geometria

Geometria Afim Geometria Euclidiana Transformaes 3D

Visualizao por Computador: Teoria,Prtica e Aplicaes

Noes de Geometria e lgebra Linear

Claudio Esperana

Programa de Engenharia de Sistemas e ComputaoCOPPE / UFRJ

Master of Information Management, 2008


Sumrio

1 Geometria Afim

2 Geometria Euclidiana

3 Transformaes

4 3D


Geometria Afim

Estudo de propriedades geomtricas preservadas portransformaes afimTransformao afim = transformaes lineares + translaesTransformao linear = funo entre dois espaos de vetoresque preservam soma de vetores e multiplicao por escalares


Pontos e Vetores


Pontos e vetores

Ponto: Denota posio no planoVetor: Denota deslocamento, isto , inclui a noo de direoe magnitudeEm 2D ambos so representados em coordenadas cartesianasusando dois escalares:P = [xP , yP ]~v = [xv , yv ]Pontos e vetores no so a mesma coisa.


Operaes: Soma/Subtrao de vetores


Operaes: Subtrao de pontos


Operaes: Multiplicao por escalar


Operaes com pontos e vetores

Soma/subtrao de vetores:~t = ~v + ~u~t ~u = ~vSubtrao de pontos / Soma de ponto e vetor:~v = P QQ + ~v = PMultiplicao de vetor e escalar:~t = ~u + ~u = 2~uNo faz sentido:

Soma de pontosMultiplicao de ponto e escalar

Exceo: combinaes afim


Combinaes afim

Maneira especial decombinar pontos:

1P1 + 2P2 + + nPn ,ii = 1

Na verdade, temos apenasmultiplicao de escalarespor vetoresPara 2 pontos P e Qpoderamos ter umacombinao afim

R = (1)P+Q = P+(QP)


Combinao convexa

uma combinao afim ondetodos os coeficientes so nonegativosUsa-se esse nome porque qualquerponto que uma combinaoconvexa de n outros pontospertence ao fecho convexo dessespontos


Geometria Euclidiana

Extenso da geometria afim pela adio de um operadorchamado produto internoProduto interno um operador que mapeia um par de vetoresem um escalar. Tem as seguintes propriedades:

Positividade : (u, u) 0 e (u, u) = 0 sse u = 0Simetria: (u, v) = (v, u)Bilinearidade: (u, v + w) = (u, v) + (u,w) e (u, v) = (u, v)


Produto Escalar

Normalmente usamos o produto escalar como operador deproduto interno:

~v ~u =di=1

viui ,

onde d a dimenso do espaoComprimento de um vetor definido como:

|~v| =~v ~v

Vetor unitrio (normalizado):

v = ~v|~v|


Distncia, ngulo, projeo ortogonal

Distncia entre dois pontos P e Q: |P Q|ngulo entre dois vetores ~u e ~v:

ngulo(~u,~v) = cos1 u v = cos1 ~u ~v|~u||~v|Projeo ortogonal: dados dois vetores ~u e ~v, deseja-sedecompor u na soma de dois vetores ~u1 e ~u2 tais que ~u1 paralelo a ~v e ~u2 perpendicular a ~v~u1 = (~u ~v)v~u2 = ~u = ~u1


Produto Vetorial (3D)

Permite achar um vetorperpendicular a outros dois vetoresdadostil na construo de sistemas decoordenadas

~u~v = uyvz uzvyuzvx uxvzuxvy uyvx

=~i ~j ~kux uy uzvx vy vz

.


Propriedades do produto vetorial

Assumindo ~u, ~v linearmente independentes:Antisimetria: ~u ~v = ~v ~uBilinearidade:

~u (v) = (~u ~v),~u (~v + ~w) = (~u ~v) + (~u ~w)

~u ~v perpendicular tanto a ~u quanto a ~vO comprimento de ~u ~v igual a rea do paralelogramodefinido por ~u e ~v, isto , |~u ~v| = |~u||~v| sin , onde ongulo entre ~u e ~v


Orientao

Operao relacionando d + 1 pontos em um espaod-dimensionalResultado sempre 1, 0 ou +1Em R1, corresponde ordem entre 2 pontos, isto , P1 < P2,P1 = P2 ou P1 > P2Em R2, corresponde circulao entre 3 pontos: o percursoP1,P2,P3 horrio, anti-horrio, ou se so pontos colineares

Em R3, diz se o percurso entre 4 pontos P1,P2,P3,P4descreve um parafuso horrio, anti-horrio ou se socoplanares.


Computado orientao

O operador orientao muito til no cmputo de diversospredicados geomtricos: ponto sobre reta, ponto sobre plano,etc.A orientao de n + 1 pontos em um espao n-dimensional dado pelo sinal do determinante da matriz cujas colunas soas coordenadas homogneas dos pontos com o 1 vindoprimeiro. Ex.:

Or(P,Q,R) = sign(

1 1 1xP xQ xRyP yQ yR

)


Sistemas de coordenadas

Um sistema de coordenadas para Rn definido por um ponto (origem) e nvetoresExemplo

Seja um sistema de coordenadas para R2definido pelo ponto O e os vetores ~X e~YEnto, um ponto P dado porcoordenadas xP e yP tais que

P = xP ~X + yP ~Y +O

Um vetor ~v dado por coordenadas xv eyv tais que

~v = xv ~X + yv ~Y


Transformaes

Funo que mapeia pontos de um espao euclidiano emoutros pontos do mesmo espaoTransformao linear

Mapeia retas em retasPreserva relaes de distnciaPreserva o ponto origem

Transformao linear afimNo necessariamente preserva a origemPermite operaes de translao


Transformao de pontos em 2D

Seja P um ponto e P = T (P) o ponto transformadoSe T linear {

xP = a xP + b yPyP = c xP + d yP

Se T linear afim{xP = a xP + b yP + eyP = c xP + d yP + f


Forma matricial

Matrizes podem ser processadas mais eficientemente emcomputadores do que variveis simplesSejam

P =[xPyP

], P =

[xPyP

], A =

[a bc d

], D =

[ef

].

Ento transformaes lineares de pontos em 2D podem serexpressas por

P = AP,

e transformaes lineares afim por

P = AP +D.


Transformaes de vetores

Transformaes lineares afim e lineares puras afetam vetoresda mesma maneira

Vetores no tm ponto de aplicaoTranslao no faz sentido para vetores

Prova:

V = T (V ) = T (Q P)= (AQ +D) (AP +D)= A(Q P) + (D D)= AV .


Coordenadas homogneas

Transformao de vetores diferente da de pontosCoordenadas homogneas permitem unificar o tratamentoProblema levado para uma dimenso superior:

Coordenada extra w = 0 para vetores e = 1 para pontosTermos independentes formam uma coluna extra na matriz detransformao

P =

x PyP1

= a b ec d f0 0 1

xPyP

1

= TP

V =

x VyV0

= a b ec d f0 0 1

xVyV

0

= TV


Interpretao da matriz de transformao

As colunas da matriz de transformao podem ser vistas comoas componentes do sistema de coordenadas a b ec d f

0 0 1

= ~X~YO

Portanto, transformar um ponto ou vetor pode ser visto comouma mudana do sistema de coordenadas


Mudana de sistema de coordenadas

Se estabelecemos um outro sistema de coordenadas (ex.:Q, ~U , ~V ), como obter as coordenadas de pontos nessesistema?


Mudana de sistema de coordenadas - Problema 1

Sabe-se:Coordenadas de P no sistema de coordenadas O, ~X , ~Y :[xP , yP ]Coordenadas de O, ~X , ~Y no sistema de coordenadas Q, ~U , ~V :[uO, vO], [uX , vX ], [uY , vY ].

Deseja-se:Coordenadas de P no sistema de coordenadas Q, ~U , ~V :[uP , vP ]

Substituindo:

P = xP ~X + yP ~Y +O= xP(uX ~U + vX ~V ) + yP(uY ~U + vY ~V ) + (uO ~U + vO ~V +Q)= (xPuX + yPuY + uO)~U + (xPvX + yPvY + vO)~V +Q

Ento:

uP = xPuX + yPuY + uO e vP = xPvX + yPvY + vO


Mudana de sistema de coordenadas - Problema 2

Matricialmente o problema 1 resolvido: uPvP1

= uX uY uOvX vY vO

0 0 1

xPyP

1

Para resolver o problema inverso, basta inverter a matriz: xPyP

1

= uX uY uOvX vY vO

0 0 1

1

uPvP

1


Pontos e vetores em 3D

Pontos e vetores em 3D meramente requerem umacoordenada extra z:

P =

xPyPzP1

~V =xVyVzV0

Transformaes afim requerem uma linha e uma coluna extra:

T =

a b c ke f g lh i j m0 0 0 1


Transformaes Rgidas

No modificam a forma ou dimenses do objetoSo compostas de uma rotao e uma translao

Numa transformao rgida, a submatriz 3 3 superioresquerda tem que ser ortonormal

Vetores unitrios e ortogonais entre si


Translaes

Translao por um vetor~V = [xV , yV , zV ]T dadapela matriz homognea

T =

1 0 0 xV0 1 0 yV0 0 1 zV0 0 0 1

Observe que translaes socomutativas

P+ ~V1+ ~V2 = P+ ~V2+ ~V1


Rotao em torno do eixo z

Rz roda objetos de um ngulo em torno do eixo zEnto, R1z mapeia[1, 0, 0]T [cos , sin , 0]T[0, 1, 0]T [ sin , cos , 0]TLogo,

Rz =

cos sin 0 0sin cos 0 00 0 1 00 0 0 1


Rotao em torno dos eixos x e y

Raciocnio anlogo permite concluir que

Rx =

1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1

Ry =cos 0 sin 00 1 0 0

sin 0 cos 00 0 0 1


Rotao ao redor de um eixo arbitrrio

A rotao ao redor do vetor unitrio u = [x, y, z]T por umngulo dada pela submatriz 3 3

R = uuT + (cos )(I uuT ) + (sin )S

Onde I a matriz identidade e

S =

0 z yz 0 xy x 0


Escala

Especificada por trs fatores Sx , Sy e Sz que multiplicam oseixos x, y e z

E =

Sx 0 0 00 Sy 0 00 0 Sz 00 0 0 1

Escala no uma transformao rgida em geralEscala uniforme (Sx = Sy = Sz) uma transformaoortogonal ou homottica, isto , preserva os ngulosPara obter reflexo em torno do plano z = 0, usar fatores deescala (1, 1,1)

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