1º I.T.I. : 1º I.T.I. : MECANICA IMECANICA I

Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

TEMA Nº 10: TEMA Nº 10: ESTÁTICAESTÁTICA

MOMENTOS SEGUNDOS DE MOMENTOS SEGUNDOS DE SUPERFICIE Y MOMENTOS DE SUPERFICIE Y MOMENTOS DE

INERCIAINERCIA

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IndiceIndice Punto 10.1 Introducción Punto 10.2 Momento segundo de una superficie plana

Punto 10.2.1 Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie Punto 10.2.2 Radio de giro de una superficie Punto 10.2.3 Momentos segundos de superficies compuestas Punto 10.2.4 Momentos segundos mixtos de superficies

Punto 10.3 Momentos segundos principales Punto 10.4 Momentos de inercia

Punto 10.4.1 Radio de giro Punto 10.4.2 Teorema de Steiner para momentos de inercia Punto 10.4.3 Momentos de inercia de cuerpos compuestos Punto 10.4.4 Producto de inercia

Punto 10.5 Momentos de inercia principales

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10.1 Introducción

En el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y árboles (ejes que trabajan a torsión) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma

A

dAx2

Donde dA representa un elemento de superficie y x la distancia de este elemento a un cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él. • Son siempre positivos y sus dimensiones serán L4 (unidades: mm4 o cm4).

En el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, aparecen expresiones de la forma

Momento segundo de la superficie

m

dmr 2

Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a un eje.• Son siempre positivos y sus dimensiones serán ML2 (unidades: kg.m2).

Momento de inercia (de masa)

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10.2 Momento segundo de una superficie plana

El momento segundo de una superficie respecto a un eje (indicado con subíndices) se representará por el símbolo I cuando el eje esté en el plano de la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella.

Los momentos segundos rectangulares de la superficie A respecto a los ejes x e y del plano de la superficie son:

dAxIedAyIA

y

A

x 22

Análogamente, el momento segundo polar de la superficie A respecto al eje z, que es perpendicular al plano de la superficie en el origen O del sistema de coordenadas xy, es

yx

AAAA

z IIdAydAxdAyxdArJ 22222

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10.2.1 Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie

Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podrá obtener el correspondiente a un eje paralelo a éste aplicando el Teorema de Steiner. Demostración: Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la

superficie, el momento segundo de superficie respecto a un eje x´ paralelo a él es

AAAA

x dAydAyydAydAyyI 222

´ 2

el segundo término es nulo ya que se trata del momento primero de superficie respecto al eje x que pasa por el centroide de la superficie, quedando:

AyII xCx2

´ donde IxC es el momento segundo de la superficie respecto al eje x que pasa por el centroide C e es la separación de los ejes x y x´.

y

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Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:

El momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la superficie más el producto del área de ésta por el cuadrado de la separación de los ejes.

Atención: Este teorema solo es válido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal, o al revés, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a él.

Y además se puede demostrar que AdJAyxJJ zCzCz222

´

donde JzC es el momento segundo polar de la superficie respecto al eje z que pasa por el centroide C y d es la distancia que separa los ejes z y z´.

AxII yCy2´

Análogamente:

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10.2.2 Radio de giro de una superficie

El momento segundo de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta potencia de una longitud) se podrá expresar como producto del área A de la superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues,

A

Jk

A

Ik

A

Ik

kAdArJkAdAxIkAdAyI

zz

yy

xx

A

zz

A

yy

A

xx

222222

Y como 222yxzyxz kkkIIJ

Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie, existirá una relación correspondiente entre los radios de giro de la superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el centroide de la superficie. 222222

´222

´222

´ dkyxkkxkkykk zCzCzyCyxCx

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10.2.3 Momentos segundos de superficiescompuestas

Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, …, An para las cuales las integrales ya estén calculadas y tabuladas. Así, el momento segundo de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las distintas partes.

Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:

dArJdAxIdAyIA

z

A

y

A

x 222

n

n

xxx

AAAA

x IIIdAydAydAydAyI ......21

21

2222

Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento segundo deberá restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante.

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Momentos segundos de superficies planas1/2

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Momentos segundos de superficies planas2/2

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Propiedades de algunasformas de perfiles

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PROBLEMA 10.6PROBLEMA 10.6Determinar el momento segundo de la superficie sombreada respecto a:

1. El eje x.2. El eje y.3. Un eje que pase por el origen O del sistema de coordenadas xy y sea

normal al plano de la superficie.

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PROBLEMA 10.7PROBLEMA 10.7Una columna está constituida por una sección de alas anchas W610 x 125 y un canal C305 x 45. Determinar los momentos segundos y los radios de giro de la sección recta respecto a los ejes horizontal y vertical que pasan por el centroide de la sección recta.

x

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10.2.4 Momentos segundos mixtos de superficies

El momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a los ejes x e y es: dAyxdI xy Así el momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) de la superficie total A respecto a los ejes x e y será:

A

xy dAyxI

Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el momento segundo mixto podrá ser positivo, negativo o nulo.

De hecho, el momento segundo mixto de una superficierespecto a dos ejes ortogonales cualesquiera será nulo cuando uno de dichos ejes sea eje de simetría.

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El Teorema de Steiner para momentos segundos mixtos se deducen a partir de la figura en donde los ejes x e y pasan por el centroide C de la superficie y son paralelos, respectivamente a los ejes x´ e y´. Así,

AAAA

AA

yx

dAyxdAxydAyxdAyx

dAyyxxdAyxI ´´´´

Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los ejes x e y.

En consecuencia, el momento segundo mixto respecto a un par de ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es

AyxII xyCyx ´´

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Momentos segundos mixtos de superficies planas 1/2

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Momentos segundos mixtos de superficies planas 2/2

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10.3 Momentos segundos principales

El momento segundo de la superficie A de la figura respecto al eje x´ que pasa por O variará con el ángulo θ. Los ejes x e y utilizados para obtener el momento segundo polar Jz respecto a un eje z que pase por O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del plano de la superficie que pasaran por O; por tanto,

´´ yxyxz IIIIJ Donde x´e y´son dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma de Ix´ e Iy´ es constante, Ix´ será máximo y el correspondiente Iy´ mínimo para un valor particular de θ.El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son máximo y mínimo se denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa por eje u y eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al estudiar vigas y columnas). Así los momentos segundos principales así obtenidos respecto a estos ejes se designan por Iu e Iv.

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10.4 Momentos de Inercia

En los análisis del movimiento de un cuerpo rígido (DINAMICA), aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto recibe el nombre de momento de inercia del elemento.Así pues, el momento de inercia dI de un elemento de masa dm respecto al eje OO es,

dmrdI 2El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es:

m

dmrI 2

Siempre será positivo dado que tanto la masa como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas y como tiene las dimensiones ML2, su unidad de medida del SI será el kg.m2

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Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el de la figura, así:

dmyxdmrI

dmzxdmrI

dmzydmrI

mm

zz

mm

yy

mm

xx

222

222

222

dmzydmrdI xx222

Para los ejes y y z se pueden escribir ecuaciones análogas con lo que nos quedaría:

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10.4.1 Radio de giro

El momento de inercia (al tener las dimensiones de masa por el cuadrado de una longitud) se podrá expresar como producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues, el momento de inercia I de un cuerpo respecto a una recta dada se puede expresar en la forma:

m

IkmkI seao2

El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habría que concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real.

No existe ninguna interpretación física útil del radio de giro; no es más que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en función de su masa y una longitud.

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10.4.2 Teorema de Steiner para momentos de inercia

Considérese el cuerpo representado en la figura, en cuyo centro de masa G se toma el origen del sistema de coordenadas xyz y considérese también un sistema de coordenadas x´y´z´ de origen en el punto O´y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa que

zzzyyyxxx ´´´

La distancia dx que separa los ejes x´y x es

22 zyd x Así pues, el momento de inercia del cuerpo respecto al eje x´, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es,

m

xx dmrI 2´´ desarrollando

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dmzzyydmrImm

xx222

´´

y como los ejes y y z pasan por el c.d.m. G del cuerpo,

00 mm

dmzdmy

mmmmm

zdmzdmzydmydmydmzy 22 2222

Por tanto, mdImyxII

mdImzxII

mdImzyII

zzGzGz

yyGyGy

xxGxGx

222´

222´

222´

Ahora bien, como xG

m

Idmzy 22

Teorema de Steiner para momentos de inercia

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Así pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pase por su centro de masa, se podrá hallar el momento de inercia respecto a otro eje cualquiera paralelo a él, sin necesidad de integración, utilizando las ecuaciones anteriores.Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes paralelos existe una relación similar dada por mdmkmk xxGx

222´

luego

222´

222´

222´

zzGz

yyGy

xxGx

dkk

dkk

dkk

Los dos sistemas de ecuaciones enmarcados sólo son válidos para pasar de ejes xyz que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos o al revés.

¡No son válidos para ejes paralelos arbitrarios!

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10.4.3 Momentos de inercia de cuerpos compuestos

Muchas veces el cuerpo de interés puede descomponerse en varias formas simples tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las cuales se han calculado y tabulado previamente los momentos de inercia. (Ver tablas siguientes).

El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un eje cualquiera es igual a la suma de los momentos de inercia de las distintas partes que lo componen respecto a dicho eje. Por ejemplo,

n

n

xxx

mmm

mm

xx

III

dmzydmzydmzy

dmzydmrI

...

...

21

21

222222

222

Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de inercia deberá restarse del momento de inercia de la parte mayor para obtener el momento de inercia del cuerpo compuesto.

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Momentos de inercia de formas corrientes1/3

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Momentos de inercia de formas corrientes2/3

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Momentos de inercia de formas corrientes3/3

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PROBLEMA 10.14PROBLEMA 10.14Determinar el momento de inercia del volante de hierro colado de la figura respecto a su eje de rotación. Densidad del hierro colado 7730 kg/m3.

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10.4.4 Producto de inercia

En los estudios de movimientos de cuerpos rígidos (DINAMICA) aparecen, a veces, expresiones en las que intervienen el producto de la masa de un pequeño elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Se trata de del producto de inercia del elemento.

dmyxdI xy

Por ejemplo, el producto de inercia del elemento representado en la figura respecto a los planos xz e yz es

La suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los mismos planos ortogonales se define como el producto de inercia del cuerpo.

m

xy dmyxI

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Así pues, los tres productos de inercia del cuerpo representado son

m

zx

m

yz

m

xy dmxzIdmzyIdmyxI

Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las dimensiones ML2 por lo que su unidad de medida del SI será el kg.m2

El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo ya que las coordenadas tiene signos independientes.El producto de inercia será nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano de simetría, ya que los pares de elementos simétricos respecto a éste tendrán productos de inercia opuestos cuya suma dará cero.Los productos de inercia de placas delgadas con densidad ρ uniforme, con grosor t uniforme y una sección de área A y suponiendo además que los ejes x e y están contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetría), serán

00

m

zx

m

yz

xy

VAVm

xy

dmxzIydmzyI

ItdAyxtdAtyxdVyxdmyxI

mm

Am

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Se puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de Steiner muy parecido al de los momentos segundos mixtos de superficie vistos anteriormente.

Considérese el cuerpo representado en la figura, el cual tiene un sistema de coordenadas xyz con origen en el centro de masa G del cuerpo y un sistema de coordenadas x´y´z´ con origen en el punto O´ y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa que

zzzyyyxxx ´´´

mmmmmm

yx dmyxdmxydmyxdmyxdmyyxxdmyxI ´´´´

Por tanto,

0;0; mm

xyG

m

dmzdmyIdmyxcomo

tenemos que: mxzIImzyIImyxII zxGxzyzGzyxyGyx ´´´´´´

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PROBLEMA 10.16PROBLEMA 10.16Determinar los productos de inercia Ixy, Iyz e Izx de la voladera plana y homogénea de acero de la figura. El orificio se encuentra en el centro de la placa. Densidad del acero 7870 kg/m3.

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I.T.I 1º:I.T.I 1º:MECANICA IMECANICA I

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10.5 Momentos de inercia principales

En algunos casos, en el análisis dinámico de cuerpos, hay que determinar ejes principales y momentos de inercia máximo y mínimo.

El problema estriba en transformar momentos y productos de inercia fácilmente calculables respecto a un sistema de coordenadas en los correspondientes a otro sistema x´y´z´ de igual origen O pero inclinados respecto a los ejes xyz.

Considérese el cuerpo representado en la figura, en donde el eje x´ forma los ángulos θx´x, θx´y y θx´z con los ejes x, y y z respectivamente. El momento de inercia Ix´ es, por definición:

m

x dmrI 2´

Desarrollando y realizando un análisis similar al que se realiza para localizar los ejes principales y determinar los momentos segundos de superficie máximo y mínimo, se pueden localizar los ejes principales de inercia y determinar los momentos de inercia máximo y mínimo.

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PROBLEMA PROBLEMA EXAMENEXAMEN

Un cuerpo compuesto consiste en un bloque rectangular de latón (ρ=8,75 Mg/m3) unido a un cilindro de acero (ρ=7,87 Mg/m3) según se indica en la figura. Determinar el momento de inercia del cuerpo compuesto y el radio de giro respecto al eje y que se indica en la figura.

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PROBLEMA PROBLEMA EXAMENEXAMEN

Calcula el momento de Inercia respecto al eje x del cuerpo de la figura siguiente compuesto por dos cilindros de acero (ρ=7850 kg/m3) y una esfera de latón (ρ=8750 kg/m3).