grandezas e medidas, geometria e estatística. perímetro de um polígono o perímetro é obtido...

Grandezas e medidas, Geometria e Estatística


Perímetro de um polígono

O perímetro é obtido calculando-se a soma das medidas de comprimento de seus lados.

Exemplo:

100 + 73 + 100 + 73 = 346 m

Perímetros

100 m

73 m

PAUL

O M

ANZI

/ AR

QU

IVO

DA

EDIT

ORA

2

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaComprimento da circunferência (perímetro do círculo)

C = . d

C = 2 r

circunferência

diâmetroraio

centro

7,222 cm

3

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaEquivalência de perímetros

Os polígonos têm equivalência de perímetros,pois todos eles têm perímetro igual 20 cm.

4

5 cm 5 cm

5 cm5 cm

2 cm

4 cm

7 cm

4 cm

3 cm

5 cm

8 cm

3 cm

4 cm


Área é a medida de uma superfície.

Exemplo:

Equivalência de áreas

Área de uma superfície

5

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaUma curiosa forma de cálculo de área

Pontos da fronteira e pontos interiores

Exemplo:

f: número de pontos da fronteira

i: número de pontos interiores

f = 9 i = 6

6

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaA fórmula procurada

Escreva f

Some i a essenúmero

Subtraia 1 doresultado

11

Exemplo:

+ 4 ou

– 1 ou

A = – 1

Multiplique fpor

7


Área de uma região retangular

A = b . a A = ℓ . ℓ

Área de uma região limitada por um paralelogramo

A = b . a

A = ℓ2ou

Fórmulas para o cálculo de áreas

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

a (medida da largura ou da altura)

b (medida do comprimento ou da base)

a (medida da altura)

b (medida da base)

8

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaÁrea de uma região triangular

A =

Área de uma região poligonal regular

Para determinar a área de uma região poligonalregular de n lados, decompomos essa regiãoem n regiões triangulares e, em seguida,determinamos a área total.

A = n .

altura a

base b

a

b

9

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um losango

A = 2 .

Área do triângulo:

= d . =

d

10

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um trapézio

A =

Área do paralelogramo: (B + b) . a

altura

base menor

base maior

a

B

b B

b

B

b

11

Links paraambiente online

http://www.projetotelaris.com.br/sitepages/exibeswf.html?p_width=820&p_height=620&p_src=http://stg2.novoser.com.br/SER_PP%20CDConvSim/010590/index.html


Equivalência de volumes

Os volumes das duas formas geométricas são iguais, portanto elas são equivalentes em seus volumes.

Volume de um sólido geométrico

12


Volume de um paralelepípedo

V = a . b . c

Fórmulas para o cálculo da medida de volume

a

b

c

13

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaVolume de um prisma qualquer

O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base pela medida da altura.

V = B . a

B (área)

a a

B (base)

14

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaVolume de uma pirâmide

V =

área da base

altura

a

b

c

15

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaPlanificações de formas geométricas espaciais (ou sólidos geométricos)

16


Poliedros regulares são aqueles cujas faces são regiões poligonais regulares iguais e, nos quais, para todo vértice, converge o mesmo número de arestas.

Exemplos:

Têm como contornoum polígono regular

Poliedros regulares

17


• As figuras A, B e D são poliedros, enquanto as figuras B e E não são, pois têm partes arredondadas.

• Os poliedros A e C são convexos, pois não têm reentrâncias, e o poliedro D não é convexo porque tem reentrância.

• Entre os poliedros convexos, temos os poliedros regulares. No caso apenas o poliedro A é regular, pois é o único entre os dois convexos que tem regiões poligonais regulares iguais.

sem reentrância com reentrância

18

A

B C

D

E


Malha pontilhada

Algumas representações de sólidos geométricos no plano

19

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaMalha quadriculada

20

Link paraambiente online

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaMalha triangular

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Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaVistas de um sólido geométrico

Vista lateral esquerda

Vista de frente

Vista de baixo

Vista lateral direita

Vista de cima

Vista de trás

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Perspectiva é a representação dos objetos como eles são vistos. É uma representação tridimensional.

Perspectiva: outra representação de figuras tridimensionais no plano

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Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaDesenho em perspectiva

PFLH

PFLH

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Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaRepresentação em perspectiva na linha do horizonte

LH

PF

25


Média aritmética

Calculamos a média aritmética das notas efetuando:

Você já estudou esse conteúdo; vamos relembrar com um exemplo?

MA = 4,0

Logo, a média aritmética das notas dos oito alunos na competição de dança foi 4,0.

Medidas de tendência central

2 3,5 1 2,5 9 3 1 10

MA =

MA =

26

2 + 3,5 + 1 + 2,5 + 9 + 3 + 1 + 108

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaMédia aritmética ponderada

Em um concurso para cães, os participantes foram julgados de acordo com determinados requisitos, e para cada um deles foi atribuído um peso:

Calculando a média aritmética ponderada tem-se:

Você lembra de que dependendo da importância atribuída a cada dado, podem ser associados a ele certos fatores de ponderação (pesos)? Vamos ver um exemplo!

Média = 7,75

beleza: peso 1; destreza: peso 2; porte: peso 3.

Douglas levou seu cão Machado e obteve:

beleza: 7,5 destreza: 9 porte: 7

Assim, a média aritmética ponderada de Machado foi 7,75.

= =

27

1 + 2 + 3

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaMediana

No exemplo abaixo, tem-se a altura em centímetros de cinco adolescentes.

Há situações em que dentro de um conjunto de dados há valores muito menores ou muito maiores que os demais, resultando em uma média que não representa a realidade do conjunto. Nesses casos, é conveniente utilizar a mediana.

Liz

165 cm 168 cm171 cm

157 cm152 cm

Cris Rô Ju Ma

MA

UR

O S

OU

ZA /

AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

28

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaVamos colocá-las em ordem crescente!

A mediana é o valor do meio...

... então a mediana é 165 cm!

Escrevemos Me = 165.

ILU

STR

AÇ

ÕE

S: M

AU

RO

SO

UZA

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

29

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaSuponha que uma sexta adolescente, que possui 167 cm, junte-se ao grupo.Vamos colocá-las na ordem crescente de novo!

Vamos colocá-las na ordem crescente de novo! Agora temos dois valores no meio...

... então a mediana é a média dos dois valores!

ILU

STR

AÇ

ÕE

S: M

AU

RO

SO

UZA

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

30

Me= =166.

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaModa

As medidas apresentadas até agora são formas de representar conjuntos de dados quantitativos. Mas e os dados qualitativos?

Qual seu esporte favorito entre ciclismo, natação ou basquete?

Qual medida utilizar numa pergunta como:JE

FF K

AU

FMA

N /

GE

TTY

IMA

GE

S

CH

AD

MC

DE

RM

OTT

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

WA

RR

EN

GO

LDS

WA

IN /

SH

UTT

ER

STO

CK

/ G

LOW

IMA

GE

S

31


Então precisamos utilizar uma medida de tendência central que seja apropriada para esses dados: a moda!

Chamamos de moda o elemento de maior frequência no conjunto.

No exemplo anterior, o moda é o basquete, ou seja, Mo = basquete.

É conveniente fazer a média desses dados? E a mediana?

Não! Pois os dados não são numéricos!

Suponha que, entre uma turma de 20 alunos, as respostas foram:

• 12 alunos preferem basquete;

• 5 alunos preferem natação;

• 3 alunos preferem ciclismo.

32


Experimento aleatório e espaço amostral

Em 7 jogadas diferentes, Lucas obteve os seguintes valores:

Durante um jogo de tabuleiro, Bruna e Lucas jogam um dado de seis lados.

Probabilidade

MA

UR

O S

OU

ZA /

AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

33

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaSe em condições idênticas jogarmos um dado repetidas vezes podemos prever qual face cairá voltada para cima?

Os resultados são imprevisíveis e por isso denominamos o lançamento de um dado um experimento aleatório.

Não!

Retomando o exemplo do jogo de tabuleiro, para cada jogada do dado, os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Esses valores correspondem ao espaço amostral que representamos por U (de “Universo”).

Assim, no exemplo o espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

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Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaEvento

Então, o evento “sair um número maior que cinco” pode ser representado por A = {5, 6} .

O jogo de Bruna e Lucas estava chegando ao fim e Bruna precisava tirar um número maior ou igual a cinco para ganhar.

Ou seja, Bruna precisava tirar 5 ou 6!

Esse conjunto de valores que podem dar vitória a Bruna é um subconjunto do espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Esse subconjunto é denominado evento e geralmente é representado por uma letra maiúscula (A, B, C, ...).M

AU

RO

SO

UZA

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

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Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaCálculo de probabilidadeA probabilidade é a chance de ocorrer um evento, por exemplo uma moeda cair com a face “cara” voltada para cima. Então podemos escrever que:

P(A) =

Vamos entender com um exemplo!

Lurdes jogou um dado de 6 faces durante um jogo de tabuleiro. Qual a probabilidade de ela tirar um número par?

Chamaremos o evento “obter um número par” de A, assim A = {2, 4, 6} ou seja, n(A) = 3.

O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então o número de resultados possíveis é n(U) = 6.

=

A probabilidade então é:

P(A) = ou 50%.= =

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Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaEvento impossível e evento certo

O professor Paulo vai sortear um livro de aventuras entre seus 30 alunos. Para isso ele escreveu em pedaços de papel os números de 1 a 30.

Qual a probabilidade de ele sortear um número maior que 40?

O número de resultados favoráveis é zero, pois não há no espaço amostral nenhum número maior do que 30!

Denominando o evento como A temos que n(A) = 0.

Como o espaço amostral é composto de papéis com números de 1 a 30, n(U) = 30.

Logo, a probabilidade é: P(A) = P(A) = 0

Portanto a probabilidade de o professor sortear um número maior que 40 é zero, ou seja, nunca ocorrerá!

Eventos que nunca ocorrerão são chamados de eventos impossíveis.

=

37

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaAgora, vamos calcular a probabilidade de o professor sortear um número menor ou igual a 30?

O número de resultados favoráveis é 30, pois entre os números de 1 a 30 há 30 números que são menores ou iguais a 30. O espaço amostral continua o mesmo.

Denominando o evento como B temos que n(B) = 30.

Como o espaço amostral é composto de papéis com números de 1 a 30, n(U) = 30.

Logo, a probabilidade é: P(B) = P(B) = 1 ou 100%

Portanto a probabilidade de o professor sortear um número menor ou igual a 30 é 1, ou seja, sempre ocorrerá!

Eventos que sempre ocorrerão são chamados de eventos certos.

=

38

Grandezas e medidas, Geometria e EstatísticaEventos equiprováveis e eventos não equiprováveis

Ou seja, os eventos têm a mesma probabilidade e os chamamos de eventos equiprováveis.

Imagine agora um dado que não possui uma face com o número 1 e possui duas faces com o número 6.

Qual a probabilidade de sair a face com o número 1 voltada para cima?E com o número 4?

E com o número 6? P(A) = 0Esse evento é impossível!

Esses eventos não têm a mesma probabilidade, então os chamamos de eventos não equiprováveis.

3

6 2 5 6

4P(B) =

P(C) = =

Ao lançar um dado de seis faces a probabilidade de cada face sair é .

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