polígonos regulares - parte 1

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Polígonos regulares 1. Definição Consideremos, num plano, n pontos , A 1 , A 2 ,..., A n , ordenados de modo que três pontos não sejam colineares (não alinhados). Chamamos de polígono a figura formada pela união dos n segmentos consecutivos. 2. Região poligonal É a região do plano formada pela união dos pontos do polígono com os pontos do seu interior. Se a região poligonal for convexa, o polígono será denominado polígono convexo. » Figura convexa: Se quaisquer que sejam os pontos distintos A e B pertencentes a F, o segmento da reta AB está contido em F. » Figura côncava: Se existir um segmento de reta AB, com , e , não contido em F. 3. Nomenclatura De acordo com o número de lados, vejamos alguns casos a seguir: 4. Classificação » Polígono equilátero tem todos os lados congruentes, tomando como exemplos o losango, o quadrado,..., etc. » Polígono equiângulo têm todos os ângulos internos congruentes, como por exemplo, no quadrado, no retângulo,..., etc. » Polígono regular é equilátero e equiângulo simultaneamente, como no quadrado, no triângulo equilátero,..., etc. 5. Relações nos polígonos

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Page 1: Polígonos regulares - parte 1

Polígonos regulares

1. Definição

Consideremos, num plano, n pontos , A1, A2,..., An, ordenados de modo que três pontos não sejam colineares (não alinhados).Chamamos de polígono a figura formada pela união dos n segmentos consecutivos.

2. Região poligonal

É a região do plano formada pela união dos pontos do polígono com os pontos do seu interior. Se a região poligonal for convexa, o polígono será denominado polígono convexo.

» Figura convexa: Se quaisquer que sejam os pontos distintos A e B pertencentes a F, o segmento da reta AB está

contido em F.

» Figura côncava: Se existir um segmento de reta AB, com , e , não contido em F.

3. NomenclaturaDe acordo com o número de lados, vejamos alguns casos a seguir:

4. Classificação

» Polígono equilátero tem todos os lados congruentes, tomando como exemplos o losango, o quadrado,..., etc.

» Polígono equiângulo têm todos os ângulos internos congruentes, como por exemplo, no quadrado, no retângulo,..., etc.

» Polígono regular é equilátero e equiângulo simultaneamente, como no quadrado, no triângulo equilátero,..., etc.

5. Relações nos polígonos

Em todo polígono convexo de n lados , sendo d o número de diagonais, a soma das

medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos definimos:

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Em todo polígono convexo de n lados , sendo d o número de diagonais, a soma das

medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos definimos:

» Número de diagonais

Diagonal Chama-se diagonal do polígono todo segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos desse polígono.Em um polígono de n lados, temos:

i. que cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais;ii. que os n vértices dão origem a n . (n – 3) diagonais;iii. que com este raciocínio, cada diagonal foi contada duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois vértices.

Assim, sendo d o número de diagonais do polígono, temos .

» Soma dos ângulos internos

Seja um polígono de n lados e P um ponto interno, ligando P aos vértices obtemos n triângulos cuja soma dos ângulos internos é .

Assim, sendo a soma dos ângulos do polígono, temos que .

» Soma dos ângulos externos

Sejam, num polígono de n lados, , respectivamente, as medidas de um ângulo interno e do

ângulo externo adjacente a ele, a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos.

Sendo , para cada um dos vértices do polígono, temos que, em resumo, obtemos:

.

Se o polígono for equiângulo, todos os ângulos internos são congruentes e todos os ângulos externos

são congruentes e, portanto, .

Exercícios de fixação

01. Calcule o número de diagonais de um eneágono convexo.

02. Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o dobro do número de lados?

03. A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é:

04. Qual a medida do ângulo interno de um hexágono regular?

05. (UFPA) Cada um dos ângulos internos de um polígono regular mede 150º. Qual é o número de lados do polígono?

06. (UFRJ) Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15º. Quantas diagonais têm esse polígono?

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07. (FUVEST – SP) Quantos lados têm um polígono convexo, cujo número de diagonais é d e a soma dos ângulos internos é ?

08. Num polígono convexo a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número de diagonais desse polígono.

09. A soma dos ângulos internos de dois polígonos cujos números de lados são inteiros e consecutivos é 1.620º. A soma das quantidades de diagonais destes polígonos é:

10. Num polígono regular ABCDE..., a diagonal forma com o lado um ângulo de 18º. Esse polígono possui quantas diagonais?

11. (UFSE) Calcule, em graus, a soma dos ângulos assinalados na figura seguinte:

12. (UFAL) A soma dos ângulos assinalados na figura vale:

13. (AMAN) O polígono convexo em que o triplo do número de vértices é igual ao total de diagonais é o:

14. (UFSCar – SP) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem quantos lados?

15. (UEFS – BA) Se o número de diagonais de um polígono P, de n lados, é igual a um sexto do número de diagonais do polígono de 2n lados, então o polígono P é um:

16. (Mackenzie – SP) Se de cada vértice de um polígono regular partem quinze diagonais, a medida dos ângulos internos desse polígono, em radianos, é:

17. (USP) A soma das medidas dos sete ângulos destacados na figura seguinte é igual a:

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