LISTA DE EXERCCIOS

COLGIO GERAO 2001 DA ED. INFANTIL AO VESTIBULAR.

Geometria Espacial Slidos Inscritos e Circunscritos

Prof. Wagner - Matemtica

3 ano EM - 2010

LISTA DE EXERCCIOS

1. (Unicamp 92) Dado um cubo de aresta , qual o volume do octaedro cujos vrtices so os centros das faces do cubo?2. (Uerj 2001) O modelo astronmico heliocntrico de Kepler, de natureza geomtrica, foi construdo a partir dos cinco poliedros de Plato, inscritos em esferas concntricas, conforme ilustra a figura abaixo:

A razo entre a medida da aresta do cubo e a medida do dimetro da esfera a ele circunscrita, :

a) 3

b) (3)/2

c) (3)/3

d) (3)/43. (Unicamp 94) Em uma pirmide de base quadrada, as faces laterais so tringulos eqilteros e todas as oito arestas so iguais a 1.

a) Calcule a altura e o volume da pirmide.

b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirmide, e que tangencia as arestas da base, tambm tangencia as arestas laterais.

c) Calcule o raio do crculo interseco da esfera com cada face lateral da pirmide.

4. (Fuvest 95) Na figura a seguir, X e Y so, respectivamente, os pontos mdios das arestas AB e CD do cubo. A razo entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do cubo :

a) 3/8.

b) 1/2.

c) 2/3.

d) 3/4.

e) 5/6.

5. (Ita 95) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm:

a) 10/3

b) 7/4

c) 12/5

d) 3

e) 2

6. (Unicamp 95) Uma pirmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirmide constri-se um cubo de modo que a face oposta base do cubo corte a pirmide em um quadrado de lado igual a 5cm. Faa uma figura representativa dessa situao e calcule o volume do cubo.

7. (Ita 96) Numa pirmide triangular regular, a rea da base igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio da esfera inscrita nesta pirmide. Deste modo, a razo H/R igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

8. (Ufmg 94) Observe a figura.

Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases comuns esto inscritos em uma esfera. O volume do cilindro igual ao volume do cone.

A distncia do centro da esfera base comum, em funo da altura H do cone,

a) H/2

b) H/3

c) H/4d) H/5

e) H/6

9. (Ufmg 95) Dois cones circulares retos de mesma base esto inscritos numa mesma esfera de volume 36. A razo entre os volumes desses cones 2.

A medida do raio da base comum dos cones

a) 1

b)

c)

d) 2

e)

10. (Mackenzie 96) Num cone reto de altura 12 inscreve-se um cilindro de rea lateral mxima. Ento a altura do cilindro :

a) 3.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

11. (Ufba 96) O aptema da base de um prisma reto hexagonal regular P mede , e a altura de P mede . Nesse prisma inscreve-se um cone reto, e a esse mesmo prisma circunscreve-se um cilindro reto; o cone e o cilindro tm a mesma altura de P. A rea total do cilindro , a rea lateral do cone , e o volume do prisma . Determine a medida do volume de um paraleleppedo retngulo cujas dimenses so, em cm, x, y e z, indicando, de modo completo, toda a resoluo do problema.

12. (Udesc 96) Um cubo de lado h inscrito num cilindro de mesma altura. A rea lateral desse cilindro :

a)

b)

c)

d)

e)

13. (Fuvest 97) Um cubo de aresta m est inscrito em uma semi-esfera de raio R de tal modo que os vrtices de uma das faces pertencem ao plano equatorialda semi-esfera e os demais vrtices pertencem superfcie da semi-esfera. Ento, m igual a

a) R

b) R

c) R

d) R

e) R

14. (Mackenzie 96) Seja 36 o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Ento a razo entre o volume da esfera e o volume do cubo :

a)

b)

c)

d)

e)

15. (Mackenzie 96) A razo entre os volumes dos cilindros inscrito e circunscrito num prisma triangular regular :

a) 1/2

b) 1/4

c) 1/8

d) 1/3

e) 2/3

16. (Puccamp 97) Uma pirmide reta, cuja base um quadrado de lado e cuja altura h, est inscrita num cilindro reto com raio da base r e altura H. Nessas condies, verdade que

a)

b)

c)

d) 2H = h

e) H = 2h

17. (Fuvest 98) Numa caixa em forma de paraleleppedo reto-retngulo, de dimenses 26cm, 17cm e 8cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior nmero de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa

a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

18. (Mackenzie 97) A rea da superfcie lateral de um cone eqiltero inscrito numa esfera de raio R :

a) b) c)

d) e)

19. (Ufrrj 99) Determine o volume da regio compreendida por uma esfera de raio e por um cubo circunscrito esfera.

20. (Ufsm 2000) Bolas de tnis so vendidas, normalmente, em embalagens cilndricas contendo 3 unidades.

Supondo-se que as bolas tm raio a em centmetros e tangenciam as paredes internas da embalagem, o espao interno dessa embalagem que NO ocupado pelas bolas , em cm

a)

b) c)

d)

e)

21. (Ufsc 2000) O volume, em , de um cubo circunscrito a uma esfera de de superfcie :

22. (Ufrs 2001) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera.

Se V o volume da esfera e V o volume do cilindro, ento a razo V / V - V

a) 1/3.

b) 1/2.

c) 1.

d) 2.

e) 3.

23. (Ufrs 2001) Um octaedro tem seus vrtices localizados nos centros das faces de um cubo de aresta 2.

O volume do octaedro

a) 2/3.

b) 4/3.

c) 2.

d) 8/3.

e) 10/3.)

24. (Ufrj 2002) Considere uma esfera E, inscrita, e outra esfera E circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm. Calcule a razo entre o volume de E e o volume de E.

25. (Uerj 2001) Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em uma semi-esfera, cujo raio OA forma um ngulo com a base do cilindro.

Se varia no intervalo e o raio da semi-esfera mede r, calcule a rea lateral mxima deste cilindro.

26. (Ufpe 2003) Um cubo est inscrito em um cone circular reto, como ilustrado a seguir (uma base do cubo est contida na base do cone e os vrtices da base oposta esto na superfcie do cone). Se o cone tem raio da base medindo 4 e altura 8, assinale o inteiro mais prximo da medida do volume do cubo.

27. (Fatec 2003) A interseco de um plano com uma esfera de raio R a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a regio sombreada da figura abaixo.

Se o volume de um dos cones o dobro do volume do outro, a distncia do plano ao centro O igual a

a) R/5

b) R/4

c) R/3

d) 2R/5

e) 2R/3

28. (Uel 2003) Seja g a geratriz de um cone circular reto inscrito num cilindro circular reto de mesma area lateral, base e altura. O volume V desse cone :

a)

b)

c)

d)

e)

29. (Ufrn 2004) Um artista esculpiu a metade de uma esfera de pedra-sabo, transformando-a num cone, ilustrado na figura abaixo.

Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone esculpido tambm R, calcule:

a) o volume do cone esculpido;

b) o volume do material retirado da metade da esfera para formar o cone.

30. (Ufg 2005) Considere um cone circular reto de altura xh e raio r, h > r, inscrito em uma esfera de raio R. Determine a altura do cone quando r = 3/5 R.

31. (Ufrrj 2005) Em uma caixa d'gua cbica vazia de lado 2m, colocada, cheia de gua, uma esfera inscrita, com espessura da parede desprezvel. Estoura-se a esfera e retiram-se seus resduos. Qual a altura de gua que permanecer dentro da caixa?

32. (Unifesp 2005) A figura representa um lpis novo e sua parte apontada, sendo que D, o dimetro do lpis, mede 10 mm; d, o dimetro da grafite, mede 2 mm e h, a altura do cilindro reto que representa a parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto, representando a parte da grafite que foi apontada, mede s mm.

a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado do lpis.

b) Calcule o volume da grafite retirada.

33. (Pucpr 2005) A rea total de um octaedro regular inscrito numa esfera de rea 36 cm :

a)

b)

c)

d)

e)

34. (Fuvest 2006) Um cone circular reto est inscrito em um paraleleppedo reto retngulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razo b/a entre as dimenses do paraleleppedo 3/2 e o volume do cone .Ento, o comprimento g da geratriz do cone

a)

b)

c)

d)

e)

35. (Uel 2006) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jia exclusiva. Para isto, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma prola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir.

Se a aresta do octaedro regular tem 2cm de comprimento, o volume da prola, em cm, e:

a)

b)

c)

d)

e)

GABARITO

1. V =

2. [C]

3. a) h = , v =

b) Sendo r o raio da esfera de centro O, que tangencia as arestas da base e r' o raio da esfera de centro O, que tangencia as arestas laterais da pirmide, tem-se:

1) r o aptema de um quadrado de lado 1.Assim: 2r = 1 r = 1/2 (I)

2) r' a altura relativa hipotenusa do tringulo retngulo, cujos catetos so a altura da pirmide e metade da diagonal da base e a hipotenusa e a aresta lateral da pirmide. Assim:

hip. OH = cat . cat

1 . r' = . r' = 1/2 (II)

De (I) e (II) conclui-se que a esfera centrada em O, que tangencia as arestas da base da pirmide, tambm tangencia as arestas laterais dessa pirmide.

c)

4. [D]

5. [A]

6. O volume do cubo de 1000

7. [C]

8. [E]

9. [E]

10. [C]

11. 192

12. [D]

13. [A]

14. [A]

15. [B]

16. [B]

17. [D]

18. [D]

19. V = 6 -

20. [A]

21. 64

22. [D]

23. [B]

24.

25.

26. 36

27. [C]

28. [B]

29. a)

b)

30. h = (9/5) R.

31. h = m

32. a)

b) 2 mm

33. [C]34. [D]35. [E]_1343043988.unknown

_1343044984.unknown

_1343045238.unknown

_1343045967.unknown

_1343046067.unknown

_1343046180.unknown

_1343046493.unknown

_1343046538.unknown

_1343046221.unknown

_1343046285.unknown

_1343046317.unknown

_1343046240.unknown

_1343046207.unknown

_1343046134.unknown

_1343046148.unknown

_1343046093.unknown

_1343045989.unknown

_1343046048.unknown

_1343045981.unknown

_1343045370.unknown

_1343045447.unknown

_1343045941.unknown

_1343045409.unknown

_1343045308.unknown

_1343045350.unknown

_1343045257.unknown

_1343045142.unknown

_1343045207.unknown

_1343045225.unknown

_1343045184.unknown

_1343045098.unknown

_1343045109.unknown

_1343045034.unknown

_1343045095.unknown

_1343044460.unknown

_1343044737.unknown

_1343044788.unknown

_1343044801.unknown

_1343044764.unknown

_1343044566.unknown

_1343044637.unknown

_1343044524.unknown

_1343044190.unknown

_1343044280.unknown

_1343044300.unknown

_1343044228.unknown

_1343044061.unknown

_1343044145.unknown

_1343044043.unknown

_1343043452.unknown

_1343043683.unknown

_1343043824.unknown

_1343043934.unknown

_1343043962.unknown

_1343043860.unknown

_1343043737.unknown

_1343043803.unknown

_1343043723.unknown

_1343043538.unknown

_1343043601.unknown

_1343043670.unknown

_1343043560.unknown

_1343043496.unknown

_1343043524.unknown

_1343043472.unknown

_1343043053.unknown

_1343043261.unknown

_1343043387.unknown

_1343043435.unknown

_1343043308.unknown

_1343043128.unknown

_1343043209.unknown

_1343043086.unknown

_1343042924.unknown

_1343043004.unknown

_1343043022.unknown

_1343042939.unknown

_1343042995.unknown

_1343042876.unknown

_1343042894.unknown

_1343042813.unknown