 5t(z² + 2) – b(3a – 5)

i) bd + cd +d + cx + bx +x = d(b + c + 1) + x(c + b +1) = (b + c + 1)(d+x)

j) z2 – 26z + 169 = (z – 13)²

k) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)²

l) 49x2 – 56xy + 16y2 = (7x – 4y)²

m) 25 – 20x + 4x2 = (5 – 2x)²

13 - Represente graficamente, pintando a área pretendida.

a) (x + 3)(x + 2)

b) (a – b)(a - b)

c) (y + 2)(y – 2)

14 - Sabendo que x + y = 5 e que x – y = 1, determine o valor de:

a) 3x + 3y = 3(x + y) = 3 . 5 = 15

b) 7x – 7y = 7(x – y) = 7 . 1 = 7

c) x2 – y2 = (x + y)(x – y) = 5 . 1 = 5

d) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = 52 = 25

e) x2 - 2xy + y2 = (x – y)2 = 12 = 1