CONSTRUO DO OCTAEDRO TRUNCADO E O PREENCIMENTO DO ESPAO Enoilma Simes P. C. Silva

Resumo: A oficina consiste na construo de octaedros regulares a partir da sua planificao, ou seja, atravs de um truncamento desse poliedro regular obter o poliedro semi-regular tetradecaedro. Com a finalidade de verificar a eficincia dos poliedros no preenchimento do espao, deseja-se construir um nmero considervel de slidos para analisar e tirar concluses. O desenvolvimento dessa atividade possibilita a explorao dos conceitos de polgonos regulares e revestimento de piso, reconhecimento de poliedros e prismas, poliedros regulares, polgonos semi-regulares e economia no preenchimento de espao, alm de favorecer o estudo da nomenclatura dos slidos, estabelecendo relaes entre os nomes dos poliedros e o nmero de seus lados. Palavras-chave: Octaedro truncado; Origami; Poliedros; Gestar.

INTRODUO

Durante algum tempo o ensino da matemtica teve como preocupao principal a transmisso do conhecimento formal, pronto e acabado. Porm diante das mudanas sociais e tecnolgicas essa concepo teve de ser reformulada, pois funo da escola oferecer um ensino de qualidade e contribuir para a formao do cidado (ASSIS, 2009). Ainda assim, muitos estudantes tm resistncia em aprender matemtica julgando a disciplina muito difcil, o que tem gerado certo desinteresse, baixo rendimento e algumas vezes at evaso escolar. Na Bahia, a Secretaria de educao tem colocado em prtica inmeros projetos com a proposta de reverter esse quadro, entre eles destaco o Programa de Gesto da Aprendizagem Escolar (Gestar). A principal finalidade do Gestar a formao continuada dos profissionais em educao municipal/estadual, objetivando a melhoria do processo de ensino-aprendizagem. Esse programa atende aos pblicos da educao infantil (Gestar I) e do ensino fundamental (Gestar II), com enfoque nas disciplinas Lngua Portuguesa e Matemtica, fundamentado pelos Parmetros Curriculares Nacionais. De acordo com Costa (2009), o Gestar tem buscado elevar as principais competncias dos professores e alunos, visando o

aprimoramento das capacidades de compreenso e interveno sobre a realidade sociocultural. Na modalidade semipresencial, o Gestar fornece mdulos de atividades tericas e prticas (TPs) e oferece encontros quinzenais com oficinas coletivas, nas quais o professor tem a oportunidade de realizar algumas atividades das TPs e discutir a sua prtica pedaggica em grupo, trocar experincias com outros colegas, compartilhar reflexes e estratgias, esclarecer dvidas e questionamentos, elaborar outras situaes didticas para sala de aula e realizar uma anlise crtica antes e depois de aplicadas com alunos. Para a realizao dessas atividades, o Programa conta com professores formadores que realizam o trabalho de mediadores qualificados para atuarem no Gestar II. (COSTA, 2009, p. 66) Apesar do suporte pedaggico que o Gestar oferece, grande parte do curso depende da dedicao do professor em estudar as TPs, fazendo uma cuidadosa leitura e anlise de todo o seu contedo, realizando as atividades propostas e aplicando aquelas que forem possveis com seus alunos, fazendo adaptaes necessrias para que atenda a realidade do pblico com o qual trabalha. Como professora da rede estadual de ensino, participei do Gestar II em 2006 e entre vrias atividades interessantes que realizei com alunos irei descrever uma adaptao da construo de um octaedro truncado aplicando a tcnica do origami.

O QUE ORIGAMI?

Origami uma arte milenar japonesa que consiste em dobrar papel. Segundo Assis (2009), uma tcnica que utiliza a geometria das dobraduras para construo de figuras.

[...] uma palavra de origem japonesa, formada pela juno dos termos ori (dobrar) e kami (papel) e significa dobrar papel [...] Cada dobra realizada na construo de objetos por meio da tcnica de origami passa por elementos geomtricos diversos: formas poligonais, pontos, segmentos de reta, segmentos perpendiculares, segmentos paralelos, figuras semelhantes, ngulos entre outros; tambm possvel construir poliedros como, por exemplo, cubos, tetraedros, hexaedros, icosaedros, octaedros, dodecaedros e essas construes podem ser usadas para ensinar geometria. (ASSIS, 2009, p. 96)

Tendo em vista a variedade de elementos geomtricos que podem ser explorados aplicando essa tcnica, o origami pode tambm auxiliar o professor na elaborao de aulas mais atrativa, e tornar o contedo mais fcil para o estudante.

A ATIVIDADE DO OCTAEDRO TRUNCADO

A atividade da TP sugeria que construssemos com os alunos um octaedro regular, a partir da sua planificao e verificar se esse slido serve para preencher o espao. Em seguida, medir as arestas de um octaedro montado, marcar um tero dessa medida a partir dos vrtices e fazer traos horizontais ligando esses pontos, em todas as faces. Com uma tesoura, cortar em todos esses traos, retirando as pontas. Obtendo o octaedro truncado. E mais uma vez verificar se com esse novo slido possvel preencher o espao. Os conceitos abordados nessa atividade so: polgonos regulares e revestimento de piso, reconhecimento de poliedros e prismas, poliedros regulares, polgonos semi-regulares e economia no preenchimento de espao. Os objetivos dessa atividade so que ao final dessas aulas os alunos sejam capazes de: Reconhecer polgonos regulares e analisar aqueles que so adequados para recobrir superfcies, identificando suas propriedades; Caracterizar poliedro regular e semi-regular; Estabelecer relaes entre os nomes dos poliedros e o nmero de lados; Identificar poliedros regulares e semi-regulares adequados para o

preenchimento de espao. A realizao dessa atividade requer alguns conhecimentos prvios como poliedros semi-regulares e preenchimento do espao. Uma abordagem interessante dessa teoria pode ser realizada aplicando a tcnica do origami para auxiliar no desenvolvimento dos conceitos de poliedros (regulares e semi-regulares) e preenchimento do espao. Para isso so necessrios os seguintes recursos: papel lustro, papel carmem, rgua, lpis, tesoura, cola, estilete, fita adesiva e mquina fotogrfica digital. Podemos distribuir essa atividade em 04 momentos, sendo utilizadas 08 horas/aulas. Inicialmente realiza-se uma abordagem terica sobre poliedros, onde precisamos de 02 horas/aulas. Depois realizamos a construo de octaedros regulares aplicando a tcnica do origami, utilizando mais 02 horas/aulas. Em seguida, construmos as planificaes do octaedro e montamos

algumas peas em 02 horas/aulas. E finalmente, com mais 02 horas/aulas, truncamos os octaedros transformando-os em tetradecaedros para explorar a sua eficincia no preenchimento do espao.

TETRADECAEDRO, POLIEDROS E PREENCHIMENTO DO ESPAO

A construo do octaedro truncado explora muitos conceitos de formas geomtricas, por isso sugiro que se inicie realizando uma abordagem das formas presentes no cotidiano, e sobre o conceito de poliedros, explicando aos alunos como reconhecemos um poliedro e um prisma, mostrando para eles a diferena entre poliedros cncavos e convexos, comparando prismas retos e oblquos, e aborde o conceito de polgonos e poliedros regulares, no revestimento de pisos e no preenchimento de espaos, respectivamente. O que pode ser facilitado com auxlio de peas feitas de origami (figura 1).

Figura 1 Poliedros feitos de Origami

Alm de explorar os poliedros regulares os cinco poliedros de Plato: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro (figura 2) , possvel ampliar a discusso sobre poliedros para conhecer alguns poliedros regulares cncavos, corpos curvos regulares, alm dos poliedros semi-regulares.

Tetraedro

Cubo

Icosaedro Octaedro Dodecaedro

Figura 2 Slidos de Plato

Para compreender a importncia sobre o preenchimento do espao com poliedros, podemos utilizar alguns modelos de poliedros regulares (tetraedro e cubo) que tambm podem ser construdos de origami, para verificar qual deles economiza mais em rea

externa. Facilmente pode-se constatar que, de fato, apenas o cubo atende a esses critrios, pois ao tentar juntar os tetraedros, ficam muitos buracos. O cubo o nico poliedro regular que serve para preencher o espao, mas existem alguns poliedros semi-regulares que tambm servem para preencher o espao.

Figura 3 Poliedros Semi-regulares. Fonte: ALSINA, 2000.

Os poliedros semi-regulares (figura 3) so chamados tambm de arquimedianos, por terem sido explorados primeiramente por Arquimedes. Alguns desses slidos tambm so bastante eficientes no preenchimento do espao com economia, por essa razo proponho o desafio de construir o octaedro truncado, para verificarmos a sua eficcia nessa tarefa de preencher o espao. A seguir apresento poliedro que ser obtido no truncamento do octaedro. O seu verdadeiro nome Tetradecaedro (figura 4):

Figura 4 Octaedro truncado (Tetradecaedro) e sua planificao. Fonte: Wikipdia, a enciclopdia livre.

CONSTRUO DO OCTAEDRO DE ORIGAMI

Nessa etapa da atividade, as dobraduras so fundamentais, no s para explorar a teoria sobre os poliedros, como tambm essencial para o desenvolvimento da habilidade

de planificao do octaedro. Pois, para fazer o octaedro de origami utilizamos uma planificao que ajuda os alunos na produo de modelos de octaedro, com papel carmem e material de desenho, para a construo do tetradecaedro. Alm disso, podemos aproveitar o trabalho com o origami para explorar outros conceitos importantes de geometria que podem auxili-los na compreenso da atividade. O octaedro composto por oito faces triangulares eqilteras, assim construmos primeiramente as faces do octaedro. Para obter um tringulo de origami usamos uma folha de papel quadrada, geralmente utilizamos folha de papel lustre dividida em quadrados com medidas entre 15 e 20 cm de lado, como sugere Assis (2009) e seguimos um roteiro sugerido por Imenes (1996), que nos permite explorar vrias outras formas geomtricas, como segue:1.D C

2.DP

3.C D E C

4.D E M

A

B

A

B

A

B

A

N

B

Dobre e desdobre, a folha quadrada, dividindo-a em dois retngulos congruentes, marcando o vinco.

A 2 etapa consiste em dividir o ngulo B em trs partes iguais, para isso devemos dobrar a folha de modo que o ponto A encontre o ponto P e depois desdobre.

Agora dobre de modo que o lado BC caia sobre o segmento BE. Usando um transferidor, voc verifica que o ngulo B foi dividido em trs ngulos congruentes.

Note que formamos um trapzio retngulo. A interseco entre os segmentos MN e BE, determinaram o ponto M. Ento agora dobre de modo que o ponto E sobreponha o ponto M.

5.F

6.A B

7.B I G H GA

8.

vire

A

N

BFormamos ento, um trapzio issceles. Dobre a pequena sobra de papel prxima do ponto G. E depois dobre de modo que o ponto A encontre o ponto G. Observe que obtemos agora um paralelogramo. Dobre colocando o vrtice B dentro da bolsa formada pelo tringulo GHI, encontrando o ponto H. Assim formamos um tringulo eqiltero, que ser a pea utilizada na construo do octaedro. Note que o tringulo final obtido tem um bolso em cada dos trs lados. Neles encaixamos as peas de conexo. Que funcionaram como se fossem as arestas do poliedro.

Obtemos um tringulo eqiltero ABF. Dobre de modo que o ponto mdio N do segmento AB sobreponha o ponto F.

De acordo com Imenes (1996), para que essas peas sejam encaixadas umas nas outras, precisaremos de uma pea de conexo, que podem ser obtidas por meio dos seguintes passos:1. 2.

Para as peas de conexo usaremos da folha de papel quadrada utilizada na construo das faces triangulares, assim divida a folha em quatro quadrados de mesmo tamanho e separe-os.

Agora seguindo as instrues a seguir e observando a ilustrao rapidamente as peas de conexo ficaro prontas. 1. 2. 3. Dobre a folha ao meio formando dois retngulos. Dobre novamente, formando linhas perpendiculares. Determinando um ponto central. Dobre de modo que os vrtices se encontrem no ponto central.

Atravs da observao de um modelo pronto de octaedro (figura 5), pode-se verificar a quantidade de tringulos e de peas de conexo que so necessrias para confeccionar o octaedro regular, 8 faces e 12 arestas, no desenvolvimento da teoria podemos abordar a etnologia da palavra octaedro, octa oito e edro faces.

Figura 5 Planificao do Octaedro e o poliedro montado.

CONSTRUO

DO

OCTAEDRO

TRUNCADO

(TETRADECAEDRO)

E

PREENCHIMENTO DO ESPAO

Nessa etapa, os alunos devem desenhar a planificao do octaedro em folhas de papel Carmen, a partir de um modelo pronto (figura 7), corta e montar vrios octaedros para realizar o truncamento e obter o tetradecaedro.

Figura 7 Planificao e montagem do octaedro

Concluda a confeco dos octaedros, com auxlio da rgua e do lpis deve-se dividir as arestas em trs partes e seccion-las para a obteno do octaedro truncado e preenchimento do espao (figura 8).

Figuras 8 Octaedros truncados construdos pelos estudantes

Em seguida abrimos espao para discusso em grupos sobre a eficincia do tetradecaedro no preenchimento do espao. Comparando com a eficincia de outros slidos como o cubo e o tretraedro.

CONSIDERAES FINAIS

Essa atividade bastante produtiva, pois a manipulao de materiais didticos proporciona ao aluno a produo de conceitos a partir das prprias concluses. Atravs da dobradura possvel sistematizar melhor os conceitos de geometria plana e espacial presentes nessa atividade dando um significado mais apropriado aos conceitos produzidos pelos alunos. Em experincias realizadas em sala de aula com alunos do 9 ano, no final da atividade solicitei um relatrio da atividade, descrevendo o trabalho desenvolvido e relatando um pouco sobre o que eles aprenderam com essa atividade e maioria dos estudantes relatou que gostaram de fazer a atividade, pois prenderam um pouco mais sobre geometria de forma divertida e prazerosa. Contudo, para algum desses estudantes, essa

atividade configurou mais do que uma forma hlare de aprender, serviu tambm como uma prova de que possvel vencer as dificuldades e abarcar conjecturas antes para eles insociveis, compreendendo a beleza da matemtica e algumas das suas funes em tarefas simples do cotidiano.

REFERNCIAS ALSINA, C. Poliedros semi-regulares. Disponvel em: . Acesso em: 09 nov.2007. ASSIS, J. S; SILVA, E. S. P. C; LESSA, L. F. C. F. Geometria das Dobraduras: uma oficina para professores de matemtica em formao inicial e continuada. IN: DINIZ, L. N; BORBA, M. C. Grupo EMFoco: Diferentes olhares, mltiplos focos e autoformao continuada de educadores matemticos. Natal: Flecha do tempo; So Paulo: Livraria da Fsica, 2009. p. 93-110. COSTA, S. C. S. GESTAR II: formao continuada de professores de matemtica em servio. IN: DINIZ, L. N; BORBA, M. C. Grupo EMFoco: Diferentes olhares, mltiplos focos e autoformao continuada de educadores matemticos. Natal: Flecha do tempo; So Paulo: Livraria da Fsica, 2009. p. 63-78. IMENES, L. M. Geometra das dobraduras. So Paulo: Scipione, 1996. (Coleo Vivendo a Matemtica.