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Geometria Plana – EP05 – Gabarito

Prezado(a) aluno(a),

o conteudo desta semana voce encontra nos seguinte capıtulo do livro de Geometria Basica - Modulo1 - Volume 1 ou em Cadernos Didaticos, na Plataforma.

Aula 4: Angulos em uma Circunferencia;

Exercıcio 1: As cordas AC e BD de certa circunferencia, quando prolongadas, cortam-se formando

um angulo exterior AMB que mede 30◦. Determine⌢CD sabendo que a corda AB e igual ao lado

do pentagono regular inscrito. Faca uma figura que represente o enunciado.Solucao: Considere que as cordas AC e BD da circunferencia, quando prolongadas, cortam-seformando um angulo exterior AMD = 30◦:

Como a corda AB e igual ao lado do

pentagono regular inscrito, ou seja,

AB = l5, entao m(⌢AB) =

360◦

5= 72◦.

AMB e angulo excentrico externo, entao

AMB =m(

⌢AB)−m(

⌢CD)

2

30◦ =72◦ −m(

⌢CD)

2⇒ 60◦ = 72◦ −m(

⌢CD) ⇒ m(

⌢CD) = 72◦ − 60◦ = 12◦.

Exercıcio 2: De um mesmo ponto de uma circunferencia de centro O, tracam-se duas cordas. Umae o diametro e outra o lado do triangulo equilatero. Ache a medida do angulo formado pelas cordas.Faca uma figura que represente o enunciado.Solucao: Seja a circunferencia γ de centro O e A ∈ γ. Considera-se AB o diametro da circunferencia

e AC o lado do triangulo equilatero, entao m(⌢AC) =

360◦

3= 120◦ (1)

Denote m(BAC) = x, temos que m(⌢

ACB) = 180◦ (2)

ja que AB e diametro da circunferencia. De (2) e (1) vem

m(⌢BC) = m(

⌢AB)−m(

⌢AC) ⇒ m(

⌢BC) = 180◦ − 120◦ = 60◦.

Como x e angulo inscrito, entao x =m(

⌢BC)

2=

60◦

2= 30◦.

Geometria Plana – EP05 Gabarito 2

Exercıcio 3: ABCDE e um pentagono inscrito em um cırculo de centro O. Se os lados BC, CD eDE subentendem angulos de 30◦, 40◦ e 38◦, respectivamente em A, enquanto que AB subentendeum angulo de 35◦ em C, determine todos os angulos do pentagono.

Solucao: Seja ABCDE e um pentagono inscrito em um cırculo de centro O, temos que

BAC = 30◦, CAD = 40◦, DAE = 38◦ e BCA = 35◦.

Logo⌢AB= 2 · 35◦ = 70◦,

⌢BC= 2 · 30◦ = 60◦,

⌢CD= 2 · 40◦ = 80◦ e

⌢DE= 2 · 38◦ = 76◦.

Daı⌢AE= 360◦ − (70◦ + 60◦ + 80◦ + 76◦) = 360◦ − 286◦ = 74◦.

Podemos concluir que:

BAE = BAC + CAD +DAE = 30◦ + 40◦ + 38◦ = 108◦,

ABC =

⌢AE +

⌢ED +

⌢DC

2=

74◦ + 76◦ + 80◦

2=

230◦

2= 115◦

ACD =

⌢AE +

⌢ED

2=

74◦ + 76◦

2= 75◦ ⇒ BCD = 35◦ + 75◦ = 110◦

CDE =

⌢CB +

⌢BA +

⌢AE

2=

60◦ + 70◦ + 74◦

2=

204◦

2= 102◦.

DEA =

⌢DC +

⌢CB +

⌢BA

2=

80◦ + 60◦ + 70◦

2=

210◦

2= 105◦.

Portanto os angulos do pentagono sao 108◦, 115◦, 110◦, 102◦ e 105◦.

Atencao: Este pentagono nao e regular. Justifique.

Exercıcio 4: B, A e C sao pontos de uma circunferencia cujo centro e O e BAC = 115◦.

a) Faca uma figura que represente o enunciado.

b) Calcule, em graus, os angulos BOC e OBC.

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Geometria Plana – EP05 Gabarito 3

c) Se BD e o diametro, calcule o angulo BDC do quadrilatero ABDC.

Solucao: a) Considere a figura, tal que B, A e C sao pontos de uma circunferencia de centro O e

BAC = 115◦.

b) Trace o diametro BD passando por O.

BAC =

⌢BDC

2⇒ 115◦ · 2 =

⌢BDC⇒

⌢BDC= 230◦.

Entao⌢

BAC= 360◦ − 230◦ = 130◦.

Logo BOC =⌢

BAC= 130◦.

Como⌢BC +

⌢CD= 180◦, entao

⌢CD= 180◦ − 130◦ = 50◦.

Logo OBC =

⌢CD

2=

50◦

2= 25◦.

c) Como o quadrilatero convexo ABDC esta inscrito

na circunferencia, entao seus angulos opostos

sao suplementares. Como BAC = 115◦, entao

BDC = 180◦ − 115◦ = 65◦.

Pergunta:E possıvel determinar todos os angulos do quadrilatero ABDC, acima? Justifique.Observe as figuras:

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