Grandezas e medidas e Estatística

Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo de perímetros

Perímetro de um polígonoVocê lembra como calcula o perímetro de um losango?E de um paralelogramo?

O perímetro é a medida do comprimento de um contorno. No caso dos polígonos, o perímetro é obtido com a soma das medidas do comprimento de seus lados.

Vamos relembrar:

Exemplo:

Uma praça tem uma forma triangular e seus lados medem: 30 m, 20 m e 12 m.Então, seu perímetro é: P = 30 + 20 + 12 = 62 m PAULO MANZI / A

RQUIVO DA EDITORA

2

Grandezas e medidas e Estatística

ou C = . d ou ainda C = 2 r=

Perímetro de uma circunferênciaA fórmula que representa a relação entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do diâmetro é:

É um número irracional, e para efetuar cálculos utilizamos aproximações como = 3,14.

Comprimento de um arco de uma circunferência

Se 360º : 90º = 4 então x = Se 360º : 180º = 2 então x = . r

x

90º

x

180º

3

Grandezas e medidas e EstatísticaPerímetro de um setor circular

P = r + r + xComprimento do arco depende do ângulo do setor.

Raio do setor.

360º : 45º = 8 então x =

x

r

r

45º

4

Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo de áreasÁrea de uma região quadradaPara calcular a área da região quadrada Q, podemos decompô-la em 9 regiões quadradas de 1 cm2 cada.Assim, a área da região é 9 cm2.

Área da região Q = 32 = 9 cm2

É possível fazer o mesmo procedimento para a região quadrada R?

Utilizando o quadrado de área 1 cm2 não é possível.Mas podemos fazer o mesmo com quadrados de área 0,25 cm2!

Assim, é possível dividir a região R em 49 regiões de 0,25 cm2 de área.A área da região R é 49 . 0,25 = 12,25 cm2 A = ℓ . ℓ ou A = ℓ2

3 cm

3 cm

Região Q

1 cm²

3,5 cm

3,5 cm

Região R

0,25 cm²

5

Grandezas e medidas e Estatística

Vamos repetir o procedimento anterior para os dois exemplos abaixo:

Área da região S = 3 . 5 = 15 cm2

Relembrando o que concluímos sobre a área de uma região quadrada, a que conclusão podemos chegar?

A = a . b

Área de uma região retangular qualquer

Área da região T = 2,5 . 4,5 = 11,25 cm2

3 cm

5 cm

Região S

2,5 cm

4,5 cm

Região T

b

a

6

Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um paralelogramo

Considerando o paralelogramo abaixo, com base b e altura h, podemos movero triângulo DAE para a posição CBF sem alterar a medida da base ou da altura.

Assim, “transformamos” o paralelogramo numa figura que sabemos calcular a área!

Logo, a área da região ABCD é igual a b . h.

A = b . h

A B

CD

E

h

b

7

B

CD

E

b

F

h

Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região triangular

Para calcular a área da região triangular, podemos utilizar o mesmo procedimento e “transformar” em uma figura que sabemos calcular.

Já sabemos que a área do paralelogramo é bh.

Pelo caso de congruência LAL, sabemos que as regiões triangulares ABC e ADC são congruentes, então:

Área da região ABCD = 2 . Área da região triangular ABC

Ao traçar paralelas aos lados e , podemos determinar o ponto D e a região limitada pelo paralelogramo ABCD.

Área da região triangular ABC =

A

B C

D

E

h

8

Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um trapézio

Podemos decompor o trapézio em duas regiões triangulares, pois sabemos calcular a área dessas regiões.

Denominando uma base B e altura h, e outra base b e altura h, temos:

Área de uma região limitada por um losango

Área do losango =

A =

B

hh

b

d

D

Área do trapézio = + = =

9

Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um polígono regular

Para calcular a área de uma região limitada por um polígono regular de n lados, podemos decompor a figura em n regiões triangulares.

Assim, a área que procuramos é n vezes a área de cada região triangular.Vejamos um exemplo: a é o apótema do polígono.

ℓ é o lado do polígono.

A região hexagonal é composta de 6 regiões triangulares congruentes, então,

Esse é o valor do perímetro, logo:

A =

A = 6 . A = 6 . =

a

A B

O

ℓ

ℓℓ

A = ℓ

10

Grandezas e medidas e EstatísticaCálculo aproximado de áreasComo calcular áreas de regiões não regulares como a figura abaixo?

Pode-se fazer isso utilizando papel quadriculado:1) Coloque a figura em uma malha quadriculada e conte a quantidade de quadrados inteiros que estão no interior da figura.

2) Conte agora o menor número possível de regiões inteiras que cobrem totalmente a região R.

Área por falta = 34

Área da região é maior que 34 e menor do que 67 .

Podemos aproximar fazendo a média aritmética entre os dois valores:

A área do = 0,25 cm2, então A = 12,63 cm2.

A A 50,5

R

Área por excesso = 67

11

Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de um círculo

Já vimos que a área de uma região determinada por um polígono regular é:

Observando a figura, podemos perceber que, à medida que aumentamos a quantidade de lados, o polígono se aproxima cada vez mais de uma circunferência.

A =

Na circunferência, o apótema passa a ser o raio (r), e o perímetro passa a ser o comprimento da circunferência (2 r). Assim,

A = = = r²

a aaa

aaaa

r

12

Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea lateral e área total de um sólido geométrico

A área lateral de um prisma é dada por produto do perímetro de uma das bases pela altura do prisma.

Um cilindro de altura h, cuja base é um círculo de raio r, tem como área lateral 2 rh.

A área total da superfície de um cilindro é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.

A área total da superfície de um prisma é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.

r

h

13

Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo da medida de volumeA medida do volume de um cubo cuja aresta mede a é dada por:

A medida do volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base (a . b) pela medida da altura c.

A medida do volume de um prisma é dada multiplicando-se a área da base pela medida da altura desse prisma.

V = a³

V = abc

V = B . h

ab

c

h

área da base: B

aa

a

14

Link paraambiente online

Grandezas e medidas e EstatísticaA medida do volume de um cilindro (V) é igual à área da base (B) multiplicada pela altura h.

A medida do volume de um cone é igual a um terço do volume de um cilindro de mesma área da base e mesma altura.

A medida do volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume de um prisma de mesma área da base e mesma altura.

V = B . h

V =

V =

h

B

h

B

h

B

h

B

15

Grandezas e medidas e EstatísticaEstatísticaPesquisa estatística e termos relacionados a ela

Variável e valor da variávelVamos relembrar com exemplos!Na questão “Qual a sua disciplina favorita na escola?”, qual é a variável e qual é o valor da variável?

Matemática, História e Inglêssão alguns valores dessa variável.

“Disciplina da escola” é a variável.

Agora identifique a variável e o valor da variável na questão “Qual o seu grau de instrução?”.

A variável é “grau de instrução”.

Alguns possíveis de valores são: Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino Superior.

16

Grandezas e medidas e EstatísticaTipos de variável

Variável

Qualitativa Quantitativa

Ordinal Nominal Discreta Contínua

Expõe uma qualidade e seus valores seguem uma ordem.Ex.: “Grau de instrução”.

Expõe uma qualidade, mas seus valores não seguem uma ordem.Ex.: “Disciplina da escola”.

Expõe uma quantidade por meio de um número real, pois indica uma medida.Ex.: “Altura”.

Expõe uma quantidade por meio de um número natural, pois indica uma contagem.Ex.: “Idade” (em anos).

17

Grandezas e medidas e EstatísticaFrequência absoluta e frequência relativa de uma variável

O número de vezes que cada valor da variável é citado é sua frequência absoluta (FA).

Em uma atividade, 20 alunos foram entrevistados sobre o sabor de sorvete preferido deles e os resultados foram:

ValorFrequência

absoluta

Chocolate 5Morango 4Abacaxi 10

Coco 1

Frequência relativa

5 : 20 = 0,25 ou 25% 4 : 20 = 0,20 ou 20%10 : 20 = 0,5 ou 50% 1 : 20 = 0,05 ou 5%

A frequência relativa também pode ser representada na forma de fração!

Podemos apresentar esses resultados também utilizando a frequência relativa (FR).

18

Grandezas e medidas e EstatísticaTabela de frequências por intervalos

Há casos em que a variável apresenta muitos valores, tornando inviável montar uma tabela com um valor por linha.

Nesses casos, utilizamos o agrupamento de valores em intervalos ou classes.

Em uma pesquisa, 15 alunos disseram que suas alturas são:

1,73 m 1,70 m 1,80 m 1,62 m 1,74 m 1,70 m 1,74 m 1,81 m 1,68 m 1,76 m 1,62 m 1,63 m 1,75 m 1,65 m 1,66 m

1) Identificamos o menor e o maior valor.

2) Obtemos a amplitude total subtraindo o maior valor do menor: 1,81 – 1,62 = 0,19

Vamos aprender o procedimento de montagem da tabela com um exemplo.

19

Grandezas e medidas e Estatística

Nesse caso, vamos escolher 5 intervalos e o valor 0,20:

Altura em m (em classes) Contagem FA FR (%)

1,62 1,66⊢ 4 26,7

1,66 1,70⊢ 2 13,3

1,70 1,74⊢ 3 20

1,74 1,78⊢ 4 26,7

1,78 1,82⊢ 2 13,3

Total 15 100

3) Escolhemos o número de intervalos, consideramos um valor conveniente (pouco acima da amplitude total) e determinamos a amplitude de cada intervalo.

Assim, elaboramos a tabela de frequências: 0,20 : 5 = 0,04

1,62 1,66 indica um intervalo fechado à esquerda e ⊢aberto a direito, ou seja, 1,66 não pertence ao intervalo.

20

Grandezas e medidas e EstatísticaGráficosGráfico de segmentos ou gráfico de linhasA tabela e o gráfico abaixo tratam de dados sobre a retirada de livros em uma biblioteca.

Existe uma correspondência: para cada mês, temos um número de livros retirados. O par mês e livros forma um par ordenado e assim o marcamos no plano cartesiano.

Depois de colocar os pontos, podemos ligá-los com segmentos, mas lembre-se de que os segmentos só têm significado se a variável for contínua!

Mês Número de livros retiradosFevereiro 150

Março 300Abril 250Maio 250Junho 200

50

100

150

200250300

Fev. Mar. Abr. Maio Jun.

Número delivros retirados

Meses

21

Grandezas e medidas e EstatísticaGráfico de barras ou colunasO gráfico de barras pode ser utilizado para representar as frequências dos valores de uma variável por meio de barras horizontais ou verticais.

A tabela abaixo mostra as frequências de vitórias, empates e derrotas de um time de futebol.

Jogos FA FR

Vitórias 10 50%

Empates 4 20%

Derrotas 6 30%

A partir da frequência absoluta podemos construir gráficos de barras verticais.

A partir da frequência relativa construímos gráficos de barras horizontais. Note que as barras têm a mesma

largura e comprimentos diferentes!

Números dos resultados

2

4

6

8

10

ResultadosV E D

V

E

D

Resultados

Porcentagem dos resultados

10% 20% 30% 40%50%

22

Grandezas e medidas e EstatísticaGráfico de setoresNesse tipo de gráfico, as frequências dos valores das variáveis são associadas a setores circulares.

A maior vantagem do gráfico de setores é a possibilidade de comparar imediatamente a frequência do valor de uma variável com o universo do conjunto.

Vejamos um exemplo:

Em uma escola, foram oferecidas aos alunos três atividades extras: natação, dança e informática. A quantidade de alunos que escolheu cada uma foi 42, 48 e 30, respectivamente.

Atividade FA FRNatação 42 35%

Dança 48 40%

Informática 30 25%

Total 120

Vamos calcular o ângulo de cada um:Natação: 35% de 360º = 126ºDança: 40% de 360º = 144ºInformática: 25% de 360º = 90º

23

Grandezas e medidas e Estatística

Construímos então o gráfico de setores:

Podemos também utilizar as frequências absolutas no gráfico:

Natação(35%)

Dança(40%) Informática

(25%)

Natação(42)

Dança(48) Informática

(30)

24

Grandezas e medidas e EstatísticaHistogramaQuando os dados estão agrupados em classes podemos apresentá-los graficamente utilizando um histograma.

O histograma tem características diferentes:

• É formado por um conjunto de retângulos justapostos.

• Os pontos médios das bases dos retângulos devem coincidir com os pontos médios dos intervalos das classes.

Observe o exemplo:

Notas Frequência 0 2⊢ 12 4⊢ 24 6⊢ 76 8⊢ 12

8 10⊢ 8

25

Grandezas e medidas e EstatísticaAo ligar os pontos médios das bases superiores de cada barra, sem sequência, obtemos uma linha (vermelha) conhecida como polígono do histograma.

Observe o exemplo:

Altura (cm) FA FR140 150⊢ 6 15%150 160⊢ 10 25%160 170⊢ 12 30%170 180⊢ 8 20%180 190⊢ 4 10%

26

Grandezas e medidas e EstatísticaPictogramas ou gráficos pictóricosÉ comum encontrar em revistas e jornais gráficos ilustrados com figuras sobre o tema tratado. Essa é uma forma de torná-los mais atrativos.Veja o exemplo:

PLA

NE

TA S

US

TEN

TÁV

EL

/ DIV

ULG

AÇ

ÃO

27

Grandezas e medidas e EstatísticaMedidas de dispersão

Você estudou as medidas de tendência central: a média aritmética, mediana e moda.

Quando os dados estão muito dispersos, essas medidas tornam-se insuficientes para representá-los.

Assim, é conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão dos dados.

Amplitude

Variância

A amplitude de um conjunto de dados numéricos mostra a faixa de variação entre os elementos desse conjunto.

A variância é determinada a partir das diferenças entre cada elemento e a média do conjunto. Por isso, é mais significativa que a amplitude.

28

Grandezas e medidas e EstatísticaPara calcular a variância (V) seguimos as etapas:

1) Encontramos a média aritmética:

2) Determinamos as diferenças entre a média aritmética e cada elemento do conjunto:

Considere o conjunto de dados:

68, 58, 67, 63, 64, 64, 68, 63, 67, 63, 63, 63, 69, 56

4, –6,3, –1, 0, 0, 4, –1, 3, –1, –1, –1, 5, –8

3) Elevamos ao quadrado essas diferenças:

4) Somamos todos os quadrados:

5) Dividimos o resultado da soma pelo número de elementos do conjunto:

16, 36, 9, 1, 0, 0, 16, 1, 9, 1, 1, 1, 25, 64

16 + 36 + 9 + 1 + 0 + 0 + 16 + 1 + 9 + 1 + 1 + 1 + 25 + 64 = 180

= = 64

V = 12,9

29

Grandezas e medidas e EstatísticaDesvio-padrão

Observe o exemplo a seguir, consistido em por 4 conjuntos de dados:

Conjunto Dados Amplitude

A 14, 11, 12, 10, 13 14 – 10 = 4

B 2, 5, 20, 7, 26 26 – 2 = 24

C 12, 12, 12, 12, 12 12 – 12 = 0

D 1, 13, 11, 10, 25 25 – 1 = 24

Amplitude nula significa que não há dispersão.

Os conjuntos B e D, possuem amplitudes iguais, mas dispersões diferentes.

Ou seja, não podemos adotar a amplitude como única medida de dispersão!

O desvio-padrão é obtido extraindo-se a raiz quadrada do valor encontrado para a variância. Ele é representado pela letra grega minúscula sigma ( ): 2: variância : desvio-padrão

No exemplo anterior 2 = 12,9, então, = 3,59.

30

Grandezas e medidas e EstatísticaVariância e desvio-padrão

Continuando com o exemplo, vamos comparar as medidas de dispersão:

Conjunto Dados Amplitude Média Variância Desvio- -padrão

A 14, 11, 12, 10, 13 14 – 10 = 4 12 2 1,41B 2, 5, 20, 7, 26 26 – 2 = 24 12 86,8 9,32C 12, 12, 12, 12, 12 12 – 12 = 0 12 0 0D 1, 13, 11, 10, 25 25 – 1 = 24 12 59,2 7,69

O conjunto B é o de maior dispersão.

O que podemos concluir a partir da tabela?

O conjunto C é o mais homogêneo.

31

Grandezas e medidas e EstatísticaCombinatória: métodos de contagemPrincípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagemLuciana tem 2 saias e 3 blusas de cores distintas enquanto Danilo tem 3 calças e 2 blusas também de cores diferentes. Qual deles tem mais opções de roupas?

Esse é um problema que pode ser resolvido montando uma tabela:

Ambos têm 6 combinações de roupas.

Note que pudemos enumerar todas as opções, mas como faríamos se a quantidade de peças de roupas fosse muito grande?

32

Grandezas e medidas e EstatísticaPara solucionar esse problema, podemos utilizar o princípio multiplicativo também conhecido como princípio fundamental da contagem.

Se uma decisão D1 pode ser tomada de m modos e, qualquer que seja essa escolha, a decisão D2 pode ser tomada de n modos, então o número de maneiras distintas de se tomar

consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a m . n.

No exemplo anterior, Luciana tinha duas decisões D1 (escolher entre duas saias) e D2 (escolher entre três blusas), então o número de maneiras distintas de tomarmos consecutivamente as decisões D1 e D2 é 2 . 3 = 6.

Analogamente para Danilo:D1 (escolher entre três calças) D2 (escolher entre duas blusas) D1 . D2 é 3 . 2 = 6

33

Grandezas e medidas e EstatísticaOutros problemas de contagem

Em muitas situações do dia a dia, é necessário criar senhas com letras e/ou números. Acompanhe o exemplo a seguir:

Quantas senhas de dois elementos podemos formar começando com uma das quatro primeiras letras do alfabeto e terminando com um número ímpar no intervalo de 0 a 10?

Começando com... Possibilidades

A A1, A3, A5, A7, A9B B1, B3, B5, B7, B9C C1, C3, C5, C7, C9D D1, D3, D5, D7, D9

Utilizando o princípio multiplicativo também podemos determinar a quantidade de senhas:

São 20 possibilidades de senha!

4 . 5 = 20

34

Grandezas e medidas e EstatísticaProbabilidadeProbabilidade condicionalA probabilidade de ocorrer um evento A condicionado ao fato de um evento B que já ocorreu é denominada probabilidade condicional.Acompanhe o exemplo a seguir:Uma estrebaria possui 18 equinos em treinamento. Dos 9 que já estão com ferradura, 5 são éguas. Dos cavalos, 6 ainda não receberam ferraduras.a) Sorteando um equino do grupo, qual a probabilidade de ele estar sem ferradura?Para resolver podemos montar uma tabela:

Com ferradura

Sem ferradura Total

Cavalos 4 6 10Éguas 5 3 8Total 9 9 18

A probabilidade de, tomado ao acaso, um equino estar sem ferradura é:

P = =

35

Grandezas e medidas e Estatísticab) No mesmo grupo, qual a probabilidade de ter uma égua com ferradura?

Com ferradura Sem ferradura Total

Cavalos 4 6 10

Éguas 5 3 8

Total 9 9 18

A probabilidade de esse equino, tomado ao acaso, ser égua, com ferradura, é condicionada. Assim:

total de éguas com ferradura

total de éguasP =

36

Grandezas e medidas e EstatísticaEstatística e Probabilidade

Estimando probabilidades a partir de dados estatísticos

Muitos fenômenos são de natureza aleatória; assim, os estudos de Estatística e de Probabilidade complementam-se.

Considere o problema:Uma fábrica produz 1 milhão de canetas por mês. Só com essa informação, como saber a probabilidade de encontrar uma caneta defeituosa?Pode-se fazer então uma estimativa da probabilidade coletando uma amostra aleatória de canetas e verificando quantas são defeituosas:

Tamanho da amostra

Canetas defeituosas

FA FR

1 1 200 9 0,75%2 900 10 1,11%3 3 400 25 0,74%4 2 000 20 1,00%

Total

7 500 64

A probabilidade estimada de encontrar uma caneta defeituosa é:

P(A) = 0,85 %

37