vetores e geometria analítica

Upload: naiane-sousa

Post on 13-Jul-2015

800 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

VetoresCom o propsito de garantir uma maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetares ser feita por meio de dois tratamentos que se completam: geomtrico e algbrico. A grande vantagem da abordagem geomtrica de possibilitar predominantemente a visualizao dos conceitos que so apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros sero abordados sob o ponto de vista algbrico, mais formal e abstrato.

o TRATAMENTO GEOMTRICONoo IntuitivaExistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares so aquelas que ficam completamente definidas por apenas um nmero real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, rea, volume, massa, temperatura, densidade, so exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa de 10 dm3 ou que a temperatura ambiente de 30C, estamos determinando perfeitamente estas grandezas. Existem, no entanto, grandezas que no ficam completamente definidas apenas pelo seu mdulo, ou seja, pelo nmero com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu mdulo (ou comprimento ou intensidade), sua direo e seu sentido. Fora, velocidade, acelerao, so exemplos de grandezas vetoriais. Antes de apresentar um exemplo mais palpvel de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as idias de direo e de sentido. A Figura 1.1(a) apresenta trs retas. A reta fi determina, ou define, uma direo. A reta r2 determina outra direo, diferente da direo de rI. J a reta r3, por ser paralela a rj, possui a mesma direo de rI. Assim a noo de direo dada por uma reta e por todas as que lhe so paralelas. Quer dizer, retas paralelas tm a mesma direo.

1

2

Vetares e Geometria Analtica

Na Figura 1.1(b) a direo definida pela reta que passa pelos pontos A e B. O deslocamento de uma pessoa nessa mesma direo pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B ou no sentido contrrio, de B para A. Portanto, a cada direo podemos associar dois sentidos. Fica claro ento que s podemos falar em "sentidos iguais" ou em "sentidos contrrios" caso estejamos diante da mesma direo.

rI ------------r3 -------------

A

B

(a)

(b)

Figura 1.1

Agora vamos a um exemplo. Consideremos um avio com uma velocidade constante de 400 kmIh, deslocando-se para nordeste, sob um ngulo de 40 (na navegao area, as direes so dadas pelo ngulo considerado a partir do norte (N), em sentido horrio). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma flecha - Figura 1.2), sendo o seu mdulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, 4cm, e cada 1cm corresponde a 100 kmIh), com a direo e o sentido definidos pelo ngulo de 400. O sentido ser indicado por uma seta na extremidade superior do segmento. Observemos que no caso de o ngulo ser 2200 (400 + 1800), a direo continua sendo a mesma, porm, o sentido o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noo de vetor.

sFigura 1.2

Abstendo-se da idia de grandezas vetoriais, diramos que o vetor representado por um segmento orientado (um segmento est orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo).

Capo 1

Vetores

3

Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direo (so paralelos ou colineares) e mesmo sentido so representantes de um mesmo vetor. Na Figura 1.3 todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB, representam o mesmo vetor, que ser indicado por AB ou B-A

onde A a origem e B a extremidade do segmento. O vetor tambm costuma ser indicado por uma letra minscula encimada por uma flecha, tal como v .B

-

Figura 1.3

Quando escrevemos v = AB (Figura 1.4), estamos afIrmando que o vetor v determinado pelo segmento orientado AB. Porm, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direo e mesmo sentido de AB representa tambm o mesmo vetor v. Assim sendo, cada ponto do espao pode ser considerado como origem de um segmento orientadoque representante do vetor v. Esta a razo de o vetor tambm ser chamado vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto.B

-

A Figura 1.4

-

-------

B

Ainda, dados um vetor v = AB e um ponto P, existe um s ponto Q (Figura 1.5) tal que o segmento orientado PQ tem o mesmo comprimento, a mesma direo e o mesmo sentido de AB. Portanto, temos

------

Q

------

-

tambm v = PQ, o que vem reforar o fato de que um representante de v pode ter sua origem em qualquer ponto P do espao.

-

------ -----A Figura 1.5

p

-----

4

Vetores e Geometria Analtica

O mdulo, a direo e o sentido de um vetor v o mdulo, a direo e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o mdulo de v por Iv I ou 11 iI. v

-

-

-

Casos Particulares de Vetores - a) Dois vetores

- -

e indica-se por u li v , se os seus representantes tiverem a mesma dire-

u e v so paralelos,

o. Na Figura 1.6, tem-se u li v li w , onde u e v tm o mesmo sentido, enquanto u e v, tm sentido contrrio ao de w.

- -

-

- -

-

'lII(

-- 1.6 Figura

-

w v u

-

-

b) Dois vetores u e v so iguais, e indica-se por u =v, se tiverem iguais o mdulo, a direo e o sentido. c) Qualquer ponto do espao representante do vetor zero (ou vetor nulo), que indicado por O ou AA (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor no possuir direo e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.

-

-

11Figura 1.7

d) A cada vetor no-nulo v corresponde um vetor oposto ~v, de mesmo mdulo e mesma direo de v, porm, de

-

sentido contrrio (Figura 1.7). Se v = AB , o vetor BA o oposto de AB, isto , BA = - AB .

- -1 1

-

-

-

-

e) Um vetor u unitrio se Iu I = 1.

- v

u e -u

-

A cada vetor v,

*-

O, possvel associarI dois '111I(

vetores unitrios de mesma direo de v: (Figura 1.8).

e

I v

U -u

-.1 I 1 1 1 1 1

-

-

Nesta

figura, tem-se Iv I = 3

-

Iu I = 1-u I = 1. O vetor u que tem o mesmo sentido de v chamado versor dev . Na verdade o vetor u

-

-

Figura 1.8

-

no versor s de v , mas sim de todos os vetores

paralelos e de mesmo sentido de v e medidos com a mesma unidade.

Capo 1

Vetares

5

,

f) Dois vetores u e v (Figura 1.9(a soortogonais, e indica-se por u 1- v , se algum representante de u formar ngulo

-

- -

reto com algum representante de v . A Figura 1.9(b) apresenta dois repre-

- -

(a) Figura 1.9

(b)

sentantes de u e v, com origem no ponto A, formando ngulo reto. Considera-se o vetor zero ortogonal qualquer vetor. a

g) Dois ou mais vetores so coplanares se existir algum plano onde estes vetores esto representados. importante obserp

-

-

var que dois vetores u e v quaisquer so sempre coplanares, pois basta considerar um ponto P no espao e, com origem nele, traar os dois representantes de

-

-

Figura 1.10

- -

u e v pertencendo ao plano 1t (Figura 1.10) que passa por aquele ponto.

No caso de u e v serem no paralelos como nesta figura, estes vetores determinam a "direo" do plano 1t, que a mesma de todos os planos que lhe so paralelos. Trs vetores podero ser coplanares (Figura 1.11(a ou no (Figura 1.11(b.

(a) Figura 1.11

(b)

6

Vetores e Geometria Analtica

--

Exemplos 1) A Figura 1.12 constituda de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afIrmaes:A B C D

G

g) AB.lEG N M

DE JO = IACI1) AI PH IAMI=IBLI n) r) AB 11 OF s) AM =-MC q) BL NB AM BL PN KN=FI HI I AC =-ED o) IIFI /I.1OP i) m) IACI==LD p) IAII .1 FG k) BC IFPI IAOI=2INPI h) a) 11= IMF j) t) PE .1 EC

-- -- -- - -

- -

L

K

p

O

J

HFigura 1.12

Respostas

a) V b) Vc) F

d) V e) V t) V

g)

F

h) V i) F

j) V k) V 1) V

m) F n) V o) V

p) V q) V

s) Vt) V

r) F

2) A Figura 1.13 representa um paraleleppedo retngulo. Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das afIrmaes:

E

B

a) DH = BFb) AB =-HG c) AB.l

d) AF .1 BC

--CG

Figura 1.13

e) IACI=IHFI

t) IAGI = IDFIg)

h) AB, BC e CG so coplanares

--BG/I

ED

Capo 1

Vetores

7

i) ---- ---+ e AB, FG EG so coplanares j) ---- CB e HF so coplanares EG, ------+ k) AC, DB e FG so coplanares ---1) AB, BG e CF so coplanares

--

m) ---- DC e CF so coplanares AB, n) ---- ortogonal ao plano ABC AE o) AB ortogonal ao plano BCG p) DC paralelo ao plano HEFi) V j) V

-

Respostasa) V

b) F c) Vd) V

e) V f) Vg) F h) F

m)Vn) V o) V p) V

k) V

1) F

Operaes com VetoresAdio de VetaresConsideremosos vetores u e v , cuja soma u + v pretendemosencontrar. Tomemos um ponto A qualquer (Figura 1.14) e, com origem nele, tracemos um segmento orientadoAB representante do vetor u. Utilizemos a extremidadeB para traar o segmento orientado BC representante de V. O vetor representado pelo segmento orientadode origem-A e extremidade C , por definio, o vetor soma de u e v , isto ,

A

-

u + v = ACou

- -

-

Figura 1.14

AB + BC = AC

Sendo u II v, a maneira de se obter o vetor u + v a mesma e est ilustrada na Figura 1.15(a) (u e v de mesmo sentido) e na Figura 1.15(b) (u e v de sentidos contrrios).U , , -+ V I u+v , -+, , I, , I u+v ,.v

- -

- -

-

- -

,

(a)

u

-+

.'

. .' .'

(b)

Figura 1.15

8

Vetores e Geometria Analtica

DC

No caso de os vetores u e v no serem paralelos, h uma outra maneira de se encontrar o vetor soma u + v . Repre-+ --+sentam-se u = AB e v = AD por segmentos orientados de mesma origem A. Completa-se o paralelogramo ABCD (Figura 1.16) e o segmento orientado de origem A, que corresponde diagonal do paralelogramo, o vetor u + v , isto , u + v = AC

- -

A

-

-

Figura 1.16

ou

AB + AD = AC Para o caso de se determinar a soma de trs vetores ou mais, o procedimento anlogo (Figura 1.17(a e, em particular, se a extremidade do representante do ltimo vetor coincidir com a origem do representante do primeiro (Figura 1.17 (b, a soma deles ser o -+ -+ -vetor zero (u + v + w + t = O).

v--+

tu+v+w

(a)Figura 1.17

(b)

I)

Sendo u, v e w -+ vetores quaisquer, a adio admite as seguintes propriedades: -+ -+ -+ Comutativa: u + v = v + u-+ -+

-+-+

lI)IV)

Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)O

IlI) Elemento neutro: u +

- -=u - - O-+ -+

Elemento oposto: u + (- u ) =-+ -+

-+

O vetor u + (- v ), escreve-se u - v, chamado diferena entre u e v . Observemos que no paralelogramo

- -

determinado

pelos vetores u e v (Figura 1.18), verifica-se que a soma u + v representada por uma das diagonais, enquanto a diferena u - v pela outra diagonal.Figura 1.18

- -

Capo 1

Vetores

9

Exemplos1) Com base na Figura 1.12, pgina 6, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: AH EO AC i)-+CB +AO 1) AK AM PN AK+AN CN t) i) AE LP AI DC PB AO AK O AC ++ OE + e) BC BL AB BN g) BD AC MO - g) BL h) k) NP d) k)e) NF c) a) ANa) j) h)1) t) AB j)

- ----

-

2) Com base na Figura 1.13, pgina 6, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a) b)c)

d)

--AB + CG BC + DE BF + EH EG - BC

e) CG + EH

t) EF-FBg) h)

---AB+AD+AE EG + DA + FH e)AR

Soluoa)

b)

AF AE-

c) d)

AH AB-+

t)

AF

g) AG

h) AD

-+ -+

3) Dados dois vetores -+u e -+v no-paralelos, construir no mesmo grfico os vetores u + v , -+ -+ -+ -+ u - v , v - u e - u - v , todos com origem em um mesmo ponto.

Soluo

- \ \\

Para os vetores u e v da figura, tem-se:\

\

\

\

\ \

\

\

\

\

\

\

,

\ \ -------------------------------------~ \

'\

~

\

\

\ \

\

10

Vetores e Geometria Analtica

4) Provar que as diagonais de um paralelogramo tm o mesmo ponto mdio. SoluoC

Consideremos o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD e seja M o ponto mdio de AC ~ (Figura 1.19), equivale dizer que AM = MC. Vamos provar que M tambm ponto mdio de BD. Pela figura,~ tem-se ~

-

A Figura 1.19

B

BM = BC + CM (definio de soma) = AD + MA (igualdade de vetores) = MA + AD (propriedade comutativa) = MD (definio de soma)

--

Ora, como BM = MD, conclui-se que M ponto mdio de BD.

-- -

Multiplicao de Nmero Real por VetorDado um vetor v

-

*- O

-

e um nmero real a

*- O,

chama-se produto do nmero real a pelo

vetor v , o vetor a v tal que multiplicado por I a I ;

-

-

a) mdulo: Iav I = Iali v I, isto , o comprimento de a v igual ao comprimento de v b) direo: a v paralelo a v ; c) sentido: a v e v tm o mesmo sentido se a > Se a

= O ou v = O, ento a v = O

- - -

-

-

--

O,

e contrrio se a < O.

A Figura 1.20 apresenta o vetor ~ e alguns de seus mltiplos.

-+

v

~

1 -+ -v 2

Figura 1.20

Capo 1

Vetares

11

Observaes

-

a) Considerando o ponto O como origem de v, v *- O, e de todos os vetores a v que lhe so paralelos (Figura1.21), se fizermos a assumir todos os valores reais, teremos representados em uma s reta todos os vetores paralelos a v .v"""

-

- v2v o 2 -+ 4V"""

-

-+ xv

Figura 1.21

- - - Por outro lado, supondo u11

v, v

*- O,

sempre existe um nmero realD

a tal que

u =av.Por exemplo, na Figura 1.22, onde DC est dividido em cinco segmentos congruentes (de mesmo comprimento), em relao ao vetor AB (IAB I = 2), tem-se AC=-AB

- -- 32BD=-2AB CD=--AB 2

A

Figura 1.22

.. ,

B

c

-

5Ivl~ ~

b) Vimos em Casos Particulares de Vetores, Figura 1.8, pgina 4, que a cada vetor v,; *- ,

possvel associar dois vetores unitrios paralelos a ~. O vetor unitrio

v -ou --::;-de mesmo sentido de v o versor de v .

Ivl

Por exemplo, - , v se Iv I = 5, o versor de v e-o

5'

se Iv I = -, o versor de v 3 v ;

-

1

-

3

-, v se Iv I = 10, o versor de - v e - - . 10

12

Vetores e Geometria Analtica

Exemplo

- -

-

Seja o vetor v -:f. O. Determinar o vetor paralelo a v tal que a) tenha o mesmo sentido de v e mdulo 5; b) tenha sentido contrrio ao de v e mdulo 10.

-

..

.v .:L.. Ivl Ivl ~oluoFigura 1.23

..

- A partir de um vetor arbitrrio v-:f.

O (Figura 1.23) semprev

possvel associar os dois vetores paralelos e unitrios:v

Iv I-

(mesmo sentido de v) e--=- (sentido contrrio ao de v) . Iv I Logo, tem-se as solues:

a) 5-.:

lOv

Ivl

e b)

Ivl

Se u e v so vetores quaisquer e a e ~ nmeros reais, a multiplicao de nmero real por vetor admite as propriedades: I)(~)v =a(~v) m) a(u + v) = au + av

- -

-

-

-

-

-

-

11)(a- + ~) v = a v + ~ v IV)lv=v

-

.. u

2\rFigura 1.24

A Figura 1.24 ilustra a propriedade m para a = 2, isto , 2( u + v) = 2 u + 2 v .

- -

-

-

Exemplos

1) Representados os vetores u, v e w como na Figura 1.25(a), obter graficamente o vetor x tal que

- - - 1x=2u-3v+-w.2

(a)Figura 1.25

(b)

Soluo: Figura 1.25(b)

Capo 1

Vetares

13

2) Demonstrar que o segmento cujos extremos so os pontos mdios de dois lados de um tringulo paralelo ao terceiro lado e igual sua metade.

SoluoSeja o tringulo ABC e M e N os pontos mdios dos lados CA e CB, respectivamente (Figura 1.26). c Pela figura, tem-se MN=MC+CN

- -2 1 =-AB 2

=-AC+-CB

1- 12 -

=-( AC+CB) 2

1-

A Figura 1.26

B

Portanto, MN

11-1 Ii AB e IMN 1= 2" AB.

ngulo de Dois Vetores

o ngulo entre os vetores no-nulos

u e v o ngulo 8 formado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O (Figu-

-

o

ra 1.27), onde u = OA, v = OB e O ~ 8 ~ ou 0 ~ 8 ~ 180. Se u

- 1t.

1t

(8 em radianos)

Ilv e ~ e ~ tm o mesmo sentido, ento 8 = O. o - -

que ocorre, por exemplo, com os vetores u e 2 u que tm o mesmo sentido (Figura 1.28(a)).Figura 1.27

Se u Ii v e ~ e ~ tm sentidos contrrios, ento 8 = ra 1.28(b)).

o caso de ~ e -3 ~ (Figu-

2u(a)

u ..

-3u(b)Figura 1.28

u

--+

14

Vetares e Geometria Analtica

Problemas Propostos1) A Figura 1.29 apresenta o losango EFGH inscrito no retngulo ABCD, sendo O o ponto de interseo das diagonais desse losango. Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afIrmaes : a) EO = OG b) AF = CH

--

t) H-E=O-C

g) I AC I = I BD I

c) DO = HG d) IC - 01 = 10 - BI

h) 10A I = i) AF

e) IH - 01 = IH - DI j) GF HG o) OB = -FE 2) Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das afIrmaes:

- ! --2

k) AO

1) AB 1- OH m) EO 1- CB

- liOC

Figura 1.29

IDB I

li li

CD

n) AO 1- HF

- -

- -- -b) Se Iu I= Iv I, ento u = v . - -c) Se u li v, ento u = v. - -d) Se u = v , ento u li v . - - e) Se w = u + v, ento Iw I = lu I + Iv I. - - a) Se u = v , ento Iu I = Iv I.

t) Iw I = Iu I + Iv I, ento u, v e w so paralelos.g) Se AB = DC, ento ABCD (vrtices nesta ordem) paralelogramo. h) 15v I = 1-5v I = 51v I.

-

-

-

-- -11

-

-

-

-

-

i) Os vetores 3 v e -4 v so paralelos e de mesmo sentido. j) Se u-

v, Iu I = 2 e Iv I= 4, ento v = 2 u ou v = -2 u .-

v

-

-

-

-

k) Se Iv I = 3, o versor de -lOv

--o3

3) Com base na Figura 1.29, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a) OC + CH b) EH + FG

--

e) EO + BG

t) 20Eg)

c) 2AE + 2AF d) EH + EF

1- - BC + EH2

- + 20C

i) OG - HO j) AF + FO + AO

h) FE + FG

Cap.1

Vetores 15

4) O paralelogramo ABCD (Figura 1.30) determinado pelos vetores AB e AD, sendo M e N pontos mdios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: a) b) c) AD + AB d) AN + BC

BA + DA AC - BC

- -- - - - 2

/.----.---