geométria ângulos e polígonos
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A ideia de ângulo
Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas
são os lados dos ângulos, e o ponto de origem das duas semirretas é o vértice.
Exemplo
Ângulo: ou ou .
Lados: e
Vértice: R
Ângulos
P
R
M
US
EL
MA
N /
F1
ON
LIN
E / D
IOM
ED
IA
PE
TR
JIL
EK
/ S
HU
TT
ER
ST
OC
K /
GL
OW
IM
AG
ES
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Tipos de ângulos
Ângulo raso Ângulo reto
Ângulo nuloÂngulo obtuso
Ângulo agudo
B
P
R
B C
A
B
E
F
Q
PR
B
O
A
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Posições relativas de duas retas em um plano
a e b são retas
paralelas (a // b).
r e s são retas concorrentes
perpendiculares (r s).
p e q são retas concorrentes
oblíquas (p q).
a b
s
r p
q
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Medida de ângulo
1 volta completa
Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida
da abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º.
volta
de volta
de volta
de volta
de volta
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Submúltiplos do grau: minuto e segundo
1º = 60’
1’ = 60’’Portanto:
Exemplos
0,5º = 30’ 50,5º = 50º + 0,5º = 50º 30’
72’’ = 1’12’’
1 minuto corresponde a do grau. Representamos 1’.
1 segundo corresponde a do minuto. Representamos 1’’.
60’’ + 12 =
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Operações com medidas de ângulos
Adição de medidas de ângulos
28º 16’ 35’’
+ 10º 40’ 21’’
56”56’38º
3º 11’ 5’’
+ 5º 55’ 57’’62”66’8º
8º 67’ 2’’ Trocamos 60’’ por 1’
9º 7’ 2’’ Trocamos 60’ por 1º
Subtração de medidas de ângulos
12º 54’ 59’’
– 7º 2’ 30’’
29”52’5º
90º – (2º 10’) 90º 0’
– 2º 10’
60’89º
87º 50’
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Multiplicação de número natural por medida de ângulo
7º 2’ 20’’
× 2
2º 30’ 32’’
× 2
4º 61’ 4’’
14º 4’ 40’’ 64’’60’4º
5º 1’ 4’’
Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero
(12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’ (34º 3’ 15’’) : 3
Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos:
34º 3’ 15’’ =
(33º 63’ 15’’) : 3 =
33º 63’ 15’’
11º 21’ 5’’
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Ângulos congruentes
Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma medida.
m( ) = 20º m( ) = 20º
Dizemos:
Ângulos adjacentes
Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um
lado comum ( ), e as regiões determinadas
por eles não têm mais pontos comuns.
A
B
C
O
F
GE
C
A
B
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Ângulos complementares e ângulos suplementares
Quando a soma das medidas de
dois ângulos é 90º, dizemos que
eles são ângulos complementares.
Quando a soma das medidas de
dois ângulos é 180º, dizemos que
eles são ângulos suplementares.
40º + 50º = 90º
70º + 110º = 180º
50º A
40º
B
110º
C
70º
D
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Ângulos adjacentes e suplementares
Adjacentes pela posição de um em relação
ao outro. Suplementares porque a soma de
suas medidas é 180º.
A B
C
O
Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois
lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta.
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos opostos
pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
=
=
CA
SA
DE
TIP
OS
/ A
RQ
UIV
O D
A E
DIT
OR
A
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com
os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais.
B C
A
M
A
B
C
M
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Polígonos e seus ângulos
Vamos analisar os seguintes polígonos:
Polígono ABCD: quadrilátero.
O ângulo interno é formado
por dois lados consecutivos.
Polígono EFG: triângulo.
Polígonos
A B
CD
EE F
G
H
: um dos ângulos externos.
, , e :
ângulos internos: um dos ângulos externos.
Ângulos internos: , e
.
O ângulo externo é formado por
um lado e pelo prolongamento
de outro.
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Triângulo – soma das medidas de seus ângulos internos
Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos
internos é igual a 180º.
C
A B
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Quadrilátero convexo – soma das medidas de seus ângulos internos
Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos
quatros ângulos internos é igual a 360º.
D
C
A
B
A
B
C
A
C
D
m( ) + m( ) + m( ) + m( ) = 360º
Início SairCapítulo 6 • Geometria: ângulos e polígonos
Polígono convexo – soma das medidas de seus ângulos internos
Observe:
Triângulo Quadrilátero Pentágono
3 lados 4 lados 5 lados
A soma das medidas
dos ângulos internos
é 1 . 180º.
A soma das medidas
dos ângulos internos
é 2 . 180º.
A soma das medidas
dos ângulos internos
é 3 . 180º.
A soma das medidas dos ângulos internos de um
polígono convexo de n lados é dada por: (n – 2) . 180º