Geometria Analítica Vitor Ferreira do Nascimento GRR:20157165 Nº:68

Professor Carlos Roberto Vianna

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6) Calcular as equações das retas r passantes pelos pontos A=(2,-1,1) e que

interceptam a reta s: 𝑥−1

2=

𝑦+1

0=

𝑧

1, s egundo um ângulo de 45°.

Para descobrir a equação de 𝑟, precisa-se determinar seu vetor diretor, 𝒓 = (𝑙, 𝑚, 𝑛), e

ter um ponto da reta, 𝐴 = (2, −1,1). Então 𝑟: 𝑥−2

𝑙=

𝑦+1

𝑚=

𝑧−1

𝑛= 𝑡

Coplanaridade entre retas:

|

𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1

𝑙1 𝑚1 𝑛1

𝑙2 𝑚2 𝑛2

| = 0 |−1 − (−2) 1 − 1 0 − (−1)

𝑙 𝑚 𝑛2 0 1

| = 0

Chega-se em 𝑚 = 0

Desenvolvendo:

𝒓 = 𝑃0 − 𝐴 (𝑙, 𝑚, 𝑛) = 𝑃0 − (2, −1,1) 𝑃0 = (𝑙 + 2, −1, 𝑛 + 1) (𝑙 + 2) − 1

2=

−1 + 1

0=

𝑛 + 1

1

𝑙 + 1

2= 𝑛 + 1

𝑙 + 1 = 2𝑛 + 2

𝑙 = 2𝑛 + 1

Logo, 𝒓 = (2𝑛 + 1,0, 𝑛) e 𝑃0 = (2𝑛 + 3, −1, 𝑛 + 1) Usando a fórmula do ângulo entre dois vetores

𝑐𝑜𝑠45º =𝒓 ∙ 𝒔

|𝒓||𝒔|

√2

2=

(𝑙,𝑚,𝑛)∙(2,0,1)

√𝑙²+𝑚²+𝑛² ∙ √2²+0²+1²

√2 ∙ √5 ∙ √𝑙2 + 𝑛2 = 2 ∙ (2𝑙 + 𝑛)

√10 ∙ √𝑙2 + 𝑛2 = 4𝑙 + 2𝑛

√10𝑙2 + 10𝑛2 = 4𝑙 + 2𝑛

10𝑙² + 10𝑛² = 16𝑙² + 16 𝑙𝑛 + 4𝑛²

6𝑙² + 16 𝑙𝑛 − 6𝑛² = 0

Supondo uma base de cálculo para l

𝑙 = 1

6 + 16𝑛 − 6𝑛2 = 0 𝑛 = 3

𝑙 = 2

24 + 32𝑛 − 6𝑛2 = 0 𝑛 = 6

𝑙 = 3

54 + 48𝑛 − 6𝑛2 = 0 𝑛 = 9

𝑙 = 4

96 + 64𝑛 − 6𝑛2 = 0 𝑛 = 12

Pode se perceber que n é proporcional a l, não importando o valor estipulado, logo:

𝑟: 𝑥 − 2

𝑙+

𝑦 + 1

0+

𝑧 − 1

3𝑙 ∴

𝑥 − 2

1+

𝑦 + 1

0+

𝑧 − 1

3

6)Adaptado nº68>> Calcular as equações das retas r passantes pelos pontos

A=(2,68,1) e que interceptam a reta s: 𝑥−1

2=

𝑦+1

0=

𝑧

1, s egundo um ângulo de 45°.

Para descobrir a equação de 𝑟, precisa-se determinar seu vetor diretor, 𝒓 = (𝑙, 𝑚, 𝑛), e

ter um ponto da reta, 𝐴 = (2,68,1). Então 𝑟: 𝑥−2

𝑙=

𝑦−68

𝑚=

𝑧−1

𝑛= 𝑡

Coplanaridade entre retas:

|

𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1

𝑙1 𝑚1 𝑛1

𝑙2 𝑚2 𝑛2

| = 0 |−1 − (−2) 1 − (−68) 0 − (−1)

𝑙 𝑚 𝑛2 0 1

| = 0

Chega-se em 𝑚 = 138𝑛 − 69𝑙

Desenvolvendo:

𝒓 = 𝑃0 − 𝐴 (𝑙, 𝑚, 𝑛) = 𝑃0 − (2,68,1) 𝑃0 = (𝑙 + 2, +68, 𝑛 + 1) (𝑙 + 2) − 1

2=

(𝑚 + 68) + 1

0=

𝑛 + 1

1

𝑙 + 1

2= 𝑛 + 1

𝑙 + 1 = 2𝑛 + 2 𝑙 = 2𝑛 + 1

Logo, 𝒓 = (2𝑛 + 1, −69, 𝑛) e 𝑃0 = (2𝑛 + 3, −1, 𝑛 + 1) Usando a fórmula do ângulo entre dois vetores

𝑐𝑜𝑠45º =𝒓 ∙ 𝒔

|𝒓||𝒔|

√2

2=

(𝑙,𝑚,𝑛)∙(2,0,1)

√𝑙²+𝑚²+𝑛² ∙ √2²+0²+1²

√2 ∙ √5 ∙ √𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 2 ∙ (2𝑙 + 𝑛)

√10 ∙ √𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 4𝑙 + 2𝑛

√10𝑙2 + 10𝑚2 + 10𝑛2 = 4𝑙 + 2𝑛

10𝑙2 + 10𝑚2 + 10𝑛² = 16𝑙² + 16 𝑙𝑛 + 4𝑛²

16𝑙2 + 16𝑙𝑛 + 4𝑛2 − 10𝑙2 − 10𝑚2 − 10𝑛2 = 0

6𝑙2 + 16𝑙𝑛 − 6𝑛2 − 10𝑚2 = 0

3𝑙2 + 8𝑙𝑛 − 3𝑛2 − 5𝑚2 = 0

{−69𝑙 − 𝑚 + 138𝑛 = 0 → −69𝑙 + 138𝑛 = 𝑚

3𝑙2 + 8𝑙𝑛 − 3𝑛2 − 5𝑚2 = 0

5𝑚2 = 5(−69𝑙 + 138𝑛)2

23805𝑙2 − 95220𝑙𝑛 + 95220𝑛2 = 5𝑚²

3𝑙2 + 8𝑙𝑛 − 3𝑛2 − (23805𝑙2 − 95220𝑙𝑛 + 95220𝑛2) = 0

23802𝑙2 + 95228𝑙𝑛 − 95223𝑛2 = 0

Se n=1

23802𝑙2 + 95228𝑙 − 95223 = 0

𝑙′ = −4,8293 𝑙′′ = 0,82842

𝑥 − 2

−4,8293=

𝑦 − 68

471,2217=

𝑧 − 1

1

𝑥 − 2

0,82842=

𝑦 − 68

80,839=

𝑧 − 1

1

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12) Achar a equação do plano que passa pela reta 𝑟 = {𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0

2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 e é paralelo

a reta 𝑠 =𝑥+1

1+

𝑦

2+

𝑧+2

7 .

Equações paramétricas de r:

𝑟 = {𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0

2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

𝑟 = {𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 3𝑦 = −2𝑥 − 1

𝑟 = {𝑧 = −𝑥 + 2

𝑦 = −2𝑥 − 1

𝑃0 = (0, −1,2) 𝒓 = (1, −2, −1)

𝑟:𝑥 − 0

1=

𝑦 + 1

−2=

𝑧 − 2

−1

Coplanaridade:

|

𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1

𝑙1 𝑚1 𝑛1

𝑙2 𝑚2 𝑛2

| = 0

|𝑥 𝑦 + 1 𝑧 − 21 −2 −11 2 7

| = 0

𝑥 ∗ (−2) ∗ 7 + (𝑦 + 1) ∗ (−1) ∗ 1 + (𝑧 − 2) ∗ 1 ∗ 2 − [1 ∗ (−2) ∗ (𝑧 − 2) + 2 ∗ (−1) ∗ 𝑥 + 7 ∗ 1 ∗ (𝑦 + 1)] = 0

−14𝑥 + (−𝑦 − 1) + 2𝑧 − 4 − [−2𝑧 + 4 + (−2𝑥) + 7𝑦 + 7] = 0

−12𝑥 − 8𝑦 + 4𝑧 − 16 = 0

Simplificando por ±4 encontramos dois planos que se enquadram no que buscamos:

3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 𝑜𝑢 − 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 4 = 0

Utilizando o ponto que define a reta s como 𝑃 = (−1,68, −2)

Achar a equação do plano que passa pela reta 𝑟 = {𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0

2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 e é paralelo a

reta 𝑠 =𝑥+1

1+

𝑦−68

2+

𝑧+2

7 .

Equações paramétricas de r:

𝑟 = {𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0

2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

𝑟 = {𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 3𝑦 = −2𝑥 − 1

𝑟 = {𝑧 = −𝑥 + 2

𝑦 = −2𝑥 − 1

𝑃0 = (0, −1,2) 𝒓 = (1, −2, −1)

𝑟:𝑥 − 0

1=

𝑦 + 1

−2=

𝑧 − 2

−1

Coplanaridade:

|

𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1

𝑙1 𝑚1 𝑛1

𝑙2 𝑚2 𝑛2

| = 0

|𝑥 + 1 𝑦 − 68 𝑧 + 2

1 2 71 −2 −1

| = 0

(𝑥 + 1) ∗ 2 ∗ (−1) + (𝑦 − 68) ∗ 7 ∗ 1 + (𝑧 + 2) ∗ 1 ∗ (−2) − [1 ∗ 2 ∗ (𝑧 + 2) + (−2) ∗ 7 ∗ (𝑥 + 1) + (−1) ∗ 1 ∗ (𝑦 − 68)]

= 0

12𝑥 + 8𝑦 − 4𝑧 − 540 = 0

Simplificando por ±4, chegamos a dois planos que satisfazem as condições:

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 135 = 0 𝑒 − 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 135