fuvest2004-2ªfase-matematica

7/24/2019 Fuvest2004-2fase-matematica

1/12

trabalho pioneiro.Prestao de servios com tradio de confiabilidade.Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras emsua tarefa de no cometer injustias.Didtico, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no

processo de aprendizagem, graas a seu formato: reproduo decada questo, seguida da resoluo elaborada pelos professoresdo Anglo.No final, um comentrio sobre as disciplinas.

A 2

fase da Fuvest consegue, de forma prtica, propor para cadacarreira um conjunto distinto de provas. Assim, por exemplo, ocandidato a Engenharia da Escola Politcnica faz, na 2 fase,provas de Lngua Portuguesa (40 pontos), Matemtica (40 pontos),Fsica (40 pontos) e Qumica (40 pontos). J aquele que pretendeingressar na Faculdade de Direito faz somente trs provas: LnguaPortuguesa (80 pontos), Histria (40 pontos) e Geografia (40 pon-tos). Por sua vez, o candidato a Medicina tem provas de LnguaPortuguesa (40 pontos), Biologia (40 pontos), Fsica (40 pontos) eQumica (40 pontos).Para efeito de classificao final, somam-se os pontos obtidos pelocandidato na 1 e na 2 fase.Vale lembrar que a prova de Lngua Portuguesa obrigatria paratodas as carreiras.

oanglo

resolve

a provada 2 faseda FUVEST

A cobertura dos vestibulares de 2004 est sendo feita pelo Anglo emparceria com a Folha Online.

Cdigo: 83581054


2/12

FUVEST TABELA DE CARREIRAS E PROVAS

REA DE HUMANAS

PROVAS DA 2 FAS

CARREIRAS/CDIGO VAGAS RESPECTIVOS NM

DE PONTOS

Artes Cnicas (Bach.) / 208 15 LP(40), HE(120)

Artes Cnicas (Lic.) / 220 10 LP(40), H(40), HE(

Artes Plsticas 30 LP(40), H(40), HE(

Msica So Paulo e Rib. Preto LP(40), HE(120)

Curso Superior de Audiovisual / 234 35 LP(40), H(40), HE(

Editorao / 244 15 LP(40), H(40)

Jornalismo / 254 60 LP(40), H(40), G(4

Publicidade e Propaganda / 280 50 LP(40), H(40)

Relaes Pblicas / 284 50 LP(40), H(40)

Biblioteconomia / 224 35 LP(40), H(40)

Turismo / 286 30 LP(40, H(40), G(4

Arquitetura So Paulo / 204 150 LP(40, F(20), H(20), H

Arquitetura So Carlos / 206 30 LP(80), H(40), HE(

Administrao So Paulo / 202 210 LP(40), M(40), H(40),

Administrao Ribeiro Preto / 200 45 LP(40, M(40), H(40),

Cincias Contbeis So Paulo / 228 150 LP(40), M(40), H(40),

Ciencias Contbeis Ribeiro Preto / 226 45 LP(40), M(40), H(40),

Economia So Paulo / 242 180 LP(40), M(40), H(40),

Economia Ribeiro Preto / 240 45 LP(40), M(40), H(40),

Economia Agroindustrial Piracicaba / 238 30 LP(40), M(40), H(40),

Gesto Ambiental Piracicaba / 250 40 LP(40), B(40, H(4

Direito / 236 460 LP(80), H(40), G(4

Relaes Internacionais Bacharelado / 282 60 LP(80), H(40), G(4

Cincias da Informao e da Documentao

(Bacharelado) Ribeiro Preto / 23040 LP(80), H(40), G(4

Cincias Sociais / 232 210 LP(40), H(40), G(4

Filosofia / 246 170 LP(80), H(40), G(4

Geografia / 248 170 LP(40), H(40), G(4

Histria / 252 270 LP(40), H(40), G(4

Letras Bsico / 256 849 LP(80), H(40), G(4

Pedagogia So Paulo / 268 180 LP(80), H(40)

Pedagogia Ribeiro Preto / 266 50 LP(80), H(40), G(4

Oficial da PM de So Paulo Fem. / 262 15 LP(40)

Oficial da PM de So Paulo Masc. / 264 135 LP(40)

REA DE BIOLGICAS

PROVAS DA 2 FASE E

CARREIRAS/CDIGO VAGAS RESPECTIVOS NMEROS

DE PONTOS

Cincias Biolgicas So Paulo / 404 120 LP(40), Q(40), B(40)Cincias Biolgicas Ribeiro Preto / 402 40 LP(40), Q(40), B(40)

Cincias Biolgicas Piracicaba / 400 30 LP(40), Q(40), B(40)

Medicina (So Paulo) e Cincias Mdicas

Ribeiro Preto) / 442375 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

ducao Fsica Bacharelado / 408 50 LP(40), F(40), B(40), H(40), A

sporte Bacharelado / 428 50 LP(40), A, HE(40), B(40), Q(40)

nfermagem So Paulo / 422 160 LP(40), B(40), Q(40)

nfermagem Ribeiro Preto / 420 80 LP(40), Q(40), B(40)

ngenharia Agronmica Piracicaba / 424 200 LP(40), M(40), Q(40), B(40)

ngenharia Florestal / 426 40 LP(40), M(40), Q(40), B(40)

Cncias dos Alimentos Piracicaba / 406 40 LP(40), B(40), Q(40)

armcia Bioqumica So Paulo / 432 150 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

armcia Bioqumica Ribeiro Preto / 430 80 LP(40), Q(40), B(40)

is ioterapia So Paulo e Ribeiro Preto / 434 65 LP(40), F(40) , Q(40), B(40)

onoaudiologia So Paulo / 440 75 LP(80), F(40), B(40)

onoaudiologia Bauru / 436 25 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

onoaudiologia Ribeiro Preto / 438 30 LP(80), F(40), B(40)

Medicina Veterinria / 444 80 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Nutrio / 448 80 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Nutrio e Metabolismo Ribeiro Preto / 446 30 LP(40), F(40) , B(40), Q(40)

Odontologia So Paulo / 454 133 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Odontologia Ribeiro Preto / 452 80 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Odontologia Bauru / 450 50 LP(40), F(40), Q(40), B(40)

sicologia So Paulo / 458 70 LP(40), M(40), B(40), H(40)

sicologia Ribeiro Preto / 456 40 LP(80), B(40), H(40)

erapia Ocupacional S. Paulo e Rib. Preto / 460 45 LP(40), B(40), H(40)

ootecnia Pirassununga 462 40 LP(40), M(40), B(40), Q(40)

REA DE EXATAS

PROVAS DA 2 FASE ECARREIRAS/CDIGO VAGAS

RESPECTIVOS NMEROS DE PONTO

ngenharia, Computao e Matemtica Computao So Paulo; Engenharia So Paulo;

Matemtica (Bacharelado) Matemtica Aplicada e Computacional So Paulo / 608870 LP(40), M(40), F(40), Q(40)

Metemtica e Fsica So Paulo (Licenciatura) / 638 260 LP(40), M(40), F(40)

Matemtica (Bacharelado e Licenciatura), Matemtica Aplicada e Computao Cientfica So Carlos / 642 55 LP(40), M(40), F(40)

ncias Exatas So Carlos (Licenciatura) / 634 50 LP(40), M(40)

omputao So Carlos /602 100 LP(40), M(40), F(40)

formtica So Carlos /632 40 LP(40), M(40), F(40)

formtica Biomdica Ribero Preto / 630 40 LP(40), M(40), F(40), B(40)

ngenharia Civil So Carlos / 620 60 LP(40), M(40), F(40)

ngenharias So Carlos (Eltrica com enfase em Eletrnica, Eltrica com enfase em Sistemas de Energia

Automao, Mecnica, Produo Mecnica, Mecatrnica, Computao) / 624280 LP(40), M(40), F(40)

ngenharia Ambiental So Carlos / 606 40 LP(40), M(40), F(40), Q(40)

ngenharia Aeronutica So Carlos / 604 40 LP(40), M(40), F(40)

si ca So Paulo e So Carlos (Bacharelado), Meteorologi a e Geofsica, Matemtica (Bacharelado ), Estatstica e Matemti ca So Pau lo / 628 330 LP(40), M(40), F(40)

sica Mdica Ribero / 626 40 LP(40), M(40), F(40)

ncas Geolgicas e Ambientais / 600 50 LP(40), M(40), F(40), Q(40)

umica (Bacharelado e Licenciatura) So Paulo / 646 60 LP(40), M(40), F(40), Q(40)

cenciatura em Qumica So Paulo / 648 30 LP(40), M(40), F(40), Q(40)

acharelado em Qumica Ambiental So Paulo / 650 30 LP(40), M(40), F(40), Q(40)

acharelado em Qumica So Carlos / 656 60 LP(40), Q(40)

umica (Licenciatura) Ribero Preto / 654 40 LP(80), Q(40)

ngenharia de Alimentos Pirassununga / 622 100 LP(40), M(40), F(40), Q(40)

ceanografia So Paulo / 644 40 LP(40), M(40), B(40), Q(40)cenciatura em Geocincias e Educao Ambiental / 636 40 LP(40), B(40)

Matemtica Aplicada Ribero Preto / 640 45 LP(40), M(80), G(40)

i (B h l d B h l d At ib i T l i ) Rib P t / 652 40 LP(80) Q(40)

LEGENDA

LP Lngua Portuguesa H Histria

M Matemtica G Geografia

F Fsica A Aptido

Q Qumica HE Habilidade Especfica

B Biologia

SP 35R. Preto 30


3/12

5FUVEST/2004 ANGLO VESTIBULARES

M ACIEAMTT TT

O nmero de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2.

Na segunda rodada, sero realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o nmero total de gols marcados nessa rodada para que amdia de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior mdia obtida na primeira rodada?

Resoluo:

Na primeira rodada, foram marcados 15 gols em 6 jogos.A mdia, portanto, foi:

Seja n o nmero de gols marcados na segunda rodada. Do enunciado:

Resposta: Na segunda rodada devero ser marcados 18 gols.

Trs cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distncia de B a C igual a doisteros da distncia de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada,localizado entre as cidades B e C e distncia de 210km de A. Sabendo-se que P est 20km mais prximo de C do que de B,determinar a distncia que o morador de B dever percorrer at o ponto de encontro.

Resoluo:

Temos:

Substituindo:5(y 10) = 190 + y 4y = 240 y = 60

Resposta: B dever percorrer 60km.

Um tringulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB

tais que CM

a bis-

setriz relativa ao ngulo ACB e CN

a altura relativa ao lado AB

.

Determinar o comprimento de MN

.

Questo 3

53

210 20

23

2 203

10

xy

xy

xy

= +

= =

14243

A B P C

x 2x

3

210

y y 20

Questo 2

1511

2 5 1 2 15 33 18+

= + = = n n n( , ) ( , )

156

2 5= , .

Questo 1


4/12

Resoluo:

Do enunciado, temos a figura:

Aplicando o teorema da bissetriz interna no tringulo ABC, temos:

Ainda no tringulo ABC, aplicando o teorema dos co-senos, temos:

(BC)2 = (AC)2 + (AB)2 2 AC AB cos

42 = 22 + 52 2 2 5 cos cos =

No tringulo retngulo ANC, devemos ter:

cos =

De (2) e (3), resulta

Da figura, MN = AM AN (5).

De (1), (4) e (5), temos:

Resposta:

Considere a equao z2 = z + ( 1)z, onde um nmero real e z indica o conjugado do nmero complexo z.

a) Determinar os valores de para os quais a equao tem quatro razes distintas.

b) Representar, no plano complexo, as razes dessa equao quando = 0.

Resoluo:

a) Sendo z = x + yi, com x e y reais, temos:

(x + yi)2 = (x + yi) + ( 1)(x yi)

x2 y2 + 2xyi = (2 1)x + yi

x2 y2 = (2 1)x2xy = y

De 2xy = y, temos: y = 0 ou x = .

1 caso: De y = 0 e x2 y2 = (2 1)x, temos:

x2 = (2 1)x

x = 0 ou x = 2 1

Nesse caso, z = 0 ou z = 2 1.

12

Questo 4

1130

MN MN= =5

31310

1130

1320 2

1310

4= =AN

Logo AN. , ( )

AN

23( )

1320

2( )

ACAM

BCBM AM AM

AM= = = 2 45

53

1

( )

A

C

N M B

42

5


123


5/12


6/12

b) Resolvendo o sistema ,

obtemos ou

Portanto as razes de p so os nmeros .

Resposta: .

A figura abaixo representa duas polias circulares C1e C2 de raios R1 = 4cm e R2 = 1cm, apoiadas em uma superfcie plana

em P1e P2, respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distncia entre os pontos P1e P2

33cm, determinar o comprimento da correia.

Resoluo:


Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo retngulo ADB, temos:

(AB)2 = (AD)2 + (DB)2

Ainda nesse tringulo, temos:

Assim, os arcos P1FT1 e P2GT2 medem, respectivamente, 240 e 120.

Portanto o comprimento L da correia :

Resposta: 6 3( )+ cm

= +L cm6 3( ) .

L= + + 2 3 3 240360

2 4120360

2 1

tgDB

AD

tg tg e = = = = = 3 3

3

3 60 30

( ) ( ) .AB AB cm2 2 23 3 3 6= + =

T1

P1

G

T2

P233

FE1

3A

3D1

B1

1

Medidas em cm;A e B centros;T1e T2 pontos de tangncia.

P1P2= T1T2

R1

C1

P1

C2

R2

P2

33 cm

Questo 6

1 2 1 232

, + e

1 2 1 2

32

, + e

( )x e x1 21 2 1 2= = +

x e x1 21 2 1 2= + =( )

x x

x x1 2

1 2

1

2

= + =


) )


7/12

Na figura abaixo, os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo retngulo, sendo B o ngulo reto.

Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence reta x 2y = 0 e P = (3, 4) o centro da circunferncia inscrita no tringulo ABC,determinar as coordenadas

a) do vrtice B.

b) do vrtice C.

Resoluo:

A medida r do raio da circunferncia igual distncia de P reta AB

. Logo:

O coeficiente angular da reta AB

. Logo, o coeficiente angular da reta BC

2, e uma equao de BC

y = 2x + q.

Sendo m o coeficiente angular da reta AC

, uma equao de AC

y = m x.Como o ponto P dista r das retas BC

e AC

, temos:

Do enunciado, podemos concluir que q = 15. Logo, uma equao da reta BC

y = 2x + 15.Devemos ter:

Do enunciado, podemos concluir que . Logo, uma equao da reta AC

.

Assim,

B = (6, 3)Resposta: B = (6, 3)

C = (2, 11)Resposta: C = (2, 11)

y = 2x + 15

y = 11 x2

14243

b) {C} = BC

AC

x 2y = 0y = 2x + 15

123a) {B} = AB

BC

y x=

112

m=112

= =m ou m12

112

53 1 4

14 24 11 0

2 2

2=+

+ =

m

mm m

( )

52 3 1 4

2 1

5 15

2 2

= +

+

= = | |q q ou q

12

r r=+

= | |

( )

1 3 2 4

1 25

2 2

4 P

B

3A

C

Questo 7



8/12

Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferncias externas tem mesmo raio r e cada uma delas tangente a outras duase circunferncia interna C.

Se o raio de C igual a 2, determinar

a) o valor de r.

b) a rea da regio hachurada.

Resoluo:

a) Do enunciado, temos a figura:

O1, O2, O3, O4 . . . . . centros das circunferncias externas;P . . . . . . . . . . . . . . . centro da circunferncia C.

Como O2

O4

diagonal do quadrado O1O2O3O4, temos:

Resposta:

b) Sendo S1: rea do quadrado O1O2O3O4;

S2: rea de cada um dos 4 setores circulares de ngulo central 90, contidos nos crculos externos;

S3: rea do crculo limitado pela circunferncia C,

temos que a rea S da regio hachurada :

S = S1 4 S2 S3

Como , ento .

Resposta: 8 6 4 2 2 2( )+

S= +8 6 4 2 2 2( ) r= +2 2 1( )

S rr

= ( ) 2 44

222

2

2 2 1( )+

2 2 2 4 2 2 1r r r = + = +( )

O O O O1 2 2 42 =

2P

r r

r

r

rr

r

r

r r

O1

O4O2

O3

2

r

2C

Questo 8



9/12

Seja m 0 um nmero real e sejam f e g funes reais definidas por f(x) = x2 2|x| + 1 e g (x) = mx + 2m.

a) Esboar, no plano cartesiano representado abaixo, os grficos de f e de g quando m = e m = 1.

b) Determinar as razes de f(x) = g(x) quando m = .

c) Determinar, em funo de m, o nmero de razes da equao f(x) = g(x).

Resoluo:

a) x 0 f(x) = x2 2x + 1 f(x) = (x 1)2

x 0 f(x) = x2 2(x) + 1 f(x) = (x + 1)2

Com

Com m = 1, temos: g(x) = x + 2 (= y2).Resposta:

b) Com f(x) = g(x) e , temos:

Resposta:

c) Note-se que, para todo m, g(2) = 0. Portanto os grficos de g(x) = mx + 2m determinam um conjunto de retas concor-rentes no ponto (2, 0).

Considerando-se a equao f(x) = g(x), com m 0, conforme o enunciado, temos:

x

y

2 1 0 1

1

g(x) = 0x + 2 0

g(x) = mx + 2m,

g(x) = mx + 2m,

0m1

2

g(x) = x + 2 12

12

m1

2

,32

052

e

x2 2(x) + 1 = + 1

0

x2

x

x2= x32

x = 0 ou x = 32

x2= x52

x = 0 ou x = 52

x2 2x + 1 = + 1x2

x xx2 2 12

1 | |+ = +

m=12

m temos g xx

y= = + =14 4

12 1

, : ( ) ( ).

12

14

Questo 9


x

y

2 1 0 1 2

2

1

y2= x + 2

y = f(x)

y1= +x

4

1

2


10/12

Resposta:

Para m = 0, h 2 razes distintas.

Para 0 m , h 4 razes distintas.

Para m = , h 3 razes distintas.

Para m , h 4 razes distintas.

No slido S representado na figura ao lado, a

base ABCD um retngulo de lados AB = 2le

AD = l; as faces ABEF e DCEF so trapzios; asfaces ADF e BCE so tringulos equilteros e o

segmento EF

tem comprimento l.

Determinar, em funo de l, o volume de S.

Resoluo:


E

FC

B

A

D

L

K

HI

G

J

l

l

l

l

2

l

2

Questo 10

12

12

12


E

F

C

B

A

D


11/12

Sendo FI a altura do tringulo equiltero ADF, temos:

Do tringulo retngulo FIJ, temos:

(FI)2 = (IJ)2 + (FJ)2

Logo, o volume V de S pode ser determinado como sendo a soma do volume do prisma FGHELK com o dobro do volume dapirmide AHGDF. Portanto:

Resposta: V= 5 2

12

3l

V= 5 2

12

3l

V= + l l3 324

26

V= +

l

l

l l ll

22

22

13 2

22

VGH FJ

EF AH AD FJ=

+ 2

213

l l l32 2

22

2 22

=

+( ) =FJ FJ

FI= l 3

2



12/12

fuvest2004-2ªfase-matematica

Documents