GRAVITAÇÃO GRAVITAÇÃO UNIVERSALUNIVERSAL

Professor André

O SISTEMA SOLARO SISTEMA SOLAR

Planeta anão

Planetas em escala

Posição do Sistema Solar Posição do Sistema Solar na galáxiana galáxia

Sistemas planetáriosSistemas planetários

O mais famoso sistema planetário grego foi o de Cláudio PtolomeuCláudio Ptolomeu (100-170), que considerava a Terra como o centro do

Universo (sistema (sistema geocêntrico).geocêntrico).

Segundo esse sistema, cada planeta descrevia

uma órbita circular cujo centro descreveria outra órbita circular em

torno da Terra.

Nicolau CopérnicoNicolau Copérnico (1473-1543), astrônomo polonês, criou uma nova concepção de Universo, considerando

o Sol como seu centro (sistema heliocêntrico).(sistema heliocêntrico).

Entretanto, o modelo de Copérnico não foi aceito pelo

astrônomo dinamarquês Tycho Tycho BraheBrahe (1546-1601), segundo o qual o Sol giraria em torno da

Terra e os planetas em torno do Sol.

Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a Terra, descrevia uma órbita circular em torno do

Sol.

Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a seu discípulo Johannes KeplerJohannes Kepler (1571-1630), que tentou, em vão, explicar o movimento

dos astros por meio das mais variadas figuras geométricas.

Baseado no heliocentrismo, em sua intuição e após inúmeras tentativas, ele chegou à conclusão de que os planetas seguiam uma órbita elíptica em torno do

Sol e, após anos de estudo, enunciou três leis.

LEIS

DE

KEPLER

1.ª LEI DE KEPLER1.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÓRBITAS)(LEI DAS ÓRBITAS)

“As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nas

quais ele ocupa um dos focos.”

Numa elipse existem dois focos e a soma das distâncias aos focos é constante.

Foco

Foco

a b

cd

a + b = c + d

ELIPSE

2.ª LEI DE KEPLER2.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÁREAS)(LEI DAS ÁREAS)

“A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é

diretamente proporcional ao tempo gasto para descrevê-la.”

Velocidade Areolar velocidade com que as áreas são descritas.Afélio

A1

A1

A1

A1

A1

A1

A1A2

Velocidade Areolar = A t

A1A2

Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua órbita elíptica. Logo:

A1 = A2 t1 t2

planeta

Sol

Afélio

Afélio ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol

Periélio

Periélio ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol

A1A2

A velocidade linear no periélio é maior que no afélio.

Afélio = 29,3 km/s

Periélio = 30,2 km/s

3.ª LEI DE KEPLER3.ª LEI DE KEPLER

(LEI DOS PERÍODOS)(LEI DOS PERÍODOS)

“O quadrado do período da revolução de um planeta em torno do Sol é diretamente

proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse orbital.”

Raio Médio média aritmética entre as distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.

teconsR

Ttan

3

2

PlanetaT

(dias terrestres)R

(km)T2/R3

MercúrioMercúrio 8888 5,8 x 105,8 x 1077

4,0 x 104,0 x 10-20-20

VênusVênus 224,7224,7 1,08 x 101,08 x 1088

TerraTerra 365,3365,3 1,5 x 101,5 x 1088

MarteMarte 687687 2,3 x 102,3 x 1088

JúpiterJúpiter 4343,54343,5 7,8 x 107,8 x 1088

SaturnoSaturno 10767,510767,5 1,44 x 101,44 x 1099

UranoUrano 3066030660 2,9 x 102,9 x 1099

NetunoNetuno 6015260152 4,5 x 104,5 x 1099

PlutãoPlutão 9066690666 6,0 x 106,0 x 1099

EQUINÓCIOS E SOLSTÍCIOSEQUINÓCIOS E SOLSTÍCIOS

AS FASES DA LUAAS FASES DA LUA

As Leis de Kepler dão uma visão cinemática do sistema planetário.

Do ponto de vista dinâmico, que tipo de que tipo de força o Sol exerce sobre os planetas, força o Sol exerce sobre os planetas,

obrigando-os a se moverem de acordo obrigando-os a se moverem de acordo com as leis que Kepler descobriracom as leis que Kepler descobrira?

A resposta foi dada por Isaac Newton (1642-1727):

FORÇA GRAVITACIONAL!!!!FORÇA GRAVITACIONAL!!!!

LEI DA GRAVITAÇÃO LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSALUNIVERSAL

“Dois pontos materiais se atraem mutuamente com forças que têm a direção da

reta que os une e cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto de

suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa.”

r

M mF F

G = constante de gravitação universal = 6,67 x 10-11 (SI)

2r

GMmF

Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal:

Devido a sua enorme massa, o Sol tende a atrair os planetas em sua direção

Quanto mais próximo do Sol, maior a velocidade do planeta para que possa escapar do campo de

atração gravitacional do Sol

A densidade de um planeta influencia na sua velocidade de rotação

(quanto mais denso, mais lento)

Cálculo da aceleração da Cálculo da aceleração da gravidadegravidade

2r

GMg

PesoFG

mgr

GMm

2

Corpos em órbitas circularesCorpos em órbitas circulares

PesoFF gC

SatélitesSatélitesNaturais

Artificiais

Lua

Telecomunicações

2

2

r

GMm

r

mv

mgr

mv

2

r

GMv

rgv

v

MCUMCU

QuestõesQuestões

1. (Udesc 2011) Analise as proposições a seguir sobre as principais características dos modelos de sistemas astronômicos. I. Sistema dos gregos: a Terra, os planetas, o Sol e as estrelas estavam incrustados em esferas que giravam em torno da Lua. II. Ptolomeu supunha que a Terra encontrava-se no centro do Universo; e os planetas moviam-se em círculos, cujos centros giravam em torno da Terra. III. Copérnico defendia a ideia de que o Sol estava em repouso no centro do sistema e que os planetas (inclusive a Terra) giravam em torno dele em órbitas circulares. IV. Kepler defendia a ideia de que os planetas giravam em torno do Sol, descrevendo trajetórias elípticas, e o Sol estava situado em um dos focos dessas elipses.  Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. b) Somente a afirmativa II é verdadeira. c) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

V

F

V

V

2. (Ufrs 2011) Considere o raio médio da órbita de Júpiter em torno do Sol igual a 5 vezes o raio médio da órbita da Terra.Segundo a 3a Lei de Kepler, o período de revolução de Júpiter em torno do Sol é de aproximadamente:

a) 5 anos. b) 11 anos. c) 25 anos. d) 110 anos. e) 125 anos.

Resolução questão 2:

Temos que:

Pela 3ª Lei de Kepler:

B

3. (Unicamp 2011) Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei da Gravitação Universal, e dela pode-se obter a aceleração gravitacional a uma distância d de um corpo de massa M , dada por sendo G = 6,7 x 10−11 Nm2 /kg2 a constante de gravitação universal. Sabendo-se o valor de G, o raio da Terra, e a aceleração da gravidade na superfície da Terra, foi possível encontrar a massa da Terra, Mt = 6,0 x 1024 kg.A aceleração gravitacional sobre um determinado satélite orbitando a Terra é igual a g = 0,25m/s2.  A distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de: a) 1,7 x 103 km. b) 4,0 x 104 km. c) 7,0 x 103 km. d) 3,8 x 105 km.

Dados: Mt = 6,0 1024 kg; G = 6,7 10−11 N.m2 /kg2; g = 0,25 m/s2

Da expressão dada:

d = 4 104 km

d =

11 24

14 7tG M 6,7 10 6 1016 10 4 10 m

g 0,25

Resolução questão 3:

g = 2

G M

d

B