guia experimento 1_ medição de campo elétrico em capacitor de placas paralelas
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ÁREA DE MICRO-ONDAS E ELETROMAGNETISMO APLICADOS
LABORATÓRIO DE ELETROMAGNETISMO
EXPERIMENTO 1
MEDIÇÃO DE CAMPO ELÉTRICO EM CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS
Campina Grande, Paraíba 2013.2
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Laboratório de Eletromagnetismo - Medição de Campo Elétrico em Capacitor de Placas Paralelas
1 OBJETIVOS
Avaliar o campo elétrico uniforme, , produzido entre as placas de um capacitor de
placas paralelas como função da distância entre as placas, , e do potencial elétrico .
2 MATERIAL UTILIZADO
Os materiais e equipamentos usados durante o experimento encontram-se listados
abaixo:
Figura 1 Arranjo para medições da
intensidade de campo elétrico.
a. Placa de alumínio, 283283
b. Palca de alumínio com encaixe central = 55
c. Medidor de campo elétrico
d. Fonte de alimentação. 0. . .600
e. Resistor, 10 Ω
f. Multímetro digital
g. 4 conectores vermelhos, = 750
h. 4 conectores azuis, = 750
i. Base métrica, = 60
j. Suporte da base
k. Base deslizante, ℎ = 80
l. Haste de aço, 250
m. Garra de ângulo reto
n. Régua plástica, = 200
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3 INTRODUÇÃO TEÓRICA
A eletrostática compreende o estudo de cargas em repouso com base em seus modos
de interação e na análise de campos produzidos por distribuições destas cargas.
Os primeiros fenômenos de origem eletrostática foram observados pelos gregos, 5 séculos antes de Cristo. Eles observaram que pedaços de âmbar (elektra), quando atritados com tecidos adquiriam a capacidade de atraírem pequenas partículas de outros materiais. Como a ciência experimental e dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno permaneceu no campo da lógica e da filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi quantificada e equacionada no século 18 (1746), por um cientista francês chamado Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806). (PEREIRA; VARA, p.1)
3.1 SISTEMAS DE COORDENADAS
A escolha de uma representação espacial adequada a cada problema de campo do
eletromagnetismo é fundamental na simplificação dos campos envolvidos. Na física há cerca
de 13 (treze) sistemas de coordenadas ortogonais. Portanto, o sistema de coordenadas
apropriado ao problema é determinado de acordo com a geometria da região de existência de
campos.
Sistemas de coordenadas ortogonais são aqueles em que os eixos coordenados são
mutuamente perpendiculares. Estes eixos definem pontos no espaço segundo a interseção de
superfícies. Na Figura 2 é possível visualizar as superfíceis e vetores unitários dos três
sistemas de coordenadas mais comuns no estudo do eletromagnetismo (coordenadas
cartesianas, cilindricas e esféricas).
Figura 2 Superfícies e vetores unitários dos sistemas coordenados cartesiano, cilíndico e esférico.
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Possíveis representações para um ponto nos sistemas cartesiano, cilíndrico e esférico
são respectivamente: , , , , , , , , . Para um campo vetorial !, têm-se:
"#$, #%, #&' ou #$() + #%(+ + #&(, no sistema cartesiano, "#-, #., #&' ou #-(/ +#.(0 + #&(, no sistema cinlíndrico e "#1 , #2, #.' ou #1(3 + #2(4 + #.(0 no sistema
esférico.
A necessidade da mudança entre coordenadas é recomendável para pontos e vetores a
fim de facilitar as operações matemáticas exigidas em um determinado problema.
3.2 LEI DE COULOMB
A força eletrostática foi quantificada por Coulomb em 1785 a partir de experimentos
utilizando uma balança de torção de alta precisão que mediu a força de interação entre cargas
puntiformes (aquelas cuja distância de separação é muito maior que suas dimensões).
Determinou-se que a intensidade da força de atração ou repulsão é inversamente proporcional
ao quadrado da distância e diretamente proporcional ao produto entre as cargas.
5 = 6 7879:9 1
A linha de ação da força eletrostática é direcionada ao longo da linha de separação
entre as cargas. Portanto, trata-se – a força eletrostática – de uma grandeza vetorial, que
possui intensidade, direção e sentido.
; = 78794=>?:9 (@AB 2
Em unidades do SI, a força é dada em newton (N). Deve-se ressaltar que uma
característica importante da força eletrostática é que trata-se de uma força mútua, ou seja, a
força sobre a carga 78 devido a carga 79 ;BA e a força sobre a carga 79 devido a carga 78 ;AB possuem intensidades iguais, porém, sentidos contrários. Contudo, cargas de mesmo
sinal se repelem (força repulsiva) e cargas de sinais opostos se atraem (força atrativa).
Uma carga elétrica produz uma região de influência ao seu redor. O efeito pode ser
sentido por outro objeto carregado posicionado nas imediações da carga. Este transmissor de
efeito, que se faz presente no espaço, a partir da existência de uma partícula carregada, é
denominado de campo eletrostático.
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A caracterização do campo eletrostático produzido por um conjunto de cargas elétricas
pode ser feita colocando-se uma carga de teste 7t na região de campo, e medindo-se a força
elétrica ;, produzida sobre 7. A magnitude da carga de teste deve ser pequena de forma a não
perturbar o campo originalmente presente. A partir dessa medição, o campo eletrostático pode
ser definido pela relação:
= limF→?;7 3
= 74=>?:9 (@AB 4
A intensidade de campo elétrico é medida em newton/coulomb (N/C) ou volt/metro
(V/m). Assim como a força eletrostática o campo elétrico também é uma grandeza vetorial e
possui a mesma direção de ;.
A equação (4) pode ser generalizada para um sistema com mais de uma carga pontual.
Em função das coordenadas cartesianas no plano , a equação pode ser reescrita. Logo, se
considerarmos cargas H8, H9, ..., HI, localizadas nos respectios pontos 8, 8, 9, 9, ..., I, I, o campo resultante será:
= J 14=>? K 7L − LN − L9 + − L9OP9QILR8 () + J 14=>? K 7L − LN − L9 + − L9OP9QI
LR8 (+ 5
Além de cargas pontuais, distribuições contínuas de carga ao longo de uma linha,
superfície ou volume também são comuns. As densidades de carga linear S, superficial T e volumétrica U e os elementos de carga 7 associados a tais distribuições são
respectivamente 7 = S, 7 = VW, 7 = UX.
Portanto, o campo elétrico devido a um elemento de uma distribuição de cargas é
similar ao campo devido a uma carga pontual.
= 74=>?:9 (@AB 6
O campo eletrostático também pode ser representado a partir da utilização das linhas
de contorno, também denominadas curvas de nível. Uma linha de contorno é a posição
geométrica em que o campo tem o mesmo módulo.
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Isto é, dado um campo = Y$() + Y%(+, a equação para linha de contorno é dada a
partir da relação entre as componentes do campo por elemento integrativo da respectiva
coordenada.
Y$ = Y% 7
3.3 LEI DE GAUSS
A divergência do campo vetorial fornece informações sobre a variação do módulo do
campo nas vizinhanças de um ponto do espaço que pode assumir, fisicamente, três situações
assim como ilustradas na Figura 3.
Figura 3 Ilustração da divergência de um campo vetorial em um ponto .
Na Figura 3, a primeira situação ilustra a divergência positiva porque o vetor diverge
em indicando a presença de uma fonte de grandeza vetorial. Entretanto, no segundo caso, a
divergência é dita negativa porque o vetor converge em caracterizando a presença de um
sorvedouro da grandeza.
Também é possível que o campo vetorial tenha divergência zero, assim como na
terceira situação da Figura 3, ou seja, o fluxo que flui para um certo ponto é idêntico ao fluxo
que sai do mesmo.
A divergência de um campo vetorial, expresso por suas componentes em sistemas de
coordenadas cartesianas, cilindricas e esféricas pode ser calculada a partir das equações (8),
(9) e (10) respectivamente.
∇ ∙ = \Y$\ + \Y%\ + \Y&\ 8
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∇ ∙ = 1 \"Y-'\ + 1 \"Y.'\ + \Y&\ 9
∇ ∙ = 19 \9Y1\ + 1 sin \sin Y2\ + 1 sin \"Y.'\ 10
O campo eletrostático apresenta natureza central e dependência com o inverso do
quadrado da distância. Isto resulta na característica de conservação para o fluxo das linhas de
campo elétrico através de uma superfície fechada.
A Lei de Gauss estabelece que o fluxo, `, devido ao campo elétrico através de
qualquer superfície fechada é igual à carga total encerrada por esta superfície. Assim:
a = b a = c >? ∙ dT = 7 = e UXU 10
Portanto, para o campo elétrico, o teorema da divergência é válido. Isto é:
∇ ∙ = U>? 11
A lei de Gauss é uma alternativa simples de determinar para distribuições simétricas
de carga. Quando a distribuição de cargas não é simétrica deve-se recorrer à lei de Coulomb.
Para determinar o campo elétrico aplicando a lei de Gauss é necessário verificar a
existência de simetria (plana, axial, esférica). Em seguida, é escolhida uma superfície
matemática fechada (conhecida como superfície gaussiana) de forma que o vetor seja normal
ou tangencial à superfície gaussiana.
Assim, quando for normal à superfície, ∙ d = Yf e quando for tangencial à
superfície, ∙ d = 0. Para isto, deve-se escolher uma superfície compatível com a simetria
exibida pela distribuição de cargas.
3.4 CAPACITÂNCIA
A capacitância é uma propriedade física do capacitor e é medida em farads (F).
Dispomos de uma capacitor se o componente necessariamente apresentar dois ou mais
condutores carregados com cargas iguais, porém, de sinais contrários.
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Sendo o condutor um corpo equipotencial e neste caso referido às placas do capacitor,
é importante ressaltar que as linhas de fluxo que saem de uma das placas devem,
obrigatoriamente, terminar na superfície da outra placa.
Define-se capacitância, , como a razão entre o valor da carga em uma das placas e o
valor absoluto da diferença de potencial entre elas. Portanto:
= 7 = >? ∬ ∙ dTh ∙ i 12
3.4.1 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS
Faremos o estudo de um caso particular de um capacitor, o capacitor de placas
paralelas (Figura 4) utilizando o ar como dielétrico. Isto é, aquele no qual a separação
entre as placas é muito pequena quando comparado com suas dimensões.
Figura 4 Capacitor de placas paralelas
Consideremos o caso ideal desprezando a dispersão do campo nas bordas das
placas, assim, o campo entre as placas deve ser considerado uniforme. De acordo com a
lei de Gauss temos que o campo elétrico em uma superfície infinita com distribuição
uniforme de carga dado por T /9, no plano ortogonal k = 0, é independente da
distância entre a superfície e o ponto de observação. Dessa forma:
= T2>? (l 13
Neste caso, é possível realizar três analises acerca do campo elétrico:
1. Acima da superfície carregada positivamente:
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f+ + f− = f2>0 −(, + −f2>0 −(, = 0 14
2. Abaixo da superfície carregada negativamente:
f+ + f− = f2>0 (, + −f2>0 (, = 0 15
3. Entre as placas:
f+ + f− = f2>0 (, + −f2>0 −(, = f>0 (, 16
No capacitor da Figura 5, as superfícies paralelas encontram-se carregadas com
cargas +7 e – 7 a fim de determinar o campo elétrico, , em função da distância entre
as placas dado que estas estão submetidas a uma diferença de potencial ?.
Figura 5 Capacitor de placas paralelas
Para isto, resolve-se um Problema de Valor de Contorno, ou seja, soluciona-se a
equação diferencial ordinária de segunda ordem de Laplace, equação (17), em uma
dimensão espacial visto que o potencial depende apenas de uma variável, .
∇9 = 99 = 0 17
O método de resolução, neste caso, é a integração direta da equação, logo:
= # + n 18
Onde # e n são constantes de integração a serem determinadas a partir das
condições de fronteira:
= 0 ⇒ 0 = ? 19
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= ⇒ = 0 20
Portanto,
= − ? + ? 21
E,
= −∇V = ? () 22
Para a placa carregada positivamente, +7:
T = 7f = >?0 23
Deste modo, é possível calcular a capacitância do capacitor:
= 7? = >0f 24
3.4.2 ENERGIA ARMAZENADA NO CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS
Ao estabelecer uma diferença de potencial, , entre as placas de um capacitor, é
possível carregá-lo com carga 7, portanto, para calcular a energia potencial elétrica de
um capacitor precisamos calcular o trabalho, q, realizado no carregamento.
Assim, em um instante qualquer, foi transferida uma carga 7′ de uma placa de
um capacitor para outra. A diferença de potencial entre as placas nesse instante será:
s = 7s 25
Para transferir um incremento extra de carga 7′, o incremento de trabalho
necessário é:
q = s7s = 7s 7s 26
Assim,
q = t 7s 7sF? = 1 792 27
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Ou
q = 12 9 28
4 PREPARAÇÃO
OBS: Importância: Durante o experimento será realizado o estudo do capacitor de
placas paralelas. Portanto, é importante saber analisar o comportamento das
medidas que serão realizadas. A preparação deverá ser entregue no dia do
experimento.
OBS: A atividade de simulção deve ser respondida e utilizando o software
Mathematica deve ser simulada. Para isto, siga o Roteiro Experimental de Simulação
presente no ANEXO B.
1. Considere as situações abaixo para um capacitor de placas paralelas de dimensões 283 × 283 .
a. Preencher a Tabela 1 (ANEXO A) calculando o campo elétrico gerado pelas
superfícies paralelas dado que as placas encontram-se a uma distância fixa v = 10 w e que a tensão aplicada ao capacitor está variando de acordo com a
tabela;
b. Preencher a Tabela 2 (ANEXO A) calculando o campo elétrico gerado pelas
superfícies paralelas dado que no capacitor a tensão é fixa, v = 200, e a
distância entre as placas variam segundo a tebela;
c. Calcular as capacitâncias do capacitor para todos os casos completando os valores
teóricos da Tabela 1 e Tabela 2 (ANEXO A);
d. Calcular a energia armazenada em cada um dos casos completando os valores
teóricos da Tabela 1 e Tabela 2 (ANEXO A).
2. Determine a força de atração entre as placas de um capacitor de placas paralelas.
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3. Ainda para o capacitor de placas paralelas de área, #, e distância entre as placas, , imerso
no vácuo, explique o efeito qualitativo sobre sua capacitância, nos seguintes casos:
a. Reduzir a distância ;
b. Dobrar a área, #, de ambas as placas;
c. Dobrar a diferença de potencial entre as placas.
4. Atividade de simulação. Representar graficamente as linhas de campo elétrico em um
capacitor de placas paralelas. Para isto, considerar um sistema com 26 cargas elétricas de
1/9 nC, dentre as quais 13 estão carregadas positivamente e localizadas nos pontos H8−6,4, H9−5,4, HP−4,4, ..., H8P6,4 e as outras 13 cargas estão carregadas
negativamente e localizadas nos pontos H8x−6, −4, H8y−5, −4, H8z−4, −4, ..., H9z6, −4. Escrever a equação geral do campo resultante produzido pelas cargas Hy, Hz,
H, H|, H, H8|, H8, H9? e H98, H99. Considere 6 = 8x~ = 9 ∙ 10.
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5 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
O experimento proposto é dividido em duas partes. A primeira parte trata de uma
montagem na qual mantém-se a distância entre as placas do capacitor constante a fim de
verificar a relação entre o campo e o potencial elétrico. A segunda parte consiste em uma
montagem em que será estudada a relação entre o campo elétrico e a distância entre as placas
mantendo o potencial elétrico constante e variando a distância entre as placas do capacitor.
5.1 MONTAGEM I - RELAÇÃO ENTRE CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
1. Verifique a montagem dos equipamentos de acordo com a Figura 1 seguindo as
orientações do professor ou monitor;
2. Certifique-se de que a fonte de alimentação e os multímetros estão conectados
corretamente ao circuito;
3. Ligar a fonte de alimentação assegurando-se que a tensão entre as placas do
capacitor é 0 ;
4. É necessário estabelecer o zero de equilíbrio no medidor de campo elétrico.
Para isto, é necessário alimentar o equipamento com 12 , curto-circuitar as
placas do capacitor e com o auxílio do multímetro ajustar o equipamento;
5. Manter as placas do capacitor a uma distância fixa assim como no problema 1
item a da atividade de preparação;
6. Inicialmente aplicar uma tensão de 10 ao sistema e comparar o valor medido
com o valor calculado durante a preparação;
OBS: As medições estão relacionadas a uma faixa de medição e, portanto,
neste arranjo, a indicação do valor medido deverá ser ajustado de modo a
corresponder à intensidade de campo calculada teóricamente.
OBS: O ajuste da faixa de medição deverá ocorrer no equipamento Medidor
de campo elétrico, no botão 6 segundo a Figura 6.
7. Anotar todos os resultados na Tabela 1 presente no ANEXO A;
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8. Repetir os itens 6 e 7 seguindo os valores sugeridos de tensão presentes na
Tabela 1 (ANEXO A).
Figura 6 Medidor de campo elétrico
5.2 MONTAGEM II - RELAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉTRICO E A DISTÂNCIA
ENTRE AS PLACAS DO CAPACITOR
1. Verifique a montagem dos equipamentos de acordo com a Figura 1 seguindo as
orientações do professor ou monitor;
2. Certifique-se de que a fonte de alimentação e os multímetros estão conectados
corretamente ao circuito;
3. Ligar a fonte de alimentação assegurando-se que a tensão entre as placas do
capacitor é 0 ;
4. É necessário estabelecer o zero de equilíbrio no medidor de campo elétrico.
Para isto, é necessário alimentar o equipamento com 12 , curto-circuitar as
placas do capacitor e com o auxílio do multímetro ajustar o equipamento;
5. Fixar a tensão entre as placas do capacitor assim como no problema 1 item b da
atividade de preparação;
6. Inicialmente, manter as placas do capacitor a uma distancia = 1,0 w e
comparar o valor medido com o valor calculado durante a preparação;
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OBS: As medições estão relacionadas a uma faixa de medição e, portanto,
neste arranjo, a indicação do valor medido deverá ser ajustado de modo a
corresponder à intensidade de campo calculada teóricamente.
OBS: O ajuste da faixa de medição deverá ocorrer no equipamento Medidor
de campo elétrico, no botão 6 segundo a Figura 6.
7. Anotar todos os resultados na Tabela 2 presente no ANEXO A;
8. Repetir os itens 6 e 7 aumentando a distância entre as placas em 1,0 w até
atingir 12,0 w.
6 RELATÓRIO
Obs. O relatório deverá ser entregue uma semana após a data de realização do
experimento e deverá ser manuscrito.
O relatório deverá conter:
I- Capa padronizada;
Título do experimento, nome do aluno, matrícula, turma e número.
O modelo segue em anexo.
II- Introdução teórica;
Definições, interpretação física, expressões matemáticas.
III- Procedimentos experimentais;
Descrição dos procedimentos adotado durante o experimento.
IV- Análise e discussão dos resultados;
Gráficos obtidos, fatores relevantes observados, etc.
V- Conclusão.
7 REFERÊNCIAS
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HAYT, W.H.(1958). Eletromagnetismo. Sexta Edição. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 2001. SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. Terceira Edição. Bookman. VILLATE J. Campo Elétrico. Disponível em: < http://def.fe.up.pt/pt/Campo_el%C3%A9trico>. Acesso em: 23 out. 2013. FONTANA E. Eletromagnetismo – Parte 1. Disponível em: < http://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo1/EletromagnetismoWebPart01/mag1cap2.htm#mozTocId669198>. Acesso em: 15 nov. 2013. A elaboração deste guia foi realizada pelos alunos da UFCG (Campina Grande – Paraíba): Leonardo Fragoso Martins, Milena Marinho Arruda e Rodrigo Torres Guimarães sob orientação do Prof. Alexandre Jean René Serres e Prof. Mario de Sousa Araújo Filho.
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8 ANEXO A - TABELAS
Tabela 1 - Relação entre campo e potencial elétrico. v = w
TENSÃO
CAMPO ELÉTRICO / CAPACITÂNCIA ; ENERGIA l
MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO
0
10
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
250
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Tabela 2 - Relação entre o campo elétrico e a distância entre as placas do capacitor. v =
DISTÂNCIA
ENTRE AS
PLACAS
CAMPO ELÉTRICO / CAPACITÂNCIA ; ENERGIA l
MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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9 ANEXO B - ROTEIRO EXPERIMENTAL DE SIMULAÇÃO
Obs. Utilize como auxilo o Guia de Comandos do Mathematica para realização de
todo o experimento.
1. Inicialize o programa Mathematica;
2. Instale os pacotes VectorAnalysis e VectorFieldPlots digitando os camandos:
<< VectorAnalysis`
<< VectorFieldPlots`
3. Redefina as variáveis coordenadas nos sistemas de coordenadas cartesianas para
aquelas utilizadas no curso, usando o comando (5);
4. Determine algumas representações do campo . Para isto, utilize sequencialmente
as funções (11), (10) e (12) do Guia de Comandos do Mathematica. Considere os
intervalos −10 < < 10 e −10 < < 10;
5. Salve o arquivo do Mathematica usando a seguinte denominação: Lab2TnAm em
que n é o número da turma e m é o número do aluno nessa turma;
6. Envie o arquivo para [email protected].
10 ANEXO C – CAPA PADRONIZADA
Universidade Federal de Campina Grande Centro de Engenharia Elétrica e Informática Unidade Acadêmica de Engenharia Elétrica
Área de Micro-ondas e Eletromagnetismo Aplicados
Laboratório de Eletromagnetismo
Professor: Alexandre Jean René Serres Mário de S. Araujo Filho
Título do Experimento
Relatório
Aluno: _______________________________Matrícula: ________
Turma: ___ Número:___ Data: ________