fundamentos de matemática · se a, então b: notações notação exemplo se a, ... b. 0
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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 2
8 de janeiro de 2014
Aula 2 Fundamentos de Matemática 1
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 3
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 4
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
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Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
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Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
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Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 8
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 9
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
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Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 11
Demonstração direta
Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A tambémsatisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença “se A, então B” éverdadeira, pois ela não possui contraexemplos.
Demonstração direta
Aula 2 Fundamentos de Matemática 13
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 14
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 15
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 16
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
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Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 18
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 19
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
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Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 21
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 22
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 23
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 24
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
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Demonstração por absurdo
Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (porexemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou queuma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, comoem uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos quenosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.
Demonstração por absurdo
Aula 2 Fundamentos de Matemática 26
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 27
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 38
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 40
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 41
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 42
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 43
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 44
A se, e somente se, B
Dizemos que uma sentença
A se, e somente se, B
é verdadeira quando as sentenças
“se A, então B” e “se B, então A”
são simultaneamente verdadeiras.
Regras do Jogo
Aula 2 Fundamentos de Matemática 46
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 47
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 48
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 49
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 50
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 51
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 52
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 53
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 54
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 55
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 56
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 57
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 58
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 59
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 60
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 61
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 62
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 63
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 64
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 65
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 66
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 67
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 69
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 70
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 71
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 72
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 73
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 74
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 75
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 76
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 77
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 78
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 79
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 80
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 81
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 82
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 83
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 84
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 85
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importânciacentral no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de umaoutra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-tra proposição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 86
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importânciacentral no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de umaoutra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-tra proposição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 87
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importânciacentral no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de umaoutra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-tra proposição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 88
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importânciacentral no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de umaoutra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-tra proposição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 89
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 91
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 92
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 93
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 94
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 95
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 96
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 97
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 98
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 99
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 100
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 101
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 102
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 103
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 104
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 105
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 106
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 107
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 108
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 111
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 112
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 113
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 114
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 115
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 116
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 117
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 118
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 119
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 120
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 121
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 122
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 123
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 124
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 125
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 126
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 127
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 128
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 129
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 130
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 131
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 132
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 133
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 134
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 135
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 136
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 137
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 138
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 139
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 140
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 141
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 142
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 143
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 144
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 145
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 146
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 147
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 148
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 149
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 150
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 151
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 152
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 153
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}
T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 154
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 155
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 156
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 157
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 158
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 159
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 160
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 161
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 162
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 163
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 164
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H 6⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 165
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 166
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 167
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 168
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 169
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 170
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 171
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 172
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 173
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 174
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 175
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}
T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}
Note que H ⊂ T !
Aula 2 Fundamentos de Matemática 176
Moral
Verdadeira ou falsa?
Se A, então B.
Sejam:
H = {x | x satisfaz a hipótese A},
T = {x | x satisfaz a tese B}.
Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .
Aula 2 Fundamentos de Matemática 177
Moral
Verdadeira ou falsa?
Se A, então B.
Sejam:
H = {x | x satisfaz a hipótese A},
T = {x | x satisfaz a tese B}.
Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .
Aula 2 Fundamentos de Matemática 178
Moral
Verdadeira ou falsa?
Se A, então B.
Sejam:
H = {x | x satisfaz a hipótese A},
T = {x | x satisfaz a tese B}.
Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .
Aula 2 Fundamentos de Matemática 179
Moral
Verdadeira ou falsa?
Se A, então B.
Sejam:
H = {x | x satisfaz a hipótese A},
T = {x | x satisfaz a tese B}.
Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .
Aula 2 Fundamentos de Matemática 180
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Aula 2 Fundamentos de Matemática 181
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Aula 2 Fundamentos de Matemática 182
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Aula 2 Fundamentos de Matemática 183
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Aula 2 Fundamentos de Matemática 184
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Aula 2 Fundamentos de Matemática 185
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Aula 2 Fundamentos de Matemática 186
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Aula 2 Fundamentos de Matemática 187
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 189
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 190
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2 ou x2 = 4 .
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 191
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2︸ ︷︷ ︸p
ou x2 = 4︸ ︷︷ ︸q
.
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 2 Fundamentos de Matemática 192
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 193
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 194
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 195
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 196
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 197
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 198
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2 e x2 = 1 .
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 199
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2︸ ︷︷ ︸p
e x2 = 1︸ ︷︷ ︸q
.
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 200
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2︸ ︷︷ ︸p
e x2 = 1︸ ︷︷ ︸q
.
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 201
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 202
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 203
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 204
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 2 Fundamentos de Matemática 205
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0 ou x < 2) e x > 1 .
Resposta: x > 1.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x < 2︸ ︷︷ ︸q
e x > 1︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x > 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 206
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou x < 2︸ ︷︷ ︸q
) e x > 1︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: x > 1.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x < 2︸ ︷︷ ︸q
e x > 1︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x > 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 207
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou x < 2︸ ︷︷ ︸q
) e x > 1︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: x > 1.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x < 2︸ ︷︷ ︸q
e x > 1︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x > 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 208
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou x < 2︸ ︷︷ ︸q
) e x > 1︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: x > 1.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x < 2︸ ︷︷ ︸q
e x > 1︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x > 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 209
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou x < 2︸ ︷︷ ︸q
) e x > 1︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: x > 1.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x < 2︸ ︷︷ ︸q
e x > 1︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x > 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 210
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou x < 2︸ ︷︷ ︸q
) e x > 1︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: x > 1.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x > 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x < 2︸ ︷︷ ︸q
e x > 1︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x > 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 211
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou x = 1︸ ︷︷ ︸q
) e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x = 1︸ ︷︷ ︸q
e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x = 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 212
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou x = 1︸ ︷︷ ︸q
) e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x = 1︸ ︷︷ ︸q
e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x = 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 213
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou x = 1︸ ︷︷ ︸q
) e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x = 1︸ ︷︷ ︸q
e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x = 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 214
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou x = 1︸ ︷︷ ︸q
) e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
.
Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x = 0︸ ︷︷ ︸p
ou (x = 1︸ ︷︷ ︸q
e 2 = 3︸ ︷︷ ︸r
).
Resposta: x = 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Aula 2 Fundamentos de Matemática 215