GEOMETRIA ESPACIAL

CONTEÚDOS

Capacidade e volume

Poliedros

Pirâmides

Cilindros

Cone

Esfera

AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

Capacidade e volume

Na receita de bolo estava indicado 500 mL de leite ou 500 cm³?

É muito comum que as receitas apresentem, para as

quantidades referentes aos líquidos, unidades de

medida que representam múltiplos ou submúltiplos

do litro (L, mL, dL,...). Porém, se na receita a

quantidade estivesse informada utilizando os

centímetros cúbicos, seria possível compreendê-la,

ao identificar que as duas unidades de medida ( cm³

e mL) podem ser relacionadas.

Quando falamos em litros (ou seus múltiplos e submúltiplos) estamos nos referindo a

capacidade de um determinado recipiente. No caso da receita, se fosse utilizado, para

medir a quantidade de leite, um recipiente de volume igual 500 cm³, a quantidade em

mL seria de 500 mL.

Por exemplo, uma caixa de leite, que apresenta o formato de um paralelepípedo, e tem

volume igual a 1.000 cm³ pode conter a quantidade máxima de 1.000 mL ou 1 litro de

leite. Isso porque essas unidades estão relacionadas da seguinte forma:

Figura 1 – leite Fonte: Microsoft Office

Medida em litros Medida em metros cúbicos

1 L 1.000 cm³

Ou seja, 1L corresponde a exatamente a 1.000 cm³.

Veja outras relações entre essas unidades de medida.

1 cm³ 1 mL

1 m³ 1.000 L

1 dm³ 1 L

Relembrar essas unidades e a relação entre elas trará contribuições para os estudos a

seguir. Isso porque vamos falar das formas geométricas espaciais. E, elas estão

relacionadas as medidas de capacidade e volume.

FORMAS GEOMÉTRICAS

A geometria espacial trata do estudo de formas: como o cubo, a pirâmide, a esfera, ou

seja, formas geométricas que possuem mais de duas dimensões. Essas formas são

chamadas de sólidos geométricos, e estes são divididos em dois grupos, os corpos

redondos e os poliedros.

Acompanhe alguns exemplos:

Corpos redondos: são sólidos

delimitados por alguma superfície

arredondada.

Poliedros: são sólidos que apresentam

suas superfícies delimitadas por figuras

geométricas planas.

Cilindro

Cone Esfera

Prisma

Pirâmide

Cubo

Conhecendo os poliedros

Alguns exemplos de poliedros:

Esse poliedros são conhecidos como poliedros regulares. Eles, recebem tal

classificação por apresentarem as seguintes características:

Suas faces são polígonos regulares congruentes

De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.

Tetraedro Cubo ou hexaedro Octaedro

As superfícies planas de um poliedro são chamadas de

faces.

Os lados dos polígonos que delimitam as

superfícies de um poliedro são chamados de

aresta.

O encontro de três ou mais arestas é chamado

de vértice.

Polígonos regulares são polígonos que apresentam todos os lados e todos os

ângulos congruentes, ou seja, todos os lados e todos os ângulos com medidas

iguais.

Além do tetraedro, hexaedro e octaedro, há outros dois sólidos que também são

conhecidos como poliedros regulares, são eles:

Icosaedro Dodecaedro

Esses cinco poliedros também são convexos. E, por serem convexos e regulares,

também são conhecidos como poliedros de Platão.

Os poliedros de Plantão possuem as seguintes caracteristicas:

As faces apresentam o mesmo número de lados.

De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.

Um poliedro é identificado como convexo quando fixada uma face, as demais

encontram-se no mesmo semiespaço (em relação à fixada). Pode-se ainda afirmar

que, considerando que todo poliedro limita uma região do espaço chamada de

interior desse poliedro, este é classificado como convexo se o seu interior for

convexo. Ou seja, se qualquer segmento que liga dois pontos desse interior estiver

totalmente contido neste interior.

Veja exemplos de poliedros convexos e não convexos:

Figura 1- Poliedros convexos e não convexos Fonte: Mec, Objetos Educadionais

DICA:

Para saber mais sobre os poliedros de Platão, você pode consultar o seguinte material:

Os Sólidos de Platão

Disponível em: http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20831.

Identificando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro

Antes de iniciarmos as discussões sobre faces, arestas e vértices, vamos analisar

alguns polígonos e identificar o número de vértices e de lados de cada um.

Quadrado Pentágono Triângulo

4 lados 5 lados 3 lados

4 vértices 5 vértices 3 vértices

É possvel que você tenha observado que em cada um desses polígonos o números de

vértices é igual ao número de lados. Essa relação entre vértices e lados é observada

em qualquer polígono convexo. Agora, cabe a seguinte pergunta:

Será que também podemos observar essa relação nos poliedros?

´

Para responder essa pergunta, observe na tabela, a relação entre o número de arestas,

vértices e faces para cada um dos sólidos apresentados.

Em análise a tabela, talvez você tenha observado que existe um relação entre vértices

(V), arestas (A) e faces (F).

V - A + F = 2

( Vértices – Arestas + Face = 2)

Essa relação é identificada como Relação de Euler, e é válida para todo poliedro convexo.

Poliedro convexo Número

de

vértices

Número

de

arestas

Número

de

faces

Poliedro

Tetradedro

regular

4 6 4

Octaedro regular 6 12 8

Hexaedro regular 8 12 6

Pirâmide

quadrangular

5 8 5

Prisma hexagonal 12 18 8

Prisma

São chamados de prismas os poliedros que apresentam bases congruentes e paralelas,

essas bases são poligonais. Além dessas características, os prismas também são

identificados por apresentarem arestas laterais que ligam as bases

O prisma apresentado é identificado como prisma triangular. Essa classificação ocorre

a partir do número de arestas de sua base.

Veja outros exemplos de prismas:

Base do prisma

Base do prisma

Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal Prisma Quadrangular

Aresta lateral

Aresta da base

Prisma reto, oblíquo e seus elementos

A altura de um prisma representa a distância entre os planos que suas bases estão

contidas.

Observe que os dois prismas apresentados foram identificados de diferentes maneiras.

Um deles foi denominado prisma reto e o outro prisma oblíquo. Veja as características

que permitem esse tipo de identificação.

Prisma reto: um prisma é identificado como reto, quando suas arestas laterais são

perpendiculares aos planos que contém suas bases.

Prisma oblíquo: em um prisma oblíquo, as retas laterais não são perpendiculares aos

planos que contêm suas bases.

Além de reto, um prisma também pode ser identificado como regular, veja as

características de um prisma regular.

Um prisma é identificado como regular se este for reto e suas bases polígonos

regulares.

Prisma reto Prisma oblíquo

Altura do prisma

Altura do prisma

Diagonal de um prisma: observe que o segmento BD tem suas extremidades não

pertencentes a mesma face. Esse segmento é identificado como diagonal do prisma.

Outro exemplo de diagonal do prisma, poderia ser o segmento traçado do vértice A

até o vértice E.

Já o segmento BF não é identificado como diagonal do prisma, pois suas

extremidades pertencem a uma mesma face.

Comprimento da diagonal de um paralelepípedo

Observe que a diagonal desse paralelepípedo reto retângulo tem medida igual D.

As medidas de comprimento, largura e altura desse sólido são a, b e c.

Para calcular sua diagonal utiliza-se a seguinte expressão:

D = c²b²a²

Considerando que as dimensões desse sólido são representadas pelos seguintes

valores:

a = 10 b = 4 c = 4

Temos a seguinte medida de diagonal:

D = 4²4²10²

D = 16 16 100

D = 132

D = 2 33

Denomina-se paralelepípedo, o prisma que têm suas bases representadas por

paralelogramos.

Um paralelepípedo reto retângulo é o prisma que tem suas bases representadas por

retângulos.

Área das superfícies de um prisma

Para calcular a área de um prisma, vamos retomar o cálculo da área de alguns

polígonos.

A área total de prisma é representada pela soma das áreas laterais com as áreas das

superfícies das bases.

Vamos considerar por exemplo, que um prisma de base quadrangular tem 8 cm de

aresta da base e 12 cm de aresta lateral, qual será a área total desse prisma?

Polígono Cálculo da área

Quadrado lado x lado

Retângulo Base x altura

Triângulo qualquer Base x altura

Triângulo equilátero 4

3lado2

Hexágono regular 2

3lado32

2

8 cm

8 cm

12 cm

A base do prisma é um quadrado

de lado igual a 8 cm. Temos

então o cálculo da base da

seguinte forma:

Abase = 8²

Abase = 64 cm²

As laterais são retângulos, e

portanto temos:

A lateral= 8.12

A lateral = 96 cm²

Neste prisma, temos:

4 faces laterais, e portanto, a área lateral total é: 96.4 = 384 cm²

2 bases, e portanto, a área total das bases é: 64.2 = 128 cm²

A área total do prisma é: 384 cm² + 128 cm² = 512 cm²

Volume de um prisma

O volume de um prisma é obtido ao multiplicar a área de sua base por sua altura.

Acompanhe o cálculo do volume de um prisma quadrangular.

O hexaedro, mais conhecido como cubo, é um prisma que apresenta arestas com

medidas iguais. Para calcular o volume desse prisma, utiliza-se a seguinte expressão:

Volume = a³ (a variável a representa a medida da aresta)

4 cm

8 cm

2 cm

Para que seja calculado o volume desse prisma, deve-se observar

quais são suas dimensões.

Altura = 8 cm Largura = 2 cm Comprimento = 4 cm

Observe que o prisma é quadrangular, e para calcular a área de

sua base realiza-se o seguinte cálculo:

Área da base: comprimento x largura

Área da base = 4 x 2 Área da base = 8 cm²

Conforme já comentado, o volume do prisma é igual ao produto

da área da base por sua altura.

Tem-se então:

Volume = 8 x 8 Volume = 64 cm³

Observe um exemplo:

Pirâmide

Observe que diferente dos prismas, a figura a seguir, apresenta apenas uma base. Além

disso, suas faces laterais são triangulares e possuem um vértice em comum. Essa figura

é chamada de pirâmide.

A pirâmide apresentada é identificada como pirâmide quadrangular. Essa classificação

é realizada a partir do número de arestas de sua base.

Face lateral

Base

Vértice comum

Volume do cubo:

Volume = área da base . altura

Volume = a².a a².a = a³

Volume = a³

Volume = 5³

Volume = 125 cm³

Veja outros exemplos de pirâmides:

Pirâmide regular

A pirâmide ao lado é identificada como pirâmide regular,

por ter em sua base um polígono regular e altura

representada pela distância entre o centro desse

polígono e o vértice V, é perpendicular a base.

Apótema e as relações entre os elementos

Pirâmide triangular Pirâmide pentagonal

Identificamos como apótema da base de uma

pirâmide regular, o segmento que tem uma de

suas extremidades no centro da pirâmide e a

outra no ponto médio de qualquer um dos lados

da base dessa pirâmide. No caso apresentado,

o apótema da base está representado pelo

segmento OM .

Identificamos como apótema de uma pirâmide regular, o segmento que tem uma de

suas extremidades no vértice da pirâmide e a outra no ponto médio de qualquer uma

das arestas da base. No caso apresentado, o apótema da pirâmide está representado

pelo segmento VM .

Observe que os pontos V, M e O, formam um triângulo retângulo. Sendo assim, para

calcular as medidas dos apótemas da pirâmide, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras.

Temos então: 222

OMVOVM

Além dos apótemas, na pirâmide quadrangular regular apresentada, visualiza-se uma

medida R. Esta representa o raio da circunferência circunscrita à base. E, entre o raio

R, a altura da pirâmide e a aresta lateral, também pode-se observar a existência de um

triângulo retângulo, sendo portanto estabelecida a relação:

L² = H² + R² ( sendo L a medida da aresta lateral da pirâmide)

Área de uma pirâmide

Para determinar a área total de uma pirâmide, basta somar a área de suas faces com

a área de sua base.

Vejamos por exemplo o cálculo da área de uma pirâmide de base quadrangular regular

Área da base = 6²

Área da base = 36

Para calcular a área lateral, vamos lembrar que cada face lateral da pirâmide regular é

um triângulo isósceles. E, a altura desse triângulo coincide com o apótema da pirâmide,

sendo assim, vamos calcular a medida do apótema, e em seguida calcular a área das

faces laterais.

6

4

3

3

3

Apótema

(apótema)² = 3² + 4²

( apótema)² = 9 + 16

( apótema)² = 25

apótema = 25

apótema = 5

4

Temos então:

Área da face lateral = 2

5.6

Área da face lateral = 15

A área de todas as faces laterais é 4. 15 = 60 unidades ao quadrado

Área total = Área da base + Área lateral

Área total = 36 + 60

Área total = 96 unidades ao quadrado

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = .hA3

1b ( Ab é a área da base e h, representa a altura do sólido)

Vamos acompanhar um exemplo:

Para calcular o volume desse sólido, vamos identificar

suas medidas:

Altura = 9 cm

Área da base = 5 x 5 ( cálculo da área de uma quadrado,

já que é informado que essa pirâmide tem base quadrada)

Área da base = 25 cm²

Volume = .hA3

1b

Volume = 9.25.3

1 Volume = 75 cm³

9 cm

5 cm

5 cm

Cilindro

São chamados de cilindros os sólidos que apresentam bases congruentes e paralelas.

Além dessa característica, os cilindros também são identificados por apresentarem

linhas laterais que ligam os pontos correspondentes dessas bases.

Área do cilindro

A área de um cilindro é calculada ao somar a área de suas bases com a área lateral. A

área da base de um cilindro é obtida ao calcular a área de um círculo. Já a área lateral

é obtida ao observar que essa pode ser identificada por meio da área de um retângulo

de dimensões h ( altura do cilindro) e r..2 ( comprimento do círculo da base)

Portanto, a área lateral é igual a .2 r h

Utilizando as expressões apresentadas, vamos determinar a área de um cilindro de raio

igual a 6 cm e altura igual a 10

Área da base = ²r

Área da base = 3,14.6²

Área da base = 113,04 cm²

Altura do cilindro

Raio da base

r..2

Se cada base tem área igual a 113,04 cm², a área total da base é igual a 226,08 cm².

Ou seja, área total da base é igual 2. ²r .

Área lateral = .2 r h

Área lateral = 2.3,14.6.10

Área lateral = 376,8 cm²

Área total = área das bases + área lateral

Área total = 226,08 cm² + 376,8 cm²

Área total = 602,88 cm²

Volume do cilindro

Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cilindro:

10 cm

3 cm

Volume = Ab.h

Neste caso, temos:

Raio = 3 cm

Altura = 10 cm

Vamos considerar = 3,14

Área da base = r²

Área da base = 3,14.3²

Área da base = 28,26

Volume = r².h

Volume = 28,26.10 Volume = 282,6 cm³

O volume de um cilindro é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = Ab.h (área da base x altura)

Neste caso, temos: Área da base = R² Altura = h Volume = πR².h

Cones

Área do cone

Assim como os prismas e as pirâmides, a área total do cone é representada pela soma

da área da base com a área lateral. A base é um círculo, sendo sua área obtida por

meio da expressão ²r . Já a área lateral é obtida ao calcular a área de um setor circular.

O raio do setor é identificado pela geratriz do cone. O arco desse setor tem comprimento

igual a r2 .

Imagine um ponto A que não

está sobre essa região circular.

Imagine sobre um plano uma circunferência

Ao traçar linhas retas que liguem os pontos que se

encontram no perímetro dessa circunferência ao

ponto A, forma-se um Cone.

A

A

Cone

Vamos trabalhar um exemplo do cálculo da área de um cone. Para tanto, observe as

medidas desse cone.

Para saber a medida da geratriz, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Onde g é a

hipotenusa.

g² = (2,5)² + 6²

g² = 6,25 + 36

g² = 42,25

g = 25,42

g = 6,5 cm

Para calcular a área desse setor, podemos lembrar que para calcular a área de um setor

circular, fazemos uso da seguinte relação: Asetor =

2

.lr

Altura do cone

Para não confundir as medidas, neste caso, r é substituído por g (medida da geratriz),

isso porque já teremos o r que está relacionado ao comprimento do arco, l é o

comprimento do arco representado por r2 .

No caso da área lateral do cone, tem-se:

Asetor =

2

2. rg Asetor = ..rg

Conhecendo a medida da geratriz e do raio, tem-se:

Área total = ²r + ..rg

Área total = 3,14.(2,5)² + 6,5.2,5.3,14

Área total = 19,625 + 51,025

Área total = 70, 65 cm²

Volume do Cone

O volume de um cone é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = .HA3

1b (área da base x altura)

Área da base = r² e Altura = H

Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cone:

Volume = .HA3

1b

Neste caso, temos: raio = 2 cm Altura = 6 cm

Vamos considerar = 3,14

Área da base = ²r Área da base = 3,14.2²

Área da base = 12,56

Volume = 12,56.63

1

Volume = 25,15 cm³

2 cm

6 cm

Esfera

Denomina-se esfera de centro A e raio R, o conjunto de pontos do espaço que

apresentam uma distância, até o ponto A, menor ou igual ao raio R.

Volume da esfera

Volume de uma esfera é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = 3

R³4

Vejamos um exemplo do cálculo do volume de uma esfera:

3 cm

Volume = 3

R³4

Neste caso, temos: Raio = 3 cm e vamos considerar

= 3,14

Volume = 3

3³.14,3.4 Volume =

3

27.14,3.4

Volume = 4.3,17.9 Volume = cm³ 113,04

A

ATIVIDADES

1. Classifique cada um dos sólidos como prisma ou pirâmide.

2. Um poliedro é convexo e apresenta 10 vértices e 20 arestas, qual é o número de

faces desse sólido?

3. Identifique os poliedros, destacando aqueles que são prismas. Para os sólidos

identificados como prismas, destaque qual é a forma de sua base e se o prisma é reto

ou oblíquo.

4. No prisma apresentado, identifique:

a) os vértices

b) as arestas das bases

c) as arestas laterais

d) pelo menos duas de suas faces

e) duas de suas diagonais

5. Determine o volume de um cubo, de medida de aresta igual a 8 cm.

6. Se um cubo tem volume igual a 125 cm³, qual é a medida de sua aresta?

Volume = a³

7. Com as informações do exercício anterior, calcule a área total do cubo de volume

igual a 125 cm³.

8. Para embrulhar um presente que está em uma caixa que tem o formato de um prisma

reto retângulo, Miriam comprou um papel de área igual a 2.000 cm². Se a caixa tem as

seguintes dimensões: comprimento igual a 25 cm, altura igual a 10 cm e largura igual a

15 cm. O papel comprado será suficiente para embrulhar o presente?

9. (UFRN – 2011) Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre

uma mesa, um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com

dimensões medindo 20 cm x 30 cm x 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de

dimensões 40 cm x 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura.

Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm x 30 cm, a altura da água,

mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente,

a) 16 cm

b) 17 cm

c) 33 cm

d) 35 cm

5 cm

5 cm

5 cm

10. Complete a tabela.

Pirâmide Número de arestas da base

Número de arestas laterais

Número de faces

Número de vértices

Quadrangular 4 4 5 5

Triangular

Hexagonal

Pentagonal

11.Considerando uma pirâmide regular de base quadrada, sendo a aresta da base

igual a 10 cm e a altura dessa pirâmide igual a 12 cm, determine:

a) a área lateral

b) a área total.

12. (Unesp – 2002 - Adaptada) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à

prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base

quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será

de 4 m, o volume de concreto (em m3), necessário para a construção da pirâmide será

a) 36.

b) 27.

c) 18.

d) 12.

13. (ENEM – 2010 – Adaptada) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato

cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do

cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de

a) 12 cm³

b) 64 cm³

c) 96 cm³

d) 1.216 cm³

14. Uma empresa de tintas trabalha com a venda de latas de diferentes capacidades. A

menor delas armazena 3 litros de tinta. A maior delas armazena 18 litros de tinta.

Deseja-se aumentar a capacidade da maior lata. Para tanto, toda a embalagem foi

modificada, e a lata, agora de formato cilíndrico, tem 30 cm de diâmetro e altura igual a

30 cm. Em quantos litros, aproximadamente, essa nova lata excede a capacidade da

lata que anteriormente era classificada como a maior lata? ( Considere 14,3 )

15. (ENEM – 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café

para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café,

Dona Maria dispões de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima

de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra,

Dona Maria deverá

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume

do copo.

b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume

do copo.

c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem o volume 10 vezes maior que o volume

de copo.

d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume

do copo.

e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume

do copo.

16. (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de

paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate

no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm

de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas

dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

a) 5 cm.

b) 6 cm.

c) 12 cm.

d) 24 cm.

e) 25 cm.

17. (ENEM – 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus

convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na

cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças

quebradas, utilizou-se um outro tipo com o formato de cone (Figura 2). No entanto, os

noivos solicitaram que o volume do champanhe nos dois tipos de taça fosse igual.

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a

altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros,

é de

a) 1,33.

b) 6,00.

c) 12,00.

d) 56,52.

e) 113,04.

INDICAÇÕES

Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre a geometria

espacial.

Geometria Espacial

Disponível em:

http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/indicacoes/sites/Lists/Sites/DispForm.a

spx?ID=412&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Ebr%2F

bibliotecadigital%2Findicacoes%2Fsites%2FLists%2Fsites%2Fmatematica%2Easpx

REFERÊNCIAS

Alfa Virtual School Matemática. Poliedro

GEO10.http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10483/open/file/

geo1001.htm>. Acesso em: 23 mar. 2016.10h.

BARRETO FILHO, Benigno. BARRETO, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula.

São Paulo: FTD, 2000.

CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias – Módulo III/ Matemática. Rio

de Janeiro, 2013. Disponível em: < http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/material-

aluno/modulo-03/Miolo_Matematica_Nova_Eja_Aluno_Mod03.pdf>. Acesso em: 29

mar. 2016. 10h.

ENEM 2010 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos

e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em:

<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AZUL_Domingo_GA

B.pdf>. Acesso em: 22 mar. 2016. 10h.

SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 2: livro do

professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p. 222 - 260.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Comperve – Vestibular

2011. Disponível em:< http://www.comperve.ufrn.br/conteudo/provas/provas2011.php>.

Acesso em: 29 mar. 2016. 10h10min.

WALLE, Jonh A. Van. Matemática no Ensino Fundamental. Formação de

Professores e Aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009

GABARITO

1.

Prisma

Pirâmide

Pirâmide

Prisma

Prisma

Pirâmide

2. Aplicando o teorema de Euler, sabe-se que V – A + F= 2. Logo, tem-se:

10 - 20 + F = 2

F = 20 + 2 – 10

F = 22 - 10

F = 12

3.a, b, c, e f são prismas.

a) base hexagonal, prisma reto.

b) base pentagonal, prima oblíquo.

c) base quadrangular, prisma oblíquo.

f) base pentagonal, prisma reto.

4.

a) A, B, C, D, E, F, G, H

b) AB , BC , CD , AD , EF , FG , GH e HE

c) AE , BF , CG , HD

d) Exemplos de faces laterais: os quadriláteros ABFE e BCGF

e) AG e BH

5. V = 8³ V = 512 cm³

6. 125 = a³ 3 125 = a a = 5

7.Área da base = 2.5.5

Área da base = 50 cm²

Área lateral = 4.5.5

Área lateral = 100 cm²

Área total = 150 cm²

8. Sim, pois serão utilizados apenas 1.550 cm² de papel. Acompanhe o cálculo

desenvolvido:

Se o presente está em uma caixa de formato igual a um prisma reto retângulo. É

necessário determinar a área total desse prisma para saber se o material foi suficiente.

Vamos utilizar um esboço do prisma mencionado, para que seja possível visualizar suas

medidas.

Área da base = 15.25

Área da base = 375 cm²

Área total da base = 2.375 cm²

Área total da base = 750 cm²

Para calcular a área lateral, vamos dividir em lateral I e latera lI.

Área lateral I = 15.10

Área lateral I = 150 cm²

São duas laterais que medem 15 x 10, logo tem-se 300 cm².

Área lateral II = 25.10

Área lateral II = 250 cm²

São duas laterais que medem 25 x 10, logo tem-se 500 cm².

Área total = área das bases + área lateral I + área lateral II

Área total = 750 cm² + 300 cm² + 500 cm²

Área total = 1.550 cm².

25 cm

10 cm

15 cm

9. Alternativa C.

Se o aquário tem o formato de um paralelepípedo retângulo, é ideal fazer o esboço

desse aquário para que seja visualizado como ele foi disposto sobre a mesa. Neste

esboço, a altura do aquário será considerada apenas com referência a medida que a

água atingiu.

Considerando essas medidas para o aquário, tem-se volume igual a:

V = 40 cm x 20 cm x 25 cm

Volume = 20.000 cm³

Conhecendo o volume, considerando as medidas de 40 cm x 20 cm x 25 cm, vamos

fazer um novo esboço para interpretar as medidas do aquário se a face de apoio

apresentasse dimensões 20 cm x 30 cm.

Volume = 20.30.y

20.000 = 20.30.y

y = 600

20.000

y = 33,33 ( aproximadamente)

40 cm

20 cm

25 cm

30 cm

20 cm

y

10.

Pirâmide Número de arestas da base

Número de arestas laterais

Número de faces

Número de vértices

Quadrangular 4 4 5 5

Triangular 3 3 4 4

Hexagonal 6 6 7 7

Pentagonal 5 5 6 6

11. a) a área lateral

Sendo a altura de uma pirâmide regular, a distância entre o vértice da pirâmide e o

centro desse polígono, entre a altura da pirâmide, o apótema da base e o apótema da

pirâmide, temos o seguinte triângulo retângulo:

(apótema)² = 12² + 5²

(apótema)² = 144 + 25

(apótema)² = 169

apótema = 169

apótema = 13

Área de uma face lateral = 652

13.10 cm²

Área lateral total = 4.65

Área lateral total = 260 cm²

b) A área total.

Área total = área da base + área lateral

Área total = 10.10 + 260

Área total = 100 + 260

Área total = 360 cm²

5 cm

12 cm

12. Alternativa D.

Para encontrar a medida procurada é necessário calcular o volume de uma pirâmide.

Considerando que essa pirâmide tem base quadrada, sabe-se que a área de sua base

é igual a 9 m².

Volume = 3

1Ab. h Volume =

3

19. 4 Volume = 12 m³

13. Alternativa D.

Para saber a quantidade de madeira, deve-se calcular o volume dos dois cubos. Após

obter essas medidas, subtrairemos da medida do cubo maior o volume do cubo menor,

isto é, a quantidade de material que foi retirado. Assim, encontraremos a quantidade de

madeira utilizada.

V = 12³

V = 1.728 cm³

V = 8³

V = 512

1.728 cm³ - 512 cm³ = 1.216 cm³

14. Para saber em quantos litros essa nova lata excede a capacidade lata que era

classificada como a maior, é necessário calcular a capacidade volumétrica da lata que

apresenta diâmetro igual a 30 cm e altura igual a 30 cm. ( Considere = 3,14)

Inicialmente será calculado a área da base.

Área = ²r

Área = 3,14.15²

Área = 3,14.225

Área = 706,5 cm²

Volume = Ab.h

Volume = 706,5.30

Volume = 21.195 cm³

Se 1 cm³ é equivalente a 1 mL, 21.195 cm³ são equivalentes a 21.195 mL.

Se 1.000 mL equivalem a 1 L, para saber quantos litros tem-se em 21.195 mL, basta

dividir por 1.000.

21.195 ml : 1.000 = 21,195 L.

Neste caso, a nova lata excede a quantidade da antiga lata em 3,195 L.

15. Alternativa A.

Para saber a quantidade de água de café que Dona Maria deverá fazer, é necessário

calcular o volume do copinho e o volume da leiteira.

Volume da leiteira:

Volume = Ab.h

Volume = .4².20

Volume = .16.20

Volume = 320 cm³

Volume do copo:

Volume = Ab.h

Volume = .2².4

Volume = .4.4

Volume = 16 cm³

Volume da leiteira : volume do copo

320 : 16 = 20

Portanto, Dona Maria deverá encher a leiteira até a metade pois ela tem volume 20

vezes maior que o volume do copo.

16. A alternativa correta é a letra B.

Para saber a medida das arestas do chocolate no formato cúbico, é necessário primeiro

calcular o volume do chocolate no formato de paralelepípedo.

Volume = 3 x 18 x 4

Volume = 216 cm³

A aresta do chocolate no formato cúbico, será a raiz cúbica de 216. Pois, os dois

formatos de chocolate têm o mesmo volume e o volume de um cubo é igual a aresta

elevada ao cubo. Logo, tem-se:

Volume do cubo = a³

216 = a³

3 216 = a

a = 6

17. Alternativa correta é a letra B.

Se as taças tinham o mesmo raio e deveriam apresentar o mesmo volume tem-se:

V esfera = ³3

4R

V cone = hR².3

1

Devemos lembrar que a taça no formato hemisfério representa apenas metade do

volume da uma esfera.

2

1V esfera = V cone ³

3

4.

2

1R = hR².

3

1

h².33

1³3

6

4 h.

3

9

6

27.4 18 = 3 h h

3

18

h = 6