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Geometria Plana II

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Geometria Plana II

1.Área do triângulo

2.Área do paralelogramo

3.Área dos paralelogramos notáveis

4.Área do trapézio

5.Área de um quadrilátero qualquer

6.Área do círculo e suas partes

7.Áreas das figuras semelhantes

3

Vamos apresentar as formas de calcular aárea de um triângulo considerando trêspossibilidades: (a) Área de um triângulo em funçãode um lado e da altura relativa a ele; (b) Área dotriângulo em função de dois lados e do ângulocompreendido e (c) Área do triângulo em funçãodos lados (fórmula de Herão).

1. Área do triângulo

4

A área de um triângulo é dada pela fórmula:

1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura

2BASE ALTURA×

Aqui é importante saber que qualquer ladodo triângulo pode ser tomado como base, desdeque se utilize a altura relativa ao respectivo ladona aplicação da fórmula.

5


A área de um triângulo não depende do ladoque escolhemos como base.

2 2 2a b ca h b h c h

S∆⋅ ⋅ ⋅= = =

6




S∆⋅ ⋅ ⋅= = =

7




S∆⋅ ⋅ ⋅= = =

8


Esta propriedade é demonstrada com oauxílio da semelhança de triângulos, traçando asalturas ha e hb de um triângulo ABC.

9


Nesta figura, vamos destacar os triângulosAHC e BIC.

10


Os triângulos AHC e BIC são semelhantes,pois e é um ângulo comum aosdois triângulos. Assim,

ba b

a

hBC BI aa h b h

AC AH b h= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅

90oH I= =⌢ ⌢

C∢

11


(1)2 2

a ba h b h⋅ ⋅=

(2)2 2

a ca h c h⋅ ⋅=

Logo,

De forma análoga, demonstra-se que:

2 2 2a b ca h b h c h⋅ ⋅ ⋅= =

E de (1) e (2), conclui-se que:

12


Exercício 1: Seja ABC um triângulo isósceles emque AB = AC = 13 cm e BC = 10 cm.

Calcular:

a) a área desse triângulo;

b) a altura relativa ao lado AC.

13


Resolução:

a) Para o cálculo da área, convém utilizar o lado BCcomo base, já que a altura relativa a ele é tambémmediana e, por isso, pode ser facilmente calculadapelo teorema de Pitágoras.

14


Do triângulo AHC, temos:

Então, a área do triângulo é:

2 2 2

2

2

5 13

169 25

144

12 cm

h

h

h

h

+ =

= −

==

210 1260 cm

2S S

⋅= ⇒ =△ △

15


b) Como a área do triângulo é igual a 60 cm2,temos:

13 12060 cm

2 13c

c

hh

⋅= ⇒ =

16


Exercício 2: Seja P um ponto interno qualquer deum triângulo equilátero. Demonstrar que a somadas distâncias de P aos lados desse triângulo éigual à sua altura.

17


Resolução:

Observe a figura. P é um ponto internoqualquer do triângulo equilátero ABC. Queremosprovar que: x + y + z = h.

18


Unindo o ponto P aos vértices do triângulo,este fica decomposto nos triângulos PBC, PAC ePAB. A soma das áreas desses três triângulos éigual à área do triângulo ABC.

2 2 2 2

2

PBC PAC PAB ABCS S S S

l x l y l Z l h

l

∆ ∆ ∆ ∆+ + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + =

( )2l

x y z+ + = h

x y z h

⋅

+ + =

19


Exercício 3: Calcule a área do triângulo ABC dafigura abaixo.

20


Exercício 4: Calcule a área de um triânguloequilátero de lado l.

21


Exercício 5: Calcule x, sabendo que BC = 10 eAC = 8.

22

1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo

Considere um triângulo ABC qualquer e umade suas alturas. Por exemplo, a altura AH.

No triângulo retângulo ABH, temos:

hsen B h c sen B

c= ⇒ = ⋅⌢ ⌢

23


Substituindo h por na fórmula daárea do triângulo ABC, obtemos

2 2ABC ABC

a h a c sen BS S∆ ∆

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ =⌢

c sen B⋅⌢

24


Note que a última igualdade dá a área do triânguloABC em função dos lados a e c e do ângulo B, compreendidoentre esses dois lados. De modo análogo, demonstra-se queessa fórmula se aplica a quaisquer dois lados do triângulo.

2 2 2b c sen A a c sen B a b sen C

S∆⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⌢⌢ ⌢

25

Exercício 6: Calcular a área do triângulo da figuraabaixo.


26

Resolução:


28 10 sen45 240 20 2 cm

2 2

o

S⋅ ⋅= = ⋅ =△

27

Exercício 7: Na figura abaixo, ABC é um triânguloequilátero de lado l = 6. Calcular a área doquadrilátero AMNC, sabendo que AM = 2 e BN = 3.


28

Resolução:

Inicialmente observe que BM = 4 e que oângulo B é igual a 60o, pois o triângulo ABC éequilátero. Por outro lado, note que a área S, doquadrilátero AMNC, é igual à diferença das áreasdos triângulos ABC e BMN.


29


6 6 sen60 4 3 sen602 2

3 318 6

2 2

9 3 3 3

6 3

ABC BMN

o o

S S S

S

S

S

S

∆ ∆= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= −

= ⋅ − ⋅

= −

=

30

Exercício 8: Na figura abaixo, ABC é um triânguloequilátero de lado l = 4a e AK = BL = CM = a.Calcule a área do triângulo KLM em função de a.


31

Exercício 9: Na figura abaixo, sabe-se que ,AD = 4, DB = 2, AE = 6 e = 45o. Calcule a área dotrapézio BDEC.


DE // BCA⌢

32

Exercício 10: Na figura seguinte, os triângulosABC e ECD são equiláteros. Se AB = 6 cm eED = 4 cm, calcule a área do quadrilátero ABDE.


33

1.3. Área do triângulo emfunção dos lados

Seja ABC um triângulo qualquer e aaltura relativa ao vértice A.

AH

34


Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulosAHB e AHC, temos:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

(1)

( )

2 (2)

c h m

b h a m

b h a am m

= += + −= + − +

35


Subtraindo membro a membro a igualdade(1) da igualdade (2), vem:

2 2 2 2b c a am− = −E isolando m nesta última igualdade, teremos:

2 2 2

(3)2

a b cm

a− +=

36


Agora, vamos substituir em (1) o valor de mencontrado em (3).

( )

( )( )

( ) ( )

22 2 22 2

22 2 2

2 22

22 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2

222 2 2 2 2

2

4

4 4

4 4

4 2

a b cc h

a

a b cc h

a

a c a h a b c

a h a c a b c

a h ac a b c

− += +

− += +

= + − +

= − − +

= − − +

37


Fatorando a diferença de quadrados dosegundo membro da última igualdade, temos:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 (2 ) (2 )

4 ( 2 ) ( 2 )

( )4 ( 2 ) ( ( 2 ))

4 [( ) )] [( ( ) ]

a h ac a b c ac a b c

a h a ac c b b a ac c

a h a ac c b b a ac c

a h a c b b a c

= + − + ⋅ − + −= + + − ⋅ − + −

= + + − ⋅ − − += + − ⋅ − −

38


Agora, vamos fatorar as diferenças dequadrados que estão entre o colchetes.

2 2

2 2

) ) ) )4 ( ( ( (

) ) ) ) (4)4 ( ( ( (

a c b a c b b a c b a ca h

a b c b c a a c b a b ca h

+ + + − + − − += ⋅ ⋅ ⋅+ + + − + − + −= ⋅ ⋅ ⋅

Fazendo a + b + c = 2p, podemos representaros demais fatores do 2o membro de (4) comosegue:

2

2

2

2 2 2 2( )

2 2 2 2( )

2 2 2 2( )

p

p

p

b c a a b c a p a p a

a c b a b c b p b p b

a b c a b c c p c p c

+ − = + + − = − = −

+ − = + + − = − = −

+ − = + + − = − = −

��

��

��

39


Então, podemos escrever a igualdade (4) dasegunda maneira:

2 2

2 2

2 2

2 2( ) 2( ) 2( )4

16 ( )( )( )4

4 ( )( )( )

p p a p b p ca h

p p a p b p ca h

p p a p b p ca h

− − −= ⋅ ⋅ ⋅− − −=

− − −=

2 ( )( )( )p p a p b p cah − − −=

Logo,

Ou ainda,

( )( )( )2

ahp p a p b p c− − −=

40


Como ah/2 é a área do triângulo ABC,concluímos que:

A área de um triângulo de lados a, b e c édada pela fórmula:

( )( )( )S p p a p b p c∆ = − − −

41


onde p é o semiperímetro do triângulo. Isto é,

Com esta fórmula, denominada fórmula deHerão, podemos calcular a área de qualquertriângulo do qual conhecemos os lados.

2a b c

p+ +=

42

Exercício 11: Calcule a área de um triângulo delados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.


43

Resolução:

Inicialmente, temos:

Então,


5 6 79

2 2a b c

p p p+ + + += ⇒ = ⇒ =

2

( ) ( ) ( )

9 (9 5) (9 6) (9 7)

9 4 3 2

6 6 cm

S p p a p b p c

S

S

S

= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅

=

△

△

△

△

44

Exercício 12: Na figura, o ponto P é equidistantedos lados do triângulo. Calcule a distância de P acada um dos lados.


45

1.4. Cálculo do raio dacircunferência inscrita

Seja I o incentro de um triângulo ABCqualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices dotriângulo, este fica decomposto nos triângulosBIC, AIC e AIB.

46

1.4. Cálculo do raio dacircunferência inscrita

2 2 2( )

2

BIC AIC AIBS S S S

ar br crS

a b cS r S pr

∆ ∆ ∆ ∆

∆

∆ ∆

= + +

= + +

+ += ⋅ ⇒ =

47

1.5. Cálculo do raio dacircunferência circunscrita

Da lei dos senos, temos:

22

a aR sen A

Rsen A= ⇒ =

⌢⌢

48


Por outro lado, sabemos que a área dotriângulo ABC é dada por

2bc sen A

S∆ =⌢

49


Substituindo por a/2R nesta fórmula,obtemos

22 4

abc abcRS S

R∆ ∆= ⇒ =

sen A⌢

50

Exercício 13: Calcular os raios das circunferênciasinscrita e circunscrita num triângulo de ladosa = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.


51

Resolução:

Calculando a área do triângulo pela fórmulade Herão, obtemos:

Então,


26 6 cmS =△

6 6 9

2 6 cm

3

S p r

r

r

= ⋅

=

=

△

52

Por outro lado,


4

6

abcS

R=△

5 66

⋅= 74

4 6 35

35 6

4 6 6

35 6 cm

24

R

R

R

R

⋅

⋅ =

= ⋅

=

53

2. Área do paralelogramo

A área de um paralelogramo qualquer é dadapela fórmula:

BASE X ALTURA

54

2. Área do paralelogramo

Do mesmo modo que ocorre com o triângulo,também no paralelogramo qualquer lado pode sertomado como base. A altura será a distância desselado ao lado oposto.

'pS a h b h= ⋅ = ⋅

55

3. Área dos paralelogramosnotáveis

Os paralelogramos notáveis são o retângulo,o losango e o quadrado. Suas áreas também sãodadas pela fórmula base x altura.

Retângulo Losango Quadrado

RS a b= ⋅ LS l h= ⋅ 2QS a a a= ⋅ =

56


Porém, como as diagonais do losango sãoperpendiculares, é possível expressar sua área emfunção de suas diagonais.

Pelos vértices de um losango traçamos asretas paralelas às diagonais, obtendo um retângulode lados congruentes a essas diagonais.

57


Os lados e as diagonais do losangodecompõem o retângulo em 8 triângulos retânguloscongruentes, dos quais 4 formam o losango. Então,a área do losango é a metade da área do retângulo.Isto é, é o semiproduto das diagonais.

2 2R

L L

S D dS S

⋅= ⇒ =

58

Exercício 14: Na figura abaixo, ABCD é umparalelogramo. Se a área do triângulo ABM é iguala 10 cm2, qual é a área do paralelogramo?


59

Exercício 15: Calcule a área do quadrado MNPQem função de a.


60

Exercício 16: M e N são os pontos médios doslados AB e BC de um quadrado ABCD. Se MN = 5,calcule a área do quadrado.


61

Exercício 17: O perímetro de um losango é igual a40 cm e sua diagonal maior é D = 16 cm. Calcule aárea desse losango.


62

Exercício 18: Um retângulo de área igual a540 cm2 está inscrito num círculo e tem seus ladosproporcionais a 5 e 12. a) Calcule as medidas doslados do retângulo. B) Calcule o raio do círculo.


63

Exercício 19: Na figura abaixo, ABCD é umretângulo, , , LDMO é um quadradoe as áreas dos retângulos OLCN e OKAM são iguaisa 15 e 6, respectivamente. Se x + y = 7, calcule aárea do retângulo OKBN.


MN // AB KL // BC

64

4. Área do trapézio

A área de um trapézio qualquer é dada pelafórmula:

( )2

BASE MAIOR BASE MENOR ALTURA+ ×

65

4. Área do trapézio

Essa fórmula pode ser facilmente obtidadecompondo o trapézio em dois triângulos por meiode uma de suas diagonais.

( )2 2 2

T ABD BCD

T T

S S S

ah bh a b hS S

∆ ∆= ++ ⋅= + ⇒ =

66

5. Área de um quadriláteroqualquer

A área de um quadrilátero qualquergeralmente é calculada decompondo-o emtriângulos, por meio de suas diagonais.

1 2QS S S= + 1 2 3 4QS S S S S= + + +

67

Exercício 20: Num trapézio de altura h = 5 cm abase média mede 6 cm. Calcule a área dessetrapézio.


68

Exercício 21: Na figura abaixo, M e N são ospontos médios dos lados AD e BC do trapézioABCD. Calcule a área desse trapézio, sabendo quea área do trapézio MABN é igual a 18.


69

Exercício 22: Se , calcule a área do tra-pézio BCDE.

BE // CD


70

Exercício 23: Na figura, AB = AC = BC = 10 eCD = 6. Calcule a área do quadrilátero ABCD.


71

Exercício 24: A figura seguinte mostra a planta deum terreno. Para calcular a sua área o proprietáriodispõe das seguintes medidas.

22 m 24 m 18 m 30 45o oa b c α β= = = = =


72

6. Área de um círculo e desuas partes

A área de um círculo de raio r é dada pelafórmula

2CS rπ=

73


Pi (π) é o número irracional que representa arazão entre o comprimento de uma circunferênciae seu diâmetro. Assim sendo, sendo C ocomprimento de uma circunferência de diâmetro d,então: C

dπ=

74


Ou, ainda,

C d π= ⋅E como d = 2r, temos:

2 2C r C rπ π= ⋅ ⇒ =

75

6.1. Área da coroa circular

Considere dois círculos concêntricos, isto é,de mesmo centro, de raios R e r, R > r. Chama-secoroa circular o conjunto de todos os pontos quepertencem ao círculo maior e que não estão nointerior do círculo menor.

76


A área da coroa circular é:2 2

2 2( )coroa

coroa

S R r

S R r

π ππ

= −

= −

77

Exercício 25: Calcule a área do círculo inscritonum triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.


78

Exercício 26: Calcule a área da coroa circularlimitada pelas circunferências inscrita ecircunscrita num mesmo quadrado de lado l = 4 cm.


79

Exercício 27: Qual é a razão entre as áreas doscírculos inscrito e circunscrito num mesmotriângulo equilátero?


Ver slides 66 e 67.

Aula: Geometria Plana I

80

6.2. Área do setor circular

Chama-se setor circular a intersecção de umcírculo qualquer com um ângulo também qualquerque tenha seu vértice no centro do círculo.

O setor circular é uma fração do círculo.Desse modo, para calcular a área de um setorcircular basta descobrir qual é a fração que elerepresenta do círculo.

81


Suponha, então, que seja conhecida a medidaα, em graus, do ângulo que define o setor. Nessecaso, perceba que a fração que ele representa docírculo é:

360o

α

82


isto é, estão sendo tomadas α partes de um totalde 360. Assim, como a área do círculo é igual a πr2,a área desse setor será:

2

360setor oS rα π= ⋅

83


Se a medida α do ângulo do setor estiverexpressa em radianos, basta, na fórmula da área,substituir 360o por 2π. Isto é, para α em radianos

22

2 2setor setor

rS r S

α αππ

= ⋅ ⇒ =

84

6.3. Área do segmento cir-cular

Chama-se segmento circular qualquer umadas partes em que um círculo fica dividido por umacorda qualquer.

A área de um segmento circular é calculadaa partir das áreas de um setor circular e de umtriângulo, segundo dois casos possíveis.

85


1o Caso: O segmento circular não contém o centrodo círculo.

seg setor AOBS S S∆= −

86


2o Caso: O segmento circular contém o centro docírculo.

seg setor AOBS S S∆= +

87

Exercício 28: Na figura abaixo, ABC é umtriângulo equilátero de lado l = 2. Os arcos decircunferência têm centros em A e B e ambos têmraio r = 1. Calcular a área da região indicada.


88

Resolução: Como o triângulo é equilátero, cada umde seus ângulos mede 60o. Assim, a área Sprocurada é igual à área do triângulo subtraída dasáreas de dois setores circulares de 60o.


2

2

ABC SETORS S S

S

∆= − ⋅

= 2 sen 60

2

o⋅ ⋅ 2602. . .1

360

2

o

o

S

π−

= 3

2⋅ 2− 1

6⋅

33

S

π

π

⋅

= −

89

Exercício 29: ABCD é um quadrado de lado 2a. Osarcos de circunferência têm centros em A e C.Calcular a área da região indicada.


90

Resolução: A área procurada é o dobro da área Sdo segmento circular da figura abaixo. Por sua vez,a área desse segmento circular é igual à diferençaentre as áreas do setor circular de 90o e dotriângulo BCD.


2

2 2

2 2

2

2

90 2 2(2 )

23601

4 24

2

( 2)

2 2 ( 2)

SETOR BCD

o

o

S S S

a aS a

S a a

S a a

S a

S a

π

π

ππ

π

∆= −

⋅= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ −

= −

= −

= −

91

Exercício 30: Na figura abaixo, ABC é umtriângulo equilátero de lado l = 4. As semicir-cunferências têm centros nos pontos médios doslados, são tangentes duas a duas e têm raios iguais.Calcule a área da região indicada.


92

Exercício 31: As três circunferências da figuratêm o mesmo raio r e são tangentes duas a duas.Calcule a área da região indicada.


93

7. Áreas das figuras seme-lhantes

Se dois triângulos são semelhantes e a razãode semelhança entre eles é igual a k, então a razãoentre suas áreas é igual a k2.

94


Se ' ' 'ABC A BC∆ ∆∼

' ' ' '

a b c hk

a b c h= = = = =…com

então' ' '

2ABC

A B C

Sk

S∆

∆

=

'

95


Por hipótese, temos: ' '

a hk e k

a h= =

Então,' ' ' ' ' '

2' ' ' ' ' '2

2

ABC ABC

A B C A B C

ahS Sah a h

k k ka hS a h a h S

∆ ∆

∆ ∆

= = = ⋅ = ⋅ ⇒ =

'

96


Assim, se S e S’ são as áreas de doistriângulos semelhantes, sendo k a razão desemelhança, temos:

2 2 ''

Sk S k S

S= ⇒ = ⋅

'

97


Considere, agora, dois polígonos semelhantesP e P’ quaisquer, e seja k a razão de semelhançaentre eles. Vamos provar que a razão entre asáreas de P e P’ é igual a k2. Para tanto, observe queos polígonos podem ser decompostos em pares detriângulos semelhantes.

98


É de imediata verificação que a razão desemelhança entre cada um desses pares detriângulos semelhantes é igual a k. Representandosuas áreas por S1, S2, S3, … e S1’, S2’, S3’ …,teremos:

' ' ' '1 1' 2 2 '( ) , ,ABCD ABC D ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆…∼ … ∼ ∼ …

99


Somando essas igualdades membro amembro, obtemos:

2

2

2

1 1'

2 2 '

3 3 '

S k S

S k S

S k S

= ⋅

= ⋅

= ⋅⋮ ⋮

100


Logo,

22 3 1' 2 ' 3 '1 ( )S S k S S SS + + + = + + +… …

22 31

1' 2 ' 3 '

S SSk

S S S+ + + =+ + +

…

…

101


A última igualdade mostra que a razão entreas áreas dos polígonos é igual a k2.

102

Exercício 32: Os quadriláteros da figura abaixosão semelhantes. Calcular os lados do quadriláteromaior, sabendo que sua área é o dobro da área domenor.


103

Resolução: Seja S a área do quadrilátero menor.Então, a área do quadrilátero maior é igual a 2S ecomo a razão entre suas áreas é k2, temos:


2 222 2

2 3 23

2 4 24

2 7 27

2 6 26

Sk k k

Sx

x

yy

uu

vv

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

104

Exercício 33: Na figura abaixo . Calcular xem função de h, sabendo que a área do trapézioBDEC é o dobro da área do triângulo ADE.


DE // BC

105

Exercício 33: Como , sabemos que os triân-gulos ADE e ABC são semelhantes. Seja k a razãode semelhança entre eles. Se a área do triânguloADE é S, a área do trapézio BDEC é igual a 2S e aárea do triângulo ABC é 2S + S = 3S. Logo,


DE // BC

2

2

3

1 33 3

Assim,

3 33 3

ADE

ABC

S Sk

S S

k k

x hx

h

∆

∆

= =

= ⇒ =

= ⇒ =

106

Exercício 34: Os triângulos ABC e DEF da figurasão semelhantes. a) Calcule a razão de semelhançae a razão entre as áreas desses dois triângulos. b)Se a área do triângulo ABC é igual a S, qual é aárea do triângulo DEF?


107

Exercício 35: Na figura . Calcule x emfunção de h, sabendo que o triângulo ADE e otrapézio BDEC são equivalentes.


DE // BC

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