hiperciclicidade e caos linear

Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza

Programa de Pos−Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica

Hiperciclicidade e Caos Linear

Lindines Coleta da Silva

Joao Pessoa−PBJulho de 2018

Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza

Programa de Pos−Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica

Hiperciclicidade e Caos Linear

por

Lindines Coleta da Silva 1

sob a orientacao do

Prof. Dr. Nacib Andre Gurgel e Albuquerque

Joao Pessoa – PBJulho de 2018

1O autor foi bolsista da Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior−CAPESdurante a elaboracao desta dissertacao.

http://lattes.cnpq.br/9747610201311972

http://lattes.cnpq.br/4715483651251398

S586h Silva, Lindinês Coleta da. Hiperciclicidade e Caos Linear / Lindinês Coleta da Silva. - João Pessoa, 2018. 89 f. : il.

Orientação: Nacib André Gurgel e Albuquerque Albuquerque. Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Hiperciclicidade. 2. Critérios de Hiperciclicidade. 3. Caos de Devaney. 4. Caos de Li-Yorke. 5. Caos Distribucional. I. Albuquerque, Nacib André Gurgel e Albuquerque. II. Título.

UFPB/CCEN

Catalogação na publicaçãoSeção de Catalogação e Classificação

Aos meus pais

Agradecimentos

Agradeco a Deus por todas as bencaos concedidas.

Agradeco aos meus pais por todo apoio e incentivo e, principalmente, por todo

amor, dedicacao e ensinamentos. Eles sao meus pilares. Sou grata ao meu irmao pela

sua simples presenca em minha vida.

Agradeco ao professor Nacib pela excelente orientacao para a realizacao deste tra-

balho e a banca examinadora pelas suas varias sugestoes, que contribuıram para a sua

melhoria.

Tenho muito a agradecer a Janiely por todos os contınuos momentos de estudos

durante o mestrado, por ter me ouvido reclamar durante todas as tensoes pre-provas,

por toda a forca e apoio e, mais importante, por sua amizade. Agradeco tambem

ao Fernando por suas inumeras contribucoes, que desde a graduacao tiveram particao

crucial para a minha formacao.

Alem da janiely, tive o prazer de poder dividir apartamento, por alguns meses, com

as adoraveis Camila e Lisiane. Essas meninas sao pessoas incrıveis. Obrigada por todo

o acolhimento e por suas amizades.

E, por fim, agradeco ao meu namorado, Henrique, por todo o seu amor e pela

paciencia com os meus muitos momentos de ausencia.

vi

Resumo

Nos ultimos anos, a dinamica linear tem atraıdo a atencao de varios pesquisadores,

principalmente a investigacao de operadores lineares e contınuos T : X → X, em um

espaco vetorial topologico X, cuja orbita x, Tx, T 2x, . . . , T nx, . . . e densa, para al-

gum elemento x ∈ X. Operadores que possuem esse comportamento sao hipercıclicos e

a teoria que os estuda e conhecida por hiperciclicidade, que e um dos principais temas

deste trabalho. Os tres exemplos classicos de operadores hipercıclicos que constam

na literatura sao investigados: os operadores de Birkhoff (1884−1944), de MacLane

(1909−2005) e de Rolewicz (1932−2015). O caos de Devaney, que possui como um

dos “ingredientes” o fenomeno de hiperciclicidade, e apresentado e a verificacao que os

operadores classicos sao Devaney caoticos e realizada. Dentre os varios resultados inte-

ressantes sobre hiperciclicidade, sao discutidos alguns criterios, a constatacao que nao

existem operadores hipercıclicos em espaco de dimensao finita e um curioso resultado:

todo operador hipercıclico admite um subespaco invariante constituıdo, a excecao da

origem, apenas por vetores hipercıclicos. Por fim, e apresentada uma breve discussao

sobre outros dois tipos de caos, a saber o caos de Li-Yorke e o caos Distribucional.

Palavras-chave: Hiperciclicidade, criterios de hiperciclicidade, caos de Devaney, caos

de Li-Yorke, caos distribucional.

Abstract

In the last years, the linear dinamics has gained the attention of many researchers,

mainly to the investigation of linear and continuous operators T : X −→ X, on to-

pological vector spaces, whose orbit x, Tx, . . . , T nx, . . . is dense for some x ∈ X.

Operators with this behaviour are said to be hypercyclic and the theory that studies

them is known by hypercyclicity, which is one of the main themes within this work.

The three classical examples of hyperciclic operators found in the literature are inves-

tigated: the Birkhoff (1884−1944), MacLane (1909−2005) and Rolewicz (1932−2015)

operators. The Devaney chaos, which has as one of its “ingredients” the phenomeon

of hypercyclicity, is presented and the verification that the classic operators are Deva-

ney chaotic is fulfilled. Among interesting results about hypercyclicity, are discussed

somes criterions, the constatation that there are no hypercyclic operators on a finite

dimensional space and a curious result: any hypercyclic operator admits a dense inva-

riant subspace consisting, except for zero, of hypercyclic vectors. Ultimately, a brief

discussion is presented about another two types of chaos, namely the Li-Yorke and

distributional chaos.

Keywords: Hypercyclicity, Hypercyclicity criterion, Devaney chaos, Li-Yorke chaos,

distributional chaos.

Sumario

Introducao 1

1 Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares 4

1.1 Espacos de Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Topologia do Espaco C(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 H(C) e um Espaco de Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Hiperciclicidade e Caos de Devaney 20

2.1 Transitividade Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Caos de Devaney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Hiperciclicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Operadores Devaney Caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Resultados de Hiperciclicidade 41

3.1 Propriedades dos Operadores Hipercıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Aplicacoes Mixing e Weakly Mixing e Criterios de Hiperciclidade . . . . 46

4 Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos 56

4.1 Caos de Li-Yorke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Caos Distribucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Referencias Bibliograficas 78

ix

Notacoes

A seguir, listamos algumas notacoes utilizadas neste trabalho. Abaixo nos referire-

mos a aplicacao T : X −→ X simplesmente por T .

• N0 := N ∪ 0;

• R∗+, R+ denotam, respectivamente, o conjunto dos numeros reais nao-negativos e

o conjunto dos numeros reais positivos;

• K denota o espaco real R ou o plano complexo C;

• c0 :=

(aj)∞j=1; aj ∈ K para todo j ∈ N e limj→∞ aj = 0

. Dada uma sequencia

(xj)∞j=1 ∈ c0, a norma (xj)

∞j=1 7→ ‖(xj)∞j=1‖∞ := supj∈N |xj| torna c0 um espaco de

Banach. Todas as vezes que nos referirmos a esse espaco, estaremos considerando

c0 = (c0, ‖ · ‖∞);

• c00 :=

(aj)∞j=1; aj = 0 para todo j ≥ n0, para algum n0 ∈ N

;

• Para 1 ≤ p < ∞, `p :=

(aj)∞j=1; aj ∈ K para todo j ∈ N e

∑∞j=1 |aj|p <

∞

. Para cada 1 ≤ p < ∞ e dada (aj)∞j=1 ∈ `p, a norma (aj)

∞j=1 7→ ‖(aj)∞j=1‖p :=(∑∞

j=1 |aj|p) 1

ptorna `p um espaco de Banach. Em todo o texto, `p = (`p, ‖ · ‖p);

• C(Ω) representa o espaco das funcoes contınuas f : Ω −→ C, com Ω ⊂ C aberto,

munido com a topologia unirforme em compactos;

• H(C) denota o espaco das funcoes inteiras f : C −→ C, munido com a topologia

uniforme em compactos, induzida de C(C);

• orb(x, T ) := x, Tx, T 2x, . . . , T nx, . . .;

• HC(T ) denota o conjunto dos vetores hipercıclicos de T ;

x

• ‖ · ‖N representa a norma usual no espaco normado N . Quando o espaco estiver

bem subentendido, denotaremos simplesmente por ‖ · ‖;

• Para n ∈ N, ‖ · ‖n := sup|z|≤n |f(z)|, com z ∈ C e f ∈ C(Ω), Ω ⊂ C aberto;

• B(a,R) denota a bola aberta de centro a e raio R;

• X representa o fecho do espaco X;

• span(A) denota o espaco gerado pelo conjunto A;

• fk denota a n−esima derivada da funcao f ∈ H(C);

• T−n denota a aplicacao inversa de T n, ou seja, T−n = (T n)−1;

• “Cf.” sera a abreviacao utilizada para o termo “Confira”;

• , representam o final de uma demonstracao e de um exemplo, respectivamente.

xi

Introducao

E bem aceito que a mencao a palavra caos remete a uma ideia de desordem, impre-

visao e irregularidade. Fazendo uma analogia ao contexto matematico, intuitivamente

nao deve fazer sentido falar sobre o caos em meios lineares. Entretanto, alguns ma-

tematicos do seculo passado descobriram a existencia da caoticidade no ambito linear,

provando que a intuicao falha ao apenas relacionar caos a nao-linearidade.

O primeiro exemplo de ambiente linear com comportamento caotico foi dado em

1929, por Birkhoff em [5] ao apresentar o operador linear contınuo T1 : H(C) −→ H(C)

definido por T1(f) = f(· + 1), onde H(C) e o espaco das funcoes inteiras. Birkhoff

provou que em H(C) existe alguma funcao f : C −→ C para a qual o conjunto

T 01 (f), T 1

1 (f), T 21 (f) . . . , T n1 (f), . . ., das iteradas de T1 aplicadas em f , e denso em

H(C).

Anos depois, em 1952, MacLane demonstrou em [16] que o operador derivacao

D : H(C) −→ H(C) dado por D(f) = f ′, possui a mesma propriedade explicitada

para o operador de Birkhoff. Assim, foi mostrado que existe alguma funcao g ∈ H(C)

tal que o conjunto g,D(g), . . . , Dn(g), . . . e denso em H(C).

Mais surpreendentemente, em 1969, Rolewicz em [21] constatou que o compor-

tamento das aplicacoes acima, tambem pode ser apresentado por operadores linea-

res e contınuos em espacos de Banach. Ele verificou esse fenomeno para o operador

(x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ `2 7→ λ(x2, . . . , xn, . . .) ∈ `2, para λ um escalar de modulo maior

do que 1.

De modo geral, um operador linear contınuo T : X → X, em um espaco vetorial

topologico X, e dito hipercıclico, quando existe um vetor x ∈ X com orbita densa

sobre T , isto e, o conjunto x, Tx, T 2x, . . . , T nx, . . . e denso em X. Neste caso, x e

dito vetor hipercıclico para T . E importante salientar que a hiperciclicidade nao requer

necessariamente uma estrutura linear. A nocao de orbita densa pode ser apresentada

por uma aplicacao T simplesmente contınua, definida em um espaco topologico X.

Provavelmente, a hiperciclicidade e a nocao mais estudada na analise da dinamica

de operadores lineares e contınuos e esta compoe um dos “ingredientes” do chamado

caos de Devaney [8]. Em nosso contexto, um operador e considerado caotico no sentido

1

de Devaney quando, alem de ser hipercıclico, possui dependencia sensıvel as condicoes

iniciais e admite um conjunto denso de pontos periodicos. Esta nao foi a primeira

nocao de caos que surgiu na literatura. Em 1975, Li (1945−) e Yorke (1941−) em

[13] apresentaram uma dinamica bem complicada detectada em aplicacoes definidas

em intervalos. A nocao de caos apresentada nesse artigo ficou conhecida posterior-

mente como caos de Li-Yorke. Mais tarde, em 1994, como uma natural extensao da

nocao do caos de Li-Yorke, Schweizer and Smıtal [23] introduziram o conceito de caos

Distribucional.

Os matematicos citados foram alguns dos precursores no estudo sobre o tema e, a

partir deles, varios pesquisadores manifestaram interesse em investigar tais fenomenos,

obtendo resultados interessantes e conseguindo estender os conceitos para ambientes

e casos mais gerais. As nocoes de caos de Li-Yorke e distribucional, por exemplo,

surgiram para aplicacoes definidas em intervalos. Atualmente, existem varios trabalhos

nos quais se discutem estes conceitos para operadores lineares e contınuos definidos em

espacos de Frechet [2, 4, 12, 17, 18]. Alem disso, existem outros tipos de caos alem dos

aqui mencionados, como o caos de Wiggins, abordado em [9].

Estrutura do Texto

O Capıtulo 1 possui o intuito de apresentar elementos considerados essenciais para

o desenvolvimento ulterior do trabalho. Serao introduzidos os espacos de Frechet e

demonstrado que o espaco C(Ω), das funcoes contınuas definidas no aberto Ω ⊂ C e

assumindo valores em C, munido da topologia da convergencia uniforme em compactos,

e um espaco de Frechet. Como H(C) e um subespaco fechado de C(C), este herdara as

propriedades de C(C) com a topologia induzida, donde concluir-se-a que a estrutura de

Frechet tambem e preservada. Estas verificacoes sao importantes para, no Capıtulo 2,

aplicar-se o Teorema da Transitividade de Birkhoff na demonstracao que os operadores

de Birkhoff e MacLane sao hipercıclicos. Por fim, algumas ferramentas de analise

complexa sao apresentadas.

A abordagem do tema hiperciclicidade e reservada ao Capıtulo 2. Nele, e demons-

trado que os tres operadores classicos, o de Birkhoff, o de MacLane e o de Rolewicz,

sao hipercıclicos. Como ja mencionado, a hiperciclidade e um dos ingredientes para

o caos de Devaney e assim as demais condicoes que um operador deve satisfazer para

ser Devaney caotico sao abordadas. Alem disso, e mostrado que dada definicao pode

ter suas tres condicoes iniciais reduzidas para duas. O capıtulo e finalizado com a

demonstracao que os tres operadores classicos sao Devaney caoticos.

O Capıtulo 3 inicia-se com a prova de alguns resultados interessantes para operado-

2

res hipercıclicos, como a existencia de um subespaco invariante constituıdo, exceto pelo

zero, por vetores hipercıclicos. Tambem e provado que nao e possıvel tratar de caoti-

cidade em dimensao finita. Em seguida, criterios uteis de hiperciclicidade sao exibidos

e, por meio destes, a verificacao que alguns operadores sao hipercıclicos e facilitada.

O quarto e ultimo capıtulo foi dedicado aos caos de Li-Yorke e distribucional (ou

caos distribucional uniforme). Neste, os resultados sao discutidos para operadores

lineares e contınuos, definidos em espacos de Banach. Na primeira secao, e apresentada

a nocao do caos de Li-Yorke e, subsequentemente, e estabelecida a equivalencia entre

operadores Li-Yorke caoticos e a existencia de vetores irregulares. A secao e finalizada

com um criterio para o caos tratado. Na segunda secao, discute-se o conceito de caos

distribucional e um criterio para este e demonstrado. O capıtulo encerra-se com dois

resultados espectrais envolvendo operadores distribucionalmente caoticos.

3

Capıtulo 1

Nocoes de Espacos de Frechet e

Resultados Auxiliares

Neste capıtulo abordaremos brevemente os espacos de Frechet e operadores lineares

contınuos definidos nesses espacos, trazendo os elementos e resultados necessarios para

o desenvolvimento dos capıtulos posteriores.

Na primeira secao, trataremos de algumas definicoes basicas e convergencias em

espacos de Frechet. O espaco das funcoes inteiras, denotado por H(C), sera um impor-

tante exemplo de espaco de Frechet. Dentre os tres exemplos classicos de operadores

hipercıclicos que apresentaremos, dois deles estao definidos em H(C). Desta forma,

as proximas secoes sao dedicadas a demonstracao que tal espaco e de Frechet. Na

segunda secao, inicialmente provaremos que C(Ω) e um espaco de Frechet munido com

a topologia da convergencia uniforme em compactos e na terceira secao, constataremos

que H(C) e fechado em C(C) com a topologia induzida, donde concluiremos o dese-

jado. Na quarta secao, enunciaremos alguns resultados de Analise Complexa que serao

requeridos ao longo do trabalho. Alem destes, tambem enunciamos um importante

resultado espectral: o Teorema da Decomposicao de Riesz.

1.1 Espacos de Frechet

Antes de definirmos espacos de Frechet, introduziremos algumas nocoes prelimina-

res, como o conceito de seminormas, sequencia separante de seminormas e apresenta-

remos uma metrica com papel crucial a definicao. Posteriormente, trataremos sobre a

convergencia em tais espacos e finalizaremos a secao com uma condicao necessaria e

suficiente para que um operador linear, definido entre espacos Frechet, seja contınuo.

Definicao 1.1. Seja X um espaco vetorial sobre K = R ou C. Uma funcao

p : X −→ R∗+ e dita uma seminorma se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

4

1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares

(i) p(λx) = |λ|p(x), para todo escalar λ ∈ K e todo x ∈ X,

(ii) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), para quaisquer x, y ∈ X.

Observacao 1.1. Uma norma p : X −→ R∗+ e uma seminorma tal que p(x) = 0 implica

x = 0. Dizemos que uma sequencia (pn)n de seminormas e nao-decrescente quando,

para cada x ∈ X, pn(x) ≤ pn+1(x), para todo n ∈ N. Dada qualquer sequencia (pn)n

de seminormas, se necessario, esta sempre pode ser considerada nao-decrescente (basta

tomar pn := maxk≤n pk).

Definicao 1.2. Uma sequencia (pn)n de seminormas e dita separante quando

pn(x) = 0, para todo n ∈ N, implicar x = 0.

Consideremos (pn)n uma sequencia separante e nao-decrescente de seminormas.

Entao a funcao d : X ×X −→ R∗+ dada por

d(x, y) =∞∑n=1

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)x, y ∈ X, (1.1)

define uma metrica em X.

A boa definicao da funcao segue do Teste da Comparacao, com a serie convergente∑∞n=1

12n

. Verifiquemos que d satisfaz todas as condicoes necessarias para ser uma

metrica:

(i) Claramente d(x, y) ≥ 0. Se x = y, entao pn(x − y) = 0 para todo n ∈ N,

donde d(x, y) = 0. Reciprocamente, se d(x, y) =∑∞

n=11

2n· pn(x−y)

1+pn(x−y)= 0, segue

que 12n

pn(x−y)1+pn(x−y)

= 0, logo pn(x − y) = 0 para todo n ∈ N. Como (pn)n e uma

sequencia separante, tem-se x = y.

(ii) d(x, y) =∑∞

n=11

2n· pn(x−y)

1+pn(x−y)=∑∞

n=11

2n· pn(y−x)

1+pn(y−x)= d(y, x);

(iii) Dados x, y, z ∈ X, objetivamos provar que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Sejam a, b e c constantes nao negativas, com a ≤ b+ c. Entao

a

1 + a≤ b+ c

1 + (b+ c)=

b

1 + b+ c+

c

1 + b+ c≤ b

1 + b+

c

1 + c, (1.2)

uma vez que a funcao ϕ : [0,∞) −→ R dada por ϕ(x) = x1+x

e estritamente

crescente (pois ϕ′(x) = 1(1+x)2 > 0). Como para todo n ≥ 0, pn(x− y), pn(x− z)

e pn(z − y) sao numeros nao negativos, com pn(x − y) ≤ pn(x − z) + pn(z − y),

logo satisfazem (1.2), donde obtemos

pn(x− y)

1 + pn(x− y)≤ pn(x− z)

1 + pn(x− z)+

pn(z − y)

1 + pn(z − y),

5


donde

∞∑n=1

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)≤

∞∑n=1

1

2n· pn(x− z)

1 + pn(x− z)+∞∑n=1

1

2n· pn(z − y)

1 + pn(z − y).

Portanto, dos itens (i), (ii) e (iii) concluımos que d e uma metrica.

Uma caracterıstica importante da metrica dada por (1.1) e a propriedade de ser

invariante por translacao, isto e, para todo x, y, z ∈ X vale

d(x, y) = d(x+ z, y + z).

Com o conceito de seminorma e a metrica em (1.1) dispomos de todos os elementos

para definirmos espacos de Frechet.

Definicao 1.3 (Espaco de Frechet). Um espaco vetorial X munido com uma sequencia

(pn)n nao-decrescente e separante de seminormas, que e completo com a metrica (1.1)

e dito um espaco de Frechet.

Como em [11, p.34], um espaco de Frechet tambem pode ser definido atraves da

metrica d′ : X ×X −→ R∗+ dada por

d′(x, y) =∞∑n=1

1

2nmin(1, pn(x− y)), x, y ∈ X.

Entretanto, a metrica d′ e a metrica d, definida em (1.1), sao equivalentes. Note que,

para todo n ∈ N,

pn(x− y)

1 + pn(x− y)≤ min(1, pn(x− y)) ≤ 2 · pn(x− y)

1 + pn(x− y),

o que implica em d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ 2d(x, y), para todos x, y ∈ X.

Observacao 1.2. A partir deste momento, nos referiremos a uma sequencia (pn)n nao-

decrescente e separante de seminormas, simplesmente por uma sequencia associada ao

espaco de Frechet X.

Lema 1.1. Seja (pn)n uma sequencia de seminormas associada a um espaco X de

Frechet. Para quaisquer x, y ∈ X e k ∈ N, as seguintes propriedades sao verificadas:

(i) Se pk(x− y) < 12k

, entao d(x, y) < 22k

.

(ii) Se d(x, y) < 122k+1 , entao pn(x− y) < 1

2k, para todo n ≤ k.

6


Demonstracao. (i) Como (pn)n e uma sequencia nao-decrescente de seminormas,

pn(x − y) < 12k

, para todo n ≤ k, e ja que a funcao ϕ : x ∈ [0,∞) 7−→ x1+x

e es-

tritamente crescente , obtemos

pn(x− y)

1 + pn(x− y)<

12k

1 + 12k

=1

2k + 1, para todo n ≤ k.

Daı,k∑

n=1

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)<

k∑n=1

1

2n· 1

2k + 1<

1

2k + 1<

1

2k. (1.3)

Alem disso, temos

∞∑n=k+1

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)<

∞∑n=k+1

1

2n<

1

2k. (1.4)

Portanto, de (1.3) e (1.4),

d(x, y) =k∑

n=1

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)+

∞∑n=k+1

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)<

1

2k+

1

2k=

2

2k,

como querıamos demonstrar.

(ii) Suponhamos, por contradicao, que pn0(x− y) ≥ 12k

, para algum n0 ≤ k. Entao

pn0(x− y)

1 + pn0(x− y)≥

12k

1 + 12k

=1

1 + 2k.

Daı,

d(x, y) =∞∑n=1

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)

=∑n6=n0

1

2n· pn(x− y)

1 + pn(x− y)+

1

2n0· pn0(x− y)

1 + pn0(x− y)

≥ 1

2n0· 1

2k + 1

≥ 1

2k· 1

2k + 1=

1

22k + 2k

>1

22k+1,

o que contradiz a hipotese. Portanto, pn(x− y) ≤ 12k

, para todo n ≤ k.

7


Proposicao 1.1. Seja (pn)n uma sequencia de seminormas associada a um espaco de

Frechet X. Dados (xk)k e x em X e U ⊂ X um conjunto contendo x, sao validas as

seguintes propriedades:

(i) xkk→∞−→ x se, e somente se, pn(xk − x)

k→∞−→ 0, para todo n ∈ N;

(ii) (xk)k e de Cauchy se, e somente se, pn(xk − xl)k,l→∞−→ 0, para todo n ∈ N;

(iii) U e uma vizinhanca de x se, e somente se, existem m ∈ N e ε > 0 tais que

z ∈ X; pm(z − x) < ε ⊂ U .

Demonstracao. (i) Note que

xkk→∞−→ x⇐⇒ d(xk, x)

k→∞−→ 0

⇐⇒∞∑n=1

1

2n· pn(xk − x)

1 + pn(xk − x)

k→∞−→ 0

⇐⇒ 1

2n· pn(xk − x)

1 + pn(xk − x)

k→∞−→ 0, ∀n ∈ N

⇐⇒ pn(xk − x)

1 + pn(xk − x)

k→∞−→ 0, ∀n ∈ N

⇐⇒ pn(xk − x)k→∞−→ 0 ∀n ∈ N,

o que demonstra o item em questao. A implicacao

1

2n· pn(xk − x)

1 + pn(xk − x)

k→∞−→ 0, ∀n ∈ N⇒∞∑n=1

1

2n· pn(xk − x)

1 + pn(xk − x)

k→∞−→ 0,

segue do Lema 1.1, item (i).

(ii) A demonstracao segue por argumento analogo ao usado no item anterior.

(iii) Suponha que U seja uma vizinhanca de x. Entao existe algum k ≥ 2 tal que

B(x,

1

2k−2

):=

z ∈ X; d(x, z) <

1

2k−2

⊂ U. (1.5)

Tome m = k e ε = 12k

. Provaremos que o conjuntoz ∈ X; pk(x− z) <

1

2k

⊂ U. (1.6)

Pelo item (i) do Lema 1.1, se z ∈ X e tal que pk(x − z) < 12k

, entao

d(x, z) < 22k

= 12k−1 <

12k−2 . Portanto, de (1.5) concluımos (1.6).

8


Reciprocamente, suponha que existe m ≥ 1 e ε > 0 tal que

z ∈ X; pm(x− z) < ε ⊂ U. (1.7)

Seja k ∈ N tal que k ≥ m e 12k< ε. Vamos provar que o conjunto

Y :=

z ∈ X; d(x− z) <

1

22k+1

esta contido em U . Se z ∈ Y , entao d(x, z) < 1

22k+1 e pelo item (ii) do Lema 1.1 segue

que pk(x − z) < 12k

. Como (pn)n e uma sequencia nao-decrescente de seminormas e

m ≤ k, obtemos que pm(x− z) ≤ pk(x− z) < 12k

, donde por (1.7) z ∈ U , o que conclui

a demonstracao.

A proxima proposicao nos dara uma condicao necessaria e suficiente para garantir-

mos que um aplicacao linear, definida entre espacos de Frechet seja contınuo.

Proposicao 1.2. Sejam X e Y espacos de Frechet. Considere (pn)n e (qn)n sequencias

de seminormas associadas, respectivamente, a X e a Y . Uma aplicacao linear T :

X −→ Y e contınua se, e somente se, para qualquer m ≥ 1, existem n ≥ 1 e M > 0

tais que

qm(Tx) ≤Mpn(x), (1.8)

para todo x ∈ X.

Demonstracao. Supondo valido (1.8), provemos que T e contınuo. Consideremos

xkk→∞−→ x em X. Pela Proposicao 1.1, pn(xk − x)

k→∞−→ 0, para todo n ∈ N. Daı,

qm(Txk − Tx) = qm(T (xk − x)) ≤Mpn(xk − x)k→∞−→ 0,

para todo m ∈ N. Usando novamente a Proposicao 1.1, concluımos que Txkk→∞−→ Tx

e, portanto, T e contınuo.

Reciprocamente, suponhamos que T seja um operador contınuo. Pela Proposicao

1.1, o conjunto W := y ∈ Y ; qm(y) < 1 e uma vizinhanca da origem em Y . Da

continuidade de T , existem n ≥ 1 e ε > 0 tais que W ′ := x ∈ X; pn(x) < ε e uma

vizinhanca da origem em X que satisfaz T (W ′) ⊂ W . Dado x ∈ X, para qualquer

δ > 0, temos

pn

( ε

pn(x) + δ· x)

=ε

pn(x) + δ· pn(x) < ε,

entao εpn(x)+δ

· x ∈ W ′ e assim T(

εpn(x)+δ

· x)∈ W , ou seja, qm

(T(

εpn(x)+δ

· x))

< 1

o que implica em qm(Tx) < pn(x)+δε

. Como δ foi tomado arbitrariamente, a constante

9


M = 1ε

satisfaz (1.8).

1.2 Topologia do Espaco C(Ω)

Nosso intuito agora e provar que o espaco C(Ω), das funcoes contınuas definidas em

um aberto Ω ⊂ C, e um espaco de Frechet. Para tal, faz-se necessario que definamos

uma sequencia de seminormas associada a C(Ω), de maneira que este seja completo

com a metrica definida em (1.1).

Como, para cada n ∈ N, a funcao ‖ · ‖n : C(Ω) −→ R∗+ dada por

‖f‖n = sup|z|≤n |f(z)| e uma seminorma, nao e difıcil verificar que (‖ · ‖n)n e uma

sequencia de seminormas associada a C(Ω). Em vista disso, a funcao d : C(Ω) ×C(Ω) −→ R∗+ dada por

d(f, g) =∞∑n=1

1

2n· ‖f − g‖n

1 + ‖f − g‖nf, g ∈ C(Ω), (1.9)

define uma metrica em C(Ω).

A demonstracao que apresentaremos para provar que C(Ω) e Frechet com a metrica

d definida acima, teve como base o processo desenvolvido em [10, Capıtulo 10, Seccion

10.2].

Proposicao 1.3. Em C(Ω) existe uma sequencia (Kn)n∈N de subconjuntos compactos

de Ω tal que

Ω =∞⋃n=1

Kn.

Alem disso, e possıvel escolher os conjuntos Kn, n ≥ 1, satisfazendo:

(i) Kn ⊂ int(Kn+1).

(ii) Se K ⊂ Ω e um conjunto compacto qualquer, entao K ⊂ Kn, para algum n ∈ N.

Demonstracao. Seja z ∈ Ω e consideremos

d(z,C\Ω) = infw∈C\Ω

|z − w|

a distancia do ponto z ao conjunto C\Ω. Para cada n ∈ N, definamos

Kn :=z ∈ Ω; |z| ≤ n

∩z ∈ Ω; d(z,C\Ω) ≥ 1

n

⊂ Ω. (1.10)

10


Como o conjunto z ∈ Ω; |z| ≤ n e a pre-imagem do intervalo [0, n] pela funcao

modulo, que e contınua, este e compacto e como z ∈ Ω; d(z,C\Ω) < 1n e a pre-

imagem do intervalo(

0, 1n

)pela funcao contınua

g : G −→ Rz 7−→ g(z) = inf|z − w|;w ∈ C\Ω,

e um conjunto aberto, donde seu complementar z ∈ Ω; d(z,C\Ω) ≥ 1n e fechado.

Portanto, Kn e um conjunto fechado e limitado de C, i.e., compacto.

Provemos que Ω =⋃∞n=1Kn. Seja z ∈ Ω, entao existem n1, n2 ∈ N tais que |z| ≤ n1

e d(z,C\Ω) ≥ 1n2

. Considerando n = maxn1, n2, concluımos que z ∈ Kn. Portanto,

Ω ⊂⋃∞n=1Kn. Como Kn ⊂ Ω, para todo n ∈ N, segue a igualdade.

Da forma como Kn foi definido em (1.10), obtem-se a propriedade do item (i). Para

provar (ii), considere K ⊂ Ω um conjunto compacto. Entao K ⊂⋃∞n=1Kn. Como

Kn ⊂ Kn+1, para todo n ∈ N, existe n0 ∈ N tal que K ⊂ Kn0 , como querıamos mos-

trar.

Denotaremos por τd a topologia induzida pela metrica d, explicitada em (1.9). Na

proxima proposicao provaremos que a convergencia em τd e a convergencia uniforme

em compactos sao equivalentes em C(Ω). Mas antes, necessitaremos da definicao a

seguir.

Definicao 1.4. Seja Ω ⊂ C um conjunto aberto. Uma sequencia (fk)k de funcoes em

C(Ω) converge uniformemente em compactos para f : Ω −→ C se, para todo compacto

K ⊂ Ω e para todo ε > 0, existe k0 = k0(K, ε) ∈ N tal que |fk(z) − f(z)| < ε, para

todo z ∈ K e para todo k ≥ k0.

Proposicao 1.4. Sejam (fk)k uma sequencia em C(Ω) e f ∈ C(Ω). Entao fkk→∞−→ f

uniformemente em compactos se, e somente se, fkk→∞−→ f na topologia τd.

Demonstracao. Suponhamos que (fk)k converge para f na topologia τd e seja

K ⊂ Ω um conjunto compacto. Pela Proposicao 1.3, K ⊂⋃∞n=1Kn ⊂

⋃∞n=1 int(Kn+1).

Portanto, existem um natural p e n1, n2, . . . , np ∈ N tais que

K ⊂p⋃j=1

int(Knj+1),

donde K ⊂ Km, para m := maxn1+1, n2+1, . . . , np+1. Dado ε > 0, da convergencia

de (fk)k em f na metrica d, existe k0 ∈ N tal que d(fk, f) < 2−m

1+ε· ε, para todo k ≥ k0.

11


Logo, cada termo da soma∞∑n=1

1

2n· ‖fk − f‖n

1 + ‖fk − f‖n

e menor do que 2−m

1+ε· ε; em particular

1

2m· ‖fk − f‖m

1 + ‖fk − f‖m<

2−m

1 + ε· ε⇒ ‖fk − f‖m

1 + ‖fk − f‖m<

ε

1 + ε.

Como a funcao x ∈ [0,∞) 7−→ x1+x

e estritamente crescente, obtemos

supz∈Km

|(fk − f)(z)| = ‖fk − f‖m < ε

e como K ⊂ Km, concluımos que |(fk − f)(z)| < ε, para todo z ∈ K e para todo

k ≥ k0. Portanto, fkk→∞−→ f uniformemente em K, para K ⊂ Ω um compacto tomado

arbitrariamente.

Reciprocamente, suponhamos que fkk→∞−→ f uniformemente em todo compacto

K ⊂ Ω, logo tem-se a convergencia uniforme para cada compacto Kn. Dado ε > 0,

existe n0 ∈ N tal que

∞∑n=n0+1

1

2n· ‖fk − f‖n

1 + ‖fk − f‖n<

∞∑n=n0+1

1

2n<ε

2. (1.11)

Para cada n ∈ 1, . . . , n0, existe k(n) ∈ N tal que |fk(z) − f(z)| < ε2, para todo

k ≥ k(n) e para todo z ∈ Kn. Isso nos diz que, para todo n = 1, . . . , n0, temos

‖fk − f‖n < ε2. Tomando k0 = max1≤n≤n0k(n), obtemos

n0∑n=1

1

2n· ‖fk − f‖n

1 + ‖fk − f‖n<

n0∑n=1

1

2n·

ε2

1 + ε2

<ε

2

n0∑n=1

1

2n<ε

2. (1.12)

De (1.11) e (1.12), para todo k ≥ k0, concluımos que d(fk, f) < ε. Portanto, fkk→∞−→ f

na topologia τd induzida pela metrica d.

Em vista do resultado obtido na Proposicao 1.4, segue a seguinte definicao:

Definicao 1.5. Uma sequencia (fk)k ⊂ C(Ω) e Cauchy na metrica d se, e somente se,

dado ε > 0, para todo compacto K ⊂ Ω, existe k0 ∈ N (que depende de ε e de K) tal

que |fk(z)− fl(z)| < ε, para todos k, l ≥ k0 e para todo z ∈ K.

Proposicao 1.5. O espaco C(Ω) e completo com a metrica d.

Demonstracao. Seja (fk)k uma sequencia de Cauchy em C(Ω). Entao, dados ε > 0 e

12


K ⊂ Ω um conjunto compacto, existe k0 ∈ N tal que

|fk(z)− fl(z)| < ε

2, (1.13)

para todo z ∈ K e para todo k, l ≥ k0. Alem disso, para cada z ∈ Ω, como (fl(z))∞l=1 e

Cauchy em C, existe ξz ∈ C de modo que

liml→∞

fl(z) = ξz. (1.14)

Deste modo, definamos a funcao f : Ω → C, dada por f(z) = ξz. Provaremos que

fkk→∞−→ f uniformemente em conjuntos compactos. De (1.13) e (1.14), fazendo l→∞,

obtemos |fk(z)− f(z)| < ε2, para todo k ∈ K e para todo k ≥ k0. Assim, dado ε > 0 e

fixado K ⊂ Ω um conjunto compacto, existe um natural k0 tal que

supz∈K|fk(z)− f(z)| < ε

2,

para todo k ≥ k0. Portanto, (fk)k converge uniformemente para f em compactos.

Como f e o limite uniforme em compactos de funcoes contınuas, f e uma funcao

contınua [19, Corollary 46.6, p. 284]. Logo, C(Ω) e completo com a metrica d.

Diante de tudo o que foi demonstrado, concluımos que C(Ω) e um espaco vetorial

munido com uma sequencia separante e nao-decrescente (‖·‖n)n de seminormas, o qual

e completo na metrica definida em (1.9). Logo, pela Definicao 1.3, C(Ω) e um espaco

de Frechet.

Na proposicao seguinte, descreveremos a topologia da convergencia uniforme em

compactos em C(Ω) e, posteriormente, mostraremos que esta coincide com τd gerada

por d. Assim, concluiremos que C(Ω), munido da topologia uniforme em compactos, e

um espaco de Frechet.

Proposicao 1.6. A famılia τ constituıda por unioes arbitrarias de conjuntos das forma

V (f,K, ε) = g ∈ C(Ω); |f(z) − g(z)| < ε, ∀z ∈ K, com ε > 0, K ⊂ Ω compacto e

f ∈ C(Ω), e uma topologia sobre C(Ω).

Demonstracao. Provaremos que os conjuntos V (f,K, ε) formam uma base para uma

topologia em C(Ω). Seja V a colecao de subconjuntos da forma V (f,K, ε), onde

f ∈ C(Ω), K ⊂ Ω compacto e ε > 0. Note que C(Ω) =⋃V ∈V V . Consideremos

V1 = V (f,K, ε), V2 = V (g,M, δ) e h ∈ V1 ∩ V2. Devemos encontrar V3 ∈ V tal que

h ∈ V3 e V3 ⊂ V1 ∩ V2.

13


Para tal, definamos V3 = V (h,K ∪M,α), onde

α = minε− supz∈K|h(z)− f(z)|, δ − sup

z∈K|h(z)− g(z)|.

Como h ∈ V1 ∩ V2, segue

|f(z)− h(z)| < ε, para todo z ∈ K (1.15)

|g(z)− h(z)| < δ, para todo z ∈M. (1.16)

Dado h ∈ V3, temos |h(z)− h(z)| < α, para todo z ∈ K ∪M . Daı,

|f(z)− h(z)| ≤ |f(z)− h(z)|+ |h(z)− h(z)|

< |f(z)− h(z)|+ ε− supz∈K|h(z)− f(z)|

< supz∈K|h(z)− f(z)|+ ε− sup

z∈K|h(z)− f(z)|

= ε,

para todo z ∈ K. Analogamente, obtemos |g(z) − h(z)| < δ para todo z ∈ M . Por-

tanto, h ∈ V3 ⊂ V1 ∩ V2. Concluımos entao que V forma uma base para uma topologia

em C(Ω), que por definicao e τ .

A seguir mostraremos que a topologia τ , descrita na Proposicao 1.6, e a topologia

τd, induzida pela metrica d, coincidem.

Proposicao 1.7. A topologia τ e a topologia τd coincidem.

Demonstracao. Seja B(f, ε) = g ∈ C(Ω); d(f, g) < ε um aberto basico da topologia

τd. Queremos obter V ∈ V tal que V ⊂ B(f, ε). Sabemos que existe m ∈ N de modo

que∞∑

n=m+1

1

2n· ‖f − g‖n

1 + ‖f − g‖n≤

∞∑n=m+1

1

2n<ε

2. (1.17)

Definamos V = V (f,Km,ε2). Dada g ∈ V , como |f(z)− g(z)| < ε

2, para todo z ∈ Km,

segue que ‖f − g‖m = supz∈Km|f(z) − g(z)| ≤ ε

2, donde ‖f − g‖n ≤ ε

2para todo

n = 1, . . . ,m. Portanto

m∑n=1

1

2n· ‖f − g‖n

1 + ‖f − g‖n≤ ε

2

∞∑n=1

1

2n<ε

2. (1.18)

De (1.17) e (1.18), concluımos que d(f, g) < ε, ou seja, V ⊂ B(f, ε).

14


Agora, consideremos V = V (h,K, ε) um conjunto da colecao V . Como K ⊂ Ω e

compacto, existe m ∈ N tal que K ⊂ Km. Sejam f ∈ V ,

δ = ε− supz∈K|f(z)− h(z)| e B = B(f, α),

onde α = 12m· δ

1+δ> 0. Dada g ∈ B, temos d(f, g) < α, o que implica em

1

2m· ‖f − g‖m

1 + ‖f − g‖m<

1

2mδ

1 + δ⇒ ‖f − g‖m

1 + ‖f − g‖m<

δ

1 + δ,

donde ‖f − g‖m < δ. Logo, supz∈Km|f(z) − g(z)| < ε − supz∈K |f(z) − h(z)|, isto e,

|f(z) − g(z)| + |f(z) − h(z)| < ε, para todo z ∈ K, o que nos permite concluir que

|g(z)−h(z)| < ε, para todo z ∈ K. Logo B ⊂ V . Assim, concluımos que as topologias

τ e τd coincidem.

Portanto, C(Ω), munido com a topologia da convergencia uniforme em compactos,

e um espaco de Frechet.

1.3 H(C) e um Espaco de Frechet

Iniciamos a secao definindo o espaco H(Ω), para Ω um subconjunto aberto de C.

Definicao 1.6 (Funcao Holomorfa). Sejam Ω ⊂ C um conjunto aberto e uma funcao

f : Ω −→ C. Diz-se que f e C-diferenciavel ou holomorfa em z0 ∈ Ω, quando existe

L ∈ C tal que

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h= L.

Neste caso, denota-se f ′(z0) = L e o numero L e a derivada de f em z0. Diz-se que

f e C-diferenciavel ou holomorfa em Ω, quando esta o e em todos os pontos de Ω.

Uma funcao f : C −→ C e dita inteira quando e holomorfa em todo ponto de C.

Denotaremos por H(Ω) o conjunto das funcoes holomorfas f : Ω −→ C, em particular

H(C) representara o conjuntos das funcoes inteiras.

Exemplo 1.1. A funcao f : C −→ C definida por f(z) = zn e holomorfa, para todo

n ∈ N0. Mais geralmente, todo polinomio em z define uma funcao holomorfa.

Exemplo 1.2. A funcao exponencial exp : C −→ C dada por exp(z) = ez e um

exemplo de funcao inteira.

Para uma leitura sobre as propriedades elementares das funcoes holomorfas consulte

[10, Capıtulo 3] e [22, Chapter 10].

15


Com vista as propriedades obtidas para C(Ω), consequentemente para C(C), para

que H(C) as herde, basta verificar que este e fechado em C(C), o que e assegurado

pelo resultado a seguir.

Teorema 1.1. Sejam Ω ⊂ C um conjunto aberto e (fn)n uma sequencia de funcoes

holomorfas definidas em Ω. Seja f : Ω −→ C tal que fnn→∞−→ f uniformemente em

compactos de Ω, entao f e uma funcao holomorfa e fknn→∞−→ fk uniformemente em

compactos, para cada k ∈ N.

Demonstracao. Cf. [10, Teorema 10.3.1, p.226] ou [22, Theorem 10.28, p. 214] .

Corolario 1.1. Seja Ω ⊂ C um conjunto aberto e em C(Ω) considere a topologia

uniforme em compactos, entao H(Ω) e fechado em C(Ω). Alem disso, segue-se que

H(Ω) e completo com a metrica induzida por d, sendo d a metrica definida em (1.9).

Observacao 1.3. No Teorema 1.1, se ao inves de uma sequencia de funcoes holomorfas

convergindo para f , tivessemos uma sequencia de funcoes inteiras, f seria uma funcao

inteira. Portanto, pelo Corolario 1.1, H(C) e um espaco de Frechet.

Os dois proximos resultados serao ferramentas importantes na demonstracao que o

espaco dos polinomios e denso em H(C).

Lema 1.2. Seja∑∞

n=0 an(z − a)n uma serie de potencias, com (an)n, a, z em C. Defi-

nindo o numero R, com 0 ≤ R ≤ ∞, por

1

R:= lim sup

n|an|

1n ,

para 0 < r < R a serie converge uniformemente em z ∈ C; |z| ≤ r.

Demonstracao. Cf. [7, Theorem 1.3(c), p. 31].

Lema 1.3. Seja f uma funcao analıtica na bola aberta B(a;R), de centro a e raio

R > 0. Entao f(z) =∑∞

n=0 an(z − a)n para |z − a| < R, onde an = 1n!f (n)(a). Alem

disso, a serie tem raio de convergencia maior ou igual a R.

Demonstracao. Cf. [7, Theorem 2.8, p. 72].

Proposicao 1.8. O espaco dos polinomios com coeficientes em C e denso em H(C),

na topologia da convergencia uniforme em compactos.

16


Demonstracao. Sejam K ⊂ C compacto e f ∈ H(C). Dado R > 0 (podendo ser tao

grande quanto se queira), sabemos que f e uma funcao analıtica na bola B(0, R), de

centro 0 e raio R. Pelo Lema 1.3, podemos representar f(z) =∑∞

n=1f (n)(0)zn

n!para todo

z ∈ B(0, R). Agora, considere 0 < r < R tal que K esteja contido na bola fechada

B[0, r]. Pelo Lema 1.2, a serie∑∞

n=1f (n)(0)zn

n!converge uniformemente em B[0, r], em

particular em K, ou seja, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que∣∣∣∣∣f(z)−N∑n=1

f (n)(0)zn

n!

∣∣∣∣∣ < ε,

para todo z ∈ K e para todo N ≥ n0. Portanto, qualquer funcao inteira f e limite

uniforme em compactos de polinomios.

Observacao 1.4. Tendo em mente a Proposicao 1.8 e considerando polinomios com

coeficientes em Q + iQ, concluımos que H(C) e um espaco separavel.

1.4 Resultados Auxiliares

Nesta secao, apresentaremos somente os enunciados de teoremas importantes, que

serao aplicados em algum momento nos proximos capıtulos e, brevemente, exporemos

a nocao de complexificacao de um espaco real X e de um operador linear T : X −→ X.

Teorema 1.2 (Teorema de Baire). Se X e um espaco metrico completo, entao toda

intersecao enumeravel de conjuntos abertos densos em X e denso em X.

Demonstracao. Cf. [14, Proposicao 19, p.190].

No proximo teorema C denotara C ∪ ∞, ou seja, o plano complexo estendido,

munido com a topologia a qual

(i) os conjuntos B(a, r), com a ∈ C e r > 0, formam uma base de vizinhancas abertas

de a e

(ii) os conjuntos B(∞, R) = ∞ ∪ z ∈ C; |z| > R, com R > 0, formam uma base

de vizinhancas abertas de ∞.

Alem da nocao de plano complexo estendido, para o resultado seguinte tambem sera

necessario conhecer a definicao de funcao racional, assim, passemos a proxima definicao.

Definicao 1.7. Uma funcao f : C −→ C e dita racional se pode ser representada da

forma f(z) = p(z)q(z)

, onde p e q sao polinomios, com q 6= 0.

17


Teorema 1.3 (Teorema de Runge). Seja K um subconjunto compacto de C e A um

conjunto que contem pelo menos um ponto de cada componente conexa de C\K. Con-

sidere f uma funcao holomorfa em alguma vizinhanca de K. Dado ε > 0, existe uma

funcao racional h com extremos somente em A tal que

supz∈K|f(z)− h(z)| < ε.

Alem disso, se C\K e conexo, pode-se tomar A = ∞ e a funcao h sera um polinomio.

Demonstracao. Cf. [22, Theorem 13.9, p.272].

Teorema 1.4 (Teorema da Estimativa de Cauchy). Sejam f ∈ H(B(a;R)) e M > 0

tais que |f(z)| ≤M , para todo z ∈ B(a,R). Entao, para n ≥ 1,

|f (n)(a)| ≤ n!M

Rn.

Demonstracao. Cf. [22, Theorem 10.26, p. 213].

Teorema 1.5. Seja Ω ⊂ C um aberto. Toda funcao f ∈ H(Ω) e representada por uma

serie de potencias em Ω. .

Demonstracao. Cf. [22, Theorem 10.16, p.207]

Teorema 1.6 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam X um espaco vetorial sobre K = Rou C, M um subespaco de X, p : X −→ R∗+ uma seminorma e ϕ : M −→ K um

funcional linear tal que |ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ M . Entao, existe um funcional

linear ϕ : X −→ K que estende ϕ e satisfaz |ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ X.

Corolario 1.2. Seja M um subespaco de X. M e denso em X se, e somente se, todo

funcional linear e contınuo que se anula em M , tambem se anula em X.

Os dois ultimos resultados acima podem ser encontrados em [6].

Definicao 1.8. Seja T : X −→ X um operador linear e contınuo, onde X e um espaco

de complexo de Banach. O espectro de T e definido por

σ(T ) := λ ∈ C;T − λI e nao invertıvel

e o raio espectral de T por

rσ(T ) := supλ∈σ(T )

|λ|.

18


Uma importante e util caracterizacao para o raio espectral e: rσ(T ) := limn ‖T n‖1n .

Para maiores detalhes sobre a teoria espectral consulte [20].

Teorema 1.7 (Teorema da Decomposicao de Riesz). Seja T um operador linear e

contınuo definido em X, um espaco complexo de Banach. Se existem dois conjuntos

σ1, σ2 ⊂ σ(T ) fechados e disjuntos tais que σ(T ) = σ1 ∪ σ2, entao existem subespacos

fechados M1 e M2 que sao T−invariantes e nao triviais, de modo que X = M1 ⊕M2,

σ1 = σ(TM1) e σ2 = σ(TM2).

Demonstracao. Cf. [11, Appendix B].

Abaixo apresentaremos as nocoes de complexificacao de um espaco de Frechet X e

de um operador T : X −→ X, que terao aplicabilidade em um importante resultado

do Capıtulo 3. As observacoes a seguir podem ser encontradas em [11, p. 41].

Seja X um espaco real separavel de Frechet. Entao a complexificacao X de X e

definida por

X = x+ iy;x, y ∈ X,

a qual podemos identificar com X ×X. Sejam x = x1 + ix2 e y = y1 + iy2 elementos

de X e λ = a + ib um numero complexo. Munindo X com as operacoes de soma e

multiplicacao por escalar complexo, definidas por x + y = (x1 + y1) + i(x2 + y2) e

λx = (a + ib)(x + iy) = (ax − by) + i(ay + bx), segue que X e um espaco complexo

separavel de Frechet.

Seja T : X −→ X um operador (real-linear) contınuo. A sua complexificacao

T : X −→ X e dada por

T (x+ iy) = T (x) + iT (y)

e T e um operador (complexo-linear) contınuo.

19

Capıtulo 2

Hiperciclicidade e Caos de Devaney

Fundamentado nos dois primeiros capıtulos do livro “Linear Chaos” de Grosse-

Erdmann e Manguillot [11], este capıtulo tratara de alguns conceitos comportamentais

de certas aplicacoes. Inicialmente, abordaremos as nocoes de transitividade topologica

e orbita de um ponto e, posteriormente, definiremos o caos de Devaney. Esses primeiros

conceitos serao tratados para T : X −→ X uma aplicacao contınua, definida em um

espaco metrico X.

Na segunda secao, veremos que tres condicoes centrais devem ser satisfeitas para que

um operador seja considerado caotico no sentido de Devaney. Uma grande surpresa

para matematicos do seculo passado foi a constatacao que dadas condicoes tambem

eram satisfeitas por alguns operadores lineares e contınuos em espacos de Frechet.

Isso, sem duvida, foi uma descoberta bem inusitada: o caos foi encontrado no contexto

da linearidade. Dessa forma, a terceira e a quarta secoes sao dedicadas ao estudo

de operadores lineares e contınuos, definidos em espacos de Frechet, que sao Devaney

caoticos.

2.1 Transitividade Topologica

Nesta secao, introduziremos a propriedade de transitividade topologica para uma

aplicacao contınua T : X −→ X, definida em um espaco metrico X. Atraves do

Teorema da Transitividade de Birkhoff, constataremos que as nocoes de orbita densa e

transitividade topologica sao equivalentes, quando X for um espaco metrico completo,

separavel e sem pontos isolados.

Definicao 2.1. Um sistema dinamico e todo par (X,T ), constituıdo de um espaco

metrico X e de uma aplicacao contınua T : X −→ X. Por simplicidade, denotaremos

dado par, simplesmente por T : X −→ X.

20

2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney

Exemplo 2.1. Considere a aplicacao T : [0, 1] −→ [0, 1] definida por T (x) = 2x, se

x ∈ [0, 12] e T (x) = 2−2x, se x ∈ [1

2, 1]. Esta funcao e conhecida como aplicacao tenda,

nomeclatura que faz jus a forma do seu grafico. Confira a Figura 2.1.

Figura 2.1: Aplicacao Tenda.Fonte: [11, p.5].

Dado n ≥ 1, a n-esima iterada da aplicacao T : X −→ X e dada por

T n = T T · · · T︸︷︷︸n-vezes

e assumiremos que T 0 := I, a aplicacao identidade em X.

Definicao 2.2. Seja T : X −→ X um sistema dinamico. Dado x ∈ X, o conjunto

x, Tx, T 2x, T 3x, . . . e chamado orbita de x em T e o denotaremos por orb(x, T ).

Definicao 2.3. Um sistema dinamico T : X −→ X e dito topologicamente transitivo

se, para quaisquer conjuntos abertos e nao vazios U, V ⊂ X, existe algum n ∈ N tal

que T n(U) ∩ V 6= ∅.

Figura 2.2: Intuicao geometrica da Definicao 2.3.Fonte: [11, p.8].

21


Exemplo 2.2. A aplicacao tenda apresentada no Exemplo 2.1 e topologicamente tran-

sitiva. Com efeito, a figura abaixo mostra a representacao grafica de T 2 e T 3 e, ob-

servando os graficos dessas primeiras iteradas de T , somos intuitivamente induzidos a

analise que T n e linear por partes. Veja que T 2, por exemplo, e linear nos intervalos

[0, 122 ], [ 1

22 ,222 ], [ 2

22 ,322 ] e [ 3

22 ,422 ]. Analiticamente, T 2 e expressa por

T 2(x) =

4x, se x ∈ [0, 1

22 ]

2− 4x, se x ∈ [ 122 ,

222 ]

4x− 2, se x ∈ [ 222 ,

322 ]

4− 4x, se x ∈ [ 322 ,

422 ].

Via o processo matematico de Inducao Finita sobre n, obtemos que a n-esima iterada

Figura 2.3: Graficos das iteradas T 2 e T 3 da aplicacao tenda.Fonte: [11, p. 9].

do operador T e dada por

T n(x) =

2nx− 2k, se x ∈ [ 2k

2n, 2k+1

2n], k = 0, 1, . . . , 2n − 1

2k − 2nx, se x ∈ [2k−12n

, 2k2n

], k = 1, . . . , 2n−1,

constatando assim, que T n e linear por partes. Note que, nessa n-esima etapa, o inter-

valo [0, 1] foi dividido em 2n intervalos, com extremos [ 2k2n, 2k+1

2n] para

k = 0, 1, . . . , 2n−1 − 1 e [2k−12n

, 2k2n

] para k = 1, . . . , 2n−1. Alem disso, concluımos que

T n( 2k2n

) = 0, para todo k = 0, 1, . . . , 2n−1−1 e T n(2k−12n

) = 1, para todo k = 1, . . . , 2n−1.

Assim, seja U ⊂ [0, 1] um subconjunto aberto e nao vazio, para algum n ∈ N, U

contem algum subintervalo J := [m2n, m+1

2n], com m ∈ N. Portanto, pelas observacoes

feitas acima, segue que [0, 1] = T n(J) ⊂ T n(U). Logo, T n(U) “encontra” qualquer

subconjunto de [0, 1] aberto e nao vazio, o que permite-nos concluir que T e um operador

22


topologicamente transitivo.

Proposicao 2.1. Um sistema dinamico T : X −→ X, com inversa T−1 contınua, e

topologicamente transitivo se, e somente se, T−1 o e.

Demonstracao. Sejam U, V ⊂ X conjuntos abertos e nao vazios. Note que, existe

n ∈ N tal que T n(U) ∩ V 6= ∅ se, e somente se, U ∩ T−n(V ) 6= ∅.

Proposicao 2.2. Se T : X −→ X e um sistema dinamico topologicamente transitivo,

entao, para qualquer subconjunto aberto U de X, o conjunto⋃∞n=0 T

n(U) e denso em

X.

Demonstracao. Este resultado decorre diretamente da definicao de transitividade to-

pologica. Veja que, dado qualquer aberto nao vazio V de X, pela transitividade to-

pologica de T , existe algum n0 ∈ N, tal que T n0(U) ∩ V 6= ∅, donde concluımos a

densidade de⋃∞n=0 T

n(U) em X.

Observacao 2.1. Se T : X −→ X e um sistema topologicamente transitivo e U ⊂ X

e aberto, vimos na proposicao acima que⋃∞n=0 T

n(U) e denso em X. Na verdade,

nao e difıcil ver que o resultado trata-se de uma equivalencia, ou seja, a densidade do

conjunto⋃∞n=0 T

n(U) implica a transitividade topologica da aplicacao.

Proposicao 2.3. Seja T um operador contınuo, definido em um espaco metrico X

sem pontos isolados. Se x ∈ X tem orbita densa sobre T , entao T nx tambem a tem,

para todo n ∈ N.

Demonstracao. Queremos provar que orb(T nx, T ) e densa em X. Para tal, basta notar

que o conjunto orb(x, T )\x, Tx, . . . , T n−1x esta contido em orb(T nx, T ). Como em

um espaco metrico sem pontos isolados todo conjunto denso permanece denso apos ser

removida uma quantidade finita de pontos, segue o resultado.

Teorema 2.1 (Transitividade de Birkhoff). Seja X um espaco metrico completo, se-

paravel e sem pontos isolados. Um operador contınuo T : X −→ X e topologicamente

transitivo se, e somente se, existe algum x ∈ X tal que orb(x, T ) e densa em X.

Demonstracao. Supondo T topologicamente transitivo, denotemos por D(T ) o con-

junto dos pontos de X que tem orbita densa sobre T . Como X e separavel, existe

yj; j ∈ N um conjunto denso e enumeravel em X. Assim, as bolas abertas B(yj,1m

),

de centro yj e raio 1m

, formam uma base enumeravel Bkk∈N para uma topologia em

23


X. Desse modo, x ∈ D(T ) se, e somente se, para todo k ≥ 1, existe algum n ∈ N0 tal

que T nx ∈ Bk, isto e,

D(T ) =∞⋂k=1

∞⋃n=0

T−n(Bk).

Da continuidade de T e pela Observacao (2.1), para cada k ≥ 1 o conjunto⋃∞n=1 T

−n(Bk)

e aberto e denso em X. Pelo Teorema de Baire (cf. Teorema 1.2), concluımos que D(T )

e um conjunto denso, logo nao-vazio, como querıamos demonstrar.

Reciprocamente, seja x ∈ X um vetor com orbita densa sobre T . Dados U, V sub-

conjuntos nao vazios e abertos de X, provaremos que T n(U) ∩ V 6= ∅, para algum

n ∈ N. Da densidade de orb(x, T ) em X, existe n ∈ N tal que T nx ∈ U . Pela Pro-

posicao 2.3, sabemos que T nx tambem tem orbita densa sobre T , logo existe m ∈ N tal

que Tm(T nx) ∈ V . Portanto, Tm+nx ∈ V e como T nx ∈ U , temos Tm+nx ∈ Tm(U),

isto e, Tm+nx ∈ Tm(U) ∩ V .

Note que, se um sistema dinamico e topologicamente transitivo ou possui um vetor

de orbita densa, o conjunto do sistema constituıdo por estes vetores e Gδ-denso.

Exemplo 2.3. Segue-se do Exemplo 2.2 e do Teorema 2.1 que a aplicacao tenda admite

algum elemento x ∈ [0, 1] com orbita densa em [0, 1].

2.2 Caos de Devaney

A mencao a palavra “caos”, de imediato, nos remete a ideia de algo em desordem, de

comportamentos imprecisos e nao previsıveis. A nocao de caos no estudo do comporta-

mento de sistemas dinamicos nao foge necessariamente dessas ideias intuitivas. Como

veremos, os sistemas considerados caoticos apresentam propriedades interessantes e

curiosas.

A primeira nocao de caos que abordaremos foi a apresentada por Devaney em 1986,

em seu livro “An Introduction to Chaotic Dynamical Systems” [8, edicao de 1989].

O caos de Devaney possui tres ingredientes. O primeiro retoma a ideia do conhecido

efeito borboleta: pequenas alteracoes nas condicoes iniciais, acarretam em um posterior

perıodo de tempo em discrepancias na orbita dos pontos. Um sistema dinamico que

apresenta dada caracterıstica e dito ter dependencia sensıvel as condicoes iniciais. A

definicao a seguir apresenta, em linguagem matematica, o primeiro ingrediente.

Definicao 2.4. Seja (X, d) um espaco metrico sem pontos isolados e T : X −→ X um

sistema dinamico. O sistema T e dito ter dependencia sensıvel as condicoes iniciais

se existe algum δ > 0 tal que, para todo x ∈ X e ε > 0, existe algum y ∈ X com

24


d(x, y) < ε de modo que, para algum n ≥ 0, d(T nx, T ny) > δ. O numero δ e chamado

constante de sensibilidade para T .

Figura 2.4: Intuicao geometrica da Definicao 2.4.Fonte: A autora.

Exemplo 2.4. A aplicacao tenda e um exemplo de sistema que tem dependencia

sensıvel as condicoes iniciais, com constante de sensibilidade δ ∈ (0, 12). Com efeito,

dado x ∈ [0, 1] e ε > 0, do conhecimento das iteradas da aplicacao tenda, vistas no

Exemplo 2.2, sabemos que existe n ≥ 0 tal que o intervalo de centro x e raio ε > 0

contem pontos y1, y2 tais que T ny1 = 0 e T ny2 = 1. Assim, teremos |T nx− T nyi| ≥ 12,

para algum i = 1, 2.

O segundo ingrediente do caos ja foi apresentado na secao anterior. Ele exige que

o sistema seja irredutıvel no sentido que a aplicacao T, considerando suas iteradas,

conecte quaisquer partes nao triviais do espaco. Como possivelmente notado, estamos

nos referindo a Definicao 2.3. Assim, um sistema T satisfaz o segundo ingrediente

quando for topologicamente transitivo.

O terceiro ingrediente do caos de Devaney pede que o sistema tenha um conjunto

denso de pontos que apresentem orbitas periodicas, ou seja, orbitas finitas. Desse

modo, cabe a proxima definicao.

Definicao 2.5. Seja T : X −→ X um sistema dinamico. Um ponto x ∈ X e dito um

ponto periodico de T se, existe algum n ≥ 1 tal que T nx = x. O menor numero natural

n que satisfaz dada propriedade e chamado o perıodo de T . Indicaremos por Per(T ) o

conjunto dos pontos periodicos de T .

Para n = 1 na definicao acima, x e dito um ponto fixo de T . Definido ponto

periodico, dizemos que um sistema T satisfaz o terceiro ingrediente do caos quando

Per(T ) e denso em X. Retomando o que foi dito anteriormente sobre este ingrediente,

perceba que vetores periodicos apresentam orbitas finitas. Por exemplo, dado x ∈ X

25


um ponto periodico de perıodo p, a orbita de x tem exatamente p elementos, ja que

orb(x, T ) = x, Tx, . . . , T p−1x, T px = x, T p+1x = Tx, . . . = x, Tx, . . . , T p−1x.

Exemplo 2.5. Como exemplo de aplicacao que admite um conjunto denso de pontos

periodicos, podemos citar a aplicacao tenda. Dado U ⊂ [0, 1] um conjunto aberto e

nao vazio, existem m,n ∈ N tais que J := [ m2m, m+1

2n] ⊂ U . Das observacoes feitas sobre

as iteradas de T (relembremos que representamos a aplicacao tenda no exemplo 2.1

por T ), sabemos que T n assume os valores 0 e 1 nos extremos de J . Para simplificar

nossa analise, suponhamos que T n(m2n

) = 0 e T n(m+12n

) = 1.

Desse modo, considere a aplicacao T n − I : [0, 1] −→ [0, 1]. Entao,

(T n − I)(m

2n

)= −m

2n< 0 e (T n − I)

(m+ 1

2n

)= 1− m+ 1

2n> 0.

Como T n− I e contınuo, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe c ∈ [ m2m, m+1

2n] tal

que (T n − I)(c) = 0, isto e, T nc = c. Portanto, c e um ponto periodico de T . Como U

foi tomado arbitrariamente, concluımos o exemplo.

Apresentados os tres ingredientes do caos, passemos a definicao de caos no sentido

de Devaney.

Definicao 2.6 (Caos segundo Devaney - versao ingenua). Consideremos (X, d) um

espaco metrico sem pontos isolados. Um sistema dinamico T : X −→ X e dito caotico

(no sentido de Devaney) se ele satisfaz as seguintes condicoes:

(i) T tem dependencia sensıvel as condicoes iniciais.

(ii) T e topologicamente transitivo.

(iii) T possui um conjunto denso de pontos periodicos.

O teorema a seguir garantira que as condicoes (ii) e (iii) da Definicao 2.6 implicam

em (i) da mesma definicao.

Teorema 2.2 (Banks-Brooks-Cairns-Davis-Stacey). Seja X um espaco metrico sem

pontos isolados. Se um sistema dinamico T : X −→ X e topologicamente transitivo

e tem um conjunto denso de pontos periodicos, entao T tem dependencia sensıvel as

condicoes iniciais, com respeito a qualquer metrica definindo uma topologia em X.

Demonstracao. Inicialmente, fixemos uma metrica d definindo uma topologia em X.

Como X e um conjunto infinito, uma vez que nao tem pontos isolados, e possıvel ob-

termos dois pontos periodicos p1 e p2 distintos em X. Como p1 6= p2, suas orbitas sao

26


disjuntas. Com efeito, sejam n1, n2 os perıodos de p1 e p2, respectivamente. Suponha-

mos que orb(p1, T ) ∩ orb(p2, T ) 6= ∅, entao existem r, s ∈ N0 tais que T rp1 = T sp2.

Daı, p1 = T rn1n2p1 = T sn1n2p2 = p2, o que e uma contradicao, pois tomamos p1 6= p2.

Definindo

η :=1

2· infm,n∈N0

d(Tmp1, Tnp2) > 0,

perceba que η > 0 pois p1 e p2 sao pontos periodicos distintos, e dado x ∈ X arbitrario,

para todo n ∈ N0, temos

2η ≤ d(T np1, Tnp2) ≤ d(x, T np1) + d(x, T np2),

donde d(x, T np1) ≥ η ou d(x, T np2) ≥ η, se assim nao o fosse, terıamos

d(x, T np1) + d(x, T np2) < 2η, o que nao pode ocorrer pelo o que acabamos de mostrar.

Desse modo, obtivemos uma constante η > 0 de modo que, para qualquer x ∈ X,

existe um ponto periodico p tal que d(x, T np) ≥ η, para todo n ∈ N0.

Afirmamos que δ = η4

e uma constante de sensibilidade que procuramos. Como

Per(T ) e denso em X, dados x ∈ X e ε > 0, existe um ponto periodico q tal que

d(x, q) < min (ε, δ). (2.1)

Supondo N o perıodo de q, da continuidade de T existe alguma vizinhanca V de p de

maneira que

d(T np, T ny) < δ, para n = 0, 1, · · · , N e y ∈ V. (2.2)

Alem disso, foi visto acima que existe um ponto periodico p tal que

d(x, T np) ≥ η = 4δ, ∀ n ∈ N0. (2.3)

Como B(x; ε) e V sao conjuntos abertos e nao vazios de X, pela transitividade to-

pologica de T , existem z ∈ X e algum k ∈ N0 tais que d(x, z) < ε e T kz ∈ V . Agora,

considere j ∈ N0, de modo que k ≤ jN < k +N . Pela desigualdade triangular e pelos

itens (2.1), (2.2) e (2.3), temos

d(T jNq, T jNz) = d(T jNq, T jN−kT kz) = d(q, T jN−kT kz)

≥ d(x, T jN−kT kz)− d(x, q)

≥ d(x, T jN−kp)− d(T jN−kp, T jN−kT kz)− d(x, q)

> 4δ − δ − δ = 2δ.

27


Portanto, 2δ < d(T jNq, T jNz) ≤ d(T jNq, T jNx) + d(T jNx, T jNz), o que implica em:

ou d(T jNx, T jNq) > δ ou d(T jNx, T jNz) > δ. Uma vez que d(x, z) < ε e d(x, q) < ε,

segue o resultado.

A partir do teorema acima, a condicao (i) na Definicao 2.6 pode ser desconsiderada,

permitindo-nos obter uma nova versao da definicao de caos de Devaney.

Definicao 2.7 (Caos segundo Devaney - versao final). Um sistema dinamico

T : X −→ X e Devaney Caotico se satisfaz as seguintes condicoes:

(i) T e topologicamente transitivo.

(ii) T tem um conjunto denso de pontos periodicos.

Figura 2.5: Intuicao geometrica da nocao de caos de Devaney.Fonte: [11, p.14].

2.3 Hiperciclicidade

Nesta secao, falaremos especificamente sobre a propriedade de uma dada aplicacao

T : X −→ X admitir um vetor com orbita densa, mas agora para o caso de X um

espaco separavel de Frechet e T um operador linear e contınuo. Note que, diante das

hipoteses do Teorema 2.1, continuamos a tratar da transitividade topologica, so que

em um contexto mais especıfico. Vejamos as definicoes seguintes:

Definicao 2.8. Um sistema dinamico linear e um par (X,T ) consistindo de um espaco

de Frechet separavel X e T : X −→ X um operador linear e contınuo. Por simplicidade

na notacao, representaremos um sistema dinamico linear apenas por T : X −→ X.

A partir deste momento, neste capıtulo, sempre que nos referirmos a um operador

T : X −→ X, estaremos considerando que T e uma aplicacao linear contınua e que X

e um espaco separavel de Frechet.

28


Definicao 2.9. Um operador T : X −→ X e dito hipercıclico se, existe x ∈ X um

vetor de orbita densa sobre T , isto e, se existe x ∈ X tal que orb(x, T ) = X. Neste

caso, x e dito um vetor hipercıclico de T . Denotaremos por HC(T ) o conjunto dos

vetores hipercıclicos de T .

Exemplo 2.6. Seja B : `2 −→ `2 dado por B(x1, x2, . . .) = (x2, x3, . . .), o operador

deslocamento a esquerda, definido no espaco de Banach `2. Agora, considere o operador

T := 2B : `2 −→ `2

(x1, x2, . . .) 7−→ 2(x2, x3, . . .).

Perceba que T e um operador linear e contınuo, o qual esta definido em um espaco de

Banach, logo de Frechet. Provaremos que T e um operador hipercıclico, isto e, admite

um vetor com orbita densa.

Em `2 existe Y := y(k); k ≥ 1 ⊂ c00 um conjunto denso e enumeravel. Seja

y(k) ∈ Y e considere mk o maior ındice tal que y(k)mk 6= 0 (y

(k)mk e o mk − esimo termo da

sequencia y(k)). Seja F : `2 −→ `2, dado por F (x1, x2, . . .) = (0, x1, x2, . . .), o operador

deslocamento a direita. A partir deste, definamos

S := 12F : `2 −→ `2

(x1, x2, . . .) 7−→ 12(0, x1, x2, . . .).

Vamos construir uma sequencia estritamente crescente (nk)k de inteiros positivos tal

que, para qualquer k > j ≥ 1,

nk > mj + nj e 2nk > 2nj+k‖y(k)‖. (2.4)

Fixe n1 ∈ N, digamos n1 = 1. Para k = 2, escolha n2 ∈ N o menor natural maior do

que n1 tal que

n2 > m1 + n1 e 2n2 > 2n1+2‖y(2)‖,

onde m2 e o maior ındice tal que y(2)m2 6= 0. Para k = 3, considere n3 ∈ N o menor

numero, com n3 > n2 > n1, de modo que

n3 > m2 + n2 e 2n3 > 2n2+3‖y(3)‖.

Assim, continuando nesse processo, recursivamente obtemos a sequencia (nk)k desejada.

Nosso objetivo, a partir de agora, sera provar que o vetor

x :=∞∑k=1

Snky(k)

29


e hipercıclico para T . Para k ≥ 2, temos

‖x‖ = limN→∞

∥∥∥∥∥N∑k=1

Snky(k)

∥∥∥∥∥ ≤ limN→∞

N∑k=1

‖Snky(k)‖ = limN→∞

N∑k=1

‖2−nkFy(k)‖ =∞∑k=1

2−nk‖y(k)‖,

e por (2.4) segue que 2−nk‖y(k)‖ ≤ 2−k, donde concluımos que x ∈ `2. Para k ≥ 1,

usando a linearidade e a continuidade de T , e possıvel expressar T nkx em uma soma e,

para tal, os seguintes casos devem ser considerados:

• Se k > j, entao nk > nj, e como nk − nj > mj, temos

T nk

(k−1∑j=1

Snjy(j)

)=

k−1∑j=1

T nkSnjy(j) =k−1∑j=1

2nk−njBnk−njy(j) = 0;

• Se k = j, entao nk = nj, donde

T nkSnky(k) = y(k);

• Se k < j, entao nk < nj, logo

T nk

(∞∑

j=k+1

Snjy(j)

)=

∞∑j=k+1

T nkSnjy(j) =∞∑

j=k+1

2nk−njF nj−nky(j).

Portanto,

T nkx = T nk

(∞∑j=1

Snjy(j)

)=

k−1∑j=1

T nkSnjy(j) + y(k) +∞∑

j=k+1

T nkSnjy(j)

= 0 + y(k) +∞∑

j=k+1

2nk−njF nj−nky(j)

e tem-se

‖T nkx− y(k)‖ = limN→∞

∥∥∥∥∥N∑

j=k+1

2nk−njF nj−nky(j)

∥∥∥∥∥ ≤ limN→∞

N∑j=k+1

2nk−nj‖F nj−nky(j)‖

=∞∑

j=k+1

2nk−nj‖y(j)‖(2.4)<

∞∑j=k+1

2−j = 2−kk→∞−→ 0.

Como Y e um conjunto denso em `2, concluımos que x tem orbita densa sobre T .

Como enfatizado em [11, p. 37], a terminologia “hipercıclico” atribuıda aos vetores

com orbita densa, surgiu devido aos ja conhecidos vetores cıclicos. Abaixo, definimos

30


os conceitos de vetores cıclico e supercıclico.

Definicao 2.10. Seja T : X −→ X um operador. O vetor x ∈ X e dito cıclico para T

se

spanT nx;n ∈ N

e denso em X. Um vetor x ∈ X e dito supercıclico para T se o conjunto

λT nx;n ∈ N, λ ∈ K

e denso em X.

Durante este trabalho nao trataremos sobre os vetores cıclicos e supercıclicos, mas

a partir da Proposicao 2.4 obteremos um resultado interessante envolvendo vetores

cıclicos, que consequentemente, valera para vetores hipercıclicos. Antes de passarmos

a proposicao mencionada, vejamos a seguinte definicao:

Definicao 2.11. Seja T : X −→ X um operador e Y um subespaco (subconjunto) de

X. Dizemos que Y e um subespaco (subconjunto) T -invariante de X se T (Y ) ⊂ Y .

Proposicao 2.4. Seja T : X −→ X um operador. O menor subespaco T -invariante

de X que contem um dado ponto x ∈ X e o fecho do subespaco gerado pela orbita de x

sobre T .

Demonstracao. Seja F :=F ⊆ X; F e subespaco de X fechado e T -invariante, que

contem o ponto x. Nosso objetivo sera provar que

F0 :=⋂F∈F

F = spanT nx;n ∈ N0. (2.5)

Inicialmente, mostremos que, se S e um subespaco T -invariante, entao S tambem o e,

isto e, se T (S) e um subespaco de S, entao T (S) e um subespaco de S.

Seja a ∈ S, donde T (a) ∈ T (S). Considere V uma vizinhanca arbitraria de T (a).

Como a ∈ S e T e contınuo, existe U uma vizinhanca de a tal que U∩S 6= ∅ e T (U) ⊂ V .

Consideremos w ∈ U ∩S, entao T (w) ∈ T (U ∩S) ⊂ T (U)∩T (S) ⊂ V ∩T (S) ⊂ V ∩S,

donde concluımos que T (a) ∈ S.

Agora provaremos (2.5). Como spanT nx;n ∈ N0 e um subespaco fechado T -

invariante, seu fecho tambem o e. Desse modo, spanT nx;n ∈ N0 e um subespaco

fechado e T -invariante de X que contem o ponto x. Logo, F0 ⊂ spanT nx;n ∈ N0.Por outro lado, note que se y ∈ F , para algum F ∈ F , entao T ny ∈ F , para todo

n ∈ N0, pois F e um subespaco T -invariante. Desse modo, como x ∈ F para todo

31


F ∈ F , segue que T nx ∈ F , para todo F ∈ F e para todo n ∈ N0. Isso nos permite

concluir que qualquer elemento em spanT nx;n ∈ N0 esta contido em F0. Portanto,

spanT nx;n ∈ N0 ⊂ F0 ⇒ spanT nx;n ∈ N0 ⊂ F0 = F0.

A partir da Definicao 2.10 e da Proposicao 2.4, podemos concluir que um operador

nao tem subespaco fechado invariante nao trivial se todo vetor nao nulo e cıclico.

Tambem vale salientar, que o resultado anterior, sobre subespacos invariantes, se aplica

ao caso de conjuntos invariantes.

Proposicao 2.5. Um operador T : X −→ X nao tem subconjunto invariante nao

trivial se, todo vetor nao nulo x ∈ X for hipercıclico.

O Exemplo 2.6 nos mostra que nao e simples o processo de se obter um vetor

hipercıclico. Mesmo diante da configuracao simples do operador, imaginamos que nao

foi de imediata a obtencao do vetor x, candidato a vetor hipercıclico. Dessa forma, e

deveras importante a obtencao de criterios que nos permitam determinar se um certo

operador e ou nao hipercıclico. O proximo resultado sera o nosso maior recurso, a partir

deste momento, para demonstramos a hiperciclicidade de alguns operadores especıficos.

Teorema 2.3. Seja X um espaco de Frechet separavel. Um operador T : X −→ X e

hipercıclico se, e somente se, ele e topologicamente transitivo. Neste caso, denotaremos

por HC(T ) o conjunto dos vetores hipercıclicos de T , o qual e Gδ-denso.

Demonstracao. A demonstracao segue do Teorema 2.1.

Abaixo apresentaremos tres exemplos classicos de operadores hipercıclicos. Para

demonstra-los utilizaremos o Teorema 2.3, que mostrar-se-a uma ferramenta de crucial

aplicabilidade para dados casos. Dois dos operadores exemplificados estao definidos

em H(C), o espaco das funcoes inteiras. Assim, caso o leitor pense ser necessario, re-

comendamos retomar algumas discussoes feitas no primeiro capıtulo sobre esse espaco.

Exemplo 2.7 (Operador de Birkhoff). O operador translacao

Ta : H(C) −→ H(C)

f 7−→ f(z + a),

para a 6= 0 e z ∈ C, e hipercıclico. Inicialmente, precisamos verificar se, de fato, Ta

e um operador. A linearidade de Ta segue de imediato, entao verifiquemos que T e

32


contınuo. Para n ∈ N, escolha kn ∈ N tal que kn ≥ n + |a|. Entao, se |z| ≤ n, temos

|z| ≤ kn − |a|, donde |z + a| ≤ kn.

Daı,

‖Taf‖n =1sup|z|≤n |f(z + a)| ≤ sup|w|≤kn |f(w)| = ‖f‖kn ,

para toda funcao f ∈ H(C). Logo, pela Proposicao 1.2, concluımos que Ta e contınuo.

Para provarmos a hiperciclicidade do operador, consideremos U, V ⊂ H(C) conjun-

tos arbitrarios, abertos e nao vazios. Fixemos f ∈ U e g ∈ V . Como os conjuntos sao

abertos, pela definicao da topologia em H(C), existem m ≥ 1 e ε > 0 (cf. Proposicao

1.1) tais que

h ∈ H(C); sup

|z|≤m|f(z)− h(z)| < ε

⊂ U

e h ∈ H(C); sup

|z|≤m|g(z)− h(z)| < ε

⊂ V.

Seja K ⊂ C o disco fechado, centrado na origem e de raio m, e considere n ∈ N de

modo que o disco K + na seja disjunto de K. Seja q uma funcao holomorfa dada por

q(z) = f(z), para todo z numa vizinhanca de K e q(z) = g(z− na), para todo z numa

vizinhanca de K + na. Aplicando o Teorema de Runge (cf. Teorema 1.3) a funcao q e

ao compacto K ∪ (K + na), obtemos um polinomio p tal que

supz∈K∪(K+na)

|q(z)− p(z)| < ε.

Como K ∩ (K + na) = ∅, segue

supz∈K|f(z)− p(z)| < ε e sup

w∈K+na|g(w − na)− p(w)| < ε. (2.6)

Portanto,

supz∈K|g(z)− T na p(z)| = sup

z∈K|g(z)− p(z+ na)| = sup

w∈K+na|g(w− na)− p(w)|

(2.6)< ε. (2.7)

Por (2.6) e (2.7), p ∈ U e T na p ∈ V , donde concluımos que Ta e topologicamente

transitivo. Como H(C) e separavel, pelo Teorema 2.3 e hipercıclico.

1Relembre que no Capıtulo 1, consideramos em C(C), consequentemente em H(C), a sequencia deseminormas ‖ · ‖n : H(C) −→ R∗+ dada por ‖f‖n = sup|z|≤n |f(z)|, n ∈ N.

33


Exemplo 2.8 (Operador de MacLane). O operador derivacao

D : H(C) −→ H(C)

f 7−→ f ′

e hipercıclico. A linearidade de D segue das propriedades de derivacao. Mostremos a

continuidade. Para cada n ∈ N, como |f(z)| ≤ sup |f(z)|, para todo z ∈ B(w, 1), pelo

Teorema da Estimativa de Cauchy (cf. Teorema 1.4), temos

|f ′(w)| ≤ sup|z−w|≤1

|f(z)| ≤ sup|z|≤n+1

|f(z)|,

sempre que |w| ≤ n. Daı,

‖D(f)‖n = sup|w|≤n

|f ′(w)| ≤ sup|z|≤n+1

|f(z)| = ‖f‖n+1, ∀f ∈ H(C),

donde, pela Proposicao 1.2, segue a continuidade de D. Agora, sejam U, V ⊂ H(C)

conjuntos arbitrarios, nao vazios e abertos. Como o conjunto dos polinomios e denso

emH(C), existem polinomios p(z) =∑N

k=1 akzk e q(z) =

∑Nk=1 bkz

k tais que p(z) ∈ U e

q(z) ∈ V . Para provarmos a transitividade topologica de D, e suficiente encontrarmos

um polinomio r tal que Dnr ∈ V , para um certo n ∈ N, e r esteja suficientemente

proximo de p. Desse modo, consideremos o polinomio

r(z) = p(z) +N∑k=0

k!bk(k + n)!

zk+n,

o qual satisfaz a propriedade Dnr = q, para n ≥ N + 1. Alem disso, para todo m > 0,

temos

sup|z|≤m

|r(z)− p(z)| = sup|z|≤m

∣∣∣∣∣N∑0

k!bk(k + n)!

zk+n

∣∣∣∣∣ ≤ sup|z|≤m

N∑0

k!|bk|(k + n)!

|z|k+n

≤N∑k=0

k!|bk|(k + n)!

mk+n.

Fazendo n → ∞, obtemos que sup|z|≤m |r(z) − p(z)| → 0. Logo, r ∈ U e Dnr ∈ V ,

para todo n suficientemente grande, o que nos diz que D e topologicamente transitivo,

portanto e hipercıclico.

Exemplo 2.9 (Operador de Rolewicz). Seja X = `p, 1 ≤ p < ∞, ou X = c0. O

34


operador

T = λB : X −→ X

(xj)∞j=1 7−→ λB((xj)

∞j=1)

e hipercıclico, para todo λ ∈ C com |λ| > 1, sendo B o operador deslocamento a

esquerda. A linearidade e a continuidade de T decorrem diretamente do operador B.

Sejam U, V ⊂ X conjuntos arbitrarios, abertos e nao vazios. Como o conjunto das

sequencias finitas e denso em X, e possıvel encontrarmos x ∈ U e y ∈ V , com

x = (x1, x2, . . . , xN , 0, 0, . . .) e y = (y1, y2, . . . , yN , 0, 0, . . .),

para algum N ∈ N. Fixemos n ≥ N e consideremos zn = (zn,1, zn,2, . . .), onde zn,k = xk

se 1 ≤ k ≤ N , zn,k = λ−nyk−n se n+ 1 ≤ k ≤ n+N e zn,k = 0 para os demais ındices

k. Note que, T nzn = y para todo n ≥ N e

‖x− zn‖ = ‖(λ−nyk−n)‖ = |λ|−n‖y‖ n→∞−→ 0.

Desse modo, se n e suficientemente grande, temos que zn ∈ U e T nzn ∈ V , logo T e

topologicamente transitivo. Como X e um espaco de Banach separavel, segue que T e

hipercıclico.

2.4 Operadores Devaney Caoticos

Ja apresentamos o conceito de caos (no sentido de Devaney) para aplicacoes contınuas

definidas em espacos metricos. Nesta secao, definiremos caos neste mesmo sentido, mas

agora para operadores lineares e contınuos definidos em espacos separaveis de Frechet.

Posteriormente, provaremos que os operadores hipercıclicos classicos, vistos na secao

anterior, sao caoticos.

No Teorema 2.2, demonstramos que toda aplicacao T : X −→ X, para X um espaco

metrico sem pontos isolados e T uma aplicacao contınua, nao necessariamente linear,

que tem um conjunto denso de pontos periodicos e e topologicamente transitiva, tem

dependencia sensıvel as condicoes iniciais. Resultado analogo existe para operadores no

contexto da dinamica linear, mas para este caso a hiperciclicidade e condicao suficiente

para se ter dependencia sensıvel as condicoes iniciais.

Proposicao 2.6. Se T e um operador hipercıclico, entao T tem dependencia sensıvel as

condicoes iniciais (com respeito a qualquer metrica invariante por translacao definindo

a topologia de X).

Demonstracao. Devemos garantir a existencia de uma constante δ > 0 satisfazendo

35


as condicoes estabelecidas na Definicao 2.4. Consideremos d uma metrica invariante

por translacao em X. Dados ε, δ > 0 e x ∈ X arbitrario, consideremos os sub-

conjuntos U = z ∈ X; d(0, z) < ε e V = z ∈ X; d(0, z) > δ de X. Como

ambos os conjuntos sao abertos e nao vazios, pela transitividade topologica de T ,

existem n ∈ N0 e z ∈ U tais que T nz ∈ V . Tomando o ponto y = x + z em

X, como d e invariante por translacao, d(x, y) = d(x − x, y − x) = d(0, z) < ε e

d(T nx, T ny) = d(T nx − T nx, T ny − T nx) = d(0, T nz) > δ, o que conclui a demons-

tracao.

Tendo em vista o teorema anterior, apresentamos a seguinte definicao em con-

sonancia com a Definicao 2.7.

Definicao 2.12 (Caos de Devaney - versao linear). Um operador T : X −→ X e dito

Devaney caotico se, ele e topologicamente transitivo e possui um conjunto denso de

pontos periodicos.

Exemplo 2.10 (Operador de Rolewicz). O operador T de Rolewicz, definido no Exem-

plo 2.9, e caotico. Como T e hipercıclico, basta mostrarmos que T tem um conjunto

denso de pontos periodicos.

Inicialmente, afirmamos que x ∈ X e um ponto periodico de T se, e somente se,

existem N ∈ N e xk ∈ K (K = R ou K = C), k = 1, · · · , N , tais que

x = (x1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ

−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ

−2NxN , . . .). (2.8)

Provemos este fato. Seja x ∈ X como em (2.8). Note que

TNx = TN(x1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ

−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ

−2NxN , . . .)

= λN(λ−Nx1, . . . , λ−NxN , λ

−2Nx1, . . . , λ−2NxN , . . .)

= (x1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ

−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ

−2NxN , . . .),

donde concluımos que x e um ponto periodico de T , de perıodo N .

Reciprocamente, seja x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ Per(T ), digamos com perıodo p.

Entao T px = x, ou seja,

T px = T p(x1, x2, . . . , xn, . . .) = λp(xp+1, xp+2, . . .) = (x1, x2, . . . , xn, . . .).

Daı,

36


λpxp+1 = x1 =⇒ xp+1 = λ−px1

λpxp+1 = x2 =⇒ xp+2 = λ−px2

...

λpxp+p = xp =⇒ x2p = λ−pxp

λpx2p+1 = xp+1 =⇒ x2p+1 = λ−pxp+1.

Entretanto, como p e o perıodo de x em relacao a T , temos

(x1, x2, . . . , xn, . . .) = T 2px = T 2p(x1, x2, . . . , xn, . . .) = λ2p(x2p+1, x2p+2, . . .),

dondeλ2px2p+1 = x1 =⇒ x2p+1 = λ−2px1

λ2px2p+2 = x2 =⇒ x2p+2 = λ−2px2

...

λ2px2p+p = xp =⇒ x3p = λ−2pxp.

Prosseguindo assim indefinidamente, obtemos

x = (x1, . . . , xp, λ−px1, . . . , λ

−pxp, λ−2px1, . . . , λ

−2pxp, . . .),

como querıamos demonstrar.

Agora, mostraremos que T tem um conjunto denso de pontos periodicos. Como

o subespaco c00 e denso em X, consideremos a sequencia y = (y1, y2, . . . , yn, 0, 0, . . .)

arbitraria em X e escolhamos um ponto periodico x ∈ X de perıodo N ≥ n, cujas

primeiras N coordenadas coincidam com as primeiras N coordenadas de y. Note que,

isso e possıvel pela descricao de pontos periodicos como em (2.8). ConsiderandoX = `p,

1 ≤ p <∞, temos

‖x− y‖pp = ‖(xn+1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ

−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ

−2NxN , . . .)‖pp= |λ−Nx1|p + · · ·+ |λ−NxN |p + |λ−2Nx1|p + · · ·+ |λ−2NxN |p + · · · .

Assim,

‖x− y‖pp = |λ−Ny1|p + · · ·+ |λ−NyN |p + |λ−2Ny1|p + · · ·+ |λ−2NyN |p + · · ·

= |λ−N |p(|y1|p + · · ·+ |yn|p) + |λ−2N |p(|y1|p + . . .+ |yn|p) + . . .

= |λ−N |p‖y‖pp + |λ−2N |p‖y‖pp + · · ·+ |λ−jN |p‖y‖pp + · · ·

=∞∑j=1

|λp|−jN‖y‖pp = ‖y‖pp∞∑j=1

|λp|−jN .

37


Portanto, ‖x − y‖p =(‖y‖pp

∑∞j=1 |λp|−jN

) 1p N→∞−→ 0. Logo, dados ε > 0 e y ∈ c00, e

possıvel obtermos um ponto periodico x (de perıodo N tao grande quanto necessario)

tal que ‖x − y‖p < ε e assim concluımos que T tem um conjunto denso de pontos

periodicos. O caso X = c0 pode ser mostrado de maneira analoga.

Alem do operador de Rolewicz, os operadores de Birkhoff e MacLane tambem sao

Devaney caoticos. Ja vimos nos Exemplos 2.7 e 2.8 que ambos sao hipercıclicos, entao

basta apenas mostrarmos a existencia de um conjunto denso de pontos periodicos. Para

tal, precisaremos das duas proposicoes seguintes.

Proposicao 2.7. Seja T uma aplicacao linear definida em um espaco vetorial complexo

X. O conjunto dos pontos periodicos de T e dado por

Per(T )=spanx ∈ X;Tx = eαπix, para algum α ∈ Q.

Demonstracao. Seja x ∈ X tal que Tx = eαπix, para algum α = kn, k ∈ Z e n ∈ N.

Provaremos que x e um ponto periodico de perıodo 2n. Note que

Tx = eknπix⇒ T 2x = T (Tx) = T

(e

knπix)

= eknπie

knπix = e

2knπix,

donde

T 3x = T (T 2x) = T(e2 k

nπix)

= e2knπie

knπix = e

3knπix.

Continuando o processo, obtemos T 2nx = e2n knπix = e2kπix = x. Assim, concluımos que

x e um ponto periodico, de perıodo 2n.

Por outro lado, seja x ∈ X um ponto periodico de T , digamos, de perıodo n.

Decompondo o polinomio zn − 1, obtemos

zn − 1 = (z − λ1)(z − λ2) · · · (z − λn), (2.9)

onde λj, j = 1, . . . , n, sao as n-esimas raızes da unidade. Desse modo, o conjunto

P = p1, p2, . . . , pn de polinomios, com pk =∏

j 6=k(z − λj), 1 ≤ k ≤ n, e uma base

para o espaco dos polinomios de grau estritamente menor do que n. De fato, sejam

α1, α2, . . . , αn escalares em C tais que

n∑j=1

αjpj(z) = α1

∏j 6=1

(z − λj) + α2

∏j 6=2

(z − λj) + · · ·+ αn∏j 6=n

(z − λj) = 0.

Mostraremos que o conjunto P e linearmente independente. Para z = λk, por exemplo,

temos

0 =n∑j=1

αjpj(λk) = αk∏j 6=k

(λk − λj),

38


donde αk = 0. Fazendo isso para cada z = λk, k = 1, . . . , n, concluımos que

α1 = · · · = αn = 0. Logo, P e linearmente independente e, portanto, constitui uma

base para o espaco dos polinomios de grau estritamente menor do que n. Entao, existem

µk ∈ C, k = 1, . . . , n, tais que

1 =n∑k=1

µkpk(z).

e assim

I =n∑k=1

µkpk(T ).

Entao, x = I(x) =∑n

k=1 αkpk(T )(x).

Se provarmos que yk := pk(T )x e tal que Tyk = eαkπiyk, para algum αk ∈ Q e para

todo k = 1, . . . , n, concluımos a demonstracao. Veja que,

(T − λk)yk = (T − λk)∏j 6=k

(T − λj)(x)(2.9)= (T n − I)(x) = 0,

donde Tyk = λkyk, para todo k = 1, . . . , n. Lembrando que λk, k = 1, . . . , n, sao

as n-esimas raızes da unidade, cuja forma e bem conhecida, concluımos que cada

Tyk ∈ x ∈ X;Tx = eαπix, para algum α ∈ Q, logo, x pertence ao subespaco

gerado por este conjunto, como querıamos demonstrar.

Denotando eλ(z) = eλz, z ∈ C, passemos a proxima proposicao.

Proposicao 2.8. Seja Λ ⊂ C um conjunto com um ponto de acumulacao. Entao o

spaneλ;λ ∈ Λ e denso em H(C).

Demonstracao. Seja λ ∈ C o ponto de acumulacao de Λ. Entao existe (λn)∞n=1 ⊂ Λ,

com λn 6= λ para todo n ∈ N, tal que λnn→∞−→ λ.

A expansao em serie de Taylor de cada funcao e(λn−λ)(z) = e(λn−λ)z em torno da

origem e dada por

e(λn−λ)z = 1 + (λn − λ)z +(λn − λ)2z2

2!+

(λn − λ)3z3

3!+ · · · .

Multiplicando ambos os membros da igualdade acima por eλz, obtemos

eλnz = eλz + eλz(λn − λ)z + eλz(λn − λ)2z2

2!+ eλz

(λn − λ)3z3

3!+ · · · (2.10)

Como λnn→∞−→ λ, cada termo da soma em (2.10) que contem (λn − λ) converge para

zero, para todo z ∈ C. Logo, eλnz converge para eλz uniformemente em conjuntos

compactos. Portanto, eλ ∈ spaneλn ;n ≥ 1.

39


De (2.10) obtemos

eλnz − eλz

λn − λ= eλzz + eλz

(λn − λ)z2

2!+ eλz

(λn − λ)2z3

3!+ · · · .

E assim,eλnz − eλz

λn − λn→∞−→ zeλz

uniformemente em conjuntos compactos. Entao, a funcao z 7→ zeλz pertence ao

spaneλn ;n ≥ 1.Continuando neste processo, obteremos que todas as funcoes da forma

z 7→ zkeλz, k ≥ 0, pertencem ao spaneλn ;n ≥ 1.Seja f ∈ H(C). Como toda funcao holomorfa pode ser escrita mediante serie de

potencias (cf. Teorema 1.5), obtemos

f(z) = eλz(e−λzf(z)) = eλz( ∞∑k=0

akzk)

=∞∑k=0

akzkeλz,

para ak ∈ C coeficientes adequados. Portanto, f ∈ spaneλn ;n ≥ 1.

Exemplo 2.11 (Operadores de Birkhoff e MacLane). Os operadores de Birkhoff e

MacLane definidos, respectivamente, nos Exemplos 2.7 e 2.8 sao caoticos. Como ja

provamos que ambos os operadores sao hipercıclicos, basta verificarmos que eles pos-

suem um conjunto denso de pontos periodicos.

Primeiramente, verifiquemos para a operador derivacao. Note que eλ e um autovetor

de D para o autovalor λ, pois D(eλ)(z) = (eλz)′ = λeλz = λeλ(z). Pela Proposicao 2.7,

o subespaco

spaneλ;λ = eαπi, para algum α ∈ Q

esta contido no Per(D) e, pela Proposicao 2.8 e denso em H(C). Logo D e Devaney

caotico.

A demonstracao que Ta tem um conjunto denso de pontos periodicos segue de

maneira analoga a feita para o operador derivacao. Perceba que eλ e um autovetor

para o autovalor eaλ, pois Ta(eλ)(z) = eλ(z + a) = eλ(z+a) = eλaeλz = eλaeλ(z). Como

o subespaco

spaneλ; eaλ = eαπi, para algum α ∈ Q = spaneλ;λ =

α

aπi, para algum α ∈ Q

esta contido no Per(Ta) pela Proposicao 2.7, e pela Proposicao 2.8 e denso em H(C),

concluımos que o operador de Birkhoff e Devaney caotico.

40

Capıtulo 3

Resultados de Hiperciclicidade

No capıtulo anterior, definimos aplicacoes topologicamente transitivas e vimos que

esta propriedade e equivalente a existencia de um vetor com orbita densa, no caso de

aplicacoes definidas em espacos metricos completos e separaveis. Posteriormente, no

contexto da linearidade (de acordo com a Definicao 2.8) denotamos um vetor com orbita

densa por hipercıclico e, a partir do Teorema 2.3 a equivalencia entre hiperciclicidade

e transitividade topologica ficou estabelecida para operadores.

Com dada ferramenta em maos e dispondo de alguns resultados de Analise Com-

plexa, foi-se possıvel provar, por exemplo, que os operadores de Birkhoff, MacLane e

Rolewciz sao hipercıclicos. Entretanto, como enfatiza Grosse-Erdmann e Manguillot

em [11, p.69], a verificacao em muitas situacoes concretas que um operador e transi-

tivamente topologico nao e tao simples. Diante dessas questoes, alguns matematicos

descobriram criterios muito uteis para se garantir a hiperciclicidade.

Assim, este capıtulo e dedicado ao estudo desses criterios e de algumas propriedades

de operadores hipercıclicos, como a existencia de um subespaco invariante constituıdo,

exceto pela origem, de vetores com orbita densa e a verificacao que em dimensao finita

nao ha hiperciclicidade. Na segunda e ultima secao, exibiremos uteis resultados que

asseguram quando um operador e hipercıclico.

Neste capıtulo, exceto mencao contraria, T : X −→ X sera um operador linear

contınuo e X um espaco separavel de Frechet.

3.1 Propriedades dos Operadores Hipercıclicos

Nesta secao, enunciaremos e demonstraremos resultados de hiperciclicidade, mais

especificamente, veremos algumas interessantes propriedades que operadores hipercıclicos

satisfazem. Alem disso, mostraremos que operadores em espacos de dimensao finita

nao admitem vetores com orbita densa.

41

3. Resultados de Hiperciclicidade

Os resultados e as demonstracoes apresentadas tiveram como principal base o livro

[11].

Proposicao 3.1. Se T : X −→ X e um operador hipercıclico, entao todo vetor de X

pode ser escrito como a soma de dois vetores hipercıclicos.

Demonstracao. Seja x ∈ X. Pelo Teorema 2.1,

HC(T ) =∞⋂k=1

∞⋃n=0

T−n(Uk),

onde os Uk, k ≥ 1, sao descritos no teorema referenciado. Assim, HC(T ) e Gδ−denso,

e, portanto, x − HC(T ) tambem o e. Provemos esta afirmacao. Seja z ∈ X um

vetor arbitrario, entao existe (zn)n ⊂ HC(T ) tal que znn→∞−→ x − z. Como os vetores

x − zn ∈ x − HC(T ) para todo n ∈ N, e a sequencia x − znn→∞−→ x − (x − z) = z,

concluımos que z ∈ x− HC(T ), o que prova a densidade do conjunto.

Como podemos escrever

x− HC(T ) = x−∞⋂k=1

∞⋃n=0

T−n(Uk) =∞⋂k=1

∞⋃n=0

(x− T−n(Uk)),

onde x−T−n(Uk) e um conjunto aberto, para todo n ≥ 0 e k ≥ 1, segue que x−HC(T )

e Gδ−denso. Pelo Teorema de Baire (cf. Teorema 1.2), HC(T ) ∩ (x − HC(T )) 6= ∅.Logo, existem y, w ∈ HC(T ) tais que y = x− w ∈ HC(T ), donde x = y + w. Como x

foi tomado arbitrariamente, concluımos a demonstracao.

Da Proposicao 3.1, concluımos que, quando um operador T : X −→ X e hi-

percıclico, o espaco X pode ser dado por X = HC(T ) + HC(T ). Alem disso, note que,

se todo vetor nao nulo de X for hipercıclico, entao HC(T ) ∪ 0 e um espaco vetorial.

E neste caso, como ja destacado na Proposicao 2.5, o espaco nao tera subconjunto

invariante nao trivial.

Lema 3.1. (a) O adjunto1 T ′ de todo operador hipercıclico T : X −→ X nao admite

autovalor. Equivalentemente, o operador T − λI, com λ ∈ K e I o operador

identidade em X, tem imagem densa.

(b) Seja T : X −→ X um operador hipercıclico, onde X e um espaco de Frechet

separavel real. O adjunto T ′ da sua complexificacao2 T nao admite autovalor.

Equivalentemente, T − λI, λ ∈ C, tem imagem densa.

1O dual X ′ de um espaco de Frechet e o adjunto T ′ de um operador T : X −→ X sao definidoscomo no caso de espacos de Banach. Como a topologia em X ′ e um tanto delicada, consideraremos eusaremos apenas as propriedades lineares de T ′. Cf. [11, Apendice A, p.354]

2Ver os comentarios sobre complexificacao no final do Capıtulo 1.

42


Demonstracao.

(a) Seja x um vetor hipercıclico para T . Suponhamos que T ′ tenha um autovalor

λ ∈ K, isto e, T ′(ϕ) = λϕ, para algum ϕ 6= 0 em X ′. Entao, para todo n ≥ 0,

temos

ϕ(T nx) = (T n)′(ϕ)(x) = (T ′)n(ϕ)(x) = λnϕ(x). (3.1)

Como ϕ e um funcional linear nao nulo, a hiperciclicidade de x implica a densidade

do conjunto ϕ(T nx)∞n=1 em K. Entretanto, o conjunto λnϕ(x)∞n=1 nao e denso

em K, o que contradiz (3.1).

Mostremos a equivalencia. Seja ϕ ∈ X ′ e λ um escalar em K. Note que, para todo

x ∈ X, obtemos

T ′(ϕ)(x)− λϕ(x) = ϕ(Tx)− λϕ(x) = ϕ((T − λI)(x)). (3.2)

Se T ′ nao admite autovalor, para todo funcional ϕ ∈ X ′ tal que ϕ((T−λI)(X)) = 0,

segue que ϕ = 0. Pelo Teorema de Hahn-Banach (cf. Corolario 1.2), (T − λI)(X)

tem imagem densa. Reciprocamente, suponha que o conjunto (T − λI)(X) seja

denso. Se existisse λ um autovalor de T ′, terıamos T ′(ϕ)(x) = λϕ(x), para algum

ϕ em X ′ nao nulo. Mas da densidade de T − λI, pelo Teorema de Hahn-Banach e

por (3.2), segue que ϕ = 0, o que e uma contradicao.

(b) Seja x ∈ X um vetor hipercıclico para T . Suponhamos que T ′ admite um autovalor

λ ∈ C, com ϕ 6= 0 em X ′ um autovetor associado. Note que, para todo n ≥ 0,

temos

|ϕ(T nx)| = |ϕ(T nx)| = |(T n)′(ϕ)(x)| = |(T ′)n(ϕ)(x)| = |λ|n|ϕ|. (3.3)

Como ϕ(x1 + ix2) = ϕ(x1) + iϕ(x2), para todos x1, x2 ∈ X, e como ϕ 6= 0, existe

z ∈ X tal que |ϕ(z)| > 0 e, portanto, |ϕ| assume todos os valores positivos em X.

Pela hiperciclicidade de x, o conjunto |ϕ(T nx)|∞n=1 e denso em R+, enquanto que

|λϕ(x)|∞n=1 nao o e, o que contradiz a igualdade (3.3). A equivalencia e provada

de forma analoga a feita no item anterior.

Teorema 3.1. Se T : X −→ X e um operador hipercıclico e p e um polinomio nao

nulo, entao p(T )(X) e denso em X.

43


Demonstracao. Seja p(z) =∑m

n=0 anxn, com am 6= 0 e m ≥ 1. Dividiremos a demons-

tracao em dois casos: X um espaco complexo e X um espaco real.

Se X e um espaco complexo, existem λ1, . . . , λm em C tais que

p(T ) = am(T − λ1I) · · · (T − λmI).

Como a composicao de operadores com imagem densa e um operador de imagem densa,

pelo Lema 3.1(a), p(T ) tem imagem densa.

Para o caso X um espaco de Frechet real, considere X a sua complexificacao e T

a complexificacao de T . Pelo Lema 3.1(b) e pelo o que foi demonstrado logo acima,

qualquer polinomio p(T ) com coeficientes complexos tem imagem densa. Se p(T ) tem

coeficientes reais, como

p(T (x+ iy)

)= p(T )x+ ip(T )y, x, y ∈ X,

segue que p(T )(X) tambem tem imagem densa. Com efeito, seja ϕ 6= 0 em X ′ tal que

ϕ|p(T )(X) = 0. Considere ϕ ∈ X ′ a complexificacao de ϕ, entao

ϕ(p(T )(x+ iy)

)= ϕ

(p(T )x+ ip(T )y

)= ϕ(p(T )x) + iϕ(p(T )y) = 0,

para todo x, y ∈ X, ou seja, ϕ|p(T )(X) = 0. Como p(T )(X) e denso em X, pelo Teorema

de Hahn-Banach, ϕ = 0. Como ϕ(x + iy) = ϕ(x) + iϕ(y) = 0 para todo x, y ∈ X,

concluımos ϕ = 0, aplicando Hahn-Banach novamente, segue a densidade de p(T ).

Enfim abordaremos um dos resultados mais interessantes da secao, o qual garantira

que todo operador hipercıclico possui um subespaco invariante e denso, constituıdo,

exceto pela origem, de vetores com orbita densa.

Teorema 3.2. Seja T : X −→ X um operador hipercıclico. Entao existe um subespaco

denso T -invariante de X constituıdo, com excecao do zero, de vetores hipercıclicos.

Demonstracao. Seja x um vetor hipercıclico para T e considere o subespaco

Y := p(T )x; p e um polinomio.

Como Y = spanorb(x, T ) e T (Y ) ⊂ Y , segue que Y e um subespaco T−invariante de

X. Resta-nos provar, para todo polinomio p nao nulo, que p(T )x e um vetor hipercıclico

44


de X. Assim, seja p(T )x =∑m

k=0 akTk(x). Como, para todo n ∈ N0, temos

T n(p(T )x

)= T n

( m∑k=1

akTk(x)

)=

m∑k=1

akTnT k(x) =

m∑k=1

akTkT n(x) = p(T )

(T nx),

segue que orb(p(T )x, T ) = p(T )(orb(x, T )). Pelo Teorema 3.1, p(T ) tem imagem densa,

e como a orbita de x em T e densa em X, concluımos que orb(p(T )x, T ) e densa em

X. Logo, para todo polinomio p, p(T )x e um vetor hipercıclico para T .

A partir do proximo teorema constataremos que hiperciclicidade e um fenomeno

exclusivo de dimensao infinita. A demonstracao que sera realizada teve como base

principal a encontrada em [1, p. 1].

Teorema 3.3. Nao existe operador hipercıclico definido em um espaco de Frechet de

dimensao finita.

Demonstracao. Seja X um espaco de Frechet de dimensao n ≥ 1. Como qualquer

espaco de dimensao finita e isomorfo a Kn, e suficiente demonstrarmos o resultado para

X = Kn. Suponha, por absurdo, que exista T : Kn −→ Kn um operador hipercıclico e

seja x ∈ Kn um vetor hipercıclico de T .

Como o conjunto B = x, Tx, T 2x, . . . , T n−1x e linearmente independente, este

constitui uma base para Kn. Com efeito, suponha que exista um elemento no conjunto

que e escrito como combinacao linear dos demais. Sem perda de generalidade, digamos

que T n−1x. Entao, existem aj ∈ K, j = 0, . . . , n− 2, tais que

T n−1x =n−2∑j=0

ajTjx. (3.4)

Entao,

T nx = T (T n−1x) = T

(n−2∑j=0

ajTjx

)=

n−2∑j=1

aj−1Tjx+ an−2T

n−1x

=n−2∑j=1

aj−1Tjx+ an−2

n−2∑j=0

ajTjx.

Logo, para todo k ≥ n, T kx e escrito como combinacao linear dos elementos do conjunto

x, Tx, T 2x, . . . , T n−2x, donde spanorb(x, T ) tem dimensao menor do que ou igual

a n− 1, o que e uma contradicao, uma vez que orb(x, T ) e densa em Kn.

Como a orbita de x em relacao a T e densa em X, dado α ∈ R+ arbitrario, existe

(nk)k uma sequencia crescente de inteiros positivos tal que T nkxk→∞−→ αx (note que (nk)k

45


depende de α). Entao, T nkT jx = T jT nkxk→∞−→ αT jx, para todo j ≥ 0, em particular

j ≤ n. Daı, dado z ∈ Kn, existem escalares b0, b1, . . . , bn−1 tais que z =∑n−1

j=0 bjTjx.

Entao,

T nkz = T nk

(n−1∑j=0

bjTjx

)=

n−1∑j=0

bjTjT nkx

k→∞−→n−1∑j=0

bjTjαx = α

n−1∑j=0

bjTjx.

Portanto, T nkzk→∞−→ αz, para todo z ∈ Kn, donde T nk

k→∞−→ αI, onde I : Kn −→ Kn e

o operador identidade.

Considere [T nk ], k ≥ 1, e [αI] as matrizes, respectivamente, dos operadores T nk

e αI com relacao a base canonica. Como det([αI]) = αndet([I]) = αn e a funcao

determinante det : Mn(K) −→Mn(K) e contınua, segue

det([T nk ])k→∞−→ det([αI]) = αn (3.5)

Definindo a := |det([T ])|, como (det([T ]))nk = det([T nk ])k→∞−→ αn e α ∈ R+ foi tomado

arbitrariamente, concluı-se que o conjunto an;n ∈ N e denso em R+. Mas isto e um

absurdo, pois a > 1⇒ an > 1, a < 1⇒ an < 1 e a = 1⇒ an = 1, para todo n ∈ N.

3.2 Aplicacoes Mixing e Weakly Mixing e Criterios

de Hiperciclidade

A aplicacao tenda, definido no Exemplo 2.1 e como provado no Exemplo 2.2 e

topologicamente transitivo. Mas via a demonstracao feita neste ultimo exemplo, per-

cebemos que ele satisfaz condicoes alem das exigidas pela transitividade topologica.

Note que, a partir de algum n ∈ N, T n(U) intersecta todo o intervalo [0, 1], para

U ⊂ [0, 1] um aberto. Desse modo, podemos dizer que esta aplicacao e fortemente

topologicamente transitiva. Como veremos abaixo, aplicacoes com essa propriedade sao

chamadas mixing e, alem dessas, tambem existem aplicacoes weakly mixing.

Inicialmente, nesta secao, trataremos sobre as aplicacoes mixing e weakly mixing e,

posteriormente apresentaremos alguns criterios de hiperciclicidade. Para as definicoes

a seguir, consideraremos T : X −→ X um sistema dinamico como na Definicao 2.1, ou

seja, T uma aplicacao contınua e X um espaco metrico.

Definicao 3.1. Um sistema dinamico T : X −→ X e dito mixing se, para qualquer

par U, V de subconjuntos abertos e nao vazios de X, existe algum n0 ∈ N tal que, para

46


todo n ≥ n0, tem-se

T n(U) ∩ V 6= ∅.

Definicao 3.2. Sejam U1, U2, V1 e V2 subconjuntos abertos e nao vazios de X. Um

sistema dinamico T : X −→ X e dito weakly mixing se existe algum n ∈ N tal que

T n(U1) ∩ V1 6= ∅ e T n(U2) ∩ V2 6= ∅.

Exemplo 3.1. De acordo com as observacoes feitas no inıcio da secao, a aplicacao

tenda e mixing. Para um exemplo de aplicacao weakly mixing confira o Exemplo 3.8.

E importante observar que valem as seguintes implicacoes:

Mixing⇒ Weakly Mixing⇒ Transitividade Topologica.

Entao, no contexto da dinamica linear tem-se que todo operador mixing ou weakly

mixing e hipercıclico.

A partir deste momento, voltaremos a considerar T : X −→ X um operador linear

contınuo, definido em X um espaco separavel de Frechet. A seguir, apresentaremos

alguns uteis resultados que nos garantirao que um operador e mixing ou weakly mixing,

logo hipercıclico.

Teorema 3.4 (Criterio de Godefroy-Shapiro). Seja T : X −→ X um operador. Se os

subespacos

X0 := spanx ∈ X;Tx = λx, para algum λ ∈ K, com |λ| < 1

e

Y0 := spanx ∈ X;Tx = λx, para algum λ ∈ K, com |λ| > 1

sao densos em X, entao o operador T e mixing e, em particular, hipercıclico.

Demonstracao. Sejam U, V ⊂ X conjuntos abertos e nao vazios. Como os subespacos

X0 e Y0 sao densos em X, existem elementos x, y ∈ X tais que x ∈ X0∩U e y ∈ Y0∩V .

Desse modo, para escalares convenientes ak, bk e vetores xk, yk ∈ X, com k = 1, . . . ,m,

podemos representar os vetores x e y da forma

x =m∑k=1

akxk e y =m∑k=1

bkyk,

onde Txk = λkxk, Tyk = µkyk, para certos λk, µk ∈ K, com |λk| < 1, |µk| > 1 e

47


k = 1, . . . ,m. Calculando a n-esima iterada de T aplicada a x , obtemos

T nx = T n

(m∑k=1

akxk

)=

m∑k=1

akTnxk =

m∑k=1

akλnkxk

n→∞−→ 0, (3.6)

uma vez que |λk| < 1, para todo k = 1, . . . ,m. Defina un = bk1µnkyk e note que un

n→∞−→ 0,

pois |µk| > 1 para todo k = 1, . . . ,m. Alem disso, para todo n ∈ N, temos

T nun = T n

(m∑k=1

bk1

µnkyk

)=

m∑k=1

bk1

µnkT nyk =

m∑k=1

bk1

µnkµnkyk = y. (3.7)

De (3.6), (3.7) e do fato de unn→∞−→0, existe n0 ∈ N tal que

x+ un ∈ U e T n(x+ un) = T nx+ y ∈ V,

para todo n ≥ n0. Portanto, T e um operador mixing, logo hipercıclico.

Corolario 3.1. Nas hipoteses do teorema anterior, mas considerando X um espaco

complexo, se o subespaco

Z0 := spanx ∈ X;Tx = eαπix, para algum α ∈ Q

e denso em X, entao T e um operador Devaney caotico.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 2.7.

Os operadores de Maclane, Birkhoff e Rolewicz satisfazem o criterio de Godefroy-

Shapiro. Abaixo demonstraremos dois deles.

Exemplo 3.2. Considere o operador derivacao D em H(C), dado por D(f) = f ′.

Denote por eλ(z) = eλz a funcao exponencial, λ ∈ C, e note que eλ e um autovetor de

D associado ao autovalor λ. Pela Proposicao 2.8, os subespacos

spaneλ;D(eλ) = λeλ, com |λ| < 1

e

spaneλ;D(eλ) = λeλ, com |λ| > 1

sao densos emH(C). Portanto, o operador diferenciacao satisfaz o Criterio de Godefroy-

Shapiro, logo e mixing e, consequentemente, hipercıclico.

48


Exemplo 3.3. Para a verificacao do operador de Birkhoff, Ta : H(C) −→ H(C) dado

por Ta(z) = f(z + a), a 6= 0, basta perceber que toda funcao exponencial eλ, λ ∈ C,

e um autovetor associado ao autovalor eλa. Assim, procedendo de maneira analoga ao

exemplo anterior, conclui-se que Ta satisfaz o criterio de Godefroy-Shapiro.

Todo operador T : X −→ X que satisfaz o criterio de Godefroy-Shapiro e mixing,

mas todo operador mixing satisfaz dado criterio? A resposta e negativa. Vejamos o

proximo exemplo.

Exemplo 3.4. Consideremos T o operador deslocamento bilateral a esquerda, dado

por

T ((xn)n∈Z) = (xn+1)n∈Z,

definido no espaco de Banach l1(Z, v) = (xn)n∈Z; ‖x‖ :=∑

n∈Z |xn|vn < ∞3, onde

vn = 1|n|+1

,

n ∈ Z. Provaremos que este operador nao admite autovalor. Se supormos a existencia

de x 6= 0 em l1(Z, v) um autovetor de T associado a algum autovalor λ, ou seja, se

x ∈ l1(Z, v) e tal que Tx = λx, entao x e necessariamente da forma

x = (. . . ,1

λ2x0,

1

λx0, x0, λx0, λ

2x0, . . .) λ 6= 0 e x0 6= 0. (3.8)

De fato, seja

x = (. . . , x−2, x−1︸︷︷︸(−1)−esima posicao

, x0︸︷︷︸0−esima posicao

, x1︸︷︷︸1−esima posicao

, x2, . . .),

onde, para todo n ∈ N, (−n)−esima posicao e n−esima posicao indicam, respecti-

vamente, a n−esima posicao a esquerda do x0 e a n−esima posicao a direita do x0,

entao

Tx = T (. . . , x−2, x−1︸︷︷︸(−1)−posicao

, x0︸︷︷︸0−posicao


, x2, . . .)

= (. . . , x−1︸︷︷︸(−2)−posicao

, x0︸︷︷︸(−1)−posicao



, x3, . . .)

= λ(. . . , x−2, x−1︸︷︷︸(−1)−posicao



, x2, . . .)

= λx,

onde

3A soma infinita em Z e dada por:∑

n∈Z xn =∑

n∈N xn +∑

n∈N x−n + x0.

49


...

λx−2 = x−1 =⇒ x−2 = 1λx−1 = 1

λ2x0

λx−1 = x−0 =⇒ x−1 = 1λx0

λx0 = x1 =⇒ x1 = λx0

λx1 = x2 =⇒ x2 = λ(λx0) = λ2x0

λx2 = x3 =⇒ x3 = λ(λ2x0) = λ3x0

...

verificando-se a afirmacao (3.8). Entretanto,

‖x‖ =∑n∈N

∣∣∣∣ 1

λnx0

∣∣∣∣vn +∑n∈N

|λnx0| vn + |x0|

= |x0|

(∑n∈N

1

|λ|n(n+ 1)+∑n∈N

|λ|n

(n+ 1)+ 1

)=∞, (3.9)

para qualquer λ ∈ K. Com efeito, para |λ| = 1 ambas as series acima divergem (veja

que neste caso, tratam-se das series harmonicas). Denotemos por an = 1|λ|n(n+1)

e

bn = |λ|n(n+1)

os termos gerais das series. Se |λ| > 1, como

an+1

an=

1

|λ|n+1(n+ 2)|λ|n(n+ 1) =

1

|λ|n+ 1

n+ 2

n→∞−→ 1

|λ|< 1,

pelo Teste de d’Alembert [15, p. 42] a serie∑

n∈N1

|λ|n(n+1)diverge. Por outro lado, se

|λ| < 1, uma vez que

bn+1

bn=|λ|n+1

(n+ 2)

n+ 1

|λ|n= |λ|n+ 1

n+ 2

n→∞−→ |λ| < 1,

novamente pelo teste de d’Alembert a serie∑

n∈N|λ|n

(n+1)diverge. Portanto, para todo

λ ∈ K, segue (3.9), donde concluımos que o operador T nao possui autovalor e, por-

tanto, nao satisfaz o Criterio de Godefroy-Shapiro.

Lema 3.2. Seja T : X −→ X um operador. Se existem Y0 ⊂ X e S : Y0 −→ Y0 uma

aplicacao tal que TSy = y, para todo y ∈ Y0, entao T nSny = y, para todo n ∈ N.

Demonstracao. Demonstraremos via o Princıpio de Inducao Finita sobre n ∈ N. Seja

50


y ∈ Y0 tal que TSy = y. O caso n = 1 e a hipotese e supondo o resultado valido para

n, isto e, T nSny = y, para todo y ∈ Y0, provemos para n+ 1. Note que

T n+1Sn+1y = (T (T n Sn) S)(y) = T (T n Sn)(Sy) = T (T nSn)(Sy) = TSy = y,

para todo y ∈ Y0. Assim, concluımos o resultado.

Teorema 3.5 (Criterio de Kitai). Seja T : X −→ X um operador. Se existem subcon-

juntos X0, Y0 ⊂ X densos e uma aplicacao S : Y0 −→ Y0 tais que

(i) T nxn→∞−→ 0,

(ii) Snyn→∞−→ 0,

(iii) TSy = y,

para quaisquer x ∈ X0 e y ∈ Y0, entao T e mixing, em particular, hipercıclico.

Demonstracao. A demonstracao deste teorema seguira ideia analoga a feita para o

Teorema 3.4. Sejam U, V ⊂ X conjuntos abertos e nao vazios. Da densidade dos

conjuntos X0 e Y0, existem x, y em X tais que x ∈ X0 ∩ U e y ∈ Y0 ∩ V .

Como Snyn→∞−→ 0, existe n1 ∈ N tal que x + Sny ∈ U , para todo n ≥ n1. Do item

(i), T nxn→∞−→ 0 e como, pelo Lema 3.2, T nSny = y para todo y ∈ Y0, existe n2 ∈ N tal

que T n(x+ Sny) = T nx+ y ∈ V , para todo n ≥ n2.

Tomando n0 = maxn1, n2, temos que T n(x+Sny) ∈ T n(U)∩V , para todo n ≥ n0.

Portanto, T e mixing, logo hipercıclico.

A aplicacao S, no teorema acima, nao precisa satisfazer qualquer condicao alem das

propriedades (ii) e (iii).

Como para o criterio de Godefroy-Shapiro, os tres operadores hipercıclicos classicos

satisfazem o criterio de Kitai. Abaixo, verificaremos o resultado para o operador de

Rolewicz e o operador de MacLane. Para uma demonstracao do operador de Birkhoff

veja [11, p.72].

Exemplo 3.5. Seja T = λB : X −→ X, |λ| > 1, o operador de Rolewicz definido no

Exemplo 2.9. Considere X0 = Y0 = c00, o qual e denso em X (X = `p, 1 ≤ p < ∞ou X = c0), e a aplicacao S = 1

λF : c00 −→ c00, onde F e o operador deslocamento a

direita. Todas as condicoes do Criterio de Kitai sao satisfeitas, pois dado x ∈ c00, nao

e difıcil verificar que T nxn→∞−→ 0, Snx

n→∞−→ 0 e TSx = x. Portanto, T e mixing e, em

particular, hipercıclico.

51


Exemplo 3.6. Seja D o operador derivacao definido em H(C) dado por Df = f ′.

Considere X0 = Y0 = P0 o espaco dos polinomios com coeficientes em C, o qual e

denso em H(C). Defina a aplicacao S : P0 −→ P0 por S(p(z)) =∫ z

0p(ξ)dξ, p(z) ∈ P0.

Vejamos que as condicoes do criterio de Kitai sao satisfeitas. Dado p(z) ∈ P0, note

que Dnp(z)n→∞−→ 0, basta perceber que Dnp(z) = 0 para todo n > ∂(p(z)), onde ∂(p(z))

denota o grau do polinomio.

Das propriedades da integral e necessaria apenas a verificacao do item (ii) para

polinomios da forma p(z) = zk, k ≥ 0. Note que Sn(zk) = k!zk+n

(k+n)!e provemos que

Sn(zk) converge para zero uniformemente em conjuntos compactos de C. Seja K ⊂ Ccompacto, entao existe M > 0 tal que |z| ≤ M para todo z ∈ K. Para cada k ≥ 0,

temos

|Snzk| =∣∣∣∣ k!zk+n

(k + n)!

∣∣∣∣ ≤ k!

(k + n)!|z|k+n ≤ k!

(k + n)!Mk+n n→∞−→ 0.

Logo, Snzkn→∞−→ 0 uniformemente em compactos. Como DSp(z) = p(z), para todo

p(z) ∈ P0, todos os itens do criterio de Kitai estao sendo satisfeitos. Portanto, D e

mixing, logo e hipercıclico.

No Exemplo 3.4, provamos que o operador la definido nao satisfaz o criterio de

Godefroy-Shapiro, entretanto, como veremos a seguir, ele satisfaz o criterio de Kitai.

Exemplo 3.7. Seja T : l1(Z, v) −→ l1(Z, v) o operador dado por T ((xn)n∈Z) =

(xn+1)n∈Z e o qual foi definido no Exemplo 3.4. Para provarmos que T satisfaz o

criterio de Kitai, considere X0 = Y0 o espaco das sequencias finitas bilaterais, ou seja,

as sequencias da forma

(. . . , 0, 0, x−m, . . . , x0, . . . , xk, 0, 0, . . .),

para m, k ∈ N e considere a aplicacao S = F : Y0 −→ Y0 o operador deslocamento a

direita. Seja z = (. . . , 0, 0, x−m, . . . , x0, . . . , xk, 0, 0, . . .), entao

T nz = T n(. . . , 0, x−m︸︷︷︸(−m)−esima posicao

, . . . , xk︸︷︷︸k−esima posicao

, 0, . . .)

= (. . . , 0, x−m︸︷︷︸(−m+n)−esima posicao

, . . . , xk︸︷︷︸(k+n)−esima posicao

, 0, . . .),

onde, para todo n ∈ N, (−n)−esima posicao e n−esima posicao indicam, respectiva-

mente, a n−esima posicao a esquerda do x0 e a n−esima posicao a direita do x0. Daı,

como

‖T nz‖ = |x−m|1

| −m− n|+ 1+ · · ·+ |xk|

1

|k − n|+ 1, (3.10)

52


com x−m, . . . , xk valores fixados, para n suficientemente grande, cada termo da soma

em (3.10) tende a zero, logo T nzn→∞−→ 0.

Analogamente, concluı-se que Snzn→∞−→ 0 e como S e operador inverso a direita de

T, segue que TSz = z, para todo z ∈ c00.

Portanto, T satisfaz o Criterio de Kitai, logo e mixing e, consequentemente, hi-

percıclico.

Exigindo menos que o criterio de Kitai, o proximo resultado pedira que as pro-

priedades (i) e (ii) apresentadas no criterio sejam satisfeitas para uma subsequencia

(nk)k de N. Entretanto, ao passo que ganhamos por um lado, perdemos pelo outro,

ja que nao sera mais possıvel garantir a propriedade mixing do operador, mas apenas

a weakly mixing. Mas no contexto simplesmente da hiperciclicidade, ou seja, nao se

preocupando com a propriedade mixing ou weakly mixing, o proximo resultado e uma

melhor ferramenta para se garantir a hiperciclicidade de um operador.

Teorema 3.6 (Gethner-Shapiro). Seja T : X −→ X um operador. Se existem subcon-

juntos X0, Y0 ⊂ X densos, uma sequencia nao-decrescente (nk)k de inteiros positivos e

uma aplicacao S : Y0 −→ Y0 tais que

(i) T nkxk→∞−→ 0,

(ii) Snkyk→∞−→ 0,

(iii) TSy = y,

para quaisquer x ∈ X0 e y ∈ Y0, entao T e weakly mixing, consequentemente hi-

percıclico.

Demonstracao. Sejam U1, U2, V1 e V2 subconjuntos abertos e nao-vazios de X. Nosso

objetivo sera mostrar que existe algum n ∈ N tal que

T n(U1) ∩ V1 6= ∅ e T n(U2) ∩ V2 6= ∅.

Como X0 e Y0 sao subconjuntos densos de X, existem xi, yi ∈ X tais que xi ∈ Ui ∩X0

e yi ∈ Vi ∩ Y0, com i = 1, 2. Uma vez que T nkxik→∞−→ 0 e Snkyi

k→∞−→ 0, existe k0 ∈ Ntais que

xi + Snkyi ∈ Ui e T nkxi + yi ∈ Vi,

para todo k ≥ k0 e i = 1, 2. Como, por hipotese, TSy = y, pelo Lema 3.2, T nk(xi +

Snkyi) = T nkxi + yi. Portanto, para todo k ≥ k0, T nk(Ui)∩ Vi 6= ∅, para i = 1, 2, como

querıamos.

53


Vejamos um exemplo de um operador que satisfaz o criterio de Gethner-Shapiro,

mas nao satisfaz o criterio de Kitai.

Exemplo 3.8. Seja T = Bw : c0 −→ c0 o operador deslocamento a esquerda com peso,

o qual e dado por

Bw(x1, x2, . . .) = (w2x2, w3x3, w4x4 . . .),

sendo w = (w1, w2, . . .) = (1, 2, 2−1, 2, 2, 2−1, 2−1, 2, 2, 2, 2−1, 2−1, 2−1, . . .) a sequencia

peso. Como w e uma sequencia limitada e o operador deslocamento a esquerda e

contınuo, segue que T e um operador contınuo. Como c0 e um espaco separavel de

Banach [6, Exemplo 1.6.4, p. 20], T e um sistema dinamico linear.

Nosso objetivo e provar que T nao e mixing, logo nao pode satisfazer o criterio

de Kitai, mas satisfaz as hipoteses do criterio de Gethner-Shapiro, logo sera weakly-

mixing. Assim, seja (mk)k uma sequencia nao-decrescente de inteiros positivos, com

wmk= 2−1 e wmk+1 = 2, para todo k ∈ N e seja x = (x1, x2, . . .) ∈ c0. Calculando a

n-esima iterada de T com relacao a x, obtemos

Tx = (w2x2, w3x3, w4x4, . . .)

T 2x = T (Tx) = (w2w3x3, w3w4x4, w4w5x5, . . .)

T 3x = T (T 2x) = (w2w3w4x4, w3w4w5x5, w4w5w6x6, . . .)...

T nx = (Πn+1ν=2wνxn+1,Π

n+2ν=3wνxn+2, . . .).

Entao, para cada k ≥ 1, Tmk−1x = (Πmkν=2wνxmk

, . . .) = (xmk, . . .), pois de w2 ate wmk

tem-se a mesma quantidade de termos da forma 2 e 2−1, logo Πmkν=2wν = 1.

Considere os conjuntos U := x ∈ c0; ‖x‖c0 < 1 e V := x ∈ c0; |x1| > 1, os quais

sao subconjuntos abertos e nao vazios de c0. Pelo calculo obtido para a (mk−1)−esima

iterada de T em x, segue que Tmk−1(U) ∩ V = ∅, para todo k ≥ 1. Portanto, T nao e

um operador mixing.

Para provar que T e um operador weakly mixing, via o criterio de Gethner-Shapiro,

defina X0 = Y0 = c00 e S : c00 −→ c00 o operador deslocamento a direita com peso w′, o

qual e dado por S(x1, x2, . . .) = (0, w−12 x1, w

−13 x2, . . .), onde

w′ = (w−11 , w−1

2 , . . .), com w1, w2, . . . os termos da sequencia peso w. Verifiquemos

as tres condicoes do criterio:

• Nao e difıcil ver que TSx = x, para todo x ∈ c00;

• Dado x ∈ c00, existe n0 ∈ N tal que xn = 0 para todo n ≥ n0. Assim, do calculo

obtido para T nx, segue que T nxn→∞−→ 0;

• Considere a sequencia nao-decrescente (nk)k, onde nk = mk + k − 1. Denotando

54


por en o vetor canonico de c00, cuja n−esima coordenada e igual a 1 e as demais

sao iguais a 0, temos

Snke1 = (0, 0, . . . , 0,Πmk+kν=2 w−1

ν , 0, . . .)

= (0, 0, . . . , 0,Πmkν=2w

−1ν Πmk+k

ν=mk+1w−1ν , 0, . . .)

= (0, 0, . . . , 2−k, 0, . . .),

pois Πmkν=2w

−1ν = 1 e wmk+1 = wmk+2 = · · · = wmk+k = 2.

Agora, note que

Sj−1e1 = (0, 0, . . . , 0,Πjν=2w

−1ν , 0, . . .),

donde

Snkej = Snk

((Πj

ν=2wν)Sj−1e1

)= (Πj

ν=2wν)Sj−1(Snke1)

k→∞−→ 0.

Como (ej)∞j=1 e uma base de Schauder para c00, concluımos que Snkx

k→∞−→ 0 para todo

x ∈ c00. Portanto, T satisfaz o criterio de Gethner-Shapiro, como querıamos mostrar.

Por fim, considerando as hipoteses do criterio de Gethner-Shapiro, apresentaremos

um resultado que enfraquece a exigencia de uma inversa a direita S para o operador T

em Y0. O requerido sera a existencia de uma sequencia (Snk)k de aplicacoes definidas

em Y0 e assumindo valores em X tais que Snkyk→∞−→ 0 e T nkSnk

yk→∞−→ y, para todo

y ∈ Y0. Enunciemos o criterio:

Teorema 3.7 (Criterio de Hiperciclicidade). Seja T : X −→ X um operador. Se exis-

tem subconjuntos densos X0, Y0 ⊂ X, uma sequencia nao-decrescente (nk)k de inteiros

positivos e aplicacoes Snk: Y0 −→ X tais que

(i) T nkxk→∞−→ 0,

(ii) Snkyk→∞−→ 0,

(iii) T nkSnkyk→∞−→ y,

para quaisquer x ∈ X0 e y ∈ Y0, entao T um operador weakly mixing, logo hipercıclico.

Demonstracao. A demonstracao segue ideia analoga as feitas nos demais teoremas.

55

Capıtulo 4

Operadores Li-Yorke e

Distribucionalmente Caoticos

A nocao de caos surgiu na literatura matematica muito recentemente, mais espe-

cificamente em meados da decada de 70, com a publicacao do trabalho [13] de Li e

Yorke. A partir de entao, surgiram outros conceitos de caos, como por exemplo, o

caos distribucional [23, 1994]. Isto fica evidente quando Bernardes et. al. em [3, p.02,

2013] mencionam que a nocao de caos distribucional foi introduzida em [23] como uma

extensao da nocao de caos apresentada por Li e Yorke em [13].

Com interesse em conhecer sobre ambos os conceitos de caos e baseado em um

estudo parcial do artigo [2], este capıtulo foi dedicado a uma abordagem introdutoria

sobre os caos de Li-Yorke e distribucional. Inicialmente na primeira secao, trataremos

de aspectos pertinentes ao caos de Li-Yorke e, na segunda e ultima secao discorreremos

sobre o caos distribucional.

4.1 Caos de Li-Yorke

Iniciaremos a secao definindo caos de Li-Yorke e, posteriormente, provaremos que

todo operador hipercıclico definido em um espaco de Frechet e Li-Yorke caotico, com

respeito a qualquer metrica invariante por translacao. Em seguida, apresentaremos a

nocao de vetor irregular e mostraremos que um operador T : X −→ X admite um dado

vetor se, e somente se, ele e Li-Yorke caotico. Por fim, definiremos o Criterio do Caos

de Li-Yorke e demonstraremos que ele e, de fato, uma caracterizacao para operadores

Li-Yorke caoticos.

Definicao 4.1. Sejam (X, d) um espaco metrico e f : X −→ X uma aplicacao

contınua. Um par de vetores x, y ∈ X e dito Li-Yorke caotico se, as seguintes condicoes

forem satisfeitas:

56

4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos

(i) lim infn→∞ d(fnx, fny) = 0,

(ii) lim supn→∞ d(fnx, fny) > 0.

Um subconjunto Λ de X e dito Li-Yorke misturado para f se qualquer par de vetores

distintos em Λ e Li-Yorke caotico. A aplicacao f e denominada Li-Yorke caotica se,

existe um conjunto Λ em X misturado e nao enumeravel.

Originalmente, Li e Yorke em [13] caracterizaram o caos a partir de tres condicoes.

Alem das duas apresentadas acima, eles estabeleceram uma terceira:

(iii) lim supn→∞ d(fnx, fnp) > 0, para todo x ∈ Λ e para todo ponto periodico p.

Analisemos esta terceira condicao:

Diremos que um ponto x ∈ Λ e assintoticamente periodico se, existe algum ponto

periodico p em X tal que limn d(fnx, fnp) = 0. Entao, a condicao em (iii) exige que

nenhum ponto de Λ seja assintotico a um ponto periodico p em X. Com base na

prova feita em [9], mostraremos que Λ contem no maximo um ponto assintoticamente

periodico e, deste modo, a terceira condicao pode ser desconsiderada.

Suponhamos, por contradicao, que em Λ existam x1 e x2 pontos assintoticamente

periodicos. Entao, existem pontos periodicos p1 e p2 em X (nao necessariamente dis-

tintos) tais que

limnd(fnxi, f

npi) = 0, i = 1, 2. (4.1)

Note que

d(fnx1, fnx2) ≤ d(fnx1, f

np1) + d(fnp1, fnp2) + d(fnp2, f

nx2) (4.2)

e

d(fnx1, fnx2) ≥ d(fnp1, f

np2)− d(fnx1, fnp1)− d(fnp2, f

nx2). (4.3)

Assim, se p1 = p2, de (4.1) e (4.2), temos que lim supn d(fnx1, fnx2) = 0, o que

contradiz o item (ii) da Definicao 4.1. Se p1 6= p2, por (4.1) e (4.3), segue que

lim infn d(fnx1, fnx2) > 0, o que contradiz (i). Portanto, o conjunto Λ admite no

maximo um vetor assintoticamente periodico e, assim, o item (iii) pode ser desconsi-

derado na definicao de caos de Li-Yorke.

O proximo resultado nos permitira estabelecer alguns exemplos de operadores Li-

Yorke caoticos, definidos em espacos de Frechet.

Proposicao 4.1. Seja X um espaco de Frechet. Todo operador hipercıclico

T : X −→ X e Li-Yorke Caotico.

57


Demonstracao. Seja (pk)k uma sequencia de seminormas associada a X, e considere

d(x, y) =∞∑k=1

1

2k· pk(x− y)

1 + pk(x− y)x, y ∈ X

a metrica dada em 1.1. Seja x ∈ X um vetor hipercıclico, e considere o conjunto

Λ := λx; |λ| < 1. Nosso objetivo e provar que Λ e um conjunto Li-Yorke misturado

para T . Dados z, y ∈ Λ, com z 6= y, existem escalares α, µ em K, com α 6= µ, |α| < 1

e |µ| < 1, tais que y = αx e z = µx.

Como d e uma metrica invariante por translacao, temos

d(T nαx, T nµx) = d(T nαx− T nµx, 0) = d((α− µ)T nx, 0).

Entao, devemos provar que

lim infn

d((α− µ)T nx, 0) = 0 e lim supn

d((α− µ)T nx, 0) > 0.

Como orb(x, T ) e densa em X, existe (nj)j uma sequencia crescente de inteiros positivos

tal que a sequencia(d(T njx, 0)

)∞j=1

converge para zero. Logo, pela definicao da metrica

d, para todo k ∈ N, a sequencia(pk(T

njx))∞j=1

tende a zero. Como, para todo k ∈ N,

pk

((α− µ)T njx

)= |α− µ|pk(T njx), obtemos

d((α− µ)T njx, 0) =∞∑k=1

1

2k· pk((α− µ)T njx)

1 + pk((α− µ)T njx)

j→∞−→ 0,

donde concluımos que lim infn d((α− µ)T nx, 0) = 0.

Suponhamos que lim supn d((α − µ)T nx, 0) = 0, entao limn d((α − µ)T nx, 0) = 0.

Das observacoes acima, temos

|α− µ|pk(T nx) = pk((α− µ)T nx)n→∞−→ 0,

ou seja, pk(Tnx)

n→∞−→ 0, para todo k ∈ N. Logo, limn d(T nx, 0) = 0, o que e uma

contradicao, pois a orb(x, T ) e densa em X. Portanto, T e um operador Li-Yorke

caotico.

Assim, os operadores de Birkhoff, MacLane e Rolewicz definidos, respectivamente, nos

Exemplos 2.7, 2.8 e 2.9, sao Li-Yorke caoticos.

Agora, a pergunta natural que surge e: todo operador Li-Yorke caotico e hi-

percıclcico? O proximo exemplo nos mostrara que nao.

58


Exemplo 4.1. Sejam X e Y 6= 0 espacos de Banach, T : X −→ X um operador

Li-Yorke caotico e considere o operador identidade I : Y −→ Y . Tomando X ⊕ Y e

S = T ⊕ I : X ⊕ Y −→ X ⊕ Y , segue que S e Li-Yorke caotico, mas nao e hipercıclico.

Para verificar isso basta perceber que, como T e Li-Yorke caotico, existe Γ um conjunto

misturado e nao-enumeravel, daı considerando o conjunto Γ = Γ ⊕ 0, tem-se que Γ

e nao enumeravel e misturado para T ⊕ I. Portanto, T ⊕ I e Li-Yorke caotico. Como

o operador identidade nao possui vetor hipercıclico, todo x ∈ X ⊕ I nao possui orbita

densa.

Nesta secao, L(X) denotara o espaco dos operadores T : X −→ X lineares e

contınuos, definidos em X um espaco complexo de Banach. Deste modo, a distancia

associada e dada por d(x, y) = ‖x− y‖, onde ‖ · ‖ e a norma de X.

O proximo resultado estabelecera uma equivalencia entre a existencia de vetores

irregulares e o caos de Li-Yorke. Assim, passemos a nossa proxima definicao.

Definicao 4.2 (Vetor Irregular). Seja T ∈ L(X). Um vetor x ∈ X e dito irregular

para T se, lim infn ‖T nx‖ = 0 e lim supn ‖T nx‖ =∞.

Lema 4.1. Sejam T ∈ L(X) e x ∈ X um vetor satisfazendo lim infn ‖T nx‖ = 0. Entao

existe uma sequencia crescente (nk)k de inteiros positivos, para a qual a sequencia de

vetores (T nk)k converge para zero rapido o suficiente, de modo que satisfaca as seguintes

tres condicoes:

(1) ‖T n2kx‖ < 1

4k,

(2)k∑j=0

‖T n2j+n2k+1x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖

< ‖T n2kx‖,

(3)δ

4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖−

k−1∑j=0

M

4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖> k,

para todo k ∈ N, com n−1 = n0 := 0, M e δ constantes positivas.

Demonstracao. Como lim infn ‖T nx‖ = 0, existe um subconjunto mkk := N′ de

inteiros positivos, com m1 < m2 < · · · < mk < · · · , de modo que ‖Tmkx‖ k→∞−→ 0. De N′

selecionaremos um conjunto nkk estritamente crescente, para o qual ‖T nkx‖ k→∞−→ 0

suficientemente rapido e, alem disso, satisfaca as condicoes (1), (2) e (3) descritas

acima.

Fazendo k = 0, o termo n1 aparecera pela primeira vez em (2), donde devemos

escolher n1 ∈ N′ de maneira que ‖T n1x‖ < ‖x‖2.

Os termos n2 e n3, primeiramente surgem no caso k = 1. Das desigualdades dadas

em (1) e (3) se determina inicialmente n2. Para n2 fixado, a partir de (2), se obtem n3.

59


Fixados n1, n2 e n3, os termos n4 e n5 aparecem pela primeira vez no caso k = 2 e, como

antes, das desigualdades em (1) e (3) se determina n4. Para este ultimo numero fixado,

por meio de (2), se escolhe n5. Realizando esse processo recursivamente, exatamente

na ordem indicada, se constroi a sequencia desejada. Iremos abaixo explicitar tal

procedimento.

Como o caso k = 0 ja foi feito acima, e do qual obtivemos n1, passemos para os

demais casos.

• Caso k = 1.

De (1) e (3) inferimos que ‖T n2x‖ < 14

e δ4‖T‖n1‖Tn2x‖ −

M‖x‖ > 1 devem ser

satisfeitos. Dessas duas condicoes, concluımos que n2 deve ser escolhido em N′

de modo a ter-se n2 > n1 e

‖T n2x‖ < min

1

4,

δ

4‖T‖n1·

(1 +

M

‖x‖

)−1 .

Determinado n2, a partir de (2), escolhamos n3 ∈ N′ tal que

‖T n3x‖‖x‖

+‖T n2+n3x‖

4‖T‖n1‖T n2x‖< ‖T n2x‖.

Como

‖T n3x‖‖x‖

+‖T n2+n3x‖

4‖T‖n1‖T n2x‖≤ ‖T

n3x‖‖x‖

+‖T‖n2‖T n3x‖4‖T‖n1‖T n2x‖

= ‖T n3x‖(

1

‖x‖+

‖T‖n2

4‖T‖n1‖T n2x‖

),

pediremos que

‖T n3x‖(

1

‖x‖+

T‖n2

4‖T‖n1‖T n2x‖

)< ‖T n2x‖.

Assim, seja n3 ∈ N′, com n3 > n2 > n1, de tal forma que

‖T n3x‖ < ‖T n2x‖ ·(

1

‖x‖+

‖T‖n2

4‖T‖n1‖T n2x‖

)−1

.

Portanto, n2 e n3 assim podem ser determinados.

• Caso k = 2.

60


Por (1) e (3) tem-se a exigencia que n4 satisfaca

‖T n4x‖ < 1

42e

δ

42‖T‖n3‖T n4x‖−

2−1∑j=0

M

4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖> 2.

Assim, tome n4 ∈ N′ suficientemente grande, com n4 > n3 > n2 > n1, tal que

‖T n4x‖ < min

1

42,

δ

42‖T‖n3

(2 +

2−1∑j=0

M

4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖

).

Determinado n4, selecionemos n5 de modo que a condicao (2) seja satisfeita.

Como a soma no lado esquerdo, da desigualdade em (2), pode ser majorada por

‖T n5‖‖x‖

+2∑j=1

‖Tx‖n2j‖T 5x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖

= ‖T 5x‖

(1

‖x‖+

2∑j=1

‖Tx‖n2j


),

consideremos n5 ∈ N′, com n5 > n4 > n3 > n2 > n1, grande o suficiente de modo

que

‖T n5x‖

(1

‖x‖+

2∑j=1

‖Tx‖n2j


)< ‖T n4x‖,

isto e,

‖T n5x‖ < ‖T n4x‖ ·

(1

‖x‖+

2∑j=1

‖Tx‖n2j


)−1

.

Assim, n4 e n5 sao obtidos.

Veja que, os termos nk, para k−par, sao obtidos olhando para as desigualdades em

(1) e (3); e os termos nk, para k−ımpar, sao determinados a partir de (2). E importante

ressaltar, que para a construcao de certo, e necessario que em toda k−esima etapa o

termo n2k seja obtido previamente ao termo n2k+1.

De modo geral, nota-se que para cada k ≥ 1, na k−esima etapa (supondo recur-

sivamente obtidos todos os termos ate a etapa k − 1), o par de termos n2k, n2k+1 e

determinado da seguinte forma:

Basta exigir que n2k seja um elemento de N′ tao grande quanto necessario, com

n2k > n2k−1 > · · · > n2 > n1, de modo a satisfazer

‖T n2kx‖ < min

1

4k,

δ

4k‖T‖n2k−1

(k +

k−1∑j=0

M


).

61


Determinado n2k, pedi-se n2k+1, com n2k+1 > n2k > · · · > n2 > n1, tal que

‖T n2k+1x‖ < ‖T n2kx‖ ·

(1

‖x‖+

k∑j=1

‖Tx‖n2j


)−1

.

Assim, e construıda a sequencia (nk)k.

O resultado a seguir fornece equivalencias que facilitam a verificacao da caoticidade

do tipo Li-Yorke.

Teorema 4.1. Seja T ∈ L(X). As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) T e Li-Yorke Caotico.

(b) T admite um par Li-Yorke caotico.

(c) T admite um vetor irregular.

Demonstracao. (a)⇒ (b) Como T e Li-Yorke Caotico, existe Λ um conjunto misturado

para T . Portanto, ha infinitos pares x, y de vetores Li-Yorke caoticos.

(b)⇒(c) Suponha que y, z e um par Li-Yorke para T , entao

lim infn→∞

d(T ny, T nz) = 0 e lim supn→∞

d(T ny, T nz) > 0.

Seja x := y − z, entao

lim infn‖T nx‖ = lim inf

n‖T ny − T nz‖ = lim inf

nd(T ny, T nz) = 0, (4.4)

e como

lim supn‖T nx‖ = lim sup

nd(T ny, T nz) > 0, (4.5)

existe δ > 0 tal que lim supn ‖T nx‖ > δ. Se lim supn ‖T nx‖ = ∞, x seria um vetor

irregular para T e, assim, a demonstracao estaria concluıda. Consideremos o caso em

que M := lim supn ‖T nx‖ < ∞. Desse modo, objetivamos encontrar um vetor u ∈ Xque seja irregular para T .

Inicialmente, perceba que ‖T‖ > 1. Com efeito, dados n,m ∈ N, com n < m, tais

que ‖T nx‖ < δ2

e ‖Tmx‖ > δ, temos

2 =δ

δ/2<‖Tmx‖‖T nx‖

=‖Tm−n(T nx)‖‖T nx‖

≤ ‖Tm−n‖‖T nx‖‖T nx‖

≤ ‖T‖m−n, (4.6)

donde ‖T‖ > 1.

62


Pelo Lema 4.1, existe uma sequencia (nk)k estritamente crescente de inteiros posi-

tivos de modo que (T nkx)k convirja para zero suficientemente rapido, a fim de que as

seguintes condicoes sejam satisfeitas:

(1) ‖T n2kx‖ < 1

4k,

(2)k∑j=0


< ‖T n2kx‖,

(3)δ


k−1∑j=0

M

4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖> k,

para todo k ∈ N, sendo n1 = n0 := 0 e δ uma constante positiva. Considere o vetor

u :=∞∑j=0

T n2jx


e note que u esta bem definido. De fato, considere a sequencia (Sk)k, com

Sk =∑k

j=0Tn2jx

4j‖T‖n2j−1‖Tn2jx‖ . Dados l, k ∈ N, com k > l, temos

‖Sk − Sl‖ =

∥∥∥∥∥k∑j=0

T n2jx

4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖−

l∑j=0

T n2jx


∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥k∑

j=l+1

T n2jx


∥∥∥∥∥≤

k∑j=l+1

‖T n2jx‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖

=k∑

j=l+1

1

4j‖T‖n2j−1

<

k∑j=l+1

1

4j−→ 0, quando l, k →∞.

Portanto, (Sk)k e uma sequencia de Cauchy em X, logo convergente. Provaremos que

u e um vetor irregular para T . A partir de (1), (2) e da escolha de (T n2kx)k, obtemos

‖T n2k+1u‖ =

∥∥∥∥∥∞∑j=0

T n2j+n2k+1x


∥∥∥∥∥≤

∞∑j=0


=k∑j=0


+∞∑

j=k+1


63


(2)< ‖T n2kx‖+

∞∑j=k+1

‖T n2k+1‖‖T n2jx‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖

(1)<

1

4k+

∞∑j=k+1

‖T n2k+1‖4j‖T‖n2j−1

<1

4k+

1

4k+1

∞∑j=0

1

4j=

1

4k+

1

4k+1· 4

3

<1

4k+

1

4k<

1

2k,

para todo k > 1. Fazendo k → ∞, segue que ‖T n2k+1u‖ → 0, donde concluımos que

lim infn ‖T nu‖ = 0.

Como lim supn ‖T nx‖ := M , existe (mk)k uma sequencia crescente de inteiros

positivos tal que ‖Tmkx‖ k→∞−→ M . Re-selecionemos termos das sequencias (mk)k e

(nk)k de tal maneira que, para algum 0 < δ < M , ‖Tmkx‖ > δ para todo k ∈ N e

n1 < m1 < n2 < m2 < · · · , com m2k − n2k tendendo ao infinito. Dado ε > 0, por (3) e

para todo k ∈ N suficientemente grande, temos

‖Tm2k−n2ku‖ =

∥∥∥∥∥∞∑j=1

Tm2k−n2k+n2jx


∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥ Tm2kx

4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖+∑j 6=k

Tm2k−n2k+n2jx


∥∥∥∥∥≥∥∥∥∥ Tm2kx

4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖

∥∥∥∥−∥∥∥∥∥∑j 6=k

Tm2k−n2k+n2jx


∥∥∥∥∥≥ ‖Tm2kx‖

4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖−∑j 6=k

‖Tm2k−n2k+n2jx‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖

>δ


k−1∑j=0

M + ε


∞∑j=k+1

‖T‖m2k−n2k

4j‖T‖n2j−1

(3)> k −

k−1∑j=0

ε


∞∑j=k+1

1

4j

> k −k−1∑j=0

ε

4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖− 1

4kk→∞−→ ∞.

Entao, lim supn ‖T nu‖ =∞. Portanto, u e um vetor irregular para T .

(c)⇒(a) Seja x um vetor irregular para T , entao S := span(x) e um conjunto mis-

turado para T . Com efeito, como K e nao enumeravel, segue que S e nao enumeravel,

64


e dados λx, αx ∈ S, com λ, α ∈ K e λ 6= α, temos

lim infn→∞

d(T nλx, T nαx) = lim infn→∞

‖T nλx− T nαx‖ = lim infn→∞

|λ− α|‖T nx‖ = 0.

Analogamente se conclui que lim supn→∞ d(T nλx, T nαx) > 0.

Abaixo enunciaremos o Criterio do Caos de Li-Yorke e em seguida provaremos que

este e uma condicao necessaria e suficiente para que um operador T ∈ L(X) seja

Li-Yorke caotico.

Definicao 4.3 (Criterio do Caos de Li-Yorke). Seja T ∈ L(X). T satisfaz o Criterio

do Caos de Li-Yorke (CCLY) se existe uma sequencia crescente de inteiros positivos

(nk)k e um subconjunto X0 de X tais que

(a) limk→∞ Tnkx = 0, para todo x ∈ X0.

(b) supn ‖T n|Y ‖ = ∞, onde Y := span(X0) e T n|Y denota o operador restricao de T n

a Y .

Teorema 4.2. Um operador T ∈ L(X) e Li-Yorke caotico se, e somente se, ele satisfaz

o Criterio do Caos de Li-Yorke.

Demonstracao. Suponhamos que T seja um operador Li-Yorke caotico. Pelo Te-

orema 4.1, existe x0 ∈ X um vetor irregular para T . Tome X0 = x0. Como

lim infn ‖T nx0‖ = 0, o item (a) da Definicao 4.3 se verifica; provemos o item (b).

Definindo Y = span(x0), ja que lim supn ‖T nx0‖ =∞, segue

supn∈N‖T n|Y ‖ = sup

n∈Nsup‖z‖≤1

‖T n|Y (z)‖ ≥ supn∈N

∥∥∥T n|Y x0

‖x0‖

∥∥∥ = supn∈N

∥∥∥T n x0

‖x0‖

∥∥∥=

1

‖x0‖supn∈N‖T nx0‖ =∞.

Portanto, T satisfaz o CCLY.

Reciprocamente, suponha que T satisfaz o CCLY. Entao existem (ηk)k uma sequencia

crescente de inteiros positivos e X0 um subconjunto de X satisfazendo os itens (a) e

(b) da Definicao 4.3. Se existe algum vetor x ∈ X0 tal que lim supn ‖T nx‖ =∞, entao

x e um vetor irregular para T , o que conclui a demonstracao. Caso contrario, isto e,

supondo que nenhum vetor de X0 seja irregular para T , obtemos que supn ‖T nu‖ <∞e limk ‖T ηku‖ = 0, para todo u ∈ span(X0). Para ver isto, basta notar que dadas

propriedades sao verificadas para todo elemento em X0 e como u se escreve como uma

combinacao linear de elementos de X0, segue a afirmacao.

65


A partir deste momento, construiremos sequencias crescentes (nk)k e (mk)k de in-

teiros positivos e uma sequencia (uj)j ⊂ span(X0) de vetores unitarios, satisfazendo as

seguintes condicoes:

(i) ‖T nkuj‖ < 1j, j = 1, . . . , k, k ∈ N,

(ii) ‖Tmjuj‖ > 3jMj−1, j > 1,

onde Mk := supn‖T nui‖; i = 1, . . . , k < ∞, k ∈ N. Denotando N′ = ηkk, analise-

mos os casos:

• Caso k = 1:

Considere um vetor unitario u1 ∈ span(X0). Como ‖T ηku1‖k→∞−→ 0, existe n1 ∈ N′

tal que ‖T n1u1‖ < 1. Alem disso, escolha n1 de modo que ele seja o menor

elemento de N′, para o qual se verifica dada propriedade

• Caso k = 2:

Com u1 determinado, temos M1 = supn ‖T nu1‖. Como supn ‖T n|Y ‖ = ∞, exis-

tem u′2 ∈ span(X0), com ‖u′2‖ = 1, e m2 ∈ N tais que ‖Tm2u′2‖ > 32M1 + δ.

Do fato de u′2 ∈ span(X0), existe uma sequencia (uk)k de vetores unitarios em

span(X0) tal que ukk→∞−→ u′2, donde ‖Tm2uk‖

k→∞−→ ‖Tm2u′2‖. Assim, existe k0 ∈ Ntal que ‖Tm2uk‖ > ‖Tm2u′2‖ − δ > 32M1 + δ − δ = 32M1, para todo k ≥ k0.

Tomando u2 = uk0 , por exemplo, o vetor fica determinado.

Para este u2, seja n2 ∈ N′ o menor natural maior do que n1 tal que ‖T n2u1‖ < 1

e ‖T n2u2‖ < 12. Assim, nesta etapa, o vetor u2 e os numeros naturais m2 e n2

foram determinados.

• Caso k = 3.

Com u1 e u2 determinados, o conjunto M2 esta bem definido. De forma analoga

ao caso anterior, como supn ‖T n|Y ‖ = ∞, obtemos a existencia de um vetor

unitario u3 ∈ span(X0) e m3 ∈ N, com m3 > m2, tais que ‖Tm3u3‖ > 33M2.

Dado u3, tome n3 ∈ N′ o menor inteiro maior do que n2 para o qual tenha-se

‖T n3u1‖ < 1, ‖T n3u2‖ < 12

e ‖T n3u3‖ < 13.

Continuando esse processo indefinidamente, de modo recursivo, construımos as

sequencias.

Facamos uma re-selecao de (nk)k e (mk)k de maneira que m1 < n1 < m2 < n2 < · · ·e seja I ⊂ N um subconjunto tal que, para todo j ∈ N, se i ∈ I e i > j, entao

2i > 2j‖T‖nj . Defina o vetor

u :=∑i∈I

1

2iui.

66


Como X e Banach e∑

i∈I12i

converge, segue que u esta bem definido. Vamos provar

que u e um vetor irregular para T . Note que, para j ∈ I, temos

‖Tmju‖ =

∥∥∥∥∥∑i∈I

1

2iTmjui

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥ 1

2jTmjuj +

∑i∈I,i 6=j

1

2iTmjui

∥∥∥∥∥≥ 1

2j‖Tmjuj‖ −

∑i∈I,i 6=j

1

2i‖Tmjui‖

>3jMj−1

2j−∑

i∈I,i<j

Mj−1

2i−∑

i∈I,i>j

1

2i‖Tmjui‖

>3jMj−1

2j−Mj−1 −

∑i>j

1

2i

=(3j

2j− 1)Mj−1 −

∑i>j

1

2ij→∞,j∈I−→ ∞

e

‖T nju‖ =∥∥∥∑i∈I

1

2iT njui

∥∥∥≤∑

i∈I,i≤j

1

2i‖T njui‖+

∑i∈I,i>j

1

2i‖T njui‖

≤∑

i∈I,i≤j

j−1

2i+∑

i∈I,i>j

1

2i‖T njui‖

<1

j+∑

i∈I,i>j

1

2i

<1

j+

1

2j−1

j→∞,j∈I−→ 0.

Portanto, u e um vetor irregular para T , donde concluımos que T e um operador

Li-Yorke caotico.

4.2 Caos Distribucional

Nesta secao, definiremos o conceito de caos distribucional, apresentaremos o cha-

mado Criterio Forte do Caos Distribucional e mostraremos que este e uma condicao

suficiente para que operadores T : X −→ X, definidos em um espaco de Banach X,

sejam distribucionalmente caoticos. Alem disso, algumas propriedades espectrais para

67


operadores caoticos, em dado sentido, serao evidenciadas.

Sejam (X, d) um espaco metrico e f : X −→ X uma aplicacao contınua. Para

cada par de vetores x, y em X e para cada n ∈ N, define-se a funcao distribucional

F nxy(τ) : R+ −→ [0, 1] por

F nxy(τ) =

1

n· card0 ≤ i ≤ n− 1; d(f ix, f iy) < τ,

onde a expressao cardA denota a cardinalidade do conjunto A. Definindo

Fxy(ε) := lim infn→∞

F nxy(ε)

e

F ∗xy(τ) := lim supn→∞

F nxy(τ),

passemos a seguinte definicao:

Definicao 4.4. Uma aplicacao contınua f : X −→ X e dita distribucionalmente

caotica se existem um subconjunto nao enumeravel Γ ⊂ X e ε > 0 tais que, para todo

τ > 0 e para todo par de pontos distintos x, y ∈ Γ, tenha-se Fxy(ε) = 0 e F ∗xy(τ) = 1.

O conjunto Γ e dito distribucionalmente ε-misturado e x, y um par distribucional-

mente caotico.

Exemplos de operadores distribucionalmente caoticos podem ser encontrados em

[17]. Mais especificamente Martınez-Gimenez et. al. em [17] provaram que o caos de

Devaney implica em caos distribucional para operadores deslocamento a esquerda com

peso, definidos nos espacos `p, 1 ≤ p <∞. Alem disso, sao fornecidos exemplos de um

operador que e distribucionalmente caotico e hipercıclico, mas nao e caotico no sentido

de Devaney [17, Example 10]; e de um operador que e distribucionalmente caotico,

porem nao e hipercıclico [17, Example 13].

Assim, uma indagacao que surgiu e nao foi respondida em [17], foi saber se hiperci-

clicidade e uma condicao suficiente para ter-se caos distribucional. Na secao anterior,

obtivemos resposta afirmativa para o caos de Li-Yorke. Com relacao ao caos distri-

bucional, esta pergunta foi respondida na negativa por Martınez-Gimenez et. al. em

[18]. Na verdade, um resultado mais geral foi obtido: eles provaram que o operador

deslocamento a esquerda

B : `p(v) −→ `p(v)

(xj)∞j=1 7−→ (xj+1)∞j=1,

e mixing (relembre a Definicao 3.1), porem nao e distribucionalmente caotico, onde

68


`p(v) = x = (xj)∞j=1; ‖xp‖ =

∑∞j=1 |xj|pvj < ∞, para 1 ≤ p < ∞ e v = (v1, v2, . . .)

a sequencia peso (cf. [18, Theorem 2.1]). Portanto, hiperciclicidade nao implica caos

distribucional.

Abaixo apresentaremos alguns resultados sobre caos distribucional para operadores

lineares e contınuos T : X −→ X, definidos em X um espaco complexo de Banach.

Como na primeira secao, nos referiremos a tal operador por T ∈ L(X).

Definicao 4.5 (Criterio Forte do Caos Distribucional). Um operador T ∈ L(X) satis-

faz o Criterio Forte do Caos Distribucional (CFCD) se existe uma constante r > 1 de

modo que, para todo m ∈ N, existe xm ∈ X\0 satisfazendo

(a) limk→∞ ‖T kxm‖ = 0,

(b) ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m.

Como constataremos por meio do proximo resultado, o CFCD e condicao suficiente

para o caos distribucional. A demonstracao que apresentaremos pode ser encontrada

em [12, Theorem 3.3]. A partir deste momento, chamaremos a constante r > 1 existente

na Definicao 4.5 por CFCD-constante.

Observacao 4.1. Sejam (xn)n uma sequencia nao-decrescente em N e (xnj)j uma

subsequencia nao-decrescente de (xn)n. Por definicao

lim infn≥1

xn := supn≥1

infm≥n

xm e lim supn≥1

xn := infn≥1

supm≥n

xm.

Daı, lim infj≥1 xnj:= supj≥1 infm≥j xnm e lim supj≥1 xnj

:= infj≥1 supm≥j xnm . Fixemos

k ∈ N. Como infm≥k xm ≤ infm≥k xnm , segue que lim infn≥1 xn ≤ lim infj≥1 xnj; analo-

gamente, como supm≥k xm ≥ supm≥k xnm , obtem-se que lim supn≥1 xn ≥ lim supj≥1 xnj.

Na demonstracao do proximo teorema nos referiremos a observacao acima por 〈4.1〉em vez de Observacao 4.1.

Teorema 4.3. Todo operador T ∈ L(X) que satisfaz o CFCD e distribucionalmente

caotico.

Demonstracao. Seja R = ‖T‖ e seja r uma CFCD-constante para T . Considere (εk)∞k=1

uma sequencia de inteiros positivos decrescendo para zero.

Dado N1 ∈ N, existe y1 ∈ X\0 tal que limk→∞ ‖T ky1‖ = 0 e ‖T iy1‖ ≥ ri‖y1‖para todo i = 1, . . . , N1. Tome x1 = y1

‖y1‖ . Entao obtivemos um vetor x1 ∈ X, com

‖x1‖ = 1, tal que

limk→∞‖T kx1‖ = 0 e ‖T ix1‖ ≥ ri‖x1‖, i = 1, . . . , N1.

69


Escolhamos M1 ∈ N tal que ‖T kx1‖ < ε1, para todo k ≥ M1. Por conveniencia, seja

N ′1 = 0, entao ‖T ix1‖ ≥ 1, para todo i = N ′1, . . . , N1.

Nosso objetivo a partir deste momento sera construir uma sequencia de vetores

(xk)∞k=2 em X associada a tres sequencias (Nk)

∞k=2, (N

′k)∞k=2 e (Mk)

∞k=2 de inteiros posi-

tivos tais que, para todo k ≥ 2,

(P1) ‖xk‖ = R−Mk−1 · 2−k · εk−1,

(P2) ‖T ixk‖ ≥ ri‖xk‖, para todo i = 1, . . . , Nk,

(P3) rN′k ·R−Mk−1 · 2−k · εk−1 > 1,

(P4)Nk −N ′kNk

>k − 1

k,

(P5)k∑j=1

‖T nxj‖ < εk, para qualquer n ≥Mk.

Construiremos, via o processo de Inducao Finita, as sequencias acima mencionadas de

maneira que as propriedades (P1) a (P5) sejam satisfeitas.

Seja N ′2 um numero natural maior do que M1, de modo que rN′2R−M1 · 2−2 · ε1 > 1.

Dessa forma, consideremos N2 ∈ N tal queN2−N ′2N2

> 2−12

= 12. Entao, existe x2 ∈ X tal

que ‖x2‖ = R−M1 · 2−2 · ε1 e

limk→∞‖T kx2‖ = 0 e ‖T ix2‖ ≥ ri‖x2‖, i = 1, . . . , N2.

Com efeito, dado N2 ∈ N, pela Definicao 4.5, existe y2 ∈ X tal que

limk→∞ ‖T ky2‖ = 0 e ‖T iy2‖ ≥ ri‖y2‖, para todo i = 1, . . . , N2. Daı, basta considerar

o vetor x2 = R−M1 ·2−2·ε1‖y2‖ · y2.

Como limk→∞ ‖T kx1‖ = limk→∞ ‖T kx2‖ = 0, dado ε2 > 0, existem M2,1,M2,2 ∈ Ntais que

‖T nx1‖ <ε2

2, para todo n ≥M2,1,

‖T nx2‖ <ε2

2, para todo n ≥M2,2.

Escolhendo M2 = maxM2,1,M2,2, temos ‖T nx1‖ + ‖T nx2‖ < ε22

+ ε22

= ε2, para

todo n ≥ M2. Portanto, obtivemos M2, N2 e N ′2 numeros naturais associados a x2,

satisfazendo as condicoes (P1) a (P5).

Continuando este processo, suponhamos obtidas as sequencias (xk)mk=2, (Nk)

mk=2,

(N ′k)mk=2 e (Mk)

mk=2 de modo que estejam satisfeitas as seguintes condicoes:

(P1) ‖xm‖ = R−Mm−1 · 2−m · εm−1,

(P2) ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, . . . , Nm,

70


(P3) rN′m ·R−Mm−1 · 2−m · εm−1 > 1,

(P4)Nm −N ′m

Nm

>m− 1

m,

(P5)m∑j=1

‖T nxj‖ < εm, para qualquer n ≥Mm.

Verifiquemos que os itens acima mantem-se validos para o caso m + 1. Consi-

dere N ′m+1 um natural maior do que Mm de modo que rN′m+1R−Mm · 2−(m+1) · εm > 1

e seja Nm+1 ∈ N tal queNm+1−N ′m+1

Nm+1> m+1−1

m+1= m

m+1. Para este Nm+1, existe

ym+1 ∈ X\0, para o qual

limk→∞‖T kym+1‖ = 0 e ‖T iym+1‖ ≥ ri‖ym+1‖, i = 1, . . . , Nm+1.

Assim, o vetor xm+1 = R−Mm ·2−(m+1)·εm‖ym+1‖ · ym+1 tem norma igual a R−Mm · 2−(m+1) · εm e

satisfaz

limk→∞‖T kxm+1‖ = 0 e ‖T ixm+1‖ ≥ ri‖xm+1‖, i = 1, . . . , Nm+1.

Seja εm+1 > 0. Como limn ‖T nxj‖ = 0, para j = 1, . . . ,m + 1, existe Mm+1 ∈ N tal

quem+1∑j=1

‖T nxj‖ < εm+1, para todo n ≥Mm+1.

Portanto, obtivemos um vetor xm+1 ∈ X e naturais Mm+1, Nm+1 e N ′m+1 para os quais

as condicoes (P1) a (P5) estao sendo satisfeitas. Assim, construımos uma sequencia

(xk)∞k=1 em X associada com tres sequencias de inteiros positivos (Nk)

∞k=2,

(N ′k)∞k=1 e (Mk)

∞k=1 satisfazendo as condicoes acima mencionadas.

Dos itens (P1), (P2) e (P3) inferem-se as seguintes propriedades:

(P1’)∑∞

k=1 ‖xk‖ e finita.

De fato, como∑∞

k=1 ‖xk‖(P1)=∑∞

k=1(R−Mk−1 · 2−k · εk−1) e

‖xk+1‖‖xk‖

=R−Mk · 2−(k+1) · εkR−Mk−1 · 2−k · εk−1

=εk

RMk · 2k+1· R

Mk−1 · 2k

εk−1

=εkεk−1

· 1

2RMk−Mk−1

k→∞−→ 0 < 1,

segue que a serie converge.

(P2’) Para cada p ≥ 1,∑∞

k=p+1 ‖T ixk‖ < εp, para todo 1 ≤ i ≤Mp.

71


Com efeito, note que ‖T ixk‖ ≤ ‖T i‖‖xk‖ ≤ ‖T‖i‖xk‖ = ‖T‖i ·R−Mk−1 ·2−k ·εk−1

e como R = ‖T‖, para 1 ≤ i ≤ Mp e para k > p, segue que1 ‖T‖i · R−Mk−1 ≤ 1,

donde ‖T ixk‖ < 2−k · εk−1. Entao

∞∑k=p+1

‖T ixk‖ <∞∑

k=p+1

1

2kεk−1 <

∞∑k=p+1

1

2kεp < εp,

para todo 1 ≤ i ≤Mp.

(P3’) Para cada k ∈ N, ‖T ixk‖ > 1, para todo i = N ′k, · · · , Nk.

Note que, para i = N ′k, · · · , Nk, temos

‖T ixk‖ ≥ ri‖xk‖ = ri ·R−Mk−12−kεk−1 ≥ rN′kR−Mk−12−kεk−1

(P3)> 1.

Pelo processo de construcao, obtivemos

M1 < N ′2 < N2 < M2 < · · · < Mk−1 < N ′k < Nk < Mk < · · · . (4.7)

Perceba que Mk > Nk decorre das propriedades (P2) e (P5). De fato, suponhamos

que Mk ≤ Nk. Por (P2), ‖T ixk‖ ≥ ri‖xk‖ > 1, para todo i = 1, . . . , Nk e, por

(P5),∑k

j=1 ‖T nxk‖ < εk, para todo n ≥ Mk, em particular para n = Nk. Mas

isto e uma contradicao, pois εm+1 pode ser tomado arbitrariamente pequeno. Nao e

difıcil constatar que Nk > N ′k decorre de (P4) e N ′k > Mk−1 de (P3). Dispondo da

desigualdade em (4.7), seguem as propriedades:

(P5’)∑k−1

j=1 ‖T nxj‖ < εk−1, para todo n = N ′k, · · · , Nk.

Com efeito, do item (P5) tınhamos que∑k−1

j=1 ‖T nxj‖ < εk−1 para todo n ≥Mk−1,

mas como N ′k > Mk−1 e Nk > N ′k, a desigualdade e verificada.

(P2”) Para cada p ≥ 1,∑∞

k=p+1 ‖T nxk‖ < εp, n = N ′p, · · · , Np.

Isto segue do item (P2’) e do fato de N ′p < Np < Mp.

Finalizamos assim, a etapa da demonstracao correspondente a obtencao de algu-

mas propriedades referentes as sequencias acima construıdas. Estas nos serao bas-

tante uteis para o que logo mais sera desenvolvido. Agora, consideremos o espaco∑2 := 0, 1N das sequencia infinitas, cujas coordenadas assumem somente os valores

0 ou 1, e definamos a aplicacao

f :∑

2 −→ X

ξ 7−→∑∞

k=1 ξkxk,

1Note que, ‖T‖ > 1. A verificacao pode ser feita de maneira analoga a realizada em (4.6).

72


onde ξ = (ξ1, ξ2, · · · ). Como X e um espaco de Banach e

∞∑k=1

‖ξkxk‖ ≤∞∑k=1

‖xk‖(P1′)< ∞,

segue que∑∞

k=1 ξkxk <∞, ou seja, f esta bem definida.

SejaD ⊂∑

2 um conjunto com a seguinte propriedade: dados quaisquer dois vetores

ξ, ξ′ ∈ D, eles possuem infintas coordenadas distintas e infinitas coincidentes. Desse

ponto em diante, nosso objetivo sera mostrar que dados ξ e ξ′ em D, com ξ 6= ξ′, o par

de vetores f(ξ), f(ξ′) e distribucionalmente caotico, ou seja, existe ε > 0 tal que, para

todo τ > 0, Ff(ξ)f(ξ′)(ε) = 0 e F ∗f(ξ)f(ξ′)(τ) = 1.

Primeiramente, note que

d(f(ξ), f(ξ′)) = ‖f(ξ)− f(ξ′)‖ =

∥∥∥∥∥∞∑k=1

ξkxk −∞∑k=1

ξ′kxk

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∞∑k=1

(ξk − ξ′k)xk

∥∥∥∥∥ .Denotando θ = (θ1, θ2, · · · ) = (ξ1−ξ′1, ξ2−ξ′2, · · · ), temos d(f(ξ), f(ξ′)) =

∥∥∥∑∞k=1 θkxk

∥∥∥.Observe que os possıveis valores que ξk − ξ′k pode assumir e 0, -1 ou 1 e, alem disso, θ

tem infinitas coordenadas nao nulas e infinitas coordenadas nulas.

Seja z =∑∞

k=1 θkxk e considere (xkj)∞j=1 uma subsequencia infinita de (xk)k, cuja

kj−esima coordenada de θ seja nao nula, para todo j ∈ N, e seja (xkl)∞l=1 uma sub-

sequencia infinita tal que a kl−esima coordenada de θ seja zero, para todo l ∈ N.

Fixado kj para algum j ∈ N, por (P3’), (P5’) e (P2”) e para n = N ′kj , · · · , Nkj , segue

‖T nz‖ =

∥∥∥∥∥∞∑k=1

T n(θkxk)

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥∥T n(θkjxkj) +

kj−1∑ν=1

T n(θνxν) +∞∑

ν=kj+1

T n(θνxν)

∥∥∥∥∥∥≥ ‖T n(θkjxkj)‖ −

∥∥∥∥∥∥kj−1∑ν=1

T n(θνxν)

∥∥∥∥∥∥−∥∥∥∥∥∥

∞∑j=kj+1

T n(θνxν)

∥∥∥∥∥∥> 1− εkj−1 − εkj . (4.8)

Como a sequencia (εk)∞k=1 decresce para zero, note que, para kj suficientemente

grande o valor 1 − εkj−1 − εkj em (4.8) fica maior do 12. Assim, na Definicao 4.4,

73


tomando ε = 12, temos2

Ff(ξ)f(ξ′)(1/2) = lim infn

F nf(ξ)f(ξ′)(1/2)

= lim infn

[1

n· card

0 ≤ i < n− 1; d(T if(ξ), T if(ξ′)) <

1

2

]= lim inf

n

[1

n· card

0 ≤ i < n− 1; ‖T iz‖ < 1

2

]〈4.1〉≤ lim inf

j

[1

Nkj

· card

0 ≤ i < Nkj − 1; ‖T iz‖ < 1

2

](4.8)

≤ limj→∞

N ′kjNkj

(P4)

≤ limj→∞

1

kj= 0.

Portanto, Ff(ξ)f(ξ′)(1/2) = 0. Agora, fixemos kl, para algum l ∈ N. Por (P5’) e (P2”),

para n = N ′kl , · · · , Nkl , temos

‖T nz‖ =

∥∥∥∥∥T n(∞∑k=1

θkxk

)∥∥∥∥∥≤ ‖T n(θkl)xkl‖+

kl−1∑ν=1

‖T n(θνxν)‖+∞∑

ν=kl+1

‖T n(θνxν)‖

< 0 + εkl−1 + εkl . (4.9)

Dado τ > 0 arbitrario, como a sequencia (εk)∞k=1 decresce para zero, o valor εkl−1 + εkl

em (4.9) fica menor do que τ para kl suficientemente grande. Desse modo, para qualquer

τ > 0, obtemos

F ∗f(ξ)f(ξ′)(τ) = lim supn

F nf(ξ)f(ξ′)(τ)

= lim supn

[1

n· card

0 ≤ i < n− 1; d(T if(ξ), T if(ξ′)) < τ

]= lim sup

n

[1

n· card

0 ≤ i < n− 1; ‖T iz‖ < τ

]〈4.1〉≥ lim sup

l

[1

Nkl

· card

0 ≤ i < Nkl − 1; ‖T iz‖ < τ]

(4.9)

≥ liml

Nkl −N ′kl + 1

Nkl

(P4)

≥ liml

kl − 1

kl= 1.

2Relembre que na demonstracao do presente teorema usaremos 〈4.1〉 para representar a expressao“Observacao 4.1”.

74


Logo, F ∗f(ξ)f(ξ′)(τ) = 1, para todo τ > 0 e, portanto f(ξ), f(ξ′) e um par distribuci-

onalmente caotico de T , para quaisquer vetores distintos ξ, ξ′ ∈ D. Assim f(D) e um

conjunto (1/2)−misturado.

Abaixo apresentaremos resultados espectrais para operadores que satisfazem o CFCD,

logo para operadores distribucionalmente caoticos3.

Proposicao 4.2. Seja T ∈ L(X). Valem as seguintes propriedades:

(a) Se existe uma constante r > 1 tal que, para todo m ∈ N, existe xm ∈ X\0satisfazendo ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m, entao rσ(T ) ≥ r.

(b) Se σ(T ) ⊂ z ∈ C; |z| > 1 e limn→∞ ‖T nx‖ = 0, entao x = 0.

Demonstracao. (a) Consideremos, por contradicao, que rσ(T ) < r. Assim, seja ε > 0

tal que rσ(T ) + ε < r. Como rσ(T ) := limn→∞ ‖T n‖1n , existe m ∈ N de modo que

‖T n‖ 1n < rσ(T ) + ε < r, para todo n ≥ m.

Dado m + 1 ∈ N, existe x ∈ X\0 tal que ‖T ix‖ ≥ ri‖x‖, para todo

i = 1, 2, · · · ,m + 1; em particular ‖Tm+1x‖ ≥ rm+1‖x‖. Entao∥∥∥Tm+1 x

‖x‖

∥∥∥ ≥ rm+1,

donde ‖Tm+1‖1

m+1 ≥ r, o que e uma contradicao.

(b) Suponhamos x 6= 0. Como 0 /∈ σ(T ), T e invertıvel. Alem disso, uma vez que4

σ(T−1) = σ(T )−1, segue que rσ(T−1) < 1. Escrevamos

‖x‖ = ‖T−nT nx‖ ≤ ‖T−n‖‖T nx‖,

donde

‖x‖1n ≤ ‖T−n‖

1n‖T nx‖

1n .

Tomando o limite na desigualdade acima, obtemos

1 ≤ rσ(T−1) lim infn‖T nx‖

1n

e entao lim infn ‖T nx‖1n ≥ rσ(T−1)−1 > 1. Logo, existe η > 0 tal que

lim infn‖T nx‖

1n ≥ η > 1,

donde lim infn ‖T nx‖ =∞, o que e uma contradicao, pois limn→∞ ‖T kn‖ = 0.

3A definicao de espectro e de raio espectral de um operador T ∈ L(X) e dada no Capıtulo 1 (cf.Definicao 1.8).

4σ(T )−1 := λ−1;λ ∈ σ(T ).

75


Corolario 4.1. Seja T ∈ L(X). Se T satisfaz o CFCD, com CFCD-constate r, entao

rσ(T ) ≥ r.

Teorema 4.4. Seja T ∈ L(X) um operador que satisfaz o CFCD, com CFCD-constante

r. Entao valem as seguintes propriedades:

(a) Para todo r0 ∈ [1, r], tem-se σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| = r0 6= ∅.

(b) Nao existem subconjuntos fechados e disjuntos F1 e F2 em C tais que

F1 ⊂ z ∈ C; |z| < r e F2 ⊂ z ∈ C; |z| > 1, com F1 ∪ F2 = σ(T ).

Demonstracao. (a) Suponhamos, por contradicao, que existe r0 ≤ r tal que

σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| = r0 = ∅. Considere os conjuntos fechados e disjuntos

σ1 = σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| ≤ r0 e σ2 = σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| ≥ r0.

Pelo Teorema da Decomposicao de Riesz (cf. Teorema 1.7), existem X1 e X2 subespacos

fechados e T−invariantes nao-triviais de X tais que X = X1 ⊕X2 e

σ(T |X1) = σ1 e σ(T |X2) = σ2.

Assim, denotando T1 = T |X1 e T2 = T |X2 , temos T = T1 ⊕ T2. Dado m ∈ N, existe

xm = x1m + x2

m ∈ X\0 tal que

‖T k1 x1m‖+ ‖T k2 x2

m‖=5‖T k1 x1m + T k2 x

2m‖ = ‖(T k1 ⊕ T k2 )(x1

m + x2m)‖ = ‖T kxm‖

k→∞−→ 0

e ‖T kxm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m. Como σ(T2) ⊂ z ∈ C; |z| > r0e limk ‖T k2 x2

m‖ = 0, pela Proposicao 4.2(b), segue que x2m = 0. Entao, xm = x1

m e

‖T k1 x1m‖ = ‖T kxm‖ ≥ ri‖xm‖ = ri‖x1

m‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m. Portanto, pela

Proposicao 4.2(a) obtemos que rσ(T1) ≥ r, o que e uma contradicao com o fato de

σ(T1) ⊂ z ∈ C; |z| < r0.(b) Suponhamos que existam F1 ⊂ z ∈ C; |z| < r e F2 ⊂ z ∈ C; |z| > 1

subconjuntos fechados e disjuntos de σ(T ) tais que σ(T ) = F1 ∪ F2. Pelo Teorema da

Decomposicao de Riesz, existem X1 e X2 subespacos de X tais que X = X1 ⊕ X2 e

σ(T1) = F1 e σ(T2) = F2, onde T1 = T |x1 e T2 = T |x2 .

Seja m ∈ N, entao existe xm = x1m + x2

m ∈ X\0 tal que

‖T k1 x1m‖+ ‖T k2 x2

m‖ = ‖T kxm‖k→∞−→ 0

5Ja temos que o espaco (X, ‖ · ‖) e de Banach. Pelas hipoteses do respectivo teorema, existemsubespacos fechados X1, X2 ⊂ X tais que X = X1⊕X2. Assim, a funcao ‖ · ‖⊕ : X1⊕X2 −→ R dadapor ‖x‖⊕ = ‖xX1 +xX2‖⊕ := ‖xX1‖+ ‖xX2‖ e uma norma em X. Alem disso, e possıvel verificar queo espaco (X = X1⊕X2, ‖ · ‖⊕) tambem e de Banach, logo ‖ · ‖ e ‖ · ‖⊕ sao equivalentes. Fazendo umaabuso de notacao, dados x1 ∈ X1 e x2 ∈ X2, escreveremos simplesmente ‖x1 + x2‖ = ‖x1‖+ ‖x2‖.

76


e ‖T kxm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m. Como σ(T2) ⊂ z ∈ C; |z| > 1 e

limk→∞ ‖T k2 x2m‖

k→∞−→ 0, pela Proposicao 4.2(b), x2m = 0, logo

‖T i1x1m‖ = ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖ = ri‖x1

m‖,

para i = 1, . . . ,m. Portanto, pela Proposicao 4.2(a), rσ(T1) ≥ r, o que e uma con-

tradicao, pois F1 ⊂ z ∈ C; |z| < r.

77

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hiperciclicidade e caos linear

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