movimento oscilat ó rio e caos
DESCRIPTION
Movimento oscilat ó rio e Caos. Do mais simples para o mais complicado. MHS Amortecimento Não linearidade Caos. {. Só na aula que vem. Movimento Harmônico Simples. Pêndulo simples. . Movimento Harmônico Simples. . T. Movimento Harmônico Simples. . T. P R. P . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Movimento oscilatório e Caos
Do mais simples para o mais complicado ...
MHS Amortecimento Não linearidade Caos
Só na aula que vem ...
Movimento Harmônico Simples
Pêndulo simples
Movimento Harmônico Simples
P
TT
Movimento Harmônico Simples
P
T
PRP
T
Decompondo
PR=T
P =-mg sen()
FR=0
F =P
2
2
dt
s dm P
Mas s=l
2
2
dt
dml P
P =-mg sen() -mg
2
2
dt
dml P
Tomando pequeno sen()
0 2
2
l
g
dt
d
1 equação diferencial ordinária homogênea de 2a ordem
Onde 2=g/l
) cos( ) (0 t t
Solução conhecida
0 e condições iniciais
) ( ) (0 t sendt
dt
Também podemos calcular:
Como aplicar o Método de Euler?
Temos
1 equação diferencial ordinária homogênea de 2a ordem
Método de Euler
equações diferenciais de 1a ordem
Como aplicar o Método de Euler?
l
g
dt
d
2 equações de 1a ordem
dt
d
Iterando
t
t t t
dt
d
) ( ) (
l
g
dt
d
tl
t gt t
dt
dt t t
) () ( ) ( ) (
i+t= i – (g/l)it
Iterando
t
t t t
dt
d
) ( ) (
dt
d
t t t tdt
dt t t ) ( ) ( ) ( ) (
i+t= i + it
O programa
i+t= i + it
i+t= i – (g/l)it
Inicializa
Itera(até n)
0=... e 0=...
Imprime Print, write ...
Rodando o programa
0 2 4 6 8 10-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
(ra
d)
t(s)
l =1m g = 9,8 m/s2
0= 0 0=0,2 rad
t= 0,04 s
sg
l2 2
Rodando o programa
0 2 4 6 8 10-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
(ra
d)
t(s)
Instável!
Na aula passada (e na lista...)
=1s t=0.05s
Hoje
2s t=0.04s
Diminuindo t
0 2 4 6 8 10-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5 t=0.04s t=0.01s
(ra
d)
t(s)
Melhora, mas não resolve!
Diminuindo t ainda mais ...
0 2 4 6 8 10-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
t=0.001s
t=0.04s t=0.01s
(ra
d)
t(s)
Por quê?
Análise da energia
2 2 2
2
1
2
1 ml mv T
) cos 1( mgl U
E=T+U
Fazendo t=0.04s
E(t) aumenta com o tempo!
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
T U E=T+U
Ene
rgia
t(s)
t=0.01s
0 2 4 6 8 100.0
0.1
0.2
Ene
rgia
t(s)
0 2 4 6 8 100.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 T U E=T+U
Ene
rgia
t(s)
t=0.001s
A energia aumenta com t para qualquer valor não nulo de t
A taxa de acréscimo diminui quando t diminui
Instável!
Não há fonte externa de energia
O Método de Euler não conserva a energia!
O método de Euler-Cromer
i+t= i – (g/l)it
i+t= i + itEuler
Euler-Cromer
i+t= i – (g/l)it
i+t= i + i +t t
O método de Euler-Cromer
Euler-Cromer
i+t= i – (g/l)iti+t= i + i +t t
Única diferença
Fazendo a mudança no programa
0 2 4 6 8 10-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5 Euler Euler-Cromer
(ra
d)
t(s)
t= 0,04 s
0= 0 0=0,2 rad
Mesmo aumentando t
t= 0,1 s
0 2 4 6 8 10-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
(ra
d)
t(s)
0= 0 0=0,2 rad
De novo a energia
0 2 4 6 8 100.0
0.1
0.2
Ene
rgia
t(s)
0 2 4 6 8 100.0
0.1
0.2
Ene
rgia
t(s)
t= 0,1 s
t= 0,001 s
Conclusão
O Método de Euler
Euler-Cromer
Decaimento Oscilação Crescimento
Referência
Computational Physics
Nicholas J. Giordano