geometria analítica

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GEOMETRIA ANALÍTICA

Distância entre dois pontos Ponto Médio Baricentro

Área de um triângulo qualquer Condição de alinhamento de três pontos

Ponto e Reta

Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade


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Introdução• A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos

estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas.

Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.

• Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.


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Distância entre dois pontosA distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.


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Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.


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Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:


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Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.


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Ponto Médio de um Segmento de Reta

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:


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Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.


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BaricentroO triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu baricentro. Faremos o estudo de como obter as coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos definir o que é baricentro.

Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas.


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BaricentroAgora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e baricentro G(xG, yG).

As coordenadas do baricentro do triângulo ABC serão dadas por:


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BaricentroExemplo 1. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 7), B(5, 3) e C(2, 2).

Solução: Vamos calcular as coordenadas do Baricentro do triângulo separadamente, para não haver confusão no entendimento da fórmula, que é muito simples.Sabemos que:

Portanto, o baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(3, 4).


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Área de um Triângulona Geometria Analítica

Vamos determinar a área de um triângulo do ponto de vista da geometria analítica. Assim, considere três pontos quaisquer, não colineares, A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc). Como esses pontos não são colineares, ou seja, não estão numa mesma reta, eles determinam um triângulo. A área desse triângulo será dada por:

Observe que a área será metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C.


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Exemplo 1. Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6).Solução: Primeiro passo é fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C.

Portanto, a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6) é 12.


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Exemplo 2. Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-2,4).Solução: Primeiro devemos realizar o cálculo do determinante.


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Exemplo 3. Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x.

Solução: Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20. Então:


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Condição de alinhamento de três pontos

Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles seja formada uma reta é preciso que eles estejam alinhados.

Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados.

Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados.

Por esse motivo, ao verificar se os três pontos são alinhados, é preciso seguir a seguinte condição:


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Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma:

Para que exista a área do triângulo esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados. Portanto, podemos concluir que três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) estarão alinhados se

= 0


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Exemplo1: Verifique se os pontos A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são alinhados).

Exemplo2: Verifique se os pontos A(-1,4), B(5,-2) e C(2,3) são ou não colineares (são alinhados).

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