ii-momentos

MoF

O

F

φ

d

r

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA PROF.: SERGIO TRANZILLO FRANÇA

MECÂNICA - RESUMOS E EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

CURSO: ENGENHARIA CIVIL

02. MOMENTOS: Momento em relação a ponto; momento em relação a eixo; binários

Momento – tendência de rotação

Momento em relação a ponto: (rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano força/ponto) Mo

F = r X F = rFsenφ = Fd Decompondo em coordenadas cartesianas: r = rxi + ryj + rzk F = Fxi + Fyj + Fzk;

Mo

F = ;

No plano: rz = 0 ; Fz = 0 ⇒ Momento na direção k (eixo z) Mz = rxFy – ryFx

Rotação em torno de cada eixo coordenado

i j k rx ry rz Fx Fy Fz

M = √ Mx2 + My2 + Mz2

Mx = ryFz – rzFy My = rzFx – rxFz Mz = rxFy – ryFx

Cosθx = Mx/M ; Cosθy = My/M ; Cosθz = Mz/M

A

r

F

C

B

rA

rB

E. CIVIL - 01

SERGIO TRANZILO FRANÇA

Momento em relação a eixo: projeção de Mo no eixo. Rotação em torno de um dado eixo (específico).

MeF = λ • Mo

F = λ • (r X F)

Decompõe a força; determina vetor posição; determina o vetor unitário (eixo)

Me

F =

Binário: duas forças com mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentido contrários.

Gera apenas rotação. É representado por um vetor livre.

M = r X F = rFsenθ = Fd (momento do binário) Direção: perpendicular ao plano de F Quando um binário atua em um corpo rígido, o importante é o valor do momento (intensidade, direção e sentido). Binários equivalentes: mesma rotação no corpo rígido. Binário resultante: soma vetorial dos binários (momentos) aplicados. Sistema força-binário: permite deslocar uma força para qualquer ponto do corpo rígido, aplicando-se neste ponto a força e o momento gerado em relação ao mesmo (mantêm-se o efeito).

λx λy λz rx ry rz Fx Fy Fz

O

A •

r • F

O

A•

•

MoF

=

ΣF = 0 ΣM ≠ 0

MeF

λ

MoF

r

F e

F - F

d

M

r


E. CIVIL - 02

4m

1m A

B

α

F = 80N

0,6m

0,2m

0,4 0,2

0,2m

0,2 D

C

B

A

30º

F

EXERCÍCIOS 1. Uma força F = 120 N, é aplicada em A. Determine

o momento de F em relação a B, sendo α = 60o. Determine a distância entre a linha de ação de F e o ponto B.

2. Para a figura da questão anterior, determine o valor

de α, para o qual o momento produzido pela força é máximo, e o valor correspondente deste momento.

3.Uma força F = 150 N, é aplicada no ponto B como

ilustrado. Determine o momento desta força em relação ao ponto A, usando: a) a definição de momento; b) a decomposição da força em componentes horizontal e vertical; c) a decomposição da força em componentes segundo a reta AB e perpendicular a ela.

4. Determine: a) uma força horizontal em D, que produza o

mesmo momento de F em relação ao ponto A b) a menor força aplicada em C, que produz o

mesmo momento de F em relação ao ponto A 5. Para a situação ilustrada, o momento de T em relação ao ponto O é M = 72 kNm. Determine o valor de T. 6. Determine o maior e o menor momento para a

força F em relação ao ponto B, e o respectivo valor de α.

7. Sendo P = 9 kN, determine o momento desta força

em relação ao ponto C, e a distância de sua linha de ação ao referido ponto.

8. a) Sendo F = 20N, determine o momento desta

força, em relação à base do poste. b) Determine a menor força F, para que o poste se quebre na base, sabendo que para isto, é necessário um momento de 900 N.m

9. Determine o momento de F = 120 N, em torno da

reta AB e a distância de sua linha de ação à reta indicada.

10. Sendo Q = 100 N e P = 130 N, determine a

distância entre as retas AB e CD, através do conceito de momento.

α F

A

0,30m

30o

B

O

30m

60o

12m

T

Q

P

5 4

3

12

C

A D

B

F

10,5

4,0

3,0 1,5

B

A

4

C

3

6

5

4

2

2

P

F

B

A

50

20 20

10

20


E. CIVIL - 03

G

H

F

B 20o

8000N

0,6

0,3

0,3

0,3 m

0,6

0,9

E

A

D

C

F=-4i+10j+8k F=4i-10j-8k

B A

3

2

3

4

5

30o F = 200N

C

B A

0,8 m

0,5 m

11. Determine a distância entre a linha de ação da força F e a reta CD. .

12. a) Sabendo que o momento de F em relação a reta AB, e - 90 N.m, determine o valor de F.

b) Se a força F for aplicada na reta AB, e se você desejar que o seu momento em relação à reta CD seja positivo, qual deve ser o sentido de orientação da força F? Justifique.

13. Uma força é aplicada como ilustrado. Determine: a) um sistema força-momento equivalente em A; b) duas forças horizontais em B e E, equivalentes ao momento encontrado; c) as menores forças aplicadas em C e F, equivalentes ao momento encontrado;

d) as menores forças aplicadas na placa, equivalentes ao momento encontrado.

14. Uma força é aplicada como ilustrada. Determine: a) Um sistema força-momento equivalente em B; b) Um sistema equivalente, formado por duas

forças paralelas aplicadas em B e C.

15. A chapa em forma de L, mostrada na figura, está submetida a duas forças de 250 N, como ilustrado em (a); Deseja-se substituir estas forças por um conjunto equivalente, constituído da força de 200 N aplicada em A e de uma segunda força aplicada em B, como ilustrado em (b). Determinar a coordenada y de B.

16. Para o sistema a seguir, determine: a) um sistema força momento equivalente no ponto B b) um binário equivalente ao momento, formado pelas menores forças aplicadas em A e C c) um binário equivalente ao momento, formado pelas menores forças aplicadas na placa d) um sistema equivalente, formado por duas forças paralelas aplicadas em B e C. .

17 A treliça suporta uma carga F = 40 kN, como ilustrado. No ponto A, existe uma força horizontal, e no ponto B, uma força horizontal e outra vertical. Se a força F e a força vertical de B formam um binário igual e oposto ao binário formado pelas forças horizontais em A e B, determine os valores dessas forças horizontais. 18. Determine o momento do binário mostrado na figura.

160mm

240mm

250N

200mm

250N

30o

B

A

y

200N

(a) (b)

4m

5m

4m

B

40kN

A


E. CIVIL - 04

D

C

3m

2m

4m 5m 2m

2m

4m

B

A

2m 3m

F=5kN 4m

x

y

z

B 30º

4,5 kN

A

C

D

5,0 m 3,5 m

4,0 m A

B

F 7m

3m 6m

2m

3m x

y

z

8m

C

D

α = 63,4o

α = 45o

α = 30o

100mm

45o

75mm 100mm

C

B A

α = 48,8o

α = 38,7o

19. A chapa indicada, está sujeita a três força de 400N; Substitua estas forças, por um sistema formado por duas forças paralelas, atuando em A e B. (Indicar módulo, direção e sentido). 20. Um cabo amarrado em B, exerce sobre a barra AB de 3,0m de comprimento, uma força 5000 N. Substitua a força exercida em B, por uma força e um momento em A.

RESPOSTAS: 1. M = 31,2 Nm; d = 0,26 m 2. α= 30o; M = 36 Nm 3. M = -44 Nm 4. a) F = 220N b) F = 53,6N; α = 76o 5. T = 8,65 KN 6. Mmax = 329,6 N; α = 104º ; Mmin = 0; α = 14º 7. M = 25,06i +49,26j+3,58k (KNm); d =6,15 m 8. a) 81,58i + 61,22 k b) 176,6 N 9. M = 1,18 KNm ; d = 9,8 m 10. d = 2,22 m 11. d = 0,52 m 12. 22,4 N; sentido BA. 13.a) F = 7,52i – 2,74j (kN); M = 5,95k (kNm) b) F = 4,96 kN c) F = 4,44 kN, em C e F;

d) F = 3,5 KN, em B e E

14. a) F = -173,21i – 100j (N); M = 50k (Nm)

b) F = 272,5 N em B; 72,5 N em C; 15. y = 0,35 m 16. a) M = - 9 kNm b) F = 1,69 kN, em A e C;

c) F =1,4 kN, em B e D;

d) FB = 7,5 kN FC = 3,0 kN α= 45º 17 . FH = 64 kN

18. M = 20i –24j +40k (Nm) 19.FA = 887,1 N FB = 78,5 N α= 45º 20. F = 2,8i – 3,7j + 1,9k (kN) M = 4,6i – 3,4j – 13,4k (kNm)

A

B

1,2m

C

1,8m 1,8m


E. CIVIL - 05

ii-momentos

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