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GEOMETRIA LÚDICA: DESCOBRINDO A ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Agda Jéssica de Freitas Galletti – UnB – DF – aj.mat@hotmail.com

Francisca Priscila Ferreira da Silva – UnB - DF – priscilafs.df@hotmail.com

Gabriela Aparecida Parreira – UnB - DF – gabparreira@gmail.com

Resumo – Geometria Lúdica: descobrindo a área de figuras planas é uma proposta de

minicurso para o VI EBREM, voltado a professores de matemática da educação básica. O

principal objetivo consiste em determinar a área de figuras planas, figuras congruentes,

figuras equivalentes, teorema de Pitágoras, teorema de Pick e diversas aplicações

geométricas. Na abordagem dinâmica do tema, aplicando indução, dedução e raciocínio

lógico, os conceitos são desenvolvidos e os conhecimentos são formulados mediante

atividades de conjetura, observação, comparação e generalização, evitando assim a

memorização de fórmulas. Os recursos didáticos utilizados nas experiências e na resolução de

problemas incluem geoplanos, poliminós, polidiamantes, tangrans, malhas quadrangulares e

isométricas. O minicurso almeja avivar no participante o interesse pelas atividades escolares

que facilitem o processo de ensino-aprendizagem, a participação ativa dos alunos em sala de

aula e o uso de recursos pedagógicos manipuláveis, contribuindo assim para uma melhoria na

qualidade de ensino.

Palavras-chave: Área de figuras, geoplano, geometria plana.

Público alvo: Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Objetivos

Os objetivos incluem o desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade, da capacidade

de resolver problemas aplicando método de investigação matemática e também promover o

uso de recursos didáticos no estudo da geometria como auxílio na aprendizagem dos

conceitos.

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Justificativa  

Área de figuras planas é tema importante no curriculum escolar por suas conexões com

outros ramos da matemática, pelas competências e habilidades que com ele são desenvolvidas

e pelas suas numerosas aplicações. Essa proposta tem grande importância porque o processo

de ensino-aprendizagem desenvolve importantes competências e habilidades matemáticas e

coloca ao aluno como o principal construtor do seu conhecimento. O minicurso permite que o

educador matemático estimule a participação ativa dos alunos na construção dos conceitos e

se sinta motivado a buscar novas formas de transmitir o conteúdo, se tornando agente

tranformador da realidade educacional.

 

Metodologia  

A  metodologia  aplicada  é  ativa  e  lúdica,  inclui  a  realização  de  experiências  e  a  resolução  de  

problemas.  Os  participantes  trabalham  em  grupo  ou  individualmente.  Os  recursos  didáticos  

utilizados   nas   atividades,   geoplanos   quadrangular   e   isométrico,   poliminós,   polidiamantes,  

tangrans,  malhas  quadrangulares  e   isométricas,  são  facilitadores  para   incentivar,  motivar  e  

para  desenvolver  o   raciocínio   lógico,  além  de  propiciar  a   construção  do  conhecimento  e  a  

sociabilização.  Todos  os  materiais  didáticos  e  as  soluções  das  atividades  serão  colocados  à  

disposição  dos  professores  cursistas.  

Área de figuras planas

Área de uma figura plana é um número real positivo que

representa o tamanho da superfície dessa figura. Notação - Área da

figura F: A(F) .

Tomamos como unidade de área a área de um quadrado cujo lado

mede uma unidade de comprimento, 1u, chamado quadrado

unitário, notado por 𝑄!.

Notação – Unidade de área: 1u² - Área de 𝑄!: A(𝑄!) = 1u²

As seguintes atividades usam o geoplano quadrangular onde as unidades

de comprimento e de área são representadas como na Figura 1.

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Atividade 1. i)Representar um retângulo 𝑃!com medidas: base, b=2u e altura, h=1u.

ii) Representar um retângulo 𝑃! com medidas: base, b=4u e altura, h=1u.

iii) Representar um retângulo 𝑃!  com medidas: base, b=2u e altura, h=3u.

iv) Comparar: retângulos 𝑃!  e 𝑃!; retângulos 𝑃! e 𝑃!.-

Concluímos que a área de um retângulo R é diretamente proporcional ao comprimento da base

b e é diretamente proporcional ao comprimento da altura h do retângulo, isto é,

A(R) = kbh, onde k é uma constante de proporcionalidade.

Atividade 2. Repetir a Atividade 1 para o caso onde o polígono é 𝑄!. -

Na Atividade 2 obtemos em (i): 𝑃!= 2𝑄!, neste caso é, A(𝑃!) = A(2𝑄!) = 2A(𝑄!) ; em (ii):

𝑃!= 4𝑄!, A(𝑃!) = A(4𝑄!) = 4A(𝑄!) ; em (iii): 𝑃!= 6𝑄!, A(𝑃!) = A(6𝑄!) = 6A(𝑄!).

Segue que a constante de proporcionalidade neste caso é A(𝑄!). Generalizando, segue Área

do retângulo é igual ao produto dos comprimentos da base e da altura

do retângulo. A[ABCD] = base × altura= b.h

Propriedades da área:- Retângulos congruentes têm a mesma área;

- Se um polígono P é a união de n polígonos 𝑃!, 𝑃!,..., 𝑃! que somente têm em comum alguns

lados, então a área de P é a soma das áreas dos 𝑃!, com 1 ≤ i ≤ n.

Para calcular a área de polígonos, os transformamos em figuras com áreas conhecidas.

Atividade 3. Construa um paralelogramo P, ABCD.

i) Determine os comprimentos da base e da altura do paralelogramo.

ii) Divida o paralelogramo em: um triângulo retângulo e um trapézio retângulo.

iii) Com os polígonos de (ii) forme um retângulo com a mesma base do paralelogramo e

calcule a área do retângulo.

iv) Determinar a área do paralelogramo.

Área de um paralelogramo P: A(P) = base × altura= b.h

Atividade 4. Construa um triângulo retângulo ΔABC.

i) Com o ΔABC e com outro triângulo congruente a ΔABC formar um retângulo ABCD

com a mesma base e altura que o triângulo ΔABC.

ii) Calcular a área do retângulo ABCD

iii) Achar a área do ΔABC.

iv) Repetir (i), (ii) e (iii) para um triângulo acutângulo arbitrário ΔABC.

v) Repetir (i), (ii) e (iii) para um triângulo obtusângulo arbitrário ΔABC.

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Área de um triângulo arbitrário ΔABC: A(ΔABC) = ½ (base × altura) = ½ b.h

Atividade 5. Construa um trapézio ABCD de base maior b, de base menor b’ e altura h.

i) Com o trapézio ABCD e com outro trapézio congruente formar um paralelogramo.

ii) Calcular a área do paralelogramo de (i).

iii) Determinar a área do trapézio ABCD.-

Área de um trapézio ABCD: A(ΔABC) = ½ (base maior×base menor x altura)=½ b.b´.h

Atividade 6. Construa no um losango L, ABCD, com diagonais d e d´.

i) Divida a figura anterior pelas diagonais e forme quatro triângulos congruentes.

ii) Construa um retângulo com os quatro triângulos e calcule a área do retângulo.

iii) Determine a área do losango ABCD.

Área de um losango L: A(L) = ½ (diagonal maior×diagonal menor)=½ d.d´

Para determinar a área de um polígono regular de qualquer número de lados, se traçam todos

os segmentos que unem o centro aos vértices do polígono, com o que ficam determinados

triângulos congruentes, cada um deles tem por base b o lado do polígono. Atividade 7. A

partir da construção de um octógono regular, enuncie uma fórmula para calcular a sua área.

Área de um polígono regular P: A(P) = 8 (½b.h) = ½ (perímetro×apótema)

Podemos usar os métodos já apresentados para calcular a área de polígonos irregulares. Por

exemplo, podemos sub-dividir o polígono em triângulos ou quadriláteros, ou seja polígonos

dos quais conhecemos a área, portanto a área do polígono irregular é a soma das áreas dos

polígonos de sua decomposição.

Atividade 8. Construa polígonos irregulares e calcule suas respectivas áreas.

Atividade 9. Construa diferentes triângulos no geoplano com área de ½u².

Atividade 10. Construa triângulos no geoplano com área de: i) 1u²; ii)1½u²; iii) 2u².

Atividade 11. Construa dois triângulos de formatos diferentes, mas de mesma altura e de

mesma base. Compare as respectivas áreas

Atividade 12. Construa dois paralelogramos de formatos diferentes, mas de mesma altura e

de mesma base. Compare as respectivas áreas.

Figuras equivalentes são superfícies planas que têm a mesma área. As figuras congruentes

são figuras equivalentes.

Atividade 13. i) Construir triângulos equivalentes e não congruentes.

ii) Construir paralelogramos equivalentes e não congruentes.

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Atividade 14. Construir um quadrado com lados medindo 6u de comprimento. Achar uma

partição do quadrado em quatro polígonos equivalentes e não congruentes.

Atividade 15. Construir polígono com 10u de perímetro e 6𝑢! de área.

Teorema de Pitágoras. Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos, ou seja 𝑎! =𝑏! + 𝑐!

Atividade 16. Construa quadrados sobre os três lados de um triângulo retângulo com catetos

medindo 1u e 2u. Calcule a área dos três quadrados e verifique o Teorema de Pitágoras.

Atividade 17. i) Construir polígono com (3 + 5)u de perímetro e calcule a área.

ii) Construir polígono com (9 + 2 + 13)u de perímetro e calcule a área.

Atividade 18. Construir polígono com (7 + 2+ 5)u de perímetro e área de 4½u².

Atividade 19. i) Construa polígonos que contenham um único ponto do geoplano no seu

interior e calcule a área de cada um deles.

ii) Encontre uma relação entre a área e o número de pontos do geoplano contidos no bordo,

para cada figura construída em (i).

Atividade 20. Construa polígonos tais que contenham 1,2,3,... pontos no seu interior.

i)Existe algum limite máximo para o número de pontos internos no caso de um polígono cuja

fronteira contém 12 pontos do geoplano?

ii)Procurar uma fórmula que relacione as áreas das figuras que têm exatamente 12 pontos do

geoplano em seu bordo com número i de pontos do geoplano em seu interior.

Atividade 21. Enunciar o resultado que relaciona a área A de uma figura no geoplano com o

número b de pontos na sua fronteira e com o número i de pontos no seu interior.

Teorema de Pick. Se P é um polígono com seus vértices em pontos do geoplano, 𝑃! e 𝑃!  ,

são,respectivamente, o número de pontos do geoplano que pertencem ao interior e ao bordo

(fronteira) de P, então A(P) = 𝑃! + ½ 𝑃! – 1

Atividade 22. Calcule as áreas dos

seguintes polígonos representados na

Figura 4.

Nas seguintes atividades usamos o geoplano isométrico onde a distância entre dois pinos é

uma unidade de comprimento, 1u, e a unidade de área é a área do triângulo equilátero com

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lados de 1u de comprimento, chamado triângulo unitário. Esta área é chamada de áreas

triangular porque a unidade de área é a área do triângulo unitário.

Atividade 23. i) Construir triângulos equivalentes e não congruentes. Calcule as áreas.

ii) Construir paralelogramos equivalentes e não congruentes. Calcule as áreas.

Atividade 24. Construir um polígono com 6u² de área triangular e 8u de perímetro .

Atividade 25. i) Construir um hexágono regular com lados medindo 2u de comprimento e

calcular a área triangular desse polígono.

ii) Partir o hexágono regular em quatro polígonos equivalentes e não congruentes.

Atividade 25. Calcule as áreas

triangulares dos seguintes polígonos

representados na Figura 5.

Os poliminós são figuras planas

formadas pelos agrupamentos de um número n de quadrados unitários justapostos com pelo

menos um lado comum. São classificados segundo o número de quadrados que compõem

cada

figura, vide a Figura 6. Atividade 27. Com pentaminós construir retângulos com área de: i) 50 u²; ii) 55 u².

Atividade 28. Construir uma cerca com todos os pentaminó e achar a área do maior

polígono cercado pelas doze peças.

Atividade 29. Achar a área do maior retângulo que pode ser cercado pelos doze poliminós.

Os polidiamantes são figuras planas formadas pelos agrupamentos de um número n de

triângulos unitários justapostos com pelo menos um lado comum. São classificados segundo o

número de triângulos que compõem cada figura, vide a Figura 7. Os polidiamantes permitem

realizar atividades do tipo das anteriores.

Atividade 30. Com dois hexadiamantes formar um polígono e fazer uma figura congruente a

anterior com outras duas peças.

Atividade 31. Com todos ao hexadiamantes formar um hexágono com 3u de lados.

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Atividade 32. Selecione algum dos tangrans apresentados, escolha as unidades de medida e

determine: i) o perímetro e a área de cada peça;

ii) com todas as peças forme outro polígono e calcule o perímetro.

Referências Bibliográficas

Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. M.; Giménez, J.; Torra, M. Enseñar matemáticas.

Barcelona: Graó. 1998. Pp227

Barbosa, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de janeiro: 2003. Pp 222

Lima, E.L. Medida e forma em geometria.Rio de Janeiro: SBM. 1991. pp. 98

Olmo, M.A. Superficie y volume. Madrid: síntesis. 1993. Pp176.

Recio, A. M.; Rivaya, F. J. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la

geometría. Madrid: Sintesis. 1989. Pp 144.