geometria analítica no espaço coelho costa.pdf · pontifÍcia universidade catÓlica de sÃo...
TRANSCRIPT
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC / SP
Acylena Coelho Costa
Geometria Analítica no Espaço:
Análise das Organizações Matemática e Didática em M ateriais
Didáticos
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2015
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC / SP
Acylena Coelho Costa
Geometria Analítica no Espaço:
Análise das Organizações Matemática e Didática em M ateriais
Didáticos
São Paulo
2015
Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como exigência parcial para obtenção do título de DOUTOR EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA sob a orientação do professor Doutor Saddo Ag Almouloud.
Banca Examinadora
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
Dedico esse trabalho ao meu esposo Carlos
e aos meus filhos, Alana e Artur, com muito
carinho.
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura ________________________ Local e Data_________________
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por sua infinita misericórdia em
minha vida.
Ao meu esposo, Carlos, que sempre incentivou
meu desenvolvimento profissional.
Ao Professor Doutor Saddo Ag Almouloud,
orientador dessa pesquisa, pelo incentivo,
amizade, ensinamentos e competência de sempre.
Aos professores doutores Maria José Ferreira da
Silva, Angelita Minetto Araújo e Marco Aurélio
Kalinke, Celina Aparecida Almeida Pereira Abar
que aceitaram participar da Banca Examinadora e
contribuíram com este trabalho.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação
em Educação Matemática da PUC-SP, pelos
valiosos conhecimentos.
Aos meus amigos do DINTER UEPA-PUC/SP
pelos momentos compartilhados nessa trajetória.
Ao professor Doutor Pedro Franco de Sá pelo
incentivo ao DINTER UEPA-PUC/SP.
A Universidade do Estado do Pará por
proporcionar a concessão de bolsa de doutorado.
Ninguém ignora tudo. Ninguém sabe tudo. Todos nós
sabemos alguma coisa. Todos nós ignoramos alguma
coisa. Por isso aprendemos sempre.
Paulo Freire
RESUMO
A presente pesquisa tem como objetivo analisar como os autores de livros didáticos
organizaram as atividades propostas no que se refere ao estudo da Reta e do Plano
para o ensino da Geometria Analítica no Espaço. As análises dos livros didáticos
fundamentaram-se essencialmente na Teoria Antropológica do Didático (TAD),
quanto às praxeologias, propostas por Chevallard (1999) e nas variáveis didáticas
para o ensino da Geometria Analítica no Espaço estabelecidas por Lebeau (2009).
Com base no referencial teórico adotado realizamos uma investigação de caráter
qualitativo do tipo documental, partindo de um levantamento bibliográfico em quatro
livros didáticos de Geometria Analítica destinados ao ensino superior. A
metodologia adotada em nossa pesquisa foi subsidiada na metodologia de análise
de manuais desenvolvida por Chaachoua (2014a) analisando nos livros didáticos
os seguintes aspectos: momento da edição, representatividade, estrutura, análise
ecológica e análise praxeológica. Em relação a análise praxeológica identificamos
seis tipos de tarefas presentes nos manuais analisados, a saber: determinar a
equação da reta no espaço, determinar a condição de paralelismo de retas no
espaço, determinar a condição de alinhamento de pontos no espaço, apresentar a
equação do plano no espaço como uma propriedade da ortogonalidade, determinar
um plano caracterizado por duas retas secantes e caracterizar algebricamente o
paralelogramo. Dentre os resultados encontrados é possível inferir que os autores
privilegiam uma modelização algébrica dos objetos matemáticos, bem como as
técnicas adotadas pelos mesmos encontram-se situadas no campo da Álgebra
Linear e da Geometria Analítica.
Palavras-chave : Geometria Analítica no Espaço. Teoria Antropológica do Didático.
Variáveis didáticas.
ABSTRACT
This research aims to analyze how the authors of textbooks organized the activities
proposed in relation to the study of Line and Planning for the teaching of Analytic
Geometry in Space. Analyses of textbooks substantiate mainly on Anthropological
Theory of the Didactic (TAD), with regard to praxeologias proposed by Chevallard
(1999) and in didactic variables for the teaching of Analytic Geometry in Space
established by Lebeau (2009). Based on the theoretical framework adopted we
conducted a qualitative investigation of documentary type, based on a literature
review on four textbooks Analytic Geometry devoted to higher education. The
methodology used in our research was supported in manual analysis methodology
developed by Chaachoua (2014a) analyzing the textbooks the following: time of
writing, representation, structure, ecological analysis and praxeological analysis.
For regards the praxeological analysis identified six types present in the analyzed
manual tasks, namely to: determine the equation of the line in space, determining
the straight condition of parallelism in space, to determine the alignment condition
of points in space, present plane equation in space as a property of orthogonality,
determine a plan characterized by two intersecting lines and characterize
algebraically the parallelogram. Among the findings it can be inferred that the
authors favor an algebraic modeling of mathematical objects, as well as the
techniques adopted by them are situated in the field of Linear Algebra and Analytic
Geometry.
Keywords : Analytic Geometry in Space. Anthropological Theory of the Didactic.
Didactic variables
LISTA DOS QUADROS
Quadro 1: Atividades elaboradas para o micromundo da Geometria Analítica...... 20
LISTA DAS FIGURAS
Figura 1: Representação de um cubo ...................................................................22 Figura 2: Representação do plano dado um ponto e um vetor normal ..................35 Figura 3: Representação do plano como conjunto de retas perpendiculares ........36 Figura 4: Representação do plano como superfície regular ..................................37 Figura 5: Plano π paralelo ao eixo Oz ...................................................................39 Figura 6: Representação do plano como superfície regular ..................................40 Figura 7: Conjunto de retas perpendiculares a uma reta dada d...........................47 Figura 8: Caracterização do plano Oyz .................................................................48 Figura 9: Interseções de curvas com planos .........................................................48 Figura 10: Conjunto de retas paralelas .................................................................49 Figura 11: Projeção sobre o plano paralelamente a uma reta ...............................51 Figura 12: Projeções de pontos de uma curva ......................................................52 Figura 13: Projeção de pontos sobre o plano OXY ...............................................53 Figura 14: Quarto vértice do paralelogramo construído sobre O, A e B ................56 Figura 15: Quatro pontos dados A, B, C e D (ou suas projeções) .........................60 Figura 16: Os pontos M, N e P e suas projeções no plano ...................................62 Figura 17: Retas paralelas d1 e d2 .......................................................................63 Figura 18: Capa do livro de Luiz Mauro Rocha .....................................................71 Figura 19: Capa do livro Waldyr Muniz Oliva ........................................................71 Figura 20: Capa do livro de Paulo Boulos e Ivan Camargo ...................................72 Figura 21: Capa do livro de Steinbruch e Paulo Winterle ......................................72 Figura 22: Prefácio de LD1....................................................................................76 Figura 23: Prefácio de LD2....................................................................................76 Figura 24: Prefácio de LD3....................................................................................77 Figura 25: Prefácio de LD4....................................................................................77 Figura 26: Equação vetorial da reta em LD2 .........................................................83 Figura 27: Equação vetorial da reta em LD3 .........................................................84 Figura 28: Equação vetorial da reta em LD4 .........................................................84 Figura 29: Escrita de equações paramétricas de reta em LD2..............................85 Figura 30: Determinação da equação de uma reta em LD4 ..................................85 Figura 31: Solução do exercício da figura 30 ........................................................86 Figura 32: Posição de retas e planos em LD1.......................................................87 Figura 33: Paralelismo de retas em LD3 ...............................................................88 Figura 34: Condição de paralelismo de duas retas em LD4 ..................................88 Figura 35: Posição relativa de retas em LD3.........................................................89 Figura 36: Resolução da questão da figura 35 ......................................................89 Figura 37: Condição para que três pontos estejam alinhados em LD4 .................90 Figura 38: Exemplo de uso da técnica 2 em LD3 ..................................................91 Figura 39: Exemplo de utilização das técnicas 1 e 2 em LD4 ...............................91 Figura 40: Condição de alinhamento de pontos em LD4 ......................................92 Figura 41: Determinação do plano em LD1 ...........................................................93 Figura 42: Equação do plano em LD2 ...................................................................94 Figura 43: Equação geral de plano em LD3 ..........................................................95 Figura 44: Equação geral do plano em LD4 ..........................................................96 Figura 45: Equações paramétricas do plano em LD3 ...........................................97 Figura 46: Primeira resolução em LD3 ..................................................................98 Figura 47: Determinação da equação geral de um plano em LD4 ........................98 Figura 48: Resolução do exemplo em LD4 ...........................................................99
Figura 49: Tarefas sobre equação geral do plano em LD4 ...................................99 Figura 50: Outras propostas de determinação de equação geral do plano em LD4 ......................................................................................................................100 Figura 51: Postulado da determinação do plano em LD1 ...................................101 Figura 52: Abordagem vetorial em LD4 ...............................................................102 Figura 53: Determinação da equação vetorial do plano em LD2 .........................102 Figura 54: Determinação das coordenadas dos vértices de um paralelogramo em LD3 ................................................................................................................102
SUMÁRIO INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 15
CAPÍTULO 1: ESTUDOS PRELIMINARES ................................................................ 19
1.1 Pesquisas sobre o Ensino da Geometria Analítica .................................... 19
1.2 Pesquisas envolvendo a TAD e a Geometria Analít ica ............................. 30
1.3.1 O Plano ............................................................................................................ 35
1.3.2 A Reta .............................................................................................................. 38
CAPÍTULO 2: FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA PESQUISA ................................. 41
2.1. A Teoria Antropológica do Didático (TAD) .................................................. 41
2.1.1 Os objetos ostensivos e não ostensivos ................................................... 44
2.2.Variáveis Didáticas na perspectiva de Lebeau (2 009) ............................... 46
2.2.1.Começar pelo plano? .................................................................................. 46
2.2.2.Começar pela reta? ...................................................................................... 50
2.2.3. Passar da reta ao plano. ............................................................................ 53
2.2.4. Paralelogramo, paralelismo e translação. ............................................ 56
2.2.5. Os pressupostos geométricos. ............................................................... 62
2.2.6. Ostensivos e modos de pensar. .............................................................. 63
CAPÍTULO 3: ABORDAGEM METODOLÓGICA ...................................................... 69
3.1. Caracterização da pesquisa ............................................................................. 69
3.2 A escolha dos livros didáticos ......................................................................... 70
3.3. Metodologia de análise dos manuais ............................................................ 72
CAPÍTULO 4: ANÁLISES DOS RESULTADOS ........................................................ 75
4.1. Momento da edição ............................................................................................ 75
4.2. Representatividade ............................................................................................ 75
4.3. Estrutura ................................................................................................................ 77
4.3.1. Apresentação do livro LD1 ....................................................................... 78
4.3.2. Apresentação do livro LD2 ....................................................................... 79
4.3.3. Apresentação do livro LD3 ....................................................................... 79
4.3.4. Apresentação do livro LD4 ....................................................................... 80
4.4. Análise ecológica ................................................................................................ 81
4.5. Análise praxeológica ......................................................................................... 82
4.5.1. Tipo de Tarefa (T1): Determinar a equação da reta no espaço ....... 83
4.5.2 Tipos de Tarefa (T2): Determinar a condição de paralelismo de retas no espaço. ...................................................................................................... 86
4.5.3. Tipo de tarefa (T3): Determinar a condição de alinhamento de pontos no espaço. .................................................................................................. 90
16
4.5.4. Tipo de tarefa (T4): Determinar a equação do plano no espaço como uma propriedade da ortogonalidade. .................................................... 92
4.5.5. Tipo de tarefa (T5): Determinar um plano caracterizado por duas retas secantes. ...................................................................................................... 100
4.5.6. Tipo de tarefa (T6): Caracterizar algebricamente o paralelogramo. ................................................................................................................................... 101
CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS ................................................ 105
REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 111
15
INTRODUÇÃO
Como professora do curso de Licenciatura em Matemática, há 12 anos,
ministrando por 4 anos a disciplina Geometria Analítica, percebemos, em
diferentes momentos, as dificuldades que os alunos apresentam nos
conteúdos envolvendo tal disciplina, mesmo quando já estudaram esses
conteúdos no Ensino Médio.
Ao verificarmos as dificuldades dos alunos em relação aos objetos de
estudo da Geometria Analítica, principalmente ao lidar com diferentes registros
(algébrico, gráfico e linguagem natural), nossa preocupação enquanto
pesquisadora, foi investigar tais dificuldades relacionando-as à formação de
professores de Matemática. Também percebemos na Geometria Analítica um
campo relevante de pesquisa, pois relaciona duas áreas da Matemática, a
Álgebra e a Geometria.
A Geometria Analítica, enquanto disciplina, representa um forte alicerce
no currículo do curso de Licenciatura em Matemática, pois encontra-se
presente em disciplinas como o Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear,
Geometria Euclidiana, Física e Análise Matemática. Além disso, percebemos a
relevância da disciplina Geometria Analítica por encontrar-se presente em
outros cursos superiores, tais como Engenharias, Arquitetura, Licenciatura em
Física e outros.
Ao iniciamos o curso de Doutorado em Educação Matemática por meio de
um projeto de doutorado interinstitucional (DINTER) entre a Universidade do
Estado do Pará (UEPA) e a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
(PUCSP), no ano de 2010, passamos a integrar o grupo de pesquisa Processo
de Ensino e Aprendizagem em Matemática – PEAMAT. Nesse grupo,
despertamos nosso interesse pelas discussões envolvendo a Teoria
Antropológica do Didático de Chevallard (1991), pois identificamos a sua
importância para a análise da prática docente em instituições de ensino.
Nos estudos e leituras que realizamos inicialmente no PEAMAT,
percebemos uma ampla discussão a respeito de aos temas relacionados aos
processos de ensino e de aprendizagem de conteúdos matemáticos no campo
da Geometria. Decidimos assim, desenvolver nossa investigação acerca da
16
Geometria Analítica no Espaço, em livros didáticos, uma vez que percebemos
poucas pesquisas no campo da Educação Matemática discutindo tal
problemática no ensino superior.
Para a realização dessa pesquisa direcionamos o foco para análise de
materiais didáticos1 no que se refere ao conteúdo de Geometria Analítica, no
ensino superior. Ao trilharmos nos estudos de nosso campo investigativo
percebemos que deveríamos centrar no estudo da Reta e do Plano no espaço
no intuito de analisar a abordagem feita pelos autores dos livros didáticos
adotados em Cursos de Licenciatura em Matemática em diferentes períodos. Os
referenciais teóricos que subsidiaram tais análises foram a Teoria Antropológica
do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1999) e os estudos acerca das variáveis
didáticas envolvidas no ensino da Geometria Analítica no Espaço desenvolvido
por Catherine Lebeau (2009). Trataremos sobre os principais aspectos dessas
teorias ao longo de nosso trabalho.
A opção por analisar livros didáticos se deu por entendermos que estes
representam uma importante ferramenta para o professor, pois retratam uma
forma de comunicação entre o professor e o aluno. Além disso, o livro didático
foi instituído historicamente como um dos instrumentos para o ensino e para a
aprendizagem, conforme explicita Núñez (2003).
Na visão de Lopes (2000) o livro didático tem uma importante
representatividade tanto para o professor, como para o aluno. No que se refere
ao professor, o autor aponta que o livro didático apresenta-se como o
complemento de sua formação acadêmica, além de ser o apoio na prática
escolar devido às condições de trabalho enfrentadas. Por sua vez, o aluno
enxerga o livro didático como um reforço para a aprendizagem, como também o
recurso para encarar o processo de avaliação.
Constitui-se como propósito dessa pesquisa contribuir com o ensino de
Geometria Analítica, tendo a convicção de que esse tópico da Matemática é
fundamental para os estudos em Geometria. Para tanto, pretendemos nesse
trabalho de tese responder ao seguinte questionamento:
1 . Adotaremos em diversas situações no decorrer do texto, os termos “materiais didáticos” e “livros didáticos” como sinônimos.
17
• Quais organizações matemática e didática podem esta r presentes
em livros didáticos para o ensino superior no que s e refere ao estudo
da Reta e do Plano no Espaço?
A proposta, em nossa pesquisa, é analisar as organizações didática e
matemática utilizadas na apresentação dos conteúdos sobre Reta e Plano no
Espaço.
Nosso objetivo é analisar como os autores de livros didáticos organizaram
as atividades propostas em relação ao estudo da Reta e do Plano a partir das
variáveis didáticas desenvolvidas por Lebeau (2009) para o ensino da Geometria
Analítica no Espaço.
Para tanto, visamos:
• Caracterizar as organizações didáticas e matemáticas presentes em livros
didáticos quanto ao estudo em Geometria Analítica no Espaço.
• Comparar os tipos de tarefas presentes nos manuais analisados com as
variáveis didáticas apontadas por Lebeau (2009) para o estudo em
Geometria Analítica no Espaço.
Para alcançar tais objetivos, analisamos livros didáticos publicados no
período do Movimento da Matemática Moderna estabelecendo a metodologia de
análise de manuais didáticos proposta por Chaachoua (2014a).
A seguir apresentaremos a estrutura desse trabalho de tese, destacando
cada um de seus capítulos.
No capítulo 1, apresentamos os estudos preliminares que possibilitaram
direcionar uma investigação em relação a temática desenvolvida. Realizamos
primeiramente um levantamento de pesquisas que contribuíram para os
processos de ensino e de aprendizagem de Geometria Analítica. A seguir,
descrevemos a respeito da importância de uma análise acerca do livro didático
e suas contribuições em relação ao saber dentro de uma instituição didática. E
finalizamos esse capítulo fazendo um estudo do objeto matemático o qual servirá
de apoio teórico matemático, de maneira a permitir o suporte necessário para
essa pesquisa.
O referencial teórico desse trabalho de investigação é apresentado no
capítulo 2, no qual buscamos destacar os principais aspectos das teorias que
fundamentarão nossas análises. Fizemos a opção pela Teoria Antropológica do
18
Didático de Chevallard (1999) que estuda as organizações praxeológicas
(didática e matemática) pensadas para os processos de ensino e de
aprendizagem de organizações matemáticas. Apresentamos ainda aspectos
significativos sobre o estudo realizado por Lebeau (2009), do qual interessamo-
nos pelas variáveis didáticas apontadas por essa pesquisadora em relação ao
estudo de Geometria Analítica no Espaço, especificamente no que se refere a
Reta e Plano.
No capítulo 3 discorremos sobre a metodologia adotada em nossa
pesquisa, a qual encontra-se subsidiada na metodologia de análise de manuais
desenvolvida por Chaachoua (2014a) que destaca nos livros analisados os
seguintes aspectos: momento da edição, representatividade, estrutura, análise
ecológica e análise praxeológica.
Em relação ao capítulo 4 apresentamos nossa análise praxeológica
destacando os tipos de tarefas encontradas nos livros analisados.
Encerrando nosso trabalho, trazemos considerações concernentes aos
resultados encontrados e que possibilitaram a conclusão dessa pesquisa.
19
CAPÍTULO 1 : ESTUDOS PRELIMINARES ______________________________________________________
Neste primeiro capítulo descrevemos os estudos preliminares que
permitiram direcionar nossa pesquisa sobre a temática desenvolvida.
Inicialmente destacamos as pesquisas que contribuíram para os processos de
ensino e de aprendizagem da Geometria Analítica. Em seguida relatamos a
importância de se realizar investigações sobre livros didáticos. Para finalizar,
apresentamos um estudo do objeto matemático, o qual servirá de apoio para
nossa pesquisa.
Esse capítulo mostra-se relevante para nosso trabalho, pois apresenta
contribuições do âmbito da Educação Matemática, auxiliando dessa forma a
sintetizar nossa problemática de pesquisa. Realizamos nesse capítulo um
levantamento em relação aos problemas existentes em torno do tema proposto,
os resultados alcançados pelos pesquisadores e as sugestões apontadas pelos
mesmos em relação ao ensino da Geometria Analítica e das investigações em
torno dos livros didáticos.
1.1 Pesquisas sobre o Ensino da Geometria Analítica
Destacamos nesse momento pesquisas em Geometria Analítica,
desenvolvidas na área da Educação Matemática, em diferentes níveis de ensino,
pela dificuldade de encontrarmos estudos destinados ao ensino superior. A
realização dessa análise é relevante, pois dessa forma demonstra a pouca
ênfase aos trabalhos em Geometria Analítica no Espaço. A busca por tais
pesquisas ocorreu por meio da consulta ao banco de teses e dissertações da
Capes, além de banco de teses de Instituições educacionais de nível superior
tanto no Brasil, como no exterior, além de sites de busca nacionais e
internacionais utilizando palavras-chave, tais como: Geometria Analítica,
Geometria Analítica no Espaço, Reta no Espaço.
O artigo de Sidericoudes (1998) apresenta uma pesquisa realizada com
alunos da 3ª série do ensino médio de uma escola pública utilizando um
micromundo desenvolvido no ambiente computacional Logo. A atividade
proposta teve como objetivo criar condições para o aluno participar da
descoberta e assimilar as ideias matemáticas no micromundo da Geometria
20
Analítica, por meio de atividades de resolução de problemas envolvendo ponto,
reta e distâncias privilegiando o processo de construção dos conceitos
matemáticos.
Para a realização das atividades, a turma investigada foi dividida em
grupos e trabalhou em horário regular de aula, totalizando aproximadamente
vinte horas-aula. No que se refere ao procedimento didático, as atividades foram
desenvolvidas de forma orientada e estimulada criando-se condições que
possibilitassem o envolvimento do aluno na busca de soluções alternativas para
a resolução dos problemas apresentados.
Dentre as atividades elaboradas por Sidericoudes (1998) para o
micromundo da Geometria Analítica, podemos destacar como exemplo a
situação representada no quadro 1:
Quadro 1 : Atividades elaboradas para o micromundo da Geometria Analítica
Fonte: Sidericoudes (1998, p. 5)
Com base nos resultados alcançados a autora pôde inferir que o ambiente
favoreceu a realização das atividades pelos alunos da forma que eles
consideraram ser a mais adequada. A liberdade de representação da linguagem
Logo fez com que os alunos se sentissem seguros na resolução dos problemas
aplicados. Além disso, os conteúdos de Geometria Analítica trabalhados durante
as atividades aplicadas foram manuseados e compreendidos pelos alunos,
possibilitando aos mesmos a “aprenderam Matemática”, “fazendo Matemática”
(SIDERICOUDES, 1998).
Sidericoudes (1998), ao concluir suas ideias, aponta que a compreensão
e o aprendizado dos conceitos matemáticos no ambiente Logo, possibilitaram a
21
compreensão de outros conceitos da Geometria Analítica, desenvolvidos em
momentos anteriores à atividade proposta.
A proposta apresentada por Sidericoudes (1998) demonstra a
preocupação da pesquisadora em elaborar uma atividade na qual o aluno
participe do processo de construção dos conceitos de Geometria Analítica, uma
vez que no ensino tradicional o conteúdo é abordado apresentando-se
primeiramente os conceitos e depois solicitando a resolução de exercícios
normalmente extraídos de um livro didático.
Ao analisarmos o trabalho de Sidericoudes (1998) percebemos o uso de
softwares viabiliza a compreensão dos conceitos de Geometria Analítica, mas
de acordo com pesquisas na área da Educação Matemática é necessário
também observar as abordagens presentes nos livros didáticos utilizados pelos
professores. Assim, diferentemente dessa autora, dedicamo-nos a investigar
livros didáticos utilizados no ensino superior no que se refere ao estudo da Reta
e do Plano no Espaço.
A pesquisa realizada por Osta (1990) teve como intuito estudar a
possibilidade de recuperar durante o ensino de Geometria Analítica, a relação
entre padrões espaciais e sua modelagem, por meio de representações gráficas.
Tal relação se manifesta por meio da estruturação do objeto, e a construção de
uma ordem espacial ao longo de cada uma das principais direções do espaço.
Osta (1990) testou suas atividades com alunos do ensino secundário por
três vezes em uma oficina de informática, na região de Grenoble. Cada
experimento foi realizado em duas sessões de duas horas cada, sendo tal
experimento realizado com oito alunos que foram solicitados a trabalhar em
pares, cada par com um computador. Para recolher as informações, a autora
utilizou como instrumento de coleta de dados notas de observadores (um
observador por par), áudio-gravações e arquivos de computador gravados,
contendo desenhos produzidos pelos alunos
Para a realização das atividades os alunos tinham à sua disposição: um
disco de mídia removível contendo o editor gráfico Mac Paint, a representação
de um cubo dentro de um álbum do Mac Paint e vários módulos de cubos
montados e colocados fixados em suas mesas. Osta (1990) adotou uma
determinada perspectiva cilíndrica, de acordo com as características
apresentadas no cubo da figura 1.
22
Figura 1 : Representação de um cubo
Fonte: Osta (1990, p. 28)
A proposta apresentada pela pesquisadora consistia na realização de
projetos para a construção de cubos utilizando ferramentas gráficas simples e
chegando o mais próximo possível da construção feita em um ambiente de lápis
e papel.
As análises dos dados coletados, objetivou identificar a relação entre as
concepções dos estudantes e a situação vivenciada. Tais situações referem-se
ao problema da interação entre alunos e computador e às interações entre os
alunos (trabalho em pares promove conflito sócio cognitivo e a necessidade de
argumento).
Após a análise dos resultados, Osta (1990) conclui que o computador pode
desempenhar um papel importante para o ensino, a saber: “ele permite a
construção de situações-problema nas quais a validação de trabalho dos alunos
é interna à situação pela implementação de meios de controle ... os alunos
podem decidir se a sua construção de um componente é correta ou não”
(Tradução nossa, p.47). A pesquisadora também levanta a questão das escolhas
didáticas feitas pelo professor, o qual tem uma ampla gama de escolhas que
podem promover um processo de aprendizagem controlado.
Concordamos com Osta (1990) quando aponta sobre as escolhas
didáticas que o professor possui para realizar o processo de aprendizagem, mas
por vezes, recorre unicamente ao livro didático. Por essa razão, nossa pesquisa
sobre análise de manuais didáticos de Geometria Analítica no Espaço pode
contribuir no âmbito do ensino.
O trabalho de pesquisa de Richit (2006) se propôs a descrever como
trabalhar com projetos em Geometria Analítica, utilizando software de geometria
23
dinâmica, com o intuito de favorecer a formação de futuros professores de
Matemática. Para nortear sua pesquisa Richit (2006) se preocupou em
responder a seguinte questão: Como trabalhar com projetos em Geometria
Analítica, usando software de geometria dinâmica, visando a favorecer a
formação de futuros professores de Matemática?
Para obter os dados para sua pesquisa Richit (2006) investigou seis alunos
em Regime Especial de Recuperação na disciplina de Geometria Analítica do
Curso de Matemática da Unesp de Rio Claro, os quais foram agrupados em
duplas e trabalharam durante nove sessões (3 horas cada) na elaboração de
atividades didáticas de Geometria Analítica. A pesquisadora procurou promover
conversas durante os encontros no intuito de saber como os licenciandos
avaliavam a estratégia de trabalho adotada na investigação no que se refere à
formação tecnológica e específica. As atividades elaboradas constituíram-se nos
projetos de cada dupla, as quais foram pensadas como uma forma de promover
a formação tecnológica, específica e pedagógica dos futuros professores de
Matemática.
Nos resultados encontrados a partir dessa pesquisa, pode-se observar as
indicações dos alunos investigados acerca da necessidade de se colocar o futuro
professor, durante a sua formação, em contato com os recursos tecnológicos
disponíveis, preparando-o para enfrentar os desafios de sua profissão, além de
estimular o desenvolvimento de habilidades de uso pedagógico destes recursos,
o que contribuirá com o processo de construção do conhecimento desse futuro
docente.
Ao analisar a intervenção realizada, a autora citada inferiu que o uso do
software, como o Geometricks, favoreceu a visualização de conceitos e
propriedades que foram tratados nas atividades desenvolvidas pelos alunos. Tal
pesquisadora também sustenta que tais atividades propiciaram a compreensão
de conceitos e estimularam a investigação matemática, contribuindo na
construção de saberes matemáticos.
Concluindo seu estudo, Richit (2006) destaca que a atividade pedagógica
fundada no desenvolvimento de projetos que privilegiam o uso de tecnologias
informáticas, constitui-se em experiências educacionais significativas no curso
de licenciatura, corroborando no processo de formação inicial docente em
Matemática, “pois favorecem o aprofundamento do conteúdo matemático, o
24
desenvolvimento de competências de uso pedagógico das mídias informáticas,
assim como permitem ampliar o conhecimento do recurso que está sendo
utilizado” (p.14). A autora também acredita que o trabalho com projetos em
Matemática ou em outra disciplina pode ser realizado com atividades distintas
das que foram desenvolvidas no estudo realizado, como por exemplo, a
elaboração de campanhas de conscientização, jornais escolares, peças de
teatro, exposições de pesquisas ou trabalhos realizados na escola, feiras sobre
assuntos disciplinares etc., de modo que este material seja repassado à
comunidade.
A investigação realizada por Richit (2006) chamou nossa atenção pelo fato
da autora se preocupar com o desenvolvimento de projetos em Geometria
Analítica, para favorecer a formação de futuros professores de Matemática.
Assim, constatamos a pouca ênfase que tem sido dada às pesquisas em
Geometria Analítica no Espaço e, por conseguinte, nossa pesquisa segue um
caminho oportuno para tal abordagem.
No estudo realizado por Bernard e Thoaldo (2009) são apresentados
diferentes cenários utilizando o software de geometria dinâmica Cabri-Géomètre
como ferramenta para o ensino e a aprendizagem da Matemática em Cursos de
Engenharia de uma universidade no estado do Paraná, os quais poderão ser
utilizados para o ensino a distância. Os autores mostram a possibilidade da
obtenção de medidas de áreas e volumes de poliedros irregulares em tempo real
utilizando a “Macro Construção” do Cabri (LABORDE, 1999, apud BERNARD E
THOALDO, 2009), que possibilita a obtenção dos valores procurados apenas
com os vértices da figura. Apresenta-se, também, um cálculo de medidas de
áreas no espaço pela generalização do Teorema de Pitágoras.
Dentre os objetivos apontados para realização dessa pesquisa, podemos
destacar que os autores pretendiam:
a) Participar de forma fundamentada com uma contribuição aos processos
de ensino e de aprendizagem da Matemática e de sua integração nas conexões
entre o sistema escolar e social na área da Matemática (CARRETERO, 1997,
apud BERNARD E THOALDO, 2009);
b) Atualizar os conhecimentos nos processos de ensino e de aprendizagem
(BERNARD, 2004, apud BERNARD E THOALDO, 2009);
25
c) Conduzir o aluno a resolver problemas geométricos por um enfoque que
lhe permita conjecturar, modelar, experimentar, exemplificar, generalizar e
verificar (MASON, 1982, apud BERNARD E THOALDO, 2009);
d) Utilizar a geometria intuitiva e a dedutiva que, juntas, devem contribuir
para o aprimoramento do processo de aprendizagem em Matemática, não
meramente pela ilustração geométrica, mas, sobretudo, pela validação da
construção numa dada Teoria Geométrica (MARIOTTI, 1999, apud BERNARD
E THOALDO, 2009);
e) Possibilitar as soluções gráficas e analíticas simultâneas em tempo real
(BERNARD, 2001, apud BERNARD E THOALDO, 2009).
f) Proporcionar um enfoque construtivista aos processos de ensino e de
aprendizagem (BODEM, 1999, apud BERNARD E THOALDO, 2009).
Para realização de sua pesquisa, Bernard e Thoaldo (2009) selecionaram
alguns problemas métricos que dão enfoque especial aos métodos geométricos
cujas soluções podem ser encontradas adotando-se uma abordagem que
relaciona a geometria intuitiva e a dedutiva. Os problemas foram aplicados para
turmas dos Cursos de Licenciatura em Matemática e Engenharia Ambiental que
estavam cursando a disciplina Geometria Analítica, totalizando oitenta alunos.
Segundo os autores, os alunos que participaram do experimento comprovaram
um melhor desempenho e aproveitamento superior aos estudantes de anos
anteriores.
Bernard e Thoaldo (2009) constataram que a geometria dinâmica pode
promover a ligação entre a Álgebra e a Geometria e contribuir significativamente
para a aprendizagem em matemática. Os resultados obtidos on-line permitiram
inferir que o enfoque computacional proporcionado pela Geometria Dinâmica
configura-se como uma alternativa didática para os processos de ensino e de
aprendizagem da Matemática, além de atuar como agente de motivação e
desenvolvimento do raciocínio lógico-espacial.
Finalmente, os autores concluem que qualquer atividade realizada em
ambiente computacional deve ser complementada com uma discussão, na qual
deve-se buscar significados para as construções geométricas. Bernard e
Thoaldo (2009) também perceberam que a utilização de representações
dinâmicas no ensino para o curso de Engenharia possibilita: modelar fenômenos,
estimular a aprendizagem contextualizada e interdisciplinar, auxiliar na validação
26
de teoremas e sem dúvida atuar como agente de motivação e desenvolvimento
do raciocínio lógico.
O trabalho de pesquisa realizado por Colpo et al (2009) tem como intuito
relatar a prática pedagógica realizada numa escola da rede estadual de Santiago
(RS), com uma turma do 3º ano do Ensino Médio. Os autores elaboraram
sequências de atividades fundamentadas nos princípios da Engenharia Didática,
considerando atividades que conduzissem os alunos a experimentar, interpretar,
visualizar, induzir, conjeturar, abstrair e generalizar os conceitos de Geometria
Analítica, surgindo naturalmente daí o processo de argumentação e dedução das
leis.
A aplicação das sequências de ensino ocorreu no laboratório de informática
da escola investigada, com um total de quatorze horas/aula, distribuídas em
cinco aulas semanais. Com base nos protocolos de pesquisa, os autores
constataram que os recursos utilizados para o desenvolvimento das aulas, bem
como as explicações ministradas pelos pesquisadores contribuíram para a
motivação e aprendizagem significativa dos alunos em relação aos conceitos
trabalhados de Geometria Analítica.
Nesse sentido, Colpo et al (2009) entendem que é possível explorar
diversos outros conteúdos matemáticos com auxílio das novas tecnologias,
ganhando-se tempo, criando-se motivação e aumentando-se o nível de
compreensão dos alunos. No entanto, os autores alertam que o ensino com o
uso dos recursos tecnológicos somente terá significado se o professor estiver
preparado para elaborar um planejamento que explore ao máximo os conteúdos
programáticos.
Compartilhamos do pensamento desses autores quando advertem que o
ensino com as novas tecnologias passa a ter significado quando o professor
encontra-se preparado ao organizar um planejamento que contemple os
conteúdos em sua plenitude. No entanto, enfatizamos que para o professor ter
uma formação adequada, é relevante que tal profissional tenha uma visão clara
dos recursos a serem utilizados no processo de ensino, como também dos
conteúdos a serem abordados. Por essa razão, julgamos importante realizarmos
uma investigação sobre análise de livros didáticos para o ensino superior, haja
vista que é um recurso amplamente utilizado pelos professores em sua carreira
docente.
27
A pesquisa de Lebeau (2009) se propõe a investigar sobre o ensino e
aprendizagem da Geometria Analítica tridimensional no ensino secundário
refletindo tanto sobre questões epistemológicas quanto didáticas.
Lebeau (2009) realiza uma análise da transposição didática que permite
explicar a inversão didática que consiste em ensinar a Geometria Analítica como
um subproduto da Álgebra Linear. Em sua análise a autora destaca os seguintes
aspectos:
1. Existe uma ruptura com o empirismo, com base nos contrastes entre as
abordagens de Euclides e Hilbert: os pontos, retas e planos não são
apenas especificados, segundo Hilbert, pelos axiomas que experimentam
as relações entre eles, tal como “dois pontos determinam uma e somente
uma reta”. Mas, segundo Euclides, as definições que são esperadas,
levam em conta, de um modo empírico, a natureza dos objetos sobre os
quais se trabalha.
2. O projeto de prolongar a Geometria axiomática para englobar o cálculo de
coordenadas: na Geometria sintética é interessante ir adicionando os
axiomas ou teoremas puramente geométricos que permitem incorporar de
maneira coerente os sistemas de coordenadas. Por isso está longe de ser
uma especificação geométrica da Álgebra Linear em que os primeiros
objetos são vetores, os espaços vetoriais e o produto escalar como forma
simétrica bilinear positiva.
3. Razões e benefícios para construir um formalismo independente da
escolha de um ponto de referência: historicamente, muitos matemáticos
como Burali Forti e Marcolongo tinham um projeto de encontrar
axiomaticamente um formalismo autônomo para calcular diretamente os
objetos geométricos, os pontos por exemplo, sem manipular as
coordenadas numéricas que representam um determinado ponto de
referência. As razões para tal projeto podem ser explicadas a partir dos
seguintes aspectos: as razões de abandono das coordenadas (a
penosidade dos cálculos, manter intacto o significado das magnitudes
envolvidas, criar um formalismo intrínseco, independente do ponto de
referência escolhido), uma economia de escrita e uma economia de
pensamento (unificar os casos de diversas figuras, o interesse pelo
cálculo do baricentro, sucesso da notação dois-pontos “B-A” na cultura
28
Anglo-saxônica, uma ruptura com as experiências sensíveis e acesso aos
espaços abstratos).
4. Uma inversão didática ao ensinar a Geometria como sendo um produto
da álgebra linear: ao invés de ensinar a Geometria de maneira sintética e
analítica para deduzir gradativamente os elementos que serão
constituídos na Álgebra Linear, como ocorreu historicamente, se começa
a ensinar pela Álgebra Linear para vir depois a Geometria como sendo
uma de suas especificações.
5. Característica da engenharia didática: a reforma no ensino da Geometria
permite estabelecer pontos entre o ensino secundário e o ensino superior,
tais como: um modelo de Geometria para o “espaço físico”, uma
ordenação dedutiva local, a questão do formalismo, um projeto no âmbito
da Geometria Euclidiana, uma validação sócio construtivista do
formalismo algébrico e o ensino da Geometria Analítica tridimensional
insere-se em uma praxeologia do tipo “modelização” e rompe com a
transposição habitual.
Como metodologia de pesquisa, Lebeau (2009) propõe uma engenharia
didática para alunos do segundo e terceiro ano do exame nacional
(Baccalauréaut) da Bélgica, cujo intuito foi trabalhar determinadas equações
como restrições nos pontos de coordenadas de um conjunto, permitindo assim
que os mesmos ultrapassem uma concepção “rotulada”. A autora destaca que
após iniciar a representação no espaço, é importante fazer para os alunos a
interpretação geométrica dos conjuntos de pontos a partir das restrições dadas.
A pesquisadora realiza uma análise das variáveis didáticas que
caracterizavam sua engenharia didática destacando que no âmbito da
transposição didática habitual os professores iniciam o ensino da Geometria
Analítica pela reta ou pelo plano de forma indiferente, tornando possível as
definições vetoriais dos objetos geométricos, com base em conhecimentos
prévios concernentes ao conceito de vetor. No decorrer de suas análises,
Lebeau (2009) inicia o estudo dos eixos sobre o plano, depois com as retas e as
estratégias que permitem determinar o plano a partir das retas e por fim, analisa
o papel fundamental da figura do paralelogramo, por um lado, e a concepção de
translação por outro. A autora também fornece pressupostos sobre o discurso
29
tecnológico justificando a modelização utilizada, como também analisa em que
os ostensivos mobilizados são emblemáticos de um ou outro modo de pensar.
A partir dessa reflexão a pesquisadora coloca as seguintes questões para
os alunos:
Questão 1: Que representação, no espaço, o conjunto de pontos
incluindo as coordenadas (x, y, z) verificam a equação � = − �� � + 3 ?
Qualquer ponto verifica a equação? Justifique sua resposta.
Questão 2: O que representa a equação � = �² ?
Questão 3: E a equação = �² ?
Questão 4: E a equação � = �² + �² ?
(LEBEAU, 2009, p. 254-255 - Tradução nossa).
Os resultados encontrados por Lebeau (2009) apontam que a maioria dos
alunos interpretaram as questões 1 como sendo a equação de uma reta e a
questão 2 foi interpretado como a equação de uma parábola no plano do sistema
de eixos Oxy . A pesquisadora verificou a dificuldade dos alunos em organizar
suas ideias de maneira racional e lógica, afirmando que a cota z não existe.
Outra dificuldade encontrada por Lebeau (2009) refere-se à equação � = �� +��, a qual, para alguns alunos, não está associada a equação canônica de um
círculo no plano Oxy .
Em nossa pesquisa, nos referenciamos às variáveis didáticas apontadas
pela pesquisadora citada por acreditarmos que apresenta aspectos que melhor
se adaptam as análises das organizações matemática e didática presentes nos
materiais didáticos que investigamos.
Após esse levantamento bibliográfico foi possível perceber nas pesquisas
supracitadas a preocupação dos pesquisadores em relação ao ensino da
Geometria Analítica. Outra situação presente nos estudos mencionados refere-
se à utilização de softwares para o desenvolvimento das atividades sobre
Geometria Analítica. No entanto, fica evidente que, pelo menos dentre os
trabalhos aqui destacados, apenas o de Lebeau (2009) teve a intenção de
estudar sobre a Geometria Analítica no Espaço. Tampouco encontramos
estudos com o objetivo de analisar livros didáticos relacionados a esse campo
da Matemática como um conhecimento necessário para o desenvolvimento de
pesquisas no âmbito da Geometria.
30
Em vista disso, acreditamos ser necessário e concludente a realização de
uma investigação que contemple a Geometria Analítica no Espaço, abordando
aspectos didáticos referentes ao ensino da Reta e do Plano e que caminhe para
uma análise das organizações matemática e didática que podem se fazer
presentes em livros didáticos destinados ao ensino superior.
1.2 Pesquisas envolvendo a TAD e a Geometria Analít ica
Nessa parte de nossos estudos apresentamos um levantamento de
pesquisas que se dedicaram a investigar o ensino de Geometria Analítica,
utilizando a TAD como referencial teórico, bem como quais conclusões foram
alcançadas e ainda que sugestões foram apontadas por tais investigadores. Ao
realizarmos um levantamento dessas pesquisas no Banco de teses e
dissertações da Capes, bem como anais de eventos de Educação Matemática,
periódicos, dentre outros, nos deparamos com dois trabalhos contemplando a
temática em questão. No que segue apresentamos os trabalhos encontrados.
A pesquisa desenvolvida pela autora teve como objrtivo analisar de que
forma os autores de materiais didáticos para o Ensino Médio organizaram as
tarefas propostas envolvendo provas e demonstrações sobre o conteúdo de
Geometria Analítica Plana. A opção da autora em realizar uma investigação do
livro didático se deu pelo fato da mesma atuar na Rede pública Estadual de
Ensino e ter em mãos um material de apoio (Caderno do Professor) como um
recurso de ensino elaborado por autores dentre os quais alguns são da área da
Eduação Matemática.
As bases teóricas que subsidiaram as análises dos resultados
encontrados na pesquisa de Varella (2010) foram a Teoria Antropológica do
Didático de Yves Chevallard (1999), quanto aos conceitos de organização
praxeológica e a tipologia de provas de Nicolas Balacheff (1988).
Para demilitar os livros a serem analisados em sua pesquisa, Varella
(2010) optou por trabalhar com as coleções de livros aprovadas pelo Programa
Nacional do Livro para o Ensino Médio para 2009, pois ficam disponíveis para
os professores em âmbito nacional. Além dos livros didáticos, a autora analisou
concomitantemente o material disponibilizado pela Secretaria da Educação do
Estado de São Paulo, o qual é utilizado por toda rede pública do Estado.
31
Após definir os materiais didáticos a serem analisados, Varella (2010)
buscou analisar quais organizações didática e matemática presentes nestes
materias no que se refere ao estudo da equação da Reta em Geometria
Analítica. As análises da autora foram norteadas por quatro questões,
concernentes ao estudo de provas e demonstrações e apresentando pelo menos
uma tarefa a ser realizada tendo por justificativa as técnicas escolhidas pelos
autores, as quais poderão ser mobilizadas pelos alunos:
• Questão 1: Qual a abordagem utilizada pelo autor para introdução
ao conteúdo Geometria Analítica?
Tarefa 1: Apresentar parte introdutória à Geometria Analítica.
• Questão 2: Como os conceitos matemáticos que antecedem o
estudo da Equaçãoda Reta são apresentados?
Tarefa 1: Identificar quais conceitos são trabalhados precedentes
ao estudo da equação da Reta.
Tarefa 2: Identificar as abordagens utilizadas para descrever esses
conceitos.
• Questão 3: Na introdução dos conceitos que antecedem o Estudo
da equação da Reta são utilizados os termos propriedades,
teorema, prova ou mesmo é feita alguma diferenciação entre eles?
Tarefa 1: Identificar a utilização dos termos nas tarefas executadas
e propostas.
Tarefa 2: Identificar se é apresentada alguma diferenciação entre
os termos utilizados pelo método axiomático-dedutivo.
• Questão 4: As tarefas propostas, voltadas ao estudo da Equação
da Reta, apresentam demonstrações ou provas?
Tarefa 1: Identificar as tarefas propostas para o estudo da equação
da Reta.
Tarefa 2: Identificar, por meio das tarefas, a utilização de provas ou
demonstrações.
Nas análises das tarefas que Varella (2010) encontrou, dentre os 5 livros
analisados, 3 contemplaram a abordagem histórica para introdução ao conteúdo
de Geometria Analítica. Para a autora, tal abordagem privilegia a utilização de
32
diferentes registros de representação, tais como algébricos, figurais ou textuais
por meio de exemplos dentro ou fora do contexto matemático.
Quanto ao estudo da equação da reta, Varella (2010) observou que todos
os materiais apresentam pelo menos uma das formas de representação da reta:
equação geral, equação reduzida, equação paramétrica e equação segmentária.
Ao analisar as tarefas executadas pelos autores das coleções analisadas no que
referentes à equação da reta, a autora identificou apenas uma atividade que
utilizava o termo “analisar se” e destaca que esse tipo de tarefa torna-se
interessante em relação à análise da resposta encontrada, pois possibilita ao
aluno oportunidades de explorar, conjecturar, reformular, explicar e validar suas
resoluções.
Varella (2010) conclui, diante das abordagens realizadas, que existe uma
ausência de definição para os termos que constituem o método dedutivo, assim
como falta clareza na organização Matemática ao se demonstrar um teorema. A
autora também identificou que, na maioria dos livros didáticos analisados, não
está explícito se uma relação representa uma propriedade, um teorema ou deduz
apenas uma fórmula.
O segundo trabalho que encontramos foi de Andrade (2012). Em sua
tese o autor demonstra uma preocupação com as organizações matemáticas
propostas para o ensino médio em relação a Geometria Analítica Plana e aponta
que tais organizações apresentam conexões internas reduzidas ou mesmo
nenhuma, além da ausência de conexões com outros tópicos da Matemática.
Em relação as conexões internas, o autor observa que as organizações
matemáticas apresentam praxeologias pontuais, tais como calcular a distância
entre dois pontos e calcular o módulo de um vetor, em diferentes momentos do
ensino, aparentemente, sem qualquer conexão, ainda que utilizem a mesma
técnica, decorrente do Teorema de Pitágoras como tecnologia.
Andrade (2012) encontrou na Teoria Antropológica do Didático,
especificamente na noção de Tarefas Fundamentais, os subsídios necessários
para analisar e desenvolver organizações matemática e didática para os estudos
de Geometria Analítica Plana. Dentre as Tarefas Fundamentais eleitas pelo
pesquisador para desenvolver os momentos didáticos de um processo de estudo
de Geometria Analítica Plana, destacam-se as seguintes tarefas:
• Tipo de Tarefa Fundamental 1: localizar pontos no plano.
33
• Tipo de Tarefa Fundamental 2: calcular a distância entre dois pontos.
• Tipo de Tarefa Fundamental 3: encontrar a equação do segmento de reta.
Essas tarefas, apontadas por Andrade (2012), foram evidenciadas com
base nas análises das organizações matemáticas propostas em livros didáticos,
como também no levantamento histórico e epistemológico da Geometria
Analítica presente na obra de René Descartes e permitiram ao autor perceber a
potencialidade de Tarefas Fundamentais na Geometria Analítica. A partir dessas
investigações, o autor aponta que o problema da desarticulação entre os
conteúdos ocorre também em outros níveis de ensino, além do ensino médio,
mencionando que tal problema ocorre também no nível superior, como entre a
Geometria Sintética e a Geometria Analítica e ainda entre áreas como a álgebra
e a geometria.
Ao analisar a proposta curricular brasileira em relação a Geometria,
Andrade (2012) verifica que essa área da Matemática encontra-se estabelecida
nos setores da Geometria Plana, Geometria Espacial, Geometria Métrica e
Geometria Analítica. Em relação a Geometria Analítica, o autor destaca que a
mesma é caracterizada pelo “método cartesiano” sustentada pelas técnicas da
Álgebra Linear e no ensino básico tem se reduzido a “um simples transporte
gráfico de pontos e curvas, um modo de reconhecer as formas das seções
cônicas a partir de equações expressadas de maneiras mais ou menos normais”
(Ibid, p. 97).
Ao assumir em sua pesquisa o problema da desarticulação temática
como fenômeno ligado determinadas problemáticas, como currículo, formação e
prática docente, Andrade (2012) analisa o desenvolvimento de um percurso de
estudos e pesquisas em uma comunidade de práticas de uma escola técnica da
cidade de Belém (PA), enquanto dispositivo metodológico de formação. O
pesquisador compartilhou sua problemática, em relação a Geometria Analítica,
com a comunidade investigada e propôs um sistema didático sobre esse saber
específico. No início dos estudos, a comunidade de prática busca relações entre
as organizações matemáticas e didáticas propostas em livros didáticos
referentes à Geometria Analítica recorrendo ao modelo praxeológico proposto
pela TAD, indicando as tarefas e tipos de tarefas propostos pelas organizações
matemáticas.
34
Dentre os tipos de tarefas para o estudo da Geometria Analítica no
Plano, a comunidade investigada por Andrade (2012), após a apresentação das
práticas destacou como importante: localizar pontos no plano, determinar a
distância entre dois pontos, escrever a equação da reta, determinar a medida de
um segmento a partir de outros segmentos.
A construção de organizações praxeológicas para a Geometria Analítica
Plana, adotada pela comunidade de prática envolvida na pesquisa de Andrade
(2012) mostrou-se árdua e complexa, apresentando alguns conflitos de relações
pessoais com as novas relações institucionais com saberes nas organizações
didáticas com saberes. Também ficou evidente nessa comunidade, que é tarefa
do professor “construir uma organização a partir de recortes de organizações
matemáticas presentes nos livros-textos do ensino básico”. (Ibid, p.162)
A partir da leitura dessas pesquisas foi possível perceber os problemas
que existem em relação ao ensino de Geometria Analítica nos diferentes níveis
de ensino, como também em relação ao ambiente em que se desenvolve. Tais
investigações mostraram-se relevantes para nortear o desenvolvimento de
nosso trabalho, em particular as que apresentam relação direta com o tema de
nossa pesquisa, a saber: Lebeau (2009) por subsidiar nosso trabalho em relação
às variáveis didáticas que possibilitaram analisar as diferentes articulações
possíveis da Geometria Analítica no Espaço e Andrade (2012) por contribuir com
sua pesquisa em relação ao referencial teórico apoiado nos parâmetros da TAD,
apontando o papel funcional dos tipos de tarefas nas organizações matemática
e didática de Geometria Analítica Plana.
Vale ainda ressaltar que a partir desses estudos preliminares foi possível
constatar que apesar de encontrarmos estudos sobre a Geometria Analítica não
constatamos pesquisas que tratassem sobre uma análise praxeológica referente
à Geometria Analítica no Espaço como nos propomos a desenvolver. Desse
modo, nos sentimos motivados a realizar este trabalho no intuito de colaborar
com as pesquisas em Educação Matemática.
A proposta de nossa tese conduz a algo ainda não apontado nos trabalhos
consultados. Nos propomos a analisar as organizações matemática e didática
referentes aos conteúdos sobre Reta e Plano no Espaço, permitidos pelas
variáveis didáticas desenvolvidas por Lebeau (2009) para o ensino da Geometria
Analítica no Espaço.
35
1.3 Estudo do Objeto Matemático
Por meio da apresentação dos conceitos referentes ao estudo da
Geometria Analítica no Espaço temos a intenção de fazer um levantamento do
objeto matemático, especificamente da Reta e do Plano, por meio de sua
organização formal, conforme as indicações apontadas por Lebeau (2009). Tal
estudo servirá de apoio em nossas análises no que se refere à descrição das
tarefas apontadas nos materiais analisados.
1.3.1 O Plano
Como mencionado anteriormente, seguiremos as recomendações de
Lebeau (2009) para abordagem do Plano no Espaço
Uma estratégia clássica, como designado por Lebeau (2009), para
caracterizar o Plano, consiste em apresentar a equação �� + �� + + � = 0
como uma propriedade da ortogonalidade. Desse modo, pode-se trabalhar uma
equação do plano a partir de um ponto dado e de um vetor normal não nulo (cf.
Figura 2).
Figura 2 : Representação do plano dado um ponto e um vetor normal
FONTE: Lebeau (2009, p. 191)
Essa caracterização que conduz à equação cartesiana do plano pode ser
demonstrada do seguinte modo:
Hipótese: seja P um ponto de coordenadas (��, ��, �) e ��� um vetor normal não
nulo.
Tese: Equação do plano �.
36
Um ponto M qualquer de coordenadas (�, �, ) pertence ao plano � se, e
somente se, os vetores ��� e ��������� são ortogonais. Por conseguinte: � ∈ � ↔ ��������� ⟘ ��� ↔ (� − ��, � − ��, − �) ⟘(�, �, )
↔ ��� − ��� + ��� − ��� + � − �� = 0
↔ �� + �� + − ��� − ��� − � = 0
↔ �� + �� + + � = 0
Pois, ��, ��, �, �, �, são conhecidos por hipótese.
Conclusão: a equação �� + �� + + � = 0 é uma equação cartesiana do
plano �.
Esta propriedade, sendo condição necessária e suficiente, caracteriza
qualquer plano a partir de retas perpendiculares a uma reta dada, ou de modo
mais preciso, os vetores ortogonais a uma vetor dado, o produto escalar nulo é
condição necessária e suficiente para exprimir a ortogonalidade (LEBEAU,
2009).
Outra estratégia para abordar o Plano, de acordo com a indicação de
Lebeau (2009) é caracterizá-lo como um conjunto de retas perpendiculares a
uma reta dada � (Figura 3), em um de seus pontos �.
Figura 3 : Representação do plano como conjunto de retas perpendiculares
Fonte : Lebeau (2009, p.193)
Se considerarmos que todos os pontos do Plano pertencem a uma reta
perpendicular a � em � e que todo ponto dessa reta pertence ao Plano. Então,
considerando �, o conjunto de retas perpendiculares à reta � em �, o plano � é
perpendicular à � em � e �′, pontos quaisquer de �. A reta � é perpendicular a
37
� e perpendicular a todas as retas do plano passando por qualquer ponto
pertencendo a �. Consequentemente, as retas ��′ e � são perpendiculares em � e ��′ pertencentes ao conjunto �. Todo ponto de � pertence, portanto, à uma
reta de �.
A abordagem do Plano também pode ser conduzida pela concepção
desse objeto geométrico como uma superfície regular. Lebeau (2009) sugere
que haja um questionamento inicial do tipo: “o que representa, no espaço, o
conjunto de pontos cujas coordenadas verificam a equação !� + 3� + � − 2 =0?” (p.194).
Uma das estratégias de resolução para essa questão é anular cada
variável da equação !� + 3� + � − 2 = 0, interpretando a equação obtida como
uma reta do plano de coordenadas. Dessa maneira, ao considerar = 0, tem-se 3� + � − 2 = 0 como a equação de uma reta d’ em xOy, ao considerar � = 0,
tem-se !� + 3� − 2 = 0 como a equação da reta d’ no plano xOz e ao considerar
� = 0, tem-se !� + � − 2 = 0 como a equação de d’’ no plano yOz. Portanto, é
possível concluir que estamos lidando com um plano (Figura 4).
Figura 4 : Representação do plano como superfície regular
Fonte : Lebeau (2009, p.194)
O plano também pode ser caracterizado a partir do exame de diversos
casos de figura, como: seja um plano determinado por três pontos O, A e B não
alinhados, todo ponto C, diferente dos outros pontos, é coplanar com esses se,
e somente se, as retas OA e AC são secantes. (LEBEAU, 2009). Partindo do
38
pressuposto que as equações paramétricas das retas já tenham sido objeto de
uma institucionalização, pode-se dizer que:
Se k e k’ representam os parâmetros reais, as equações paramétricas das
retas OA e BC são da forma:
Reta OA:#� = $�%� = $�% = $% ou � = $&
Reta BC:'� = �( + $′(�( − �))� = �( + $*(�( − �)) = ( + $*(( − )) ou � = + + $′(+ − ,)
As retas serão secantes se, e só se, o sistema $& = + + $′(+ − ,) é
compatível em $, $′ e possui uma única solução.
1.3.2 A Reta
Uma forma de abordar a Reta no Espaço, consiste em projetar os pontos
sobre os planos de coordenadas, como aponta Lebeau (2009), verificando se
suas projeções se encontram alinhadas e determinando se estes pontos também
estão alinhados. Essa abordagem possibilita determinar dois tipos de
caracterização das retas: a equação paramétrica e a equação cartesiana.
Assim, se considerarmos três pontos &, + e , cujas diferenças entre as
coordenadas são proporcionais. Essa hipótese se exprime pela seguinte
igualdade:
'�) − �% = $(�( − �%)�) − �% = $(�( − �%)) − % = $(( − %) sendo k um número real.
Então no plano xOy , as projeções &′(�%, �%, 0), +′(�(, �(, 0) e ,′(�) , �) , 0)
estão alinhados. Considerando o plano � formado por &′+′ e &&′ (cf. Figura 5),
este plano é paralelo ao eixo Oz e contendo os pontos &, + e ,.
39
Figura 5 : Plano π paralelo ao eixo Oz
Fonte : Lebeau (2009, p.206)
Pode-se ainda realizar uma argumentação precedente na qual se aponta
a interpretação em termos do plano paralelo a um eixo representado por uma
equação do primeiro grau em �, � e no qual o coeficiente de uma variável é
nulo.
O alinhamento das projeções &′, +′ e ,′ sobre o plano xOy pode ser
estabelecido por meio de uma equação do tipo os �� + �� + = 0. Esta
equação equivale a equação de um plano paralelo ao eixo Oz contendo &, + e ,′. Assim, por um lado, os pontos &′, +′ e ,′ estão alinhados e, de outra parte, a
reta &&′ as retas ++′ e ,,′, bem como ao eixo Oz (pela definição de projeção
paralela). Da mesma forma, se os pontos &′′, +′′ e ,′′ encontram-se alinhados,
então a equação da reta que se compreende é da forma �′� + �′� + ′ = 0. Isto
faz de um plano paralelo ao eixo Ox incluindo igualmente os pontos &, + e ,.
Assim a intersecção de dois planos está alinhada se os dois planos são
secantes.
Portanto, o alinhamento das projeções dos pontos iniciais no plano de
coordenadas é traduzido pela escrita cartesiana a partir da proporcionalidade
das diferenças de suas coordenadas e sendo da forma: �� + �� + = 0 e �′� +�′ + ′ = 0, as quais representam as retas dos planos. Essa abordagem permite
articular a caracterização paramétrica da reta que expressa a proporcionalidade
anteriormente e a caracterização cartesiana em termos do sistema de equações
de dois planos em cada eixo de coordenadas.
40
Outra forma de abordar a Reta é considerando três pontos alinhados �, -
e � e suas projeções �*, -′ e �′ sobre um plano qualquer � paralelamente a uma
reta � (Figura 6). Se a reta �- é paralela à �, as projeções são confundidas e
assim pode-se chamar igualmente de alinhamento. Se os pontos �, - e � estão
em �, o resultado é trivial.
Figura 6 : Representação do plano como superfície regular
Fonte : Lebeau (2009, p.200)
Por meio da apresentação dos conceitos referentes ao estudo da Reta e
do Plano temos a intenção de fazer um levantamento do objeto matemático por
meio de sua organização formal, podendo assim estabelecer comparações com
os materiais didáticos que analisaremos no capítulo 4. Tal estudo também servirá
de apoio em nossas análises no que se refere aos tipos de tarefas propostas nos
livros didáticos analisados, como também as variáveis didáticas identificadas por
Lebeau (2009).
41
CAPÍTULO 2: FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA PESQUISA
_______________________________________________________________
Nesse capítulo, destacamos a base teórica que norteou nossa pesquisa.
Abordamos primeiramente a TAD com base nas ideias propostas por Chevallard
(1999). Elucidamos em seguida as variáveis didáticas apontadas por Lebeau
(2009) para o ensino da Geometria Analítica no Espaço.
2.1. A Teoria Antropológica do Didático (TAD)
No âmbito da didática da Matemática a TAD tem uma contribuição
significativa, pois como afirma Almouloud (2007), tal teoria representa uma
evolução do conceito de transposição didática2, bem como estuda as
organizações praxeológicas didáticas planejadas para o ensino e a
aprendizagem de organizações matemáticas. Tal praxeologia representa o
produto de uma construção social e tem como finalidade específica, o estudo da
Matemática.
Essa teoria busca estudar o homem diante do saber matemático,
especificamente quando se depara com situações matemáticas. Assim,
Chevallard (1999) utiliza o termo antropológico para situar o estudo da
Matemática no interior do conjunto de atividades humanas e de instituições
sociais. E é designada uma teoria do didático, pois é um estudo do objeto de
estudo da didática.
A TAD mostra-se um instrumento relevante para analisar as práticas
docentes e o estudo da Matemática em termos de praxeologias (organizações).
Chevallard (1999) associa dois tipos de praxeologias para o saber matemático,
a saber: a organização matemática (OM) e a organização didática (OD), isto é,
as organizações dos conteúdos (o modo como é feita essa construção) e as
organizações de ensino (a Matemática que é possível ser construída para
desenvolvê-la em sala de aula).
2 Chevallard (1999, p.39) apresenta a definição de transposição didática como sendo: Um conteúdo do saber que tenha sido designado como saber a ensinar, sofre por conseguinte, um conjunto de transformações adaptativas que irão torná-lo apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O ‘trabalho’ que de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino é designado de transposição didática (Tradução nossa).
42
Assim, entende-se que cada atividade matemática possui uma
organização didática correspondente e que os conteúdos matemáticos, o
conjunto de objetos matemáticos a serem trabalhados em sala de aula,
apresentam uma forma específica de abordagem sendo necessário que o sujeito
reorganize seus conceitos e mobilize seus saberes a respeito.
A palavra praxeologia é constituída por dois termos gregos, práxis
(prática) e logos (razão), os quais encontram-se integrados, Chevallard; Bosch;
Gascón (2001) explicam que, “como dois lados de uma moeda, não há práxis
sem logos, mas também não há logos sem práxis” (p. 251). Portanto, as
praxeologias podem ser descritas por meio dos componentes tarefa e técnica,
referindo-se ao saber-fazer, e à tecnologia e teoria, as quais constituem o saber.
Chevallard (1991) apresenta notações próprias para identificar cada uma
dessas componentes praxeológicas da seguinte forma: tarefa pelo símbolo (t),
tipos de tarefas pelo símbolo (T), técnica pelo símbolo (ô), tecnologia pelo
símbolo (θ) e teoria pelo símbolo (Θ). De acordo com o autor, a tarefa faz parte
de um conjunto mais amplo designado de tipos de tarefas, pois t∈T. O conjunto
de técnicas, tecnologias e teorias organizadas para um certo tipo de tarefa é
chamado de Organização Praxeológica.
Nesse sentido a tarefa é uma atividade específica, que Chevallard (1999)
define como uma ação em que para executá-la, alguns conhecimentos serão
mobilizados. Podemos citar como exemplo de tarefa, a seguinte situação em
Geometria Analítica:
Tipo de tarefa (T): Calcular a distância entre dois pontos.
Tarefa (t): Calcular a distância entre os pontos A=(7, 3, 4) e B=(1, 0, 6).
O exemplo acima permite perceber que a tarefa (t) encontra-se
estreitamente relacionada com um tipo de tarefa (T) e pode ser identificada por
meio de um verbo de ação que, segundo Almouloud (2007), caracterizaria um
gênero de tarefa, como: determinar, calcular, resolver, localizar, somar,
decompor, os quais não determinam o conteúdo estudado. Também é
fundamental garantir que exista uma maneira de realizar uma tarefa que
pertença a um determinado tipo de tarefa. Tal maneira de realizar uma tarefa
pertencente a um dado tipo de tarefa, designa-se de técnica. A técnica
43
representa o procedimento adotado para solucionar uma determinada tarefa (t)
de certo tipo de tarefa (T).
Nesse sentido, uma técnica não representa uma decisão aleatória, pois
não se usa qualquer técnica para resolver uma tarefa. Conforme a TAD, a técnica
para resolver uma dada tarefa não é única, mas a escolha de uma técnica
sempre vem acompanhada de uma justificativa. Assim, existe um conhecimento
matemático para justificar a sua aplicação naquela tarefa e não em outra, e
também existe um conhecimento didático que justifica a escolha daquela técnica
ao invés de outra que produziria o mesmo resultado matemático. Tais
conhecimentos, matemático e didático, devem explicar a razão para ela
funcionar naquele caso específico e por quais motivos ela seria a técnica mais
indicada. No exemplo citado anteriormente podemos usar como técnica:
Técnica (ô): Utilizar a fórmula d(A,B)= .(�� − �! )² + (�� − �! )² + (� − ! )² para calcular a distância entre dois
pontos. Segundo os dados apresentados na questão �! = 7 1 �� = 1; �! =3 1 �� = 0 e ! = 4 1 � = 6. Logo, a distância entre os pontos A e B será .(7 − 1)� + (3 − 0)² + (4� − 6)² = √49 = 7
Para o exemplo mencionado acima, definimos uma técnica (ô) na
realização dessa tarefa, no entanto, toda técnica precisa ser justificada, isto é,
um campo teórico para fundamentá-la. A esse bloco, constituído por um tipo de
tarefa e uma técnica, Chevallard (1999) designa de bloco prático-teórico e pode
ser identificado como um saber-fazer. Esse saber-fazer não se apresenta de
forma isolada, pois toda técnica exige, pelo menos, uma justificativa, quer dizer,
exige um “discurso lógico” (logos) que lhe sustenta, denominado de tecnologia
(θ).
No termo tecnologia não existe qualquer alusão a um produto
industrializado ou a algum utilitário. Tecnologia, no contexto da TAD, é a
justificativa que se dá para um procedimento e tem o intuito de justificar
“racionalmente” a técnica usada no desenvolvimento de uma determinada tarefa,
além de “explicar/esclarecer” a técnica, com o propósito de garantir que a mesma
seja corretamente realizada.
44
Considerando o exemplo citado e a técnica usada para resolução dessa
tarefa, é possível justificá-la por meio da fórmula da distância entre dois pontos
e das propriedades das operações aritméticas.
Por outro lado, a tecnologia (θ) exige uma justificativa em um nível
superior que Chevallard (1999) denomina de teoria (Θ). A este bloco, referente
ao papel que a tecnologia e a teoria possui em relação à técnica, Chevallard
(1999) denomina de bloco tecnológico-teórico (θ/Θ), pois está relacionado com
o “saber”. Como exemplo desse bloco podemos considerar os campos da
Matemática, tais como: Geometria, Geometria Analítica e Álgebra.
Na perspectiva da TAD o componente mais amplo considerado em uma
praxeologia é a teoria que transmite a ideia de generalidade, abstração. Sales
(2010) indica que pode ser equivalente a um contemplar o cenário em busca das
causas, dos objetivos e dos porquês.
A luz da TAD muitas vezes o que propomos como tecnologia pode ser
considerado como a própria teoria. Mas, fica evidente, que essa alteração de
posição depende da complexidade da tarefa e do nível de ensino a que foi
destinada.
Observamos então, que uma organização didática não é determinada por
uma ação isolada do professor, pois os fatores sociais e estruturais da disciplina
influenciam fortemente na ação do professor no momento em que ele decide a
organização didática que orientará a atividade proposta. Também é possível
notar que a atitude do estudante mediante as atividades de estudo, sofre
influência desses fatores.
Refletindo sobre as ideias da TAD recordamos que a teoria sugere um
modelo de estudo da atividade matemática. Tal atividade consiste em
“manipular” os objetos matemáticos, ostensivos ou não-ostensivos, e designa-
se praxeologia. Uma praxeologia é composta de duas partes com dimensões
distintas, a saber: a prática e a razão.
2.1.1 Os objetos ostensivos e não ostensivos
A dificuldade com a “natureza” do objeto matemático e com o seu
funcionamento em uma atividade matemática levaram Bosch e Chevallard
45
(1999, apud ALMOULOUD, 2007) a instituir uma dicotomia fundamental que os
diferencia em dois tipos: objetos ostensivos e objetos não-ostensivos.
A atividade matemática, segundo a TAD, se realiza mediante uma
pluralidade de registros (escrito, gráfico, verbal, gestual e material). Sendo a
Matemática uma ciência essencialmente abstrata, seus elementos fundamentais
ou conceitos, não são tangíveis senão pela mediação de signos. A TAD não
atribui valor aos signos e não os classifica em mais ou menos apropriados. Uma
figura, uma descrição verbal ou um gesto pode desempenhar o mesmo papel ou
possuir o mesmo significado.
O termo ostensivo é original do latim (ostendere) e significa mostrar,
apresentar, apelar aos sentidos. Os ostensivos são todos os objetos
manipuláveis na execução de uma atividade matemática. Por sua vez, os não-
ostensivos são objetos que existem de forma institucional, tais como as ideias,
as instituições ou os conceitos e podem ser invocados mediante a manipulação
adequada de certos ostensivos apropriados (ALMOULOUD, 2007).
Na execução de uma atividade humana, em particular a atividade
matemática, existe uma relação entre objetos ostensivos e não-ostensivos. No
campo da antropologia, Almouloud (2007) aponta que é possível dizer que “o
cumprimento de toda tarefa envolve a manipulação de ostensivos regulados
pelos não-ostensivos, fazendo com que os objetos ostensivos tornem-se a parte
perceptível da atividade” (p.120).
Sales (2010) indica que nessa teoria é fundamental admitir que a
“apropriação” de um objeto não-ostensivo não encontra-se diretamente ligada a
um ostensivo. Essa “apropriação” de um conceito matemático, dito objeto não-
ostensivo, é resultado de diversos fatores, de uma organização didática ou de
uma atividade matemática complexa em que múltiplos recursos são mobilizados.
Consideramos a TAD um importante instrumento de análise para nossa
pesquisa, pois representa um modelo epistemológico de análise de atividades
matemáticas e visa compreender o que é fazer matemática e como o
conhecimento é produzido.
46
2.2.Variáveis Didáticas na perspectiva de Lebeau (2 009)
No estudo proposto por Lebeau (2009) para o ensino da Geometria
Analítica no Espaço, a autora realiza uma análise de variáveis didáticas partindo
de questionamentos tais como: Por onde começar? Pelas retas? Pelos planos?
Pelas equações cartesianas ou pelas equações paramétricas? A autora revela
que no âmbito da transposição didática habitual os professores começam
indiferentemente pela reta ou pelo plano, o que torna possível as definições
vetoriais dos objetos geométricos, com base em conhecimentos prévios
referentes ao conceito de vetor. Assim, em suas análises, Lebeau (2009) decide
partir do estudo dos eixos sobre o plano, depois com as retas e as estratégias
que permitem determinar o plano a partir das retas e, em última análise, mostrar
o papel fundamental da figura do paralelogramo, por um lado, e a concepção de
translação por outro. Destacaremos a seguir as análises feitas pela autora.
2.2.1.Começar pelo plano?
A ideia de começar o estudo de Geometria Analítica pelo plano, aponta
Lebeau (2009), parece absurda, pois o objeto plano pode ser considerado, a
princípio, mais complexo que o objeto reta, pois depende do registro que é visto.
O registro cartesiano, explicita a pesquisadora, parece dificilmente
acessível no que concerne à reta do que quanto aos planos, uma vez que a reta
é determinada por duas equações cartesianas do plano e a variedade de
equações possíveis parece problemática para certos alunos, devido a
interpretação que esta implica em termos de sistema e de interseção. Enquanto
que o plano é determinado por somente uma equação que, se apresenta
ostensivamente como o prolongamento de uma equação já reencontrada na
Geometria Analítica do plano do tipo ax + by + c = 0, que pode representar tanto
uma vantagem como uma desvantagem.
Uma estratégia que se tornou clássica no ensino da Geometria Analítica
consiste em apresentar a equação ax + by + cz + d =0 como uma propriedade
da ortogonalidade. Esta é uma versão com base no conceito de vetor e vetor
normal a um plano, contendo alguns erros de formalismo, conforme comenta
Lebeau (2009). A autora também explicita que é possível considerar uma versão
47
que faz abstração do conceito de vetor, assumindo que o produto escalar foi
trabalhado analiticamente no contexto da ortogonalidade da reta.
Lebeau (2009) destaca ainda que um plano pode ser caracterizado como
um conjunto de retas perpendiculares a uma reta dada d em um de seus pontos
M, conforme ilustrado na figura 7.
Figura 7 : Conjunto de retas perpendiculares a uma reta dada d
Fonte : Lebeau (2009, p. 193)
A autora conclui que a aproximação de uma caracterização cartesiana do
plano, via ortogonalidade de vetores, conduz a um questionamento: a definição
de um objeto da Geometria Afim por meio de conceitos da Geometria Métrica e
um trabalho prévio sobre o objeto plano demanda um custo cognitivo. Portanto,
Lebeau (2009) aponta que não parece conveniente adotar esta caracterização
do plano que se assenta sobre a ortogonalidade.
Em outra abordagem do plano, Lebeau (2009) sugere que o trabalho com
os alunos inicie com a seguinte questão: “o que representa, no espaço, o
conjunto de pontos cujas coordenadas verificam a equação !� + 3� + � − 2 =0?
Tal abordagem, explicita a autora, pode conduzir os alunos a pensar em
anular cada variável da equação !� + 3� + � − 2 = 0, interpretando a equação
assim obtida como uma reta do plano de coordenadas. A partir desse
pensamento, considerando z=0 3� + � − 2 = 0 seria a equação de uma reta d
em Oxy, considerando y=0 !� + 3� − 2 = 0 seria a equação da reta d’ no plano
48
Oxz e considerando x=0 !� + � − 2 = 0 a equação de d’’ no plano Oyz. Portanto,
a partir da figura 8, os alunos podem concluir que estamos lidando com um plano.
Figura 8 : Caracterização do plano Oyz
FONTE: Lebeau (2009, p. 194)
Ainda sobre essa abordagem, Lebeau (2009) destaca que é possível o
professor questionar os alunos se pode existir uma superfície curva cuja
interseções como os três planos de coordenadas sejam retas, como sugerido na
figura 9.
Figura 9 : Interseções de curvas com planos
Fonte : Lebeau (2009, p. 194)
49
A autora explica que os alunos podem utilizar a estratégia de substituir a
coordenada z por 4 na equação !� + 3� + � − 2 = 0, obtendo assim a equação 3� + � = 0 que representa uma reta paralela a d. Com a mesma estratégia o
aluno poderá substituir z por 3 e desse modo, obterá uma outra reta paralela a
d, o que pode convencê-lo de que a superfície não pode ser curva, pois se
constitui de um conjunto de retas. Nesse momento, Lebeau (2009) ressalta que
o professor poderá argumentar que uma folha de papel estriada de paralelas e
curvas representa um conjunto de retas paralelas que não formam um plano,
pois as retas paralelas não dependem de um reta dada. Para tal situação deve-
se proceder da seguinte maneira: substituir z por k, na equação 3� + � + !� $ −2 = 0 nos conduz a uma reta paralela a d com os pontos em que a cota é igual
a k. Essa reta corta o plano Oxz no ponto (789: , 0, $) e esse ponto de
coordenadas verifica a equação de reta d’ . O professor pode concluir que
estamos frente a um conjunto de retas paralelas contidas todas em um plano,
conforme figura 10.
Figura 10 : Conjunto de retas paralelas
Fonte : Lebeau (2009, p. 195)
Essa situação conduz a uma concepção do plano como uma superfície
regular, mesmo se ele não se constituir pela caracterização: o fato de demonstrar
que os pontos que verificam uma equação do tipo �� + �� + � + � = 0 constitui
bem uma superfície, mas não demonstra a recíproca.
50
Lebeau (2009) conclui que existe uma real dificuldade na estratégia de
começar pelo plano, pois os objetos planos são algebrizados, seja em termos de
caracterização paramétrica ou em termos de caracterização cartesiana. A autora
afirma que não é fácil iniciar pela equação cartesiana do plano, pois pode
conduzir o aluno a pensar que a equação �� + �� + = 0 representa uma reta
do plano, a equação que a prolonga pode ser adicionada de um termo em z
poderia ser melhor percebida por eles como de uma reta no espaço.
2.2.2.Começar pela reta?
Lebeau (2009) apresenta uma proposta de investigar de outra maneira
que se polariza imediatamente sobre alinhamento e não sobre a coplanaridade.
A autora destaca cinco abordagens em relação ao alinhamento.
• Uma expressão de alinhamento induzido para trabalhar no plano e que
deve ser justificada.
Antes de estudar Geometria Analítica no espaço o aluno já recebeu
ensinamentos sobre Geometria Analítica no plano, como também o
estudo sobre funções polinomiais do primeiro grau subtendido pelo estudo
prévio de proporcionalidade. Nesses estudos, os alunos aprendem que os
pontos alinhados com a origem têm coordenadas proporcionais. Assim,
Lebeau (2009) levanta a hipótese de que os alunos são suscetíveis de
entender espontaneamente no espaço as propriedades numéricas e
pontos alinhados no plano.
• A projeção para ir do espaço ao plano ou do plano ao espaço.
A noção de projeção paralela a um eixo sobre o plano de
coordenadas representa, a princípio, um meio privilegiado de fazer essa
passagem entre o plano e o espaço. Esta noção, menciona Lebeau
(2009), está presente no âmbito da Geometria Analítica do Espaço, pois
a projeção de um ponto paralelo a um eixo de referência (Oz, por
exemplo) sobre o plano determinado pelos dois outros eixos (Oxy)
permite definir a coordenada relativa a uma direção de projeção. Esta
projeção conserva a abscissa e a ordenada e não afeta a cota. Entretanto,
a autora destaca que a projeção sobre um único plano não é suficiente
para deduzir as propriedades das coordenadas dos pontos do espaço a
51
partir de suas respectivas projeções. Lebeau (2009) sugere a
necessidade de trabalhar outras projeções com os alunos, pois nenhuma
variável se distingue de outra em Geometria Analítica, contrariamente ao
que se pratica em análise.
• Alinhamento e projeção.
A projeção permite transportar o alinhamento do espaço ao plano,
mas quando transporta esta propriedade do plano ao espaço é mais
delicada. A projeção sobre o plano paralelamente a uma reta conserva o
alinhamento, como indicado na figura 11.
Figura 11 : Projeção sobre o plano paralelamente a uma reta
Fonte : Lebeau (2009, p. 200)
Porém, pontos não alinhados no espaço podem ter as projeções
alinhadas no plano (Figura 12). Consequentemente, ressalta Lebeau
(2009), deduzir uma caracterização algébrica de alinhamento no espaço
a partir de uma caracterização de alinhamento no plano supõe manipular
as projeções de forma prudente.
52
Figura 12 : Projeções de pontos de uma curva
Fonte : Lebeau (2009, p. 200)
• Do alinhamento no plano ao alinhamento no espaço, pela Geometria
Sintética.
Para projetar dois pontos A e B (pontos não situados no plano de
coordenadas e alinhados com a origem) sobre dois planos de
coordenadas, basta justificar a proporcionalidade de suas coordenadas.
Mas, como indica Lebeau (2009), demonstrar no espaço que os pontos A
e B com as coordenadas proporcionais, estão alinhadas com a origem, é
muito delicado. A autora destaca que uma proposta de demonstração
consiste em utilizar uma propriedade comum da Geometria Sintética,
como o caso de semelhança de triângulo ou o Teorema de Tales. A
demonstração apresentada por Lebeau (2009, p.201) é a seguinte:
Sejam A e B dois pontos do espaço cujas respectivas coordenadas
são proporcionais, ;<;= = ><>= = ?<?= .
Projetamos esses pontos no plano Oxy, paralelamente ao eixo Oz:
sejam A’ a projeção de A e B’ a projeção de B (figura 13). Depois,
projetamos A´ e B´ sobre o eixo Ox, paralelamente a Oy de maneira a
obter os pontos A” e B” . Para simplificar, supomos que as
coordenadas dos pontos são positivas, nesses casos podem exprimir
as medidas dos segmentos e se não for o caso, pode-se pensar em
trabalhar os valores absolutos dessas coordenadas (tradução nossa).
53
Figura 13 : Projeção de pontos sobre o plano OXY
Fonte : Lebeau (2009, p. 201)
• Uma validação favorecendo uma articulação de caracterizações
paramétricas e cartesianas de alinhamento.
Uma outra abordagem, explica Lebeau (2009), consiste em projetar os
pontos sobre os planos de coordenadas para verificar se suas projeções estão
alinhadas e determinar se eles mesmos são. Tal abordagem, segundo a autora,
permite conduzir a dois tipos de caracterização das retas: paramétrica e
cartesiana.
Lebeau (2009) conclui, que há dificuldades de se começar pela equação do
plano, pois as equações paramétricas assumem a adição de ternas e começar
pela equação cartesiana mobiliza estratégias não confiáveis por diversas razões,
como a definição de um objeto afim por meio de um conceito métrico, um olhar
pouco natural sobre os planos, a dificuldade de gerar os cortes em termos de
sistemas de equações.
2.2.3. Passar da reta ao plano.
Lebeau (2009) destaca que para passar da reta ao plano supõe definir
uma nova operação sobre as ternas para saber sua soma. Esta soma, prefigura
a soma vetorial por meio da qual o objeto plano é definido em Álgebra Linear. A
54
autora aponta três possibilidades de se trabalhar a passagem da reta ao plano,
são elas:
• Um plano caracterizado por duas retas secantes.
Uma primeira abordagem para caracterizar o plano, na perspectiva de
Lebeau (2009), pode-se trabalhar a partir da verificação de diversos casos de
figura, tal como: “um plano sendo determinado por três pontos O, A e B não
alinhados, todo ponto C, diferente dos pontos anteriores, é coplanar com esses
se e somente se as retas OA e AC são secantes ...” (LEBEAU, 2009, p. 211,
tradução nossa). A partir disso, os cálculos seguintes podem ser feitos supondo
que as equações paramétricas das retas já tenham sido objeto de uma
institucionalização.
As letras k e k’ representam os parâmetros reais, as equações
paramétricas das retas OA e BC são da forma:
Reta OA:
#� = $�%� = $�% = $% ou � = $&
Reta BC:
'� = �( + $′(�( − �))� = �( + $*(�( − �) ) = ( + $*(( − )) ou � = + + $′(+ − ,)
(LEBEAU, 2009, p. 211, tradução nossa)
Lebeau (2009) observa a respeito da redução ostensiva � = + + $′(+ −,) para representar um sistema e o nome de um ponto servindo para representar
as triplas coordenadas, além de considerar um novo significado do símbolo “=”
uma vez que este implica em três igualdades concernentes a cada uma das
coordenadas dos pontos.
• Um plano visto como uma superfície regular.
Uma outra abordagem para caracterizar um plano, segundo Lebeau
(2009), consiste em considerar tal como uma superfície regular composta
de um conjunto de retas paralelas constituídas sobre uma mesma reta. A
autora apresenta a seguinte caracterização analítica do paralelismo de
retas.
Considerando três pontos não alinhados, O, A e B e procurar as
coordenadas de todos os pontos coplanares com eles. É evidente que
existem os pontos das retas OA e OB, com as coordenadas da forma:
55
@� = $�% � = $�% = $% ou � = $& ou @� = $′�( � = $′�( = $′( ou � = $+
Em relação a estes pontos, pode-se tomar, de uma parte, aqueles que
estão situados sobre uma paralela a OA passando por um ponto
qualquer de OB e, de outra parte, aqueles que pertencem a uma
paralela a OB traçada por um ponto qualquer de OA (ver figura abaixo).
Uns e outros possuem as coordenadas da mesma forma:
@� = $′�% + $′�(� = $′�% + $′�( = $′% + $′( ou � = $& + $′+
Mas, para os pontos situados sobre as paralelas a OA passando por
um ponto de OB, deve-se variar o parâmetro k’, como pode ser fixado
k, enquanto que para outros pontos isto é contrário (LEBEAU, 2009,
p.215, tradução nossa).
Ao interpretar as equações A = BC + B′D, em que k e k’ são parâmetros
reais, em termos de pontos pertencentes às retas paralelas a uma reta dada OB
e com base em uma reta OA em uma outra direção (ou sobre as retas paralelas
a OA e secantes a OB) é mostrado que as equações geram pontos coplanares
com os pontos O, A e B. Inversamente, todo ponto do plano pode ser
considerado como situado sobre uma reta a OB e secante a OA e sendo assim
associado a uma cota de valor particular (k, k’ ) que verifica estas equações.
• Apostar na caracterização algébrica do paralelogramo.
Lebeau (2009) sugere construir um objeto plano a partir de uma
figura geométrica fechada que é o paralelogramo, o que pressupõe um
estudo de uma caracterização analítica deste quadrilátero: “ABCD é um
paralelogramo (eventualmente achatado) se e somente se B – A = C – D”
(LEBEAU, 2009, p. 216, tradução nossa). Deve-se novamente determinar
o máximo de pontos possíveis pertencentes ao plano dos pontos O, A e
B. Todos os pontos da reta OA, da forma A = BC, assim como todos os
pontos da reta OB, se A = B′D, são pontos do plano OAB . Fora estas
duas retas é fácil pensar no ponto C, quarto vértice do paralelogramo
construído sobre O, A e B e que verifica a relação E = C + D (ver Figura
56
14). Do mesmo modo, todo ponto C’ da forma BC + B′D, k e k’ sendo
reais, pertencentes ao mesmo plano pode ser interpretado como o quarto
vértice do paralelogramo construído a partir de O, A’ e B’ em que A’ é um
ponto qualquer de OA, da forma kA e B’ , um ponto qualquer de OB, da
forma kB’ . De modo inverso, destaca a autora, pode-se conceber todo
ponto P do plano OAB como a soma de um paralelogramo e assim
encontrar os valores de k e k’ tais que A = BC + B′D.
Figura 14 : Quarto vértice do paralelogramo construído sobre O, A e B
FONTE: Lebeau (2009, p. 217)
Na situação apresentada, Lebeau (2009) afirma que a figura do
paralelogramo está bastante presente e representa o principal ponto de
raciocínio. Tal figura permite trazer a soma das ternas que conduzem a soma
vetorial cuja regra do paralelogramo constitui precisamente um procedimento
representativo. A figura do paralelogramo pode se constituir em um passo para
caracterizar algebricamente as translações pelas quais as variáveis afins são
definidas por variáveis lineares sob a forma vetorial.
2.2.4. Paralelogramo, paralelismo e translação.
A ideia de Lebeau (2009) para caracterizar a coplanaridade, apoia-se na
figura do paralelogramo. A autora sustenta sua escolha argumentando que o
paralelogramo é uma figura que permite introduzir e modelizar o conceito de
vetor, que é centrado na Álgebra Linear. Analisando as diversas maneiras de
justificar a caracterização do paralelogramo, Lebeau (2009) indica que tal
justificativa deve ser apoiada na figura do paralelogramo e suas propriedades,
57
que podem ser demonstradas a partir da geometria sintética. A seguir a autora
aponta algumas relações entre paralelismo de retas, paralelogramo e translação.
• Começar pelo paralelismo de retas, as translações ou o paralelogramo?
Em seu estudo, Lebeau (2009) destaca que é possível justificar a
caracterização algébrica do paralelogramo a partir do paralelismo de retas
do seguinte modo:
Sejam os pontos distintos e não alinhados O, B e D (figura
abaixo).
O quarto vértice do paralelogramo em que estão os outros três
pontos, está localizado na interseção da reta que passa por B e
paralela a OD: P = B + kD e da paralela a OB passando por D:
P = D + k’B, em que k e k’ são parâmetros reais. As coordenadas
do ponto C, quarto vérticedo paralelogramo, verificam o sistema
P = B + kD = D + k’B para k = k’ = 1 é solução. Por consequência,
C = D + B. De maneira análoga, demonstrar que os ponto do
paralelogramo ABCD, distintos da origem, verificam: C = D + B
– A, quer dizer B – A = C – D. Contudo, se esta relação é uma
condição necessária para que um quadrilátero seja um
paralelogramo, ela não é suficiente. Com efeito, ela pode ser
realizada pelos pontos A, B, C e D alinhados. Neste caso, os
segmentos AB e CD tendo o mesmo comprimento, pode-se
chamar de paralelogramo achatado (p. 218, tradução nossa).
Lebeau (2009) evidencia que este desenvolvimento supõe trabalhar
previamente as posições relativas das retas e analisa como trazer
anteriormente uma caracterização algébrica do paralelismo de retas
apoiado sobre o paralelogramo.
A autora sugere que as relações entre paralelogramo e translação pode
ser estudada da seguinte forma:
Suponhamos que a translação já tenha sido definida e que foram
submetidas a um trabalho analítico. Em seguida caracterizar um
paralelogramo como um quadrilátero ABCD tal que B e C sejam as
imagens respectivas de A e D para uma mesma translação (figura
58
abaixo), podemos associar a relação B – A = C – D traduzindo esta
relação.
A abordagem recíproca não é difícil de imaginar, uma translação pode
ser definida por meio de pares de imagens equipolentes uns dos outros
por uma sequência de paralelogramos como foi feito nas classes do
secundário na época da matemática moderna (LEBEAU, 2009, p. 219,
tradução nossa).
Lebeau (2009) procurou em seu estudo relacionar, de uma parte, o
paralelogramo e o paralelismo entre retas e, de outra, o paralelogramo e
a translação.
• Iniciar pelo estudo do paralelismo de retas?
Em relação ao estudo do paralelismo de retas, Lebeau (2009)
considera a no processo de ensino da Geometria Analítica, uma etapa em
que as retas são caracterizadas pela escrita do tipo A = C + B(D − C),
sendo A e B dois pontos quaisquer da reta, P sendo um ponto genérico e
k um parâmetro real. A autora então justifica que nas equações
respectivas de duas retas paralelas, os coeficientes do parâmetro de um
são proporcionais as do parâmetro de outro, se A − C = F(G − E), sendo
m um parâmetro real e que esta propriedade é característica do
paralelismo. Lebeau (2009) faz uma demonstração sintética de tal
propriedade, recorrendo mais uma vez as projeções paralelas, que supõe
que elas conservam o paralelismo. Apoiada na tradução analítica do
paralelismo no plano, a autora destaca:
Sejam duas retas paralelas AB e CD. Projetar seus dois pontos nos
dois planos de coordenadas, paralelamente a um 3º eixo. As projeções
paralelas conservam o alinhamento e o paralelismo, obtido em cada
um desses planos, exceto em casos particulares que serão evocados
posteriormente, duas retas paralelas cujas inclinações são idênticas.
Isso conduz as igualdades ;H8 ;I ;<8 ;= = >H8 >I ><8 >= = ?H8 ?I ?<8 ?= (LEBEAU, 2009,
p.220, tradução nossa).
Uma outra abordagem do paralelismo de retas, indicada por
Lebeau (2009), encontra-se apoiada na tradução analítica da translação
que pode até mesmo constituir uma definição: “Toda translação do
59
espaço é uma função que associa, a todo ponto P do espaço, o ponto
imagem P’ = P + Q, onde Q é uma dada terna de números” (p. 222).
Segundo Lebeau (2009) a concepção de translação assim definida,
poderia caracterizar duas retas paralelas em que uma é a imagem da
outra por uma translação. A partir de uma perspectiva indutiva, a autora
destaca que tal caracterização implica em provar que uma reta e sua
imagem por translação são efetivamente retas paralelas, podendo-se
demonstrar por argumentos essencialmente analíticos.
A definição em termos de translação de uma reta paralela a uma
reta dada ou de um plano paralelo a um plano dado, explicita Lebeau
(2009), parece ser essencial, pois permite o rápido transporte das
propriedades relativas as retas ou planos contendo a origem de referência
das retas ou planos que os incluem.
• Começar por caracterizar algebricamente o paralelogramo?
Na visão de Lebeau (2009) poucas maneiras são exploradas para
justificar uma caracterização algébrica dos paralelogramos que não
estejam apoiadas em estudos introdutivos do paralelismo de retas. Assim,
a autora afirma que pode-se iniciar tal caracterização pela proposição de
Pisvin (1998, apud LEBEAU, 2009), que apoia-se em propriedades da
Geometria Sintética e na relação B – A = D – C que caracteriza muito bem
um paralelogramo no plano. Em tal situação, considera-se quatro pontos
dados A, B, C e D (ou suas projeções): eles determinam portanto um
plano, conforme indicado na figura 15.
60
Figura 15 : Quatro pontos dados A, B, C e D (ou suas projeções)
FONTE: Lebeau (2009, p. 225)
De acordo com Lebeau (2009), mostra-se que se ABCD é um
paralelogramo, tem-se as relações:
#�( − �% = �J − �)�( − �% = �J − �)( − % = J − )
Se ABCD é um paralelogramo, sua projeção paralela em cada um
dos planos formados pelos eixos é um paralelogramo eventualmente
achatado3 (LEBEAU, 2009).
Desse modo, a autora indica que as propriedades da Geometria
Sintética no espaço são, de uma parte, as projeções paralelas que
conservam o paralelismo (e portanto, forma o paralelogramo,
eventualmente achatado) e, de outra parte, dois planos paralelos são
cortados por um terceiro de retas paralelas. Enfim, Lebeau (2009) afirma
que as relações algébricas garantem a coincidência dos pontos B e B’’ ,
provando que ABCD é um paralelogramo.
3 Seja A e B dois pontos do plano. A translação que transforma A em B, associa a todo ponto C do plano um único ponto D tal que ABCD é um paralelogramo achatado.
61
Outra abordagem assinalada por Lebeau (2009) para a tradução
analítica dos paralelogramos apoia-se na expressão, em termos de
coordenadas, do ponto médio de um segmento em função das
coordenadas de seus extremos. Esta expressão permite na verdade
traduzir, de modo calculista, uma condição necessária e suficiente para
que um quadrilátero seja um paralelogramo, a saber que suas diagonais
se interceptam no ponto médio. A autora então apresenta a seguinte
demonstração:
Seja ABCD um paralelogramo (ver figura abaixo)
As coordenadas do ponto médio M, da diagonal AC, verificam
KLMLN�O = �% + �) 2�O = �% + �) 2O = % + ) 2
E as do ponto médio M’ de BD são escritas da forma
KLMLN�O* = �( + �J 2�O* = �( + �J 2O* = ( + J 2
O fato de que essas diagonais se interceptam ao meio exprime
portanto pontos médios de igualdades
KLMLN �% + �) 2 = �( + �J 2 �% + �) 2 = �( + �J 2 % + ) 2 = ( + J 2
Que pode ainda ser escrito como:
#�( − �% = �) − �J�( − �% = �) − �J( − % = ) − J ou + − & = , − P
62
Reciprocamente, pode-se deduzir do sistema identidades
dos pontos médios M e M’ das diagonais AC e BD e
concluir que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo
(LEBEAU, 2009, p.227-228, tradução nossa).
Esta abordagem, menciona Lebeau (2009), não requer nenhuma
construção exterior ao paralelogramo e supõe como pré-requisito que a
caracterização algébrica das coordenadas do ponto médio de um segmento, ou
seja, uma propriedade específica para pontos simplesmente alinhados.
2.2.5. Os pressupostos geométricos.
O trabalho desenvolvido por Lebeau (2009) encontra-se apoiado em
axiomas da Geometria Sintética do plano e do espaço e em conhecimentos de
Geometria Analítica Plana. A autora menciona particularmente dois teoremas, os
quais considera indispensáveis no que se refere à passagem do plano ao espaço
e é realizada via projeções paralelas a um eixo sobre um plano. Por meio de tais
teoremas é possível conservar o alinhamento de pontos e o paralelismo de retas.
Apresentamos a seguir os enunciados dos teoremas indicados por
Lebeau (2009):
Teorema 1: As projeções paralelas conservam o alinhamento.
Como ilustrado na figura 16, M, N e P são três pontos alinhados do espaço
e M’, N’ e P’ suas projeções sobre um plano qualquer paralelo a uma reta d.
Figura 16 : Os pontos M, N e P e suas projeções no plano
Fonte : Lebeau (2009, p. 232)
63
A recíproca desse teorema não é verdadeira e a contraposição é útil para
os casos em que se precisa justificar um não alinhamento de pontos.
Teorema 2: As projeções paralelas conservam o paralelismo.
Sejam duas retas paralelas d1 e d2. Suas projeções podem ser reduzidas
a dois pontos quando eles são paralelos a reta projetada (Figura 17), todos os
pontos de uma mesma reta com as mesmas projeções.
Figura 17 : Retas paralelas d1 e d2
Fonte : Lebeau (2009, p. 233)
Esse teorema, explicita Lebeau (2009), é utilizado para justificar a
caracterização algébrica da configuração de um paralelogramo que intervém na
dedução que sustenta a modelagem proposta.
2.2.6. Ostensivos e modos de pensar.
Ao analisar a transposição didática dos conceitos da Geometria Analítica
Lebeau (2009) considera que se tem adotado uma abordagem de natureza
cartesiana ou paramétrica antes de ser englobada em um formalismo vetorial. A
autora então assinala a dialética entre os três modos de pensar, a partir do
pensamento de Sierpinska (1997, apud LEBEAU, 2009): o modo sintético (o
pensamento tenta descrever um objeto e se apoia na geometria sintética), o
modo analítico (define os objetos geométricos por meio de equações ou de
sistemas de equações no sentido da Geometria Analítica) e o modo estrutural
64
(que emerge do registro analítico de invariantes comuns que encontram sua
expressão na Álgebra Linear).
Lebeau (2009) destaca que cada modo de pensar tem seus próprios
registros e que cada um leva e conduz a um sentido diferente das noções de
Geometria Analítica.
• Articulação entre os modos de pensar.
Os ostensivos algébricos revelam o registro de equações,
desempenhando uma dialética entre o modo de pensar sintético-algébrico
e o modo de pensar aritmético-analítico. Segundo Lebeau (2009) tais
registros existem pelas escritas provenientes do estudo de Geometria
Analítica Plana, tal como as equações das retas e das parábolas não
paramétricas a duas variáveis, representando as coordenadas de pontos
no plano. Um desafio nesta fase, destaca Lebeau (2009), é a constituição
do discurso tecnológico, apoiado sobre as técnicas, que justificam a
interpretação das equações do tipo �� + �� = 0 ou �� + � = 0 como
características de um plano paralelo a um dos eixos de referência. Tal
abordagem em torno da interpretação das equações algébricas pode ser
completada com atividades que considerem que as equações cartesianas
podem traduzir uma situação geométrica. A autora sugere que essas
atividades podem ser iniciadas pela institucionalização das equações de
planos estritamente paralelos ou não a um dos planos fundamentais
formados por dois eixos de referência e um segundo momento, refere-se
ao alinhamento de pontos e posteriormente a expressão da
coplanaridade. A autora espera que as técnicas de verificação imaginadas
pelos alunos, uma vez generalizadas, voltem-se para as caracterizações
algébricas visadas e isto conduz trabalhar em uma dialética entre os dois
primeiros modos de pensar, na medida em que os alunos justifiquem se
as escritas algébricas consideradas por eles traduzem as situações
geométricas concernentes, seja um alinhamento de pontos ou uma
coplanaridade de pontos.
Lebeau (2009) então afirma que isto conduz a teoremas que
institucionalizam a dialética entre os modos de pensar, tal como: “P, A e
B estão alinhados com a origem se e somente se suas coordenadas
correspondentes são proporcionais” (p.235). A autora espera que o modo
65
de pensar estrutural seja próprio das praxeologias do tipo “dedução”, é o
que um matemático cientista apresenta em relação aos argumentos
desse modo de pensar quando escreve demonstrações de Álgebra
Linear. Mas, segundo a autora, nada impede de recorrer às instituições
ligadas aos objetos geométricos, suas propriedades ou características
analíticas.
Na Geometria Analítica, designa Lebeau (2009), o modo de pensar
estrutural pode ser alcançado a partir do momento em que certas
ferramentas, como os determinantes, servem para modelar diferentes
situações mesmo que tenham sempre um caráter geométrico. Assim, a
autora faz a seguinte ilustração em relação a coplanaridade e ao
paralelismo de uma reta e de um plano:
Coplanaridade
A anulação de um determinante significa várias coisas. De modo
que o determinante
Q� − �% �( − �% �) − �%� − �% �( − �% �) − �% − % ( − % ) − % Q Supõe que existam os valores k e k’ tais que
'� − �% = $(�( − �%) + $′(�) − �%)� − �% = $(�( − �%) + $′(�) − �%) − % = $(( − %) + $′() − %)
ou &������� = $&+������ + $′&,������
Isto é, a coplanaridade dos pontos A, B, C e D.
Esta anulação do determinante torna compatível o sistema de
três equações em k e k’, por conseguinte, torna a equação cartesiana
acessível para eliminação dos parâmetros.
Paralelismo
Mas anular o determinante também verifica o paralelismo de
uma reta e de um plano. Com efeito, a anulação do determinante
Q�( − �% �J − �) �R − �)�( − �% �J − �) �R − �)( − % J − ) R − ) Q significa que existem os valores de k e k’ tais que
'�( − �% = $(�J − �)) + $′(�R − �))�( − �% = $(�J − �) ) + $′(�R − �) )( − % = $(J − )) + $′(R − ))
ou
66
&+������ = $,P������ + $′,�S (LEBEAU, 2009, p. 236, tradução nossa).
• A notação B-A.
Os registros escritos das equações paramétricas, conforme
especifica Lebeau (2009) rapidamente tornam-se pesados, como indicado
a seguir (LEBEAU, 2009, p.237):
“P pertence a AB se, e somente se, existe um real k tal que
'�T = �% + $(�( − �%)�T = �% + $(�( − �%)T = % + $(( − %) ”.
Desse modo, a autora indica que pode-se pensar em propor uma
escrita mais concisa, como por exemplo propor a substituição das ternas
de coordenadas que aparecem na equação pelo nome dos pontos aos
quais estão associadas, o que leva a escrever da seguinte forma: � = & + $(+ − &) � − & = $(+ − &)
Essa forma de escrever mostra-se vantajosa, como explica Lebeau
(2009) e para exemplificar tal vantagem, a autora demonstra um teorema
para que se perceba a facilidade na realização dos cálculos, conforme
indicado a seguir:
Uma translação remete uma reta em uma reta e não modifica os
coeficientes do parâmetro nas equações paramétricas. As equações
da reta AB tornam-se aquelas de uma reta determinada por A’ e B’,
imagens respectivas e A e B por esta translação: � − & = $(+ − &) � + , − (& + ,) = $(+ + , − (& + ,) �′ − &′ = $(+′ − &′)
em que
&* = & + ,, +* = + + , e �* = � + ,.
O que significa que P’ verifica a equação �*&* = $(+* − &*) que é de
uma reta A’B’.
Em outra, +* − &* = + + , − (& + ,) = + − &
Então, o coeficiente do parâmetro k permanece inalterado (LEBEAU,
2009, p. 238, tradução nossa).
67
Assim, revela Lebeau (2009), as escritas são manipuladas como sendo
os termos de uma equação. Mas, faz sentido considerar que as letras
representam as ternas de coordenadas ou um isomorfismo entre um espaço
vetorial construído no conjunto ℜ³ e que foi construído sobre um conjunto de
pontos (um dos pontos a ser destacado).
A análise das variáveis didáticas que caracterizaram a engenharia
didática proposta por Lebeau (2009) no que se refere ao ensino de Geometria
Analítica no Espaço permitiu a autora inferir a respeito de diferentes articulações
desse saber matemático. Tais variáveis foram importantes para nossa pesquisa,
pois nortearam nossas análises nos materiais didáticos investigados.
No próximo capítulo destacamos a abordagem metodológica adotada em
nossa pesquisa, anunciando sua caracterização, bem como os critérios
adotados para análise dos manuais didáticos investigados.
68
69
CAPÍTULO 3: ABORDAGEM METODOLÓGICA
_______________________________________________________________
No decorrer desse capítulo, descrevemos a opção metodológica de nossa
pesquisa, bem como os procedimentos adotados para a realização das análises
dos livros didáticos selecionados. Apresentamos o critério de escolha dos livros
e também as categorias estabelecidas que mostraram-se relevantes, pois
viabilizaram o alcance dos objetivos aos quais nos propusemos.
3.1. Caracterização da pesquisa
O estudo aqui apresentado caracteriza-se por ter um caráter qualitativo
descritivo que se situa na tipologia da pesquisa documental. Esse tipo de
pesquisa revelou-se apropriado para nosso estudo, pois visa explicitar uma
melhor compreensão acerca de um determinado problema, além de descrever
as características do fenômeno.
Em relação à pesquisa descritiva, esta possui a intenção de expor as
características de um determinado fenômeno ou de uma determinada
população. Nossa investigação pode ser considerada descritiva, uma vez que
procura apresentar as praxeologias que constam nos livros didáticos,
confrontando com as variáveis didáticas estabelecidas por Lebeau (2009) no que
se refere a Geometria Analítica no Espaço.
Classificamos nossa pesquisa como qualitativa, pois não representa um
estudo estatístico e conforme especifica Minayo (2003) este tipo de pesquisa
volta-se para uma realidade que não pode ser quantificada. Essa autora define
que a pesquisa qualitativa “trabalha com o universo de significados, motivos,
aspirações, crenças, valores, e atitudes, o que corresponde a um espaço mais
profundo das relações dos processos e dos fenômenos que não podem ser
reduzidos a operacionalização de variáveis” (p. 21). Desse modo, abordamos em
nosso estudo, um enfoque indutivo para análise dos dados e descritivo para
apresentação dos resultados, pois a pesquisa qualitativa será sempre descritiva.
Consideramos a abordagem do tipo documental em nosso trabalho, pois
analisamos materiais que ainda não receberam um tratamento analítico (GIL,
2002). Essa tipologia de pesquisa classifica os documentos em dois tipos: fontes
de primeira mão e fontes de segunda mão. De acordo com Gil (2008) são
70
considerados documentos de primeira mão os que ainda não receberam
tratamento analítico, tais como: cartas, contratos, diários, documentos oficiais,
filmes, fotografias, gravações, memorandos, reportagens, etc. Por sua vez, o
autor entende como documentos de segunda mão os que já receberam
analisados de alguma forma, como por exemplo: relatórios de empresa,
relatórios de pesquisa, tabelas estatísticas e outros.
Concordamos com Gil (2008) quando afirma que a pesquisa documental
apresenta um caráter inovador e proporciona importantes contribuições no
estudo de alguns temas.
3.2 A escolha dos livros didáticos
Para a realização de nossa investigação foi necessário realizar escolhas
dos livros didáticos a serem analisados, estabelecendo o nível de ensino em que
esta pesquisa seria realizada, como também o conteúdo matemático a ser
explorado.
Como atuamos em um curso de Licenciatura em Matemática na
Universidade do Estado do Pará, optamos por analisar os livros didáticos de
Geometria Analítica no Espaço voltados para o ensino superior publicados no
período da reforma da Matemática Moderna, pois revela-se um episódio
importante dentro das mudanças dos programas nas instituições de ensino,
conforme destaca Chaachoua (2014b).
Para obtermos os livros didáticos a serem analisados em nosso trabalho,
realizamos uma busca em diversos sebos na cidade de São Paulo e
selecionamos os seguintes materiais:
Livro 1(LD1) : Geometria no espaço – Luiz Mauro Rocha – 1964
71
Figura 18 : Capa do livro de Luiz Mauro Rocha
Fonte: Rocha (1964)
Livro 2(LD2) : Vetores e geometria – Waldyr Muniz Oliva – 1971
Figura 19 : Capa do livro Waldyr Muniz Oliva
Fonte : Oliva (1971)
Livro 3(LD3) : Geometria analítica: um tratamento vetorial – Paulo Boulos e Ivan
Camargo - 1986
72
Figura 20 : Capa do livro de Paulo Boulos e Ivan Camargo
Fonte: Boulos e Camargo (1986)
Livro 4(LD4) :Geometria analítica – Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – 1987
Figura 21 : Capa do livro de Steinbruch e Paulo Winterle
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987)
O nosso interesse nesses livros foi o de realizar uma análise praxeológica
sobre Geometria Analítica no Espaço, voltando nosso olhar para o modo como
os autores expõem o conteúdo matemático e as tarefas propostas.
3.3. Metodologia de análise dos manuais
Após definir os livros didáticos a serem analisados em nossa pesquisa,
procuramos identificar os critérios para análise. Ressaltamos que nosso objetivo
73
é analisar o modo como os autores de livros didáticos organizaram as atividades
propostas em relação a Geometria Analítica no Espaço e a forma como as
variáveis didáticas apontadas por Lebeau (2009) foram desenvolvidas nos textos
presentes no material didático.
A metodologia adotada para análise dos livros apoiou-se no trabalho de
Chaachoua (2014a) que aponta determinadas características para a realização
de tais análises com base na TAD. Destacamos a seguir os elementos que,
segundo o autor, especificam as características dos livros, o contexto de sua
produção e caracterizam a relação institucional. Também faremos a relação de
tais características com as escolhas feitas em nosso trabalho.
O momento da edição
Chaachoua (2014a) considera o ensino como dinâmico em que o
programa define uma condição referente ao funcionamento do sistema. Assim,
é importante considerar que nas últimas décadas o ensino sofreu duas rupturas:
a primeira refere-se a reforma da Matemática Moderna, em 1969, e a segunda
corresponde aos programas do final da reforma, em 1982. Assim, para a escolha
dos livros, o autor aponta que pode-se colocar no momento de ruptura ou de
estabilidade do sistema.
Representatividade
Chaachoua (2014a) afirma que é importante proceder a escolha de um ou
mais livros que são utilizados com frequência para o ensino. Assim, escolhemos
para analisar em nosso trabalho de pesquisa os livros de Geometria Analítica no
Espaço, utilizados nos cursos de ensino superior, que foram especificados no
item 3.2.
Estrutura
O estudo da estrutura dos manuais informa sobre o lugar das atividades,
a presença ou não de exercícios resolvidos e eventuais comentários dos autores.
74
Análise ecológica
A análise ecológica de um objeto do saber é organizada pelo autor a partir
das noções de habitat (que designa os locais de vida e do meio ambiente
conceitual dos objetos do saber) e de nicho (designa a função dos objetos dentro
do sistema do objeto com o qual interage).
Análise praxeológica.
Para análise dos manuais, Chaachoua (2014a) especifica como são
estruturadas atualmente, muitas vezes podem ser organizadas em função dos
seguintes aspectos:
- Identificação dos tipos de tarefas: deve-se investigar as atividades presentes
nas diferentes partes de um capítulo do livro analisado.
- Identificação das técnicas: após identificar os tipos de tarefas, deve-se
caracterizar as técnicas utilizadas com base nos exercícios resolvidos.
- Identificação das tecnologias: deve-se construir as tecnologias que geram e
justificam as técnicas a partir da análise dos comentários dos autores e
eventualmente da análise do livro do professor.
Após apresentação dos procedimentos metodológicos adotados em
nossa pesquisa, destacando a escolha dos materiais analisados e os critérios
estabelecidos para análise desses livros didáticos, apontamos na sequência as
análises dos resultados alcançados.
75
CAPÍTULO 4: ANÁLISES DOS RESULTADOS
_______________________________________________________________
Nos propomos nesse capítulo a destacar os resultados das análises dos
livros didáticos selecionados à luz do quadro teórico que norteia nossa pesquisa,
bem como na metodologia estabelecida por Chaachoua (2014a), a qual consiste
em analisar a abordagem do conteúdo, os exercícios resolvidos, exercícios
propostos e os comentários dos autores dos referidos livros em diferentes
períodos.
4.1. Momento da edição
Os manuais selecionados para nossa pesquisa encontram-se voltados
para abordagem do conteúdo de Geometria Analítica no Espaço destinados ao
ensino superior no decorrer de diferentes períodos, a saber: 1964, 1971, 1986,
1987. Procuramos selecionar os manuais nesses anos, pois como sugere
Chaachoua (2014a) a escolha dos manuais pode ser colocada em um dos
momentos de ruptura do sistema de ensino, que corresponde a reforma da
Matemática Moderna de 1969.
4.2. Representatividade
Quanto à representatividade dos manuais selecionados para nossa
pesquisa, consideramos as orientações indicadas por Chaachoua (2014a), o
qual aponta a importância de se escolher os manuais mais utilizados pelos
professores.
Assim, para verificarmos se os livros de Geometria Analítica se
destinavam ao ensino superior, realizamos uma leitura do prefácio de cada livro
adotado para nosso trabalho. O intuito foi encontrar indicativos que permitissem
assinalar a utilização desses materiais didáticos em cursos universitários.
Encontramos no prefácio do livro LD1 o indicativo de que o mesmo pode
auxiliar professores e alunos quanto à linguagem matemática utilizada no ensino
superior (cf. Figura 22), razão pela qual foi selecionado em nossa pesquisa.
76
Figura 22 : Prefácio de LD1
Fonte : Rocha (1964)
O livro didático LD2 apresenta em seu prefácio a indicação de utilização
do mesmo para cursos do ensino superior, como especificado na figura 23,
podendo despertar o interesse pelo estudo da Matemática Moderna, sendo por
esse motivo escolhido para nosso trabalho.
Figura 23 : Prefácio de LD2
Fonte : Oliva (1971)
Quanto ao material didático LD3 observamos no prefácio, conforme a
figura 24, que os autores apontam o seu leitor como sendo estudantes
ingressantes em cursos superiores, os quais são estimulados ao aprendizado da
Geometria Analítica, mesmo que não tenham vivenciado situações favoráveis de
77
aprendizado da geometria no ensino secundário. Por constatarmos que LD3
destina-se ao ensino superior elegemos o mesmo para nosso estudo.
Figura 24 : Prefácio de LD3
Fonte: Boulos e Camargo (1986)
No livro didático LD4 percebemos em seu prefácio que o material foi
elaborado para atender um curso semestral (Figura 25), de nível superior, com
carga horária de 4 horas semanais. Como verificamos que LD4 era designado
para os cursos universitários, então o selecionamos para nossa investigação.
Figura 25 : Prefácio de LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987)
4.3. Estrutura
Em relação a estrutura dos capítulos sobre Geometria Analítica no
Espaço, apresentamos uma síntese da abordagem de cada livro analisado,
considerando os aspectos que julgamos ser relevantes para nossa pesquisa, a
saber: a forma como a Geometria Analítica no Espaço é introduzida, o tratamento
78
dado ao plano e a reta, como também as questões apresentadas ao longo do
capítulo, tanto as questões resolvidas, quanto as questões propostas.
4.3.1. Apresentação do livro LD1
Na apresentação do livro Geometria no Espaço, Rocha (1964) menciona
no prefácio do livro que buscou introduzir de forma gradativa a linguagem e os
símbolos da Matemática Moderna, em função de acompanhar as tendências
estabelecidas na época de sua publicação. O autor destaca ainda que seu
objetivo, com tais alterações, é tornar o livro mais útil, tanto para os professores,
quanto para os alunos e adverte que a aquisição de uma linguagem matemática
atualizada poderá facilitar aos estudantes a adaptação em relação aos estudos
superiores.
Na primeira parte do livro, trata de “Noções de Matemática Moderna”
apresentando símbolos da Lógica matemática, noção de conjuntos, relações e
operações matemáticas e estruturas matemáticas. A expectativa do autor é
despertar o interesse de professores que ainda desconhecem o movimento de
renovação do ensino da Matemática.
No capítulo 1, Rocha (1964) faz uma introdução à Geometria no Espaço
e destaca, inicialmente, 14 postulados dentre eles os postulados da
determinação do plano, da divisão do espaço e da pertinência de reta e plano,
que o autor especifica em uma nota que são denominados de “postulados da
Geometria no Espaço”. Em seguida o autor apresenta os casos de determinação
do plano, como também as posições relativas de retas e planos no espaço. Ao
final do capítulo são apresentados 5 exercícios sobre o conteúdo abordado.
As noções gerais sobre paralelismo e perpendicularidade entre retas e
planos no espaço são apresentadas no capítulo 2, no qual Rocha (1964) destaca
que os alunos deverão estudar com especial atenção, pois será a base para o
conhecimento de Geometria no Espaço. Nenhum exercício é proposto no
decorrer do capítulo, no entanto o autor apresenta 5 problemas que aponta como
fundamentais de construção geométrica no Espaço.
79
4.3.2. Apresentação do livro LD2
No prefácio do livro, Oliva (1971) destaca que os quatro primeiros
capítulos de sua obra ocupam-se do programa da disciplina “Vetores e
Geometria” do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São
Paulo oferecido aos estudantes de Matemática, Física, Química e Engenharia.
O autor enfatiza que o capítulo 4, intitulado “A Geometria Analítica no Espaço”,
é dedicado a estudar questões referentes a esse campo da Geometria, bem
como problemas algébricos de 1º e 2º grau e assume que a estrutura lógica de
sua abordagem tem como ponto de partida a geometria do espaço E³ dos pontos.
Oliva (1971) inicia o capítulo sobre Geometria Analítica no Espaço
definindo as equações vetoriais da reta e do plano para em seguida caracterizar
os sistemas de coordenadas cartesianas. As definições de equações
paramétricas da reta e do plano são demonstradas pelo autor, enquanto que a
equação do plano na forma geral ��! + ��� + �� + � = 0 e a condição de
paralelismo de retas e planos fica a cargo do leitor finalizar a prova de algumas
proposições, uma vez que tais provas são análogas às elaboradas para os casos
apresentados em Geometria Analítica Plana, estudado anteriormente nessa
obra. Finalizando a abordagem de Geometria Analítica no Espaço, o autor
apresenta a demonstração da fórmula da distância de um ponto a um plano em
coordenadas cartesianas ortogonais.
Nenhum exercício ou exemplo é apresentado no decorrer da abordagem
dos conteúdos, mas são apresentados 39 exercícios a respeito dos conteúdos
tratados, para serem respondidos pelo leitor.
Na sequência, Oliva (1971) anuncia que fará considerações sobre alguns
conjuntos de E³ definidos por equações do 2º grau e aponta que o leitor deverá
estudar as intersecções dos planos coordenados em relação às oito superfícies
enumeradas por esse autor e encerra o capítulo com 05 exercícios acerca desse
assunto.
4.3.3. Apresentação do livro LD3
A parte I do livro é voltada para o estudo dos vetores, em que Boulos e
Camargo (1986) comentam que o ambiente a ser trabalhado será o conjunto dos
80
pontos do espaço tridimensional, isto é, conjunto dos pontos da Geometria
Euclidiana e que muitas vezes é indicado simplesmente como “espaço”.
A segunda parte do livro é dedicada à Geometria Analítica e no capítulo
14, os autores iniciam o estudo da Reta no Espaço. A abordagem dos conteúdos
é feita por meio de exemplos e no final apresentam 7 exercícios resolvidos e logo
em seguida 13 exercícios propostos.
No capítulo seguinte, Boulos e Camargo (1986) apresentam o estudo do
Plano. Com a mesma estrutura do capítulo sobre Reta, os autores abordam o
conteúdo seguidos de exemplos e exercícios resolvidos. Assim, após a
apresentação do conteúdo sobre equação vetorial do plano e equação
paramétrica do plano são apresentados 05 exercícios resolvidos e 07 exercícios
propostos ao leitor. Em seguida, os autores apresentam a equação geral do
plano e ilustram 05 exercícios resolvidos, propondo 14 exercícios aos alunos.
Por fim, os autores destacam um parágrafo sobre “vetor normal a plano”, no qual
apresentam 03 exercícios resolvidos e 11 exercícios propostos.
O capítulo 16 foi destinado por Boulos e Camargo (1986) ao estudo da
posição relativa de retas e de planos. Os autores apresentam um roteiro para
posição relativa de retas seguidos de 03 exercícios resolvidos e 05 exercícios
propostos. Um roteiro também é apresentado para a posição relativa de planos
seguidos de 03 exercícios resolvidos e 04 exercícios propostos. Ao final do
capítulo, os autores apontam uma “miscelânea de exercícios” e 02 exercícios
resolvidos tanto pelo método algébrico, quanto pelo método geométrico. Por fim,
28 exercícios propostos são sugeridos pelos autores.
4.3.4. Apresentação do livro LD4
Steinbruch e Winterle (1987) destacam, no prefácio de seu livro, que o
texto apresentado se tornou mais prático e mais simples no intuito de atender a
um objetivo maior, o de ser útil no processo de ensino e aprendizagem. Indicam
que os capítulos quatro e cinco que tratam de Reta e Plano, respectivamente,
poderão ser abordados conforme as conveniências didáticas, com o programa a
ser cumprido e o tempo disponível.
No capítulo quatro, Steinbruch e Winterle (1987) iniciam o estudo de Retas
no Espaço. A apresentação dos conteúdos é sempre seguida de um exemplo e
81
problemas resolvidos, totalizando no referido capítulo 13 exemplos e 9
“problemas resolvidos”. Ao final da abordagem do conteúdo são apresentados
35 “problemas propostos” ao leitor, seguidos de suas respectivas respostas.
Em relação ao capítulo cinco, que trata de Planos no Espaço, a
apresentação dos conteúdos segue a mesma estrutura do capítulo quatro, isto
é, abordagem dos conteúdos seguida de exemplos e “problemas resolvidos”. No
total são apresentados 8 exemplos e 14 “problemas resolvidos”. Após a
exposição dos conteúdos são propostos 60 problemas para que o leitor possa
resolvê-los, havendo também as respostas para tais problemas.
No capítulo seguinte, o capítulo seis, Steinbruch e Winterle (1987) tratam
do estudo de Distâncias, no qual apresentam as noções de distância entre dois
pontos, distância de um ponto a uma reta, retas reversas, distância de um ponto
a um plano, distância entre dois planos e distância de uma reta a um plano.
Nesse capítulo, não são apresentados exemplos acerca dos conteúdos
abordados, mas os autores destacam 6 problemas resolvidos. No término desse
capítulo os autores propõem 12 problemas aos leitores, mostrando em seguida
suas respostas.
4.4. Análise ecológica
A análise ecológica de saberes é definida por Chaachoua (2014a) a partir
das noções de habitat e nichos. No caso particular do objeto matemático tomado
em nossa pesquisa, a Geometria Analítica no Espaço, identificamos o lugar de
vida deste objeto, isto é, quais são os habitats e nichos ocupados pela Geometria
Analítica no Espaço em uma instituição de referência.
A instituição de referência adotada em nossa pesquisa foi o curso de
Licenciatura em Matemática da UEPA. Nossa intenção é destacar os habitats e
nichos desse objeto matemático a partir dos livros didáticos utilizados em
instituições do ensino superior.
A disciplina Geometria Analítica encontra-se presente nos cursos de
Licenciatura em Matemática e constitui o habitat da Geometria Analítica no
Espaço. Os licenciandos possuem uma relação institucional com os objetos de
aprendizagem no início de sua formação. Assim, a Geometria Analítica no
Espaço surge como um importante objeto institucional para a formação dos
futuros profissionais da área da Matemática.
82
Os estudos de Geometria Analítica no Espaço encontram-se
estreitamente ligado ao de Geometria Analítica no Plano, sendo dessa forma seu
primeiro nicho. Além disso, a Geometria Analítica no Espaço mantém viva os
objetos matemáticos como a reta e o plano, pelo fato de apoiar-se na Geometria
Euclidiana e seus postulados.
Também é possível notar que a vida da Geometria Analítica no Espaço é
reforçada pelo estudo de vetores, como também o estudo de funções e equações
algébricas. Além disso, percebemos que a Álgebra Linear interage com a
Geometria Analítica no Espaço, assim como o Cálculo Diferencial e Integral,
demonstrando que a mesma sobrevive em outras disciplinas do curso de
formação em Matemática.
4.5. Análise praxeológica
A análise de manuais didáticos, tal como indica Chaachoua (2014a), pode
ser organizada por meio de uma análise praxeológica, a fim de identificar os tipos
de tarefas, as técnicas e as tecnologias. Em nossa pesquisa seguiremos as
indicações de Chaachoua (2014a), no intuito de verificar se nos tipos de tarefas
apresentadas pelos autores dos manuais analisados há indícios das variáveis
didáticas estabelecidas por Lebeau (2009) em relação a Geometria Analítica no
Espaço.
Para verificarmos se as praxeologias segundo Chevallard (1999) estão
em consonância com as variáveis didáticas estabelecidas por Lebeau (2009)
decidimos organizar nosso estudo estabelecendo os seguintes tipos de tarefas
(T):
Tipo de Tarefa (T1): Determinar a equação da reta no espaço.
Tipo de Tarefa (T2): Determinar a condição de paralelismo de retas no espaço.
Tipo de Tarefa (T3): Determinar a condição de alinhamento de pontos no espaço.
Tipo de Tarefa (T4): Determinar a equação do plano no espaço a partir da
propriedade da ortogonalidade.
Tipo de Tarefa (T5): Determinar um plano caracterizado por duas retas secantes.
Tipo de Tarefa (T6): Caracterizar algebricamente o paralelogramo.
83
Vale notar que nossa análise inclui tanto a parte conceitual, quanto às
tarefas resolvidas e tarefas propostas aos alunos presentes nos livros didáticos
analisados. Verificamos as técnicas referentes a cada tipo de tarefa, conforme
indica Chevallard (1999), apresentadas nesses livros didáticos. Após
descrevermos as técnicas indicamos quais delas são adotadas em cada livro.
Adotamos a descrição da organização praxeológica dessa maneira com a
intenção de evitar repetições.
4.5.1. Tipo de Tarefa (T1): Determinar a equação da reta no espaço
Técnica 1: apresentar a equação vetorial da reta.
Técnica 2: utilizar exemplos para aplicar a equação vetorial da reta.
Os livros LD2, LD3 e LD4 utilizam a técnica 1 na abordagem inicial do
estudo referente a equação da reta no espaço. Por sua vez, o livro LD1 não
contempla a referida técnica.
No material LD2 é apresentado uma definição com base na álgebra
vetorial, a qual é explicitada por Oliva (1971) conforme indicado na figura 26.
Figura 26 : Equação vetorial da reta em LD2
Fonte : Oliva (1971, p. 80)
Essa técnica 1 é igualmente encontrada nos livros LD3 e LD4, os quais
indicam como “equação vetorial da reta”.
84
Figura 27 : Equação vetorial da reta em LD3
Fonte: Boulos e Camargo (1986, p. 126)
O autor de LD3, como na figura 27, utiliza uma linguagem simbólica para
caracterizar a equação vetorial da reta. Essa mesma linguagem é adotada pelo
autor de LD4 (ver Figura 28).Tal simbolismo representa na visão de Lebeau
(2009) uma economia tanto na escrita, quanto no pensamento para representar
formalmente a referida equação.
Figura 28 : Equação vetorial da reta em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 101)
As definições apresentadas pelos autores dos livros LD2, LD3 e LD4
revelam o que Lebeau (2009) destaca em suas variáveis didáticas quanto ao
“interesse pela notação B – A”. Essa pesquisadora aponta que o registro escrito
das equações paramétricas pode ser considerado vantajoso, pois viabiliza a
escrita. Analisamos os capítulos anteriores dos materiais supracitados e
observamos que os livros LD3 e LD4 apresentam no capítulo sobre vetores a
explicação da notação B – A. Acreditamos que os autores possam considerar
85
que por se tratar de um material destinado ao ensino superior, não se se faz
necessário explicar a origem dessa notação, mas consideramos importante que
haja sempre um esclarecimento em torno de notações ou simbologias a serem
adotadas na abordagem de um conteúdo, no intuito de evitar qualquer equívoco
de compreensão dos conceitos envolvidos.
Quanto às tarefas propostas referentes ao estudo da equação da reta no
espaço, o material LD2 sugere 4 questões, sob o título de “Exercícios”. Ao
analisarmos os enunciados, verificamos duas questões que solicitam “escrever
as equações...”(questões 4 e 5). Apresentamos na íntegra, conforme figura 29,
o exercício 4 proposto pelo autor desse material didático.
Figura 29 : Escrita de equações paramétricas de reta em LD2
Fonte : Oliva (1971, p. 88)
Em relação a questão 4 identificamos:
Tarefa : obter uma equação da reta que passa por um ponto e tem direção de
um vetor dado.
Técnica 1(questão 4): utilizar a equação vetorial da reta U = & + �.W��. Técnica 2 (questão 4): substituir as coordenadas do ponto A e do vetor W�� na
igualdade proveniente da equação vetorial da reta.
Nos livros LD3 e LD4 identificamos tarefas similares as do livro LD2.
Destacaremos a seguir (Figura 30) uma tarefa proposta apresentada pelo autor
do livro LD4 para ilustrar tal similaridade.
Figura 30 : Determinação da equação de uma reta em LD4
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 100)
Apresentamos a seguir a resolução do autor de LD4.
86
Figura 31 : Solução do exercício da figura 30
Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p. 100)
Para resolver a tarefa indicada acima (cf. Figura 31), o autor utiliza a
equação vetorial da reta, substituindo as coordenadas do ponto A e do vetor W�� na igualdade proveniente de tal equação. As técnicas adotadas pelo autor
situam-se no campo da Álgebra Linear e da Geometria Analítica, optando por
uma apresentação mais prática da representação algébrica de uma reta.
4.5.2 Tipos de Tarefa (T2): Determinar a condição de paralelismo de retas
no espaço.
Técnica 1: apresentar a condição de paralelismo de retas no espaço.
Técnica 2 : utilizar exemplos para aplicar a condição de paralelismo de retas no
espaço.
Os materiais LD1 e LD2 não contemplam a técnica 1. O autor de LD1
apresenta apenas um quadro sobre as posições relativas de duas retas no
espaço, como indicado na figura 32. Por sua vez no LD2 o autor menciona que
o paralelismo de retas já foi estudado anteriormente.
87
Figura 32 : Posição de retas e planos em LD1
Fonte : Rocha (1964, p. 29)
Podemos notar pela figura 32 que o autor faz uma breve indicação do que
sejam retas paralelas, registrando-as geometricamente. Não houve ênfase à
abordagem algébrica da condição de paralelismo.
A abordagem apresentada tanto no material LD3, quanto no LD4, para
destacar a respeito do estudo do paralelismo de retas é contemplada pela
técnica 1. Percebemos dessa forma uma relação direta entre a Geometria
Analítica e a Álgebra Linear.
Registramos nas figuras 33 e 34 as abordagens realizadas nesses
materiais (LD3 e LD4).
88
Figura 33 : Paralelismo de retas em LD3
Fonte : Boulos e Camargo (1986, p. 171)
Figura 34 : Condição de paralelismo de duas retas em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 100)
A forma como a condição de paralelismo de retas é apresentada nesses
materiais didáticos nos remete as reflexões de Lebeau (2009) quando destaca
sobre a modelização algébrica de objetos geométricos. A autora aponta que as
abordagens realizadas como as apresentadas nos materiais LD3 e LD4 estão
situadas a partir da característica da reta por uma escrita do tipo P = A + k(B –
A), sendo A e B dois pontos quaisquer da reta, P um ponto genérico e k um
parâmetro real. Lebeau (2009) sugere que uma demonstração sintética possa
ser realizada em relação à condição de proporcionalidade do parâmetro de uma
reta em relação a outra, para tal pode-se recorrer a semelhança de triângulos.
Quanto às tarefas propostas identificamos no material LD3, três questões
resolvidas quanto à posição relativa das retas (Figura 35), as quais são
designadas pelo autor como “exercícios resolvidos” e contemplam a técnica 2.
Dentre essas questões destacaremos a segunda questão por se tratar da
condição de paralelismo.
89
Figura 35 : Posição relativa de retas em LD3
Fonte : Boulos e Camargo (1986, p. 173)
Entendemos que uma questão do tipo “estude...” favoreça ao aluno uma
análise da resposta encontrada. Para essa questão identificamos a seguinte
técnica:
Técnica 1 (exercício 2): apresentar a condição de paralelismo de retas no
espaço.
Técnica 2 (exercício 2): verificar se as retas r e s são paralelas.
Mostramos na figura 36 a resolução proposta pelo autor do material LD3
e as técnicas escolhidas para realização da tarefa.
Figura 36 : Resolução da questão da figura 35
Fonte : Boulos e Camargo (1986, p. 173)
O autor de LD3 apoia sua resolução na técnica 1 (exercício 2), verificando
em seguida se as retas r e s são distintas. Pela resolução apresentada
percebemos uma grande ênfase do autor em relação à linguagem matemática
simbólica. Como forma de reforçar o conteúdo aprendido, o autor apresenta nove
“exercícios propostos” para que de forma semelhante ao exemplo resolvido no
livro, os alunos estudem a posição relativa de duas retas dadas. Por meio da
análise das tarefas propostas é possível inferir que o autor privilegia a
90
modelização algébrica dos objetos matemáticos, tal como especificado por
Lebeau (2009) enfatizando a escrita do tipo P = A + k(B – A).
4.5.3. Tipo de tarefa (T3): Determinar a condição de alinhamento de ponto s
no espaço.
Técnica 1 : apresentar a condição de colinearidade justificada pela
proporcionalidade de coordenadas.
Técnica 2 : indicar exemplos para verificar a condição de alinhamento de pontos.
A técnica 1 não é contemplada nos materiais LD1, LD2 e LD3. Analisando
o material LD4, observamos que o mesmo utiliza a técnica 1 (Figura 37)
mencionando que a condição de alinhamento está relacionada ao fato dos
pontos serem colineares.
Figura 37 : Condição para que três pontos estejam alinhados em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 105)
Lebeau (2009) observa em seu trabalho que apresentar a condição de
alinhamento pela diferença entre as coordenadas dos pontos representa uma
abordagem enriquecida por uma justificativa geométrica subjacente ao
tratamento algébrico. Fica evidente na apresentação feita pelo autor de LD4 essa
ênfase algébrica a condição de alinhamento por meio da proporcionalidade das
coordenadas dos pontos no espaço.
Em relação às tarefas resolvidas identificadas no material LD3
apresentamos um “exemplo” (ver Figura 38), o qual foi ilustrado pelo autor após
a abordagem sobre a condição de alinhamento entre pontos e contempla a
técnica 2.
91
Figura 38 : Exemplo de uso da técnica 2 em LD3
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 105)
Para esse exemplo identificamos as seguintes técnicas:
Técnica 1 (exercício 2): apresentar a condição de alinhamento de pontos no
espaço.
Técnica 2 (exercício 2): verificar se os pontos estão alinhados.
Indicaremos a seguir, na figura 39, a resolução apresentada pelo autor de
LD4 e as técnicas escolhidas para realização da tarefa.
Figura 39 : Exemplo de utilização das técnicas 1 e 2 em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 105 e 106)
A técnica1 foi escolhida pelo autor de LD4 para resolver o exemplo,
contemplando ainda a técnica 2 com um enfoque algébrico em relação a
condição de alinhamento por meio da proporcionalidade das coordenadas dos
pontos no espaço.
Quanto às tarefas propostas aos alunos, identificamos em LD4 no tópico
“problemas propostos” duas questões envolvendo diretamente a condição de
alinhamento de pontos, conforme a figura 40.
92
Figura 40 : Condição de alinhamento de pontos em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 133)
Ao analisarmos o enunciado dos “problemas propostos”, observamos que
o problema 9 poderia favorecer ao aluno perceber que uma demonstração no
espaço acerca do alinhamento de pontos vai além do que verificar a
proporcionalidade entre as coordenadas destes pontos, como alerta Lebeau
(2009). Uma proposta para demonstrar que dois pontos no espaço encontram-
se alinhados com a origem, “consiste em utilizar as propriedades comuns da
Geometria Sintética, como um caso de semelhança de triângulos ou o teorema
de Tales” (LEBEAU, 2009, p. 201, tradução nossa). No entanto, é possível que
os alunos, direcionados pela forma de abordagem do LD4, resolvam o problema
9 recorrendo a técnica 1 e 2 explicitada na resolução apresentada para o
exemplo resolvido indicado pelo autor do livro.
Consideramos também que para a resolução do problema 10, indicado na
figura 41, os alunos sintam-se estimulados a resolver por meio do enfoque
algébrico, uma vez que o material LD4 não enfatizou uma abordagem geométrica
para estabelecer a condição de alinhamento de pontos no espaço.
4.5.4. Tipo de tarefa (T4): Determinar a equação do plano no espaço como
uma propriedade da ortogonalidade.
Técnica 1 : apresentar a equação do plano no espaço.
Técnica 2 : utilizar exemplos para aplicar a equação do plano no espaço.
No material LD1 a técnica 1 não é contemplada. Esse material destaca
dois casos em que o plano é determinado (Figura 41), um caso com base em
um postulado e outro por meio de um teorema. Pela análise realizada fica
evidente que o autor desse material recorre a geometria sintética para determinar
um plano.
93
Figura 41 : Determinação do plano em LD1
Fonte: Rocha (1964, p. 24)
A técnica 1 é contemplada nos materiais LD2, LD3 e LD4 na abordagem
sobre a equação do plano no espaço. Os autores desses materiais adotam, o
que Lebeau (2009) chama de “estratégia clássica”, a qual consiste em
apresentar a equação do plano do tipo �� + �� + + � = 0 como uma
propriedade da ortogonalidade.
94
Figura 42 : Equação do plano em LD2
Fonte : Oliva (1971, p. 83)
Observamos pela figura 42 que o autor de LD2 faz uma abordagem da
equação do plano a partir das equações paramétricas em relação a um sistema
de coordenadas cartesianas o qual conduz a um tratamento do ponto de vista
algébrico à equação geral do plano.
95
Figura 43 : Equação geral de plano em LD3
Fonte : Boulos e Camargo (1986, p. 146)
Na figura 43, constatamos que o autor de LD3 recorre aos conceitos de
Álgebra Linear, nesse caso a definição de dependência e independência linear,
para obter a equação geral do plano por meio do cálculo do determinante, cujos
elementos são formados pelas coordenadas dos vetores do plano.
96
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 133)
Na abordagem explicitada nos manuais de LD2, LD3 e LD4 fica evidente
a caracterização do plano via ortogonalidade de vetores, conforme indicado por
Figura 44 : Equação geral do plano em LD4
97
Lebeau (2009). Segundo essa pesquisadora, tal caracterização parece não ser
conveniente de adotar, pois conduz ao seguinte questionamento: “a definição de
um objeto da geometria afim por meio dos conceitos da geometria métrica e um
trabalho prévio sobre o objeto plano demanda um custo cognitivo” (LEBEAU,
2009, p.193, tradução nossa).
Para abordar sobre o plano, Lebeau (2009) sugere que o trabalho com os
alunos seja iniciado com a seguinte questão: “o que representa, no espaço, o
conjunto de pontos cujas coordenadas verificam a equação !� + 3� + � − 2 = 0
?” (p. 190). De acordo com a autora, essa forma de abordagem pode fazer com
que os alunos concluam que estamos lidando com um plano, quando anulada
cada variável da equação !� + 3� + � − 2 = 0 e a interpreta como uma reta do
plano de coordenadas.
Em relação às tarefas resolvidas encontradas nos materiais analisados
destacamos um “exercício resolvido” (Figura 45) presente no material LD3.
Figura 45 : Equações paramétricas do plano em LD3
Fonte : Boulos e Camargo (1986, p. 150)
Para o exemplo mencionado verificamos as seguintes técnicas:
Técnica 1 (exercício 3): substituir λ por z nas duas primeira equações.
Técnica 2 (exercício 3): substituir a segunda equação na primeira.
Técnica 3 (exercício 3): determinar a equação geral do plano.
A resolução apresentada pelo autor de LD3 é a seguinte (Figura 46).
98
Figura 46: Primeira resolução em LD3
Fonte : Boulos e Camargo (1986, p. 150)
Analisando a resposta apresentada no material LD3, verificamos que
contempla as técnicas 1, 2 e 3 aqui apontadas. Além disso, percebemos como
menciona Lebeau (2009), há forte algebrização dos objetos planos em termos
de caracterização paramétrica.
A algebrização citada por Lebeau (2009) também foi verificada no material
LD4 quando apresenta um “exemplo resolvido”, o qual encontra-se indicado na
figura 47.
Figura 47 : Determinação da equação geral de um plano em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 145)
99
Apresentamos na figura 48, a resolução presente no material LD4.
Figura 48 : Resolução do exemplo em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 146)
Interpretamos na resolução apresentada pelo autor de LD4 que da mesma
forma que o material LD3, há um privilégio às resoluções algébricas.
Em relação às tarefas propostas encontramos em LD4 quatro questões
para escrever a equação geral do plano determinado a partir dos pontos dados
(Figura 49).
Figura 49 : Tarefas sobre equação geral do plano em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 181)
100
Outras quatro questões (cf. figura 50) são propostas no material LD4,
solicitando determinar a equação geral do plano contendo retas.
Figura 50 : Outras propostas de determinação de equação geral do plano em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 182)
Inferimos assim que os materiais didáticos privilegiam os aspectos
algébricos dos objetos planos, como também se utilizam de clássicas estratégias
para abordar a equação geral do plano partindo da propriedade da
ortogonalidade.
4.5.5. Tipo de tarefa (T5): Determinar um plano caracterizado por duas re tas
secantes.
Técnica 1 : enunciar o postulado da determinação do plano.
Técnica 2 : utilizar exemplos para caracterizar um plano por duas retas secantes.
Analisando a existência da tarefa T5 no livro LD1 percebemos que a
mesma é apresentada somente na introdução do capítulo sobre Geometria no
Espaço quando o autor anuncia alguns postulados “independentes” (figura 51).
101
Figura 51 : Postulado da determinação do plano em LD1
Fonte : Rocha (1963, p. 22)
O livro L1 contempla a técnica 1 no que se refere a enunciar o postulado,
aproximando-se de caracterizar o plano, na perspectiva de Lebeau (2009) tal
como: “um plano sendo determinado por três pontos O, A e B não alinhados,
todo ponto C, diferente dos pontos anteriores, é coplanar com esses se e
somente se as retas OA e AC são secantes ...” (LEBEAU, 2009, p. 211, tradução
nossa). Porém, percebemos que não há indicações da técnica t2 no decorrer do
capítulo.
A tecnologia que justifica as técnicas utilizada por Rocha (1964), em LD1,
situa-se no campo da Geometria Euclidiana a partir do postulado da
determinação do plano.
Os materiais LD2, LD3 e LD4 não contemplam a tarefa T5 no que se refere
a abordagem sobre a determinação do plano no espaço por duas retas secantes.
A opção dos autores para caracterizar um plano é feita pela utilização da
equação geral do plano a partir de uma abordagem vetorial influenciada pelas
noções da Álgebra Linear.
4.5.6. Tipo de tarefa (T6): Caracterizar algebricamente o paralelogramo.
Técnica 1 : apresentar a relação B – A = D – C.
Técnica 2 : utilizar exemplos para aplicar a relação.
Nenhum dos materiais analisados contempla a técnica 1. No entanto, o
material LD4 apresenta uma abordagem vetorial para caracterizar o
paralelogramo, tal como ilustrada na figura 52.
102
Figura 52 : Abordagem vetorial em LD4
Fonte : Steinbruch e Winterle (1987, p. 191)
Em relação a técnica 2 identificamos nos materiais LD2 e LD3 apenas
uma tarefa proposta pelos autores (figuras 53 e 54), as quais oportunizam aos
alunos mobilizar seus conhecimentos acerca da caracterização do
paralelogramo.
Figura 53 : Determinação da equação vetorial do plano em LD2
FONTE: Oliva (1971, p. 89)
Figura 54 : Determinação das coordenadas dos vértices de um paralelogramo em LD3
Fonte : Boulos e Camargo (1986, p. 193)
103
Nas tarefas propostas nesses materiais (LD2 e LD3) acreditamos que os
autores possam ter considerado que os alunos já tenham familiaridade com a
caracterização algébrica do paralelogramo quando estudaram a Geometria
Analítica no Plano. Buscando as indicações de Lebeau (2009), a mesma explicita
que a maioria das abordagens para caracterizar algebricamente o paralelogramo
encontram-se apoiadas em estudos introdutivos do paralelismo de retas.
No que tange às organizações didática e matemática, apontadas por
Chevallard (1999), realizadas a partir das tarefas efetuadas pelos autores dos
materiais didáticos, percebemos um desenvolvimento coerente em relação às
tarefas propostas uma vez que possibilitaram mobilizar técnicas que foram
desenvolvidas em exercícios resolvidos. Além disso, as tarefas propostas
propiciaram a busca de conhecimentos já adquiridos, muitas vezes não
apresentado de forma explícita em um determinado capítulo.
Outro aspecto que consideramos diz respeito a quantidade de tarefas
presentes nos livros didáticos analisados. Observamos que tal quantidade
mostra-se em conformidade com a abordagem dos conteúdos visto que certos
autores optam por apresentar o conteúdo e posteriormente recomendam as
atividades.
Ao analisarmos as abordagens sobre a reta e o plano apresentadas pelos
autores dos materiais didáticos observamos uma forte relação entre a Álgebra
Linear e a Geometria Analítica, na qual os autores privilegiam um tratamento
algébrico dos seguintes objetos geométricos no espaço: equação da reta,
condição de paralelismo, condição de alinhamento de pontos, equação do
plano... Além disso, da mesma forma que Lebeau (2009), constatamos nos
materiais analisados, principalmente em LD3 e LD4, uma abordagem vetorial
dos objetos geométricos Reta e Plano, traduzindo por exemplo, a equação
vetorial em equação paramétrica, sem justificar a correspondência entre as duas
escritas.
Por meio das análises aqui realizadas, evidenciamos que na abordagem
dos livros didáticos LD1, LD2, LD3 e LD4, ocorre uma inversão didática ao
ensinar a Geometria Analítica como sendo um subproduto da Álgebra Linear,
104
como aponta Lebeau (2009) em sua pesquisa sobre essa temática. A autora
ainda descreve que ao invés de ensinar a Geometria de maneira sintética e
analítica para deduzir gradativamente os elementos que serão constituídos na
Álgebra Linear, como ocorreu historicamente, se começa a ensinar pela Álgebra
Linear para vir depois a Geometria como sendo uma de suas especificações.
Inferimos que tal fato ocorreu devido a influência do Movimento da Matemática
Moderna, cujas orientações revelam-se presentes nos livros didáticos daquele
período.
105
CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
Embora algumas pesquisas sobre análise de livro didático já tenham sido
desenvolvidas, no Brasil, observamos uma lacuna quanto à temática Geometria
Analítica no Espaço. Assim, dedicamos nossa pesquisa à análise de como os
autores de livros didáticos destinados ao ensino superior organizaram as
atividades propostas em relação ao estudo da Reta e do Plano com base nas
variáveis didáticas desenvolvidas por Lebeau (2009) para o ensino da Geometria
Analítica no Espaço.
Por meio das leituras realizadas sobre as pesquisas em Geometria
Analítica, percebemos a escassez de trabalhos que se dedicaram a pesquisar
sobre esse tema. Assim, consideramos importante investigar a respeito da
Geometria Analítica no Espaço visando contribuir para as pesquisas no âmbito
da Educação Matemática.
Do ponto de vista teórico, nos referenciamos na TAD, de Chevallard
(1999), a qual contribuiu com nosso trabalho quanto às análises praxeológicas,
sendo possível identificar nos livros analisados os tipos de tarefas, as técnicas
usadas pelos autores e as tecnologias. Adotamos ainda em nosso estudo, as
variáveis didáticas de Lebeau (2009), pois essa autora aponta determinadas
características da Geometria Analítica no Espaço pouco discutidas no cenário
das pesquisas brasileiras.
Nosso campo de pesquisa foi a Geometria Analítica no Espaço e voltamos
nosso foco para o estudo da Reta e o Plano, visto que Lebeau (2009) aponta
variáveis didáticas em relação a estes dois objetos matemáticos e a praxeologia
proposta por Chevallard (1999) exige que a organização matemática ocorra
antes da organização didática. A partir do exposto retomamos nossa questão de
pesquisa:
• Quais organizações matemática e didática estão pres entes em livros
didáticos para o ensino superior no que se refere a o estudo da Reta
e do Plano no Espaço?
Os resultados da pesquisa que realizamos apresentam indícios que nos
conduzem a inferir que nossa questão de pesquisa foi respondida e para
106
atingirmos nosso objetivo, norteamos as análises dos manuais didáticos
investigados em nossa pesquisa, tomando como referência a metodologia de
Chaachoua (2014a) pelo fato do mesmo apontar certas características para a
realização de análises em manuais didáticos tendo como base a TAD, a saber:
momento da edição, representatividade, estrutura, análise ecológica e análise
praxeológica. Adotar essa metodologia permitiu-nos especificar as
características dos livros que analisamos, como também o contexto de suas
produções. Além disso, essa metodologia contribuiu para a análise praxeológica
que realizamos.
Em nossas considerações finais pretendemos resgatar importantes
aspectos levantados durante nossa investigação, tais como: os principais
resultados, as contribuições de nossa pesquisa para área da Educação
Matemática, a contribuição para o curso de formação de professores, assim
como propomos perspectivas de novos estudos.
Principais Resultados
Os resultados das análises dos livros investigados indicam que, apesar
de uma diversidade das tarefas, com base na TAD, propostas pelos autores,
poucos manuais contemplam as sugestões de abordagem para a Reta e para o
Plano no Espaço indicadas por Lebeau (2009).
No que se refere a tarefa T1, determinar a equação da reta no espaço,
identificamos nos livros analisados o uso de uma linguagem simbólica para
caracterizar a equação vetorial da reta (U = & + �.W ����). Inferimos que tal
simbolismo, de acordo com a percepção de Lebeau (2009), demonstra uma
economia na escrita e no pensamento para representar de maneira formal tal
equação, revelando uma abordagem indicada pela autora quanto ao “interesse
pela notação B – A”. Ademais, os livros LD2, LD3 e LD4, que apresentam essa
equação vetorial da reta, não parecem preocupados em explicar a origem de tal
notação, isso talvez ocorra pelo fato de serem obras destinadas ao ensino
superior.
Em relação a tarefa T2 que visa determinar a condição de paralelismo de
retas no espaço, observamos que em determinados materiais, tais como LD3 e
LD4, esta tarefa é apresentada a partir de uma relação direta entre a Geometria
107
Analítica e a Álgebra Linear, conduzindo-nos às reflexões de Lebeau (2009) em
relação às características da reta por meio da escrita do tipo P = A + k(B – A).
Encontramos ainda nas tarefas propostas pelo autor de LD3, em relação à
condição de paralelismo de retas, questões cujo enunciado (“estude a posição
relativa das retas...”) apontavam uma oportunidade para o aluno analisar a
resposta a ser encontrada. No entanto, a abordagem presente nesse material
didático, como especifica Lebeau (2009), indicou uma forte ênfase a
modelização algébrica dos objetos matemáticos privilegiando a característica da
reta por uma escrita do tipo P = A + k(B – A).
Por sua vez, na tarefa T3, a qual visa determinar a condição de
alinhamento dos pontos no espaço, verificamos que o material LD4 prioriza uma
ênfase algébrica quanto à condição de alinhamento por meio da
proporcionalidade das coordenadas dos pontos no Espaço. De modo
semelhante, encontramos nas tarefas resolvidas, em LD3 e LD4, o enfoque
algébrico para tal condição, impossibilitando o aluno de perceber que o
alinhamento de pontos é muito além do que examinar a proporcionalidade entre
as coordenadas dos pontos, como apontado por Lebeau (2009).
Para a tarefa T4, apresentar a equação do plano no espaço como
propriedade da ortogonalidade, constatamos que os materiais LD2, LD3 e LD4
adotam uma “estratégia clássica”, indicada por Lebeau (2009), na qual apresenta
a equação do plano como uma propriedade da ortogonalidade. Com relação às
tarefas resolvidas, notamos nos materiais LD3 e LD4, da mesma forma que a
autora, uma algebrização dos objetos planos em termos de caracterização da
equação paramétrica, havendo desse modo um privilégio quanto às resoluções
algébricas.
Na tarefa T5 que indica determinar um plano caracterizado por duas retas
secantes, identificamos que apenas o livro LD1 aproxima-se de caracterizar o
plano, na perspectiva de Lebeau (2009), ao enunciar o postulado da
determinação do plano. Os demais materiais analisados, LD2, LD3 e LD4,
adotam a estratégia de caracterizar um plano a partir da abordagem vetorial,
revelando a influência dos conceitos da Álgebra Linear.
E finalmente, na tarefa T6, caracterizar algebricamente o paralelogramo,
identificamos que apenas o livro LD4 apresenta uma abordagem vetorial
caracterizando o paralelogramo. Por sua vez, nos materiais LD2 e LD3 surgem
108
tarefas propostas pelos autores que podem oportunizar aos alunos a mobilização
de seus conhecimentos acerca da caracterização do paralelogramo.
Contribuições de nossa pesquisa para área da Educaç ão Matemática
As contribuições de nossa pesquisa residem em dois importantes
aspectos, os quais conduzem a originalidade de nosso trabalho, são eles:
• As discussões acerca das variáveis didáticas apontadas por Lebeau
(2009) em relação à Geometria Analítica tridimensional, no que se refere
à Reta e ao Plano, a saber: começar pelo plano? (estratégia sobre
ortogonalidade, um plano como superfície regular, uma estratégia
construída sobre o paralelogramo), começar pela reta? (uma expressão
de alinhamento induzido para trabalhar no plano e que deve ser
justificado, a projeção para ir do espaço ao plano ou do plano ao espaço,
alinhamento e projeção, do alinhamento no plano ao alinhamento no
espaço para geometria sintética), passar da reta ao plano (um plano
caracterizado por duas retas secantes, um plano visto como uma
superfície regular, apostar sobre a caracterização algébrica do
paralelogramo), paralelogramo, paralelismo e translação (começar pelo
paralelismo de retas, a translação ou o paralelogramo?, iniciar pelo estudo
do paralelismo de retas?, começar por caracterizar algebricamente um
paralelogramo?), os pressupostos geométricos (as projeções paralelas
conservam o alinhamento, as projeções paralelas conservam o
paralelismo) e os ostensivos e modos de pensar (articulação dos modos
de pensar, a notação B-A).
• O fato de utilizarmos uma metodologia que envolvesse o referencial
teórico adotado, além de ser uma metodologia específica para análise de
livro didático, sendo caracterizada pelos aspectos indicados por
Chaachoua (2014a), tais como: momento da edição, representatividade,
estrutura, análise ecológica (habitat e nicho) e análise praxeológica
(identificar o tipo de tarefa, as técnicas e a tecnologia). Destacamos ainda
que tal metodologia abre um campo de pesquisa no Brasil, assim
contribuímos para estudos futuros sobre análise de livros didáticos.
109
Contribuição para o curso de formação de professore s
Acreditamos que nosso trabalho venha contribuir com a formação de
professores no sentido de colaborar na construção do seu conhecimento em
relação à Geometria Analítica no Espaço, trazendo um novo olhar em relação
aos objetos matemáticos Reta e Plano.
Pretendemos que os futuros professores tenham uma visão crítica acerca
dos livros didáticos e que este recurso auxilia na aprendizagem do aluno quando
segue recomendações de pesquisadores da área. Esperamos que nossa
pesquisa sobre análise de livro didático possibilite ao curso de formação de
professores de matemática enxergar que o mesmo é produto de estudos e
reflexões.
Perspectivas de novos estudos
Em relação ao uso do livro didático, compartilhamos do pensamento de
Kluppel e Brandt (2012) quando afirmam que por meio da análise do livro didático
temos a possibilidade de conhecer melhor acerca do ensino que será ministrado
e as concepções matemáticas dos conteúdos. Entendemos assim que os livros
didáticos devam propiciar uma orientação para o docente para buscar outras
experiências, como também fontes que auxiliem na complementação de seu
trabalho.
Para concluir nosso pensamento, finalizamos esta tese de doutorado,
vivenciando a agradável experiência de concluir um trabalho de pesquisa tendo
a convicção de que o mesmo não chegou ao fim. Propomos aos professores,
que enxerguem o livro didático como um espaço para organização de ideias que
favoreçam o desenvolvimento intelectual. Além disso, acreditamos que outros
pesquisadores voltarão seu deixamos como sugestão para pesquisas futuras
que as variáveis didáticas indicadas por Lebeau (2009) para o ensino da reta e
do plano no espaço sejam aplicadas no âmbito de sala de aula, investigando-se
como elas interferem nos processos de ensino e de aprendizagem de conceitos
da Geometria Analítica no Espaço.
110
111
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática . Curitiba: UFPR, 2007.
ANDRADE, R.G.D. A noção de tarefa fundamental como dispositivo didático para um percurso de formação de professore s: o caso da geometria analítica. 2012. 172 f. Tese (Doutorado em Educação em Ciências e Matemáticas) – Universidade Federal do Pará, Belém, 2012.
BERNARD, J.; THOALDO, D. C. Representações dinâmicas na geometria analítica: área e volume de poliedros irregulares conhecendo a posição de seus vértices. Revista Tuiuti : Ciência e Cultura , Curitiba, n. 42, p.89-99, 2009. Jul-dez. Disponível em: http://www.utp.br/tuiuticienciaecultura/ciclo_4/tcc_42_FACET/sumario_42.html. Acesso em: 10 maio 2011.
BOULOS, P; CAMARGO, I. Geometria analítica : um tratamento vetorial. São Paulo: Mc Graw-Hill do Brasil, 1986.
BOULOS, P; CAMARGO, I. Geometria analítica : um tratamento vetorial.3 ed São Paulo: Makron Books, 2006.
CHAACHOUA, H. L’analyse du rôle des manuels dans l’approche anthropologique . Grenoble: Grenoble Université Alpes. 2014a, 21 f. Atelier.
______. La théorie anthropologique: la praxéologie comme ca dre d’analyse des pratiques institutionnelles et des ma nuels . Grenoble: Grenoble Université Alpes. 2014b, 16 f. Atelier.
CHEVALLARD, Y. L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique . Recherches en didactiques des mathématiques. Grenoble. La pensée Sauvage Éditions, v. 19, p. 221-265, 1999.
______. La transposition didaticque: perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques . Grenoble, 1991.
CHEVALLARD, Y ; BOSCH, M ; GASCÓN, J. Estudar matemáticas : o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2001.
112
COLPO, A. G., et al. Contribuições do Geogebra no ensino- aprendizagem da geometria analítica. In: X Encontro Gaúcho de Educação Matemática . 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí. CD-ROM.
GIL, A.C. Metodologia do ensino superior . São Paulo: Atlas. 2005. 128p.
KLUPPEL, G.; BRANDT, C. Reflexões sobre o ensino da geometria em livros didáticos à luz da teoria de representação semiótica segundo Raymond Duval. In: Seminário de Pesquisa em Educação da Região Sul. 2012, Caxias do Sul. Anais... IX ANPED SUL, 2012.
KRYSINSKA, M.G.H. Complementarite de l’enseignement de la geometrie analytique et du calcul lineaire .Repères, n.41, IREM, Université de Paris VII, octobre, 2000.
LEBEAU, C. Etude d’une genèse d’un modèle algébrique du systèm e formé par les points, droites et plans de l’espace usuel . 2009. 390 f. Thèse de doctorat. Université de Liège, 2009.
LOPES, J. A. Livro didático de matemática : concepção, seleção e possibilidades frentes a descritores de análises e tendências em educação matemática. 2000. 333 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000.
MINAYO, M.C. S. Pesquisa social : teoria, método e criatividade. 22 ed. Rio de Janeiro: Vozes, 2003.
MIYAKAWA, T. Une étude du rapport entre connaissance et preuve : le cas de la notion de symétrie orthogonale. 2005. 304 f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática). Université Joseph Fourrier, Grenoble I, Gênova, 2005.
NÚÑEZ, B. I., et. al. A seleção dos livros didáticos : um saber necessário ao professor. O caso do ensino de ciências. In: Revista Iberoamericana de Educación, 2003.
OLIVA, W. M. Vetores e geometria . São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1971.
OSTA, I. Une activité pour l’introduction de La géométrie analytique tridimensionnelle en 3º à l’aide de l’ordinateur. In: Petit x , n. 22, p. 23-48, 1990.
RICHIT, A. Projetos em geometria analítica usando tecnologias informáticas: implicações à formação inicial docente em matemática segundo a visão construcionista. In: Encontro Brasileiro de Pós Graduados em Educação Matemática . 2006. Disponível em:
113
<http://www.fae.ufmg.br/ebrapem/completos/06-04.pdf>. Acesso em: 10/05/2011.
ROHA, L. M. Geometria no espaço . 4 ed. São Paulo: Nobel S.A., 1964.
SIDERICOUDES, O. A formalização de conceitos da geometria analítica através do micromundo logo. In: IV Congresso RIBIE , Brasília,1998.
SALES, A. Práticas argumentativas no estudo da geometria por acadêmicos de licenciatura em matemática . 2010. Tese (Doutorado em Educação). Universidade Federal do Mato Grosso do Sul, Campo Grande. 2010.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica . São Paulo: Mc Graw-Hill do Brasil, 1987.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica . 2 ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2006.
VARELLA, M. Prova e demonstração em geometria analítica : uma análise da organizações didática e matemática em materiais didáticos. 2010. 213 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. PUC/SP. São Paulo. 2010.