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I. Integrais Indefinidos [ELL]
A taxa de crescimento da população Estafilococos é dada por 2 1, em milhares de indivíduos por minuto, onde representa o tempo, em minutos.
Qual a função que devolve o número de bactérias, passados minutos?
Sabemos que a taxa de variação de uma função é a função derivada dessa mesma função. Neste caso, temos a função e queremos determinar a função cuja derivada é , ou seja, precisamos encontrar a função tal que , por outras palavras, precisamos determinar uma primitiva de .
Definição Uma função é uma primitiva ou antiderivada de num intervalo se , para todo o pertencente ao intervalo .
Retomando o exemplo, queremos determinar a função que derivada resulta em
2 1. A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas, logo, temos que determinar que
função tem como derivada 2 e que função tem como derivada 1. É fácil ver que 1 2 1. Então, a derivada da função é a função 2 1, ou seja, é uma
primitiva de .
Considere a função 2. Como , também é uma primitiva de .
Verifica‐se que qualquer função da forma , onde é uma constante arbitrária, terá
2 1 como sua derivada, ou seja, a função admite uma infinidade de primitivas, todas da forma , .
Integrais
Parte I
A primitiva de uma função não é única. De facto, se é uma primitiva de , então , com , também o é.
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Isto significa que quando calculamos as primitivas de uma função obtemos uma família de funções, cujos elementos diferem entre si de uma constante.
Geometricamente, diferem entre si apenas de uma translação vertical.
O processo de encontrar a família de primitivas é denominado integração.
Definição O integral indefinido de num intervalo é dado por
em que é uma primitiva de para todo o pertencente ao intervalo e .
Relativamente ao exemplo concluímos então que a família de funções ,
devolve o número de bactérias passados minutos.
De entre a família de funções , escolha aquela em que, passado 1 minuto, o número de Estafilococos é de .
Temos então que
1 12 1 1 12 10. Assim, a função que devolve o número de indivíduos da população, em milhares, decorridos
minutos, sabendo que quando passa 1 minuto o número de Estafilococos é de 12000 é a função 10.
Em suma, se conhecermos o número de Estafilococos num dado momento, obtemos uma única função primitiva.
y = (4/3)x^3+x
y = (4/3)x^3+x+1
y = (4/3)x^3+x-3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
O símbolo é o sinal de integral; é a função integranda;
indica a variável em relação à qual estamos a integrar; é a constante de integração.
M@tp
II. Integ
UmConsiderem
Fac
Fac
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[ELL]
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2
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13
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1 4.
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A região comente pelamente pelo 3 e lateralm
4.
:
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Propriedade
Int
Página 3
giões planas.
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1 e 3.
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B
tegrais
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mitada 0,
unção rectas
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2
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Estas duas áreas foram calculadas de forma rápida, por serem áreas de polígonos bem conhecidos. No entanto, se tal não acontecer este cálculo complica‐se, como no exemplo a seguir.
A região colorida é limitada inferiormente pela recta 0, superiormente pelo gráfico da função
5 6 2 (positiva em 1,3 ), e lateralmente pelas rectas
1 e 3.
Podemos calcular uma aproximação para esta área (S) dividindo o intervalo 1,3 em (na figura seguinte 6) subintervalos mais pequenos e calculando a soma das áreas dos rectângulos.
Estes rectângulos têm de base , 0, 1, … , 1 (1 e 3 ), e de altura , em que é o valor médio do intervalo , .(Note que 0.)
Somando a área de todos estes rectângulos, obtemos a aproximação para a área pretendida:
.
Esta soma designa‐se Soma de Riemann, em homenagem ao matemático Bernard Riemann.
A
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Quanto maior , ou seja, quanto maior o número de subintervalos considerados, mais
próxima a soma referida está do efectivo valor da área (menor é o erro cometido).
Assim,
lim .
Não é viável calcular o integral definido por definição, assim, calculamo‐lo por aplicação do 1º Teorema Fundamental do Cálculo.
lim .
Definição
Seja uma função real de variável real, limitada num intervalo , . O integral definido de entre e é o número denotado por
em que , é subdividido em intervalos , , 0,1, … , 1 com e e é o valor médio de , .
Caso este limite exista, dizemos que é integrável em , .
Uma função contínua em , é integrável em , .
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Posteriormente vamos calcular a área da região .
As propriedades dos integrais indefinidos também se aplicam aos integrais definidos.
Exercícios:
1. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Se for falsa, explique porquê ou dê um exemplo mostrando que é falsa.
a. Qualquer primitiva de uma função polinomial de grau n é uma função polinomial de grau 1 .
0
0 0, ,
Sejam e duas funções integráveis num intervalo , de , , e uma constante real, verificam‐se as seguintes igualdades:
.
1º Teorema Fundamental do Cálculo
Se é uma função real de variável real, contínua no intervalo , e é uma primitiva de em , , então
Temos então uma relação directa entre integral definido e integral indefinido, ou seja,
M@tp
2. Dad
O int
Consid
Com
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Página 7
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7 de 28
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3 .
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2 11 7.
7.
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Página 8
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tegrais
8 de 28
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Sendo esta região limitada por uma função negativa, não podemos calcular a área da região
da mesma forma que fizemos no caso anterior, uma vez que calculando obteríamos um
valor negativo.
No entanto, comparando a área da região com a área da região (limitada por 0, e pelas rectas 1 e 2), facilmente concluímos que as duas regiões têm a mesma
área, ou seja,
.
Mas uma vez que , 1,2 , podemos definir a área à custa da função , ou seja,
.
Considere a seguinte região sombreada:
Como podemos calcular a sua área
.
Atenção No caso geral, se é uma região plana limitada pelas rectas , ,
0 e pelo gráfico de , com 0, , , a sua área é dada por
M@tp
Neste intervalo a área da re
No exeque a funçã
Deste m
Logo, a área
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e
e , isto é, 0, ,
uas regiões.
C
, , onde , a funç
.
dividida em oem , .
somando um e k const
é o zero deção é semp
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Int
Página 10
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tegrais
0 de 28
. No . Logo
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A região limitada pelas rectas , , 0 e pelo gráfico de , com 0, , :
.
A região limitada pelas rectas , , 0 e pelo gráfico de , com 0, , :
.
Então ,
ou seja,
.
.
Nota Em geral, para quaisquer funções e tais que , , , a
área de uma região que é limitada superiormente pela curva , inferiormente pela curva e lateralmente pelas rectas é dada por:
Propriedade:
Sejam e funções integráveis em , :
Se para todo , , então
M@tp
III. Reg
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2
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259
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5
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2 3 2
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2 1 8
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Int
Página 12
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.
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tegrais
2 de 28
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.
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roduto de umvariável x é a egral de uma ao produto davariável x.
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M@tp
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Int
Página 13
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Anteriorms esta a fórmula dapézio.
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o:
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1,
tegrais
3 de 28
mente área
a área
gura à
do Cálculo.
, 11 .
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Anteriormente apresentamos a região que, por não ser um polígono não calculamos a sua área. No entanto, aplicando as regras de integração e o 1º Teorema Fundamental do Cálculo, este cálculo já se torna possível.
Exemplos
1. Determine o integral 3 2 6 .
A função 3 2 6 é contínua no intervalo 0,1 , pois o .
Para calcular este integral, primeiro vamos calcular o integral indefinido 6 3 2 .
Agora em vez de , temos o integral de uma função 3 2 elevada ao quadrado.
Nestes casos,
Notamos que a função a integrar é o produto de uma potência pela derivada da sua base.
Consideremos
3 2
6
2
Temos então que:
6 3 2
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo
3 2 6 3 2
3
, 1 .
Calcular o integral indefinido
Como ( temos,
1
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3 1 23
3 0 23
13
83
93
3
2. Calcule a área .
A região colorida é limitada inferiormente pela recta 0, superiormente pelo gráfico da função
5 6 2 (positiva em 1,3 ), e lateralmente pelas rectas
1 e 3.
5 6 2
Calculemos o integral indefinido:
5 6 2 5 6 2
45
36
22
453
3 2 , .
Assim,
5 6 2 4
53
3 2
34
5 33
3 3 2 314
5 13
3 1 2 1
334
4312
3.
3. Encontre a função de consumo nacional se a propensão marginal ao consumo for dada por:
3√1 5
.
Procurar a função de consumo nacional é determinar √
.
Importante:
Recorde que podemos transformar o radical numa potência de expoente fraccionário.
A
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3 1 5
Consideremos:
1 5
1 5 10
15
Então
3 1 5 3 1 5 10 1 5
310
1 515 1
310
1 545
381 5
38
1 5
Assim a função de consumo nacional é dada por
1 5 , para alguma constante .
Temos casos em que a primitiva se calcula directamente por aplicação das regras (integrais
imediatos), ou após algumas manipulações algébricas simples, que chamamos integrais quase imediatos. Em situações mais complexas teremos de recorrer a certas técnicas de integração (Guião Integrais – Parte II).
Até agora:
Derivada Integral
0
, 1
, 1
Propriedade B Propriedade B
Relembre que é uma função de .
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Exercícios: 1. Calcule, justificando todos os passos:
a. 9 3 ;
b. 2 2√ ;
c. 3√ .
2. Calcule a área das regiões a sombreado.
3. Represente a região limitada pelas rectas 1, 4, 0 e pelo gráfico 4 | |.
Calcule a área da região representada, recorrendo aos integrais definidos.
4. Determine , sabendo que 2 2 e que 1 2.
5. O custo marginal de fabrico de unidades de um produto tem como modelo 32 0,4 .
A produção de uma unidade custa 50 euros. Calcule o custo total de produção de 200 unidades.
6. Suponha que o investimento líquido é 100, ou seja, o fluxo de investimento é constante ao longo do tempo e que inicialmente o stock de capital é 1000.
a. Tendo em conta que da derivada do stock de capital se obtém o investimento, isto é, , determine .
b. Determine a variação de capital em stock entre 1 e 2.
M@tp
Exemplo
Determ
A funçã
2
1
1.2
plus
mine
o
ln| 1ln|1 1ln|2| lnln 2
• Integra
.
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1| | ln|0n|1|
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1|
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Como
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.
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|
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Cálcul
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Página 18
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8 de 28
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1|
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1 2 , derivada do
s
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Exemplos 1. Calcule 2 .
Regra a utilizar:
2 , assim,
2 .
2. Suponha que a taxa de variação do valor de uma casa que custa 100000 euros possa ser modelada por
7,7 , ,
onde é o valor de mercado da casa, em milhares de euros e é o tempo, em anos, desde que esse imóvel foi comprado.
2.1. Encontre a função que expressa o valor de em termos de .
Regra a utilizar:
Se 0,077 então 0,077.
Temos,
7,7 , 1007.7100
, 100 0,077 , 100 , .
.
Calculemos o integral indefinido
Como ( temos,
Propriedade B
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2.2.
A
1.3
plus
Sabemos q
Assim, a fu
. Indique a va
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Ao fim de 10
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|
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|
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Página 20
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tegrais
0 de 28
115
uros.
inversas
s
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Exemplos:
1. Calcule .
Regra a utilizar:
Tomando , temos
3 dx 3 c.
2. Calcule .
A função é contínua no intervalo 0,1 , pois .
Para calcular este integral indefinido, temos que começar por determinar , o
que já foi feito anteriormente, logo
33
3
313
303
313
1.
.
Calculemos o integral indefinido
Como , temos:
Propriedade B
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Utilizando as diversas fórmulas trigonométricas é possível transformar a expressão analítica, o que por vezes, leva a um processo de integração mais fácil.
Exemplo:
1. Calcule .
O dominio de é .
12
12
12
2. Calcule .
Se então 2 1
Temos
2 1
2 1
Recorde algumas relações trigonométricas:
1 1 1 cos 2
2 2
12 2
12 .
Cálculo Auxiliar:
Calculemos primeiro o integral indefinido
Regra a utilizar: 2
Tomando 2 , temos
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3.
O dominio de é .
Nem sempre é fácil ver qual a forma de integrar uma função, tornando‐se necessário fazer
uma análise da expressão integranda. Calculemos .
Verificamos que a expressão integranda é uma função racional. Antes de tentar qualquer analogia às derivadas de funções trigonométricas inversas (expressões racionais), devemos verificar primeiro se
não se aplica a regra | | , ou seja, se o numerador é a derivada (ou pode ser obtida
por uma transformação simples) do denominador.
É este o caso, pois considerando , temos que
Calculemos .
É fácil ver que não podemos aplicar o método anterior. Tentando uma analogia às derivadas de funções trigonométricas inversas, vemos que a função integranda se assemelha à derivada de
, ou seja,
.
Considerando 1 e 4 2 temos que
1 cos 22
12 1
12 2
12 1
14 2 2
Cálculo Auxiliar:
Calculemos primeiro o integral indefinido
1 22
Propriedade B
4 4
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Enumeremos ainda mais algumas regras de integração,
| |
| |
√
| |
| |
Exemplo:
Determine o intregral √
.
A função pode escrever‐se na forma 16 25 · 3 , o que nos leva a pensar na Regra da Potência.
No entanto, a derivada da base é 16 25 100 , logo, não é aplicável esta regra.
Analisemos a expressão √
.
1. A expressão é uma fracção.
2. O denominador é uma raiz quadrada cujo
radicando é um binómio subtractivo.
Se 5 , então, 5 10
3√16 25
34 5
34 5
34 5
310
104 5
310
54
310
54
Derivada Integral
’√
√1
’√
√1
’ 1
’ 1
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Exercícios
1. Calcule os seguintes integrais:
a. ;
b. ;
c. ;
d. √
;
e. √
;
f. .
2. Calcule a área das regiões a sombreado.
a.
c.
b.
d.
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3. Determine a área limitada por:
a. 2 3, 6; b. 2, 1; c. , 2, 2 d. √ , 1, 6
4. Depois de fazer exercício durante alguns minutos, uma pessoa tem um ciclo respiratório para
o qual a taxa de ar inalado é dada por 1.75 onde é o tempo em segundos.
Encontre o volume , em litros, do ar inalado pela pessoa durante um ciclo respiratório de 2 segundos, sabendo que 0 1.115.
5. Suponha que é a taxa (em toneladas por ano) de poluentes derramados no interior de
um lago, em que t é o n.º de anos desde 1998. Interprete .
6. Um móvel desloca‐se em linha recta de modo que em cada instante a velocidade é
determinada pela função: 100 10 (metros/segundo).
a. Quando é que a velocidade se anula?
b. Qual é o significado da expressão 100 10 .
c. Determine o espaço percorrido quando 12.
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Formulário:
,
,
| |
√
√
| |
| |
√
| |
| |
1 1 1 cos 2
2 2
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Bibliografia [LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 2006.
[ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.
[CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral; Editora PUC Rio, 2002. [CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1 , Makron Books, 1991. [MA] Harshbarger, R. J. , Reynolds, J. J. , Matemática Aplicada – Administração, Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006.