Movimento de Assistência Estudantil (M.A.E.)

Física – Pré-PAAES – 3ª etapa(GRAVITAÇÃO)

GRAVITAÇÃO UNIVERSALGravitação é o estudo das forças de atração entre massas (forças de campo gravitacional) e dos movimentos de corpos submetidos a essas forças.

Leis de KeplerDescrevem o movimento planetário.1ª Lei de Kepler (Lei das Órbitas)

Os planetas descrevem órbitas elípticas emtorno do Sol, sendo que este ocupa um dos focos da elipse.

O ponto da órbita em que o planeta fica mais próximo do Sol (distância mínima do planeta ao Sol) é denominado periélio, e o ponto da órbita em que o planeta fica mais distante do Sol (distância máxima doplaneta ao Sol) é denominado afélio.

2ª Lei de Kepler (Lei das Áreas)O segmento de reta traçado do centro de massa do Sol ao centro de massa de um planeta do Sistema Solar varre áreas iguais em tempos iguais.

Δt1 = Δt2 ⇒ A1 = A2

Conseqüência da Segunda Lei de Kepler:A velocidade de translação de um planeta ao redor do Sol não é constante.

No periélio, a velocidade escalar de um planeta tem módulo máximo, enquanto que, no afélio, tem módulo mínimo.

Do periélio para o afélio, um planeta descreve movimento retardado, enquanto que, do afélio para o periélio, movimento acelerado.

3ª Lei de Kepler(Lei dos Períodos)O quadrado do período de revolução (T) de um planeta ao redor do Sol (ano do planeta) é proporcional ao cubo do raio médio (r) da órbita (distância média do planeta ao Sol). Constante

teconsR

Ttan

3

2

=

Obs.: Essa constante depende da massa do Sol, sendo, portanto, a mesma para todos os planetas. Na figura seguinte, as distâncias do periélio e do afélio ao centro de massa do Sol são p e a,respectivamente.

O raio médio da órbita (r) é a média aritmética entre p e a:

Uma conseqüência direta da terceira lei deKepler é que, quanto maior a distância de um planeta ao Sol, maior será o tempo gasto para uma revolução completa.

1

Importante: As três leis de Kepler são válidas paraquaisquer sistemas em que corpos gravitam em torno de um corpo central. Exemplos: planetas em torno doSol, Lua em torno da Terra, satélites artificiais em torno da Terra.

Lei de Newton da Gravitação Universal

Dois corpos, de massas m1 e m2, atraem-semutuamente com forças que têm a direção da reta que os une e cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto das massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância d que os separa.

221.

d

mmGFg =

G é a constante de gravitação universal:G = 6,67 ⋅ 10-11 N.m2/kg2

As forças gravitacionais mantêm os planetas em órbita em torno do Sol, bem como quaisquer corpos gravitam em torno de um corpo central.

Obs.: As forças gravitacionais obedecem à terceira lei de Newton (lei da ação e reação).

Campo Gravitacional (aceleração da gravidade)

Quando dois corpos de massas M e m seatraem, dizemos que cada um deles se encontra num campo de força gerado pelo outro corpo, denominado campo gravitacional g. Na região que envolve a Terra, bem como qualquer outro planeta, dizemos que há um campo gravitacional, pois qualquer corpo colocado em suasproximidades fica submetido à força de atração gravitacional.Considere um corpo de massa m situado em um ponto a uma altura h em relação à superfície da Terra, e sejam M e R a massa e o raio da Terra, respectivamente. O vetor campo gravitacional gerado pela Terra, que atua no corpo, é representado por g

, e

corresponde à aceleração da gravidade, à qual o corpo fica sujeito. O corpo será

atraído pela Terra com uma força

gravitacional gF

. Esta força é a força peso

do corpo de massa m.

gFP =

2

..

r

mMGgm =

O campo gravitacional é dado por:

2)(

.

hR

mMGg

+=

Nos pontos da superfície da Terra:

2

.

R

mMGg =

Esta expressão mostra que a intensidade do campo gravitacional decresce com o quadrado da distância do corpo ao centro da Terra. Obs.: As expressões anteriores são válidas para qualquer planeta, sendo M a massa do planeta e R o seu raio.

Satélites em Órbitas Circulares

Considere um satélite de massa m descrevendo uma órbita circular de raio r em torno de um planeta de massa M.

Cálculo da velocidade de translação do satélite:

2

A força gravitacional que o planeta exerce no satélite é a resultante centrípeta que mantém o satélite em órbita.

gcp FF =

2

2

r

MmG

r

vm =

r

GMv =

sendo r = R + h, em que R é o raio do planeta e h é a altura do satélite em relação à superfície do planeta.Obs.: Esta expressão da velocidade orbital pode ser aplicada no movimento de planetas em torno do Sol, considerando-se a órbita elíptica como aproximadamente circular.

Dedução da constante da 3ª lei de Kepler:

Da velocidade linear de um corpo em M.C.U.,

T

rv

π2=

e da velocidade de translação,

r

GMv =

temos: T

r

r

GM π2=

Elevando ambos os membros ao quadrado,vem:

22

2

=

T

r

r

GM π

2

224

T

r

r

GM π=

Finalmente, obtém-se a expressão da 3ª lei de Kepler:

GM

r

r

T 22

3

2 4π=

A constante da 3ª lei de Kepler é dada por4 2π /GM, onde M é a massa do corpo central. No caso do sistema planetário, M é a massa do Sol.

Obs.: A velocidade de translação e o período de translação não dependem da massa m do corpo em órbita, mas apenas da massa M do corpo central. Importante: A força de atração gravitacional que o planeta exerce no satélite está sendo usada comoresultante centrípeta, que tem como função manter os corpos em órbita. Por isso, os corpos no interior do satélite flutuam (imponderabilidade).

3