fundamentos de anÁlise i aula 9: cortes e intervalos prof. mário alves
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
Aula 9: Cortes e IntervalosAula 9: Cortes e Intervalos
Prof. Mário AlvesProf. Mário Alves
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
Conteúdo Programático desta aula
Cortes e propriedade do corte; Celas; e Intervalos.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
CORTES- Dizemos que um par ordenado (A,B) de subconjuntos
não-vazios de R é um corte se:
Exemplo:- Considere um elemento fixo . Vamos definir dois
conjuntos:
.
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CORTES- De fato, par ordenado (A,B) de subconjuntos não-
vazios de R é um corte, pois:
- Todo corte em R é determinado por um número real. Trata-se da propriedade do corte.
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PROPRIEDADE DO CORTEPropriedade do Corte:
- Se (A,B) é um corte em R, então existe só um número , tal que , e , .
- A demonstração é simples e está exposta no conteúdo online da disciplina. Não há grandes dificuldades.
- Trata-se uma propriedade de extrema valia para uso em estudos de Análise.
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CELAS- Se , dizemos que os conjuntos ,são raios abertos, definidos por a.
- Se , dizemos que os conjuntos ,
são ditos raios fechados, definidos por a.
- Diz-se que o ponto a é a extremidade do raio.
- Se , dizemos que o conjunto é uma cela aberta definida por a e b e é denotada por (a,b).
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CELAS- Se dizemos que o conjunto é uma
cela fechada definida por a e b e denotada por [a,b].
- Se , dizemos que os conjuntos e são chamados de celas semiabertas ou
semifechadas definidas por a e b e denotadas por [a,b) e (a,b].
- Dizemos que os pontos a e b são pontos extremos das celas.
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INTERVALOS- A partir das definições de raios e celas, podemos definir
os intervalos, importantes subconjuntos dos reais.
- Um intervalo em R é um raio, uma cela ou todo R.
- Portanto, temos 10 tipos de intervalos: , , , ,
, (a,b) , [a,b] , [a,b) , (a,b] e R.
- Uma correlação importante com a noção de módulo:
.
),( a ),( a ],( a
),[ a
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INTERVALOS- Dizemos também que o conjunto
é a cela unitária ou intervalo unitário.
- Ainda, dizemos que uma sequência de intervalos é encaixante se as inclusões se verificam.
.
1321 nn IIIII
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INTERVALOSExemplo 1: Considere a sequência de intervalos
com . Observando novamente a figura, percebemos que
a sequência de intervalos é encaixante.
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INTERVALOS- Uma sequência de intervalos encaixantes não tem,
necessariamente, um ponto em comum. A sequência do slide anterior é encaixante, porém não possui ponto em comum, isto é:
Exemplo 2: Considere a sequência de intervalos , .
Conforme a figura, a sequência de intervalos é encaixante:
.
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INTERVALOS
- Percebemos no exemplo que há um interseção entre a sequência de intervalos, que é o número zero. Isto é:
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INTERVALOS
- Percebemos no exemplo que há um interseção entre a sequência de intervalos, que é o número zero. Isto é:
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