intervalos na reta real

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Intervalos na Reta Real Publicado por Newton de Góes Horta Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade: se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R. Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como: I = {z ε R | x ≤ z ≤ y} Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito. Notação em símbolos de um intervalo Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário. Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo. Representação de um intervalo na reta real Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence. Tipos de Intervalos Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como: a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a: [a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

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Page 1: Intervalos na Reta Real

Intervalos na Reta Real

Publicado por Newton de Góes Horta

Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:

se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I

Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R.

Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:

I = {z ε R | x ≤ z ≤ y}

Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

Page 2: Intervalos na Reta Real

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

Page 3: Intervalos na Reta Real

Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos

Ensino Fundamental: Números Naturais: Segunda parte Múltiplos de Nos. naturais Divisores de Nos. naturais Números primos Crivo de Eratóstenes Mínimo Múltiplo Comum Método para obter o MMC

Máximo Divisor Comum Método para obter o MDC Relação entre o MMC e MDC Primos entre si Radiciação de Nos. naturais Raízes com o browser

Múltiplos de números Naturais

Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:

a = k × b

Exemplos:

(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.

(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.

(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.

(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.

Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:

35=7×5

Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:

0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2

O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por exemplo:

M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }

Page 4: Intervalos na Reta Real

Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:

0=0×2,  0=0×5,  0=0×12,  0=0×15

Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.

a = 1 × b   se, e somente se,    a = b

Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.

Divisores de números Naturais

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.

Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).

Exemplos:

(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}

(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}

(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}

Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e além disso, zero não divide qualquer número natural, exceto ele próprio.

Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:

Page 5: Intervalos na Reta Real

6 = 0 x b

mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.

A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:

0 ÷ 0 = X ÷ 1

Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:

0 × 1 = 0 × X = 0

que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.

Números primos

Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

Exemplos:

(a) 1 não é primo pois D(1)={1}

(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}

(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}

(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}

(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}

(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}

Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

Crivo de Eratóstenes

Page 6: Intervalos na Reta Real

É um processo para obter números primos menores do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.

1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os

múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos

na tabela.4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não

marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.

5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.

6. Os números que não foram eliminados são os números primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor mais forte os números primos e com a cor clara os números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.

No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.

P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}

Mínimo Múltiplo Comum

Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.

m = k × a   e    m = w × b

onde k e w números naturais.

Page 7: Intervalos na Reta Real

Exemplos: Múltiplos comuns

(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.

(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18.

18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x1818 é múltiplo comum de 2 e  9 pois  18=2x918 é múltiplo comum de 3 e  6 pois  18=3x6

O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }

Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os conjuntos M(a) e M(b).

Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}

M(3) M(5)={0,15,30,45,...}

Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:

M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}

o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.

Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:

M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}

MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12

Page 8: Intervalos na Reta Real

O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5:

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}

M(3) M(5)={0,15,30,45,...}M(15)={0,15,30,45,60,...}

Observe que M(15)=M(3) M(5)

Método prático para obter o MMC

Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.

1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.

      |        |          |    

2.3. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados

por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2.

12 22 28 | 2      |          |    

4.5. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número

primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.

12 22 28 | 26 11 14 |        |        |  

6.

Page 9: Intervalos na Reta Real

7. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.

12 22 28 | 26 11 14 | 23 11 7 | 31 11 7 | 71 11 1 | 111 1 1 | 924

8.9. O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço

e neste caso: MMC(12,22,28)=924.

Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:

12 15 |      |        |    

e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

12 15 | 26 15 | 23 15 | 31 5 | 51 1 | 60

Máximo Divisor Comum

Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2 naturais tal que:

a = k1 × d    e   b = k2 × d

Exemplos: Divisores comuns.

(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.

(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.

Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um número natural y, será denotado por D(y).

Page 10: Intervalos na Reta Real

Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção entre os conjunto D(16) e D(24).

D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}

Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:

MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8

Método prático para obter o MDC

De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de exemplo.

1. Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.

         

72 30      

         

2.3. Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço

sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.

  2      

72 30      

12        

4.5. Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor

número na linha central.

Page 11: Intervalos na Reta Real

  2      

72 30 12    

12        

6.7. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que

é 12. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.

  2 2    

72 30 12    

12 6      

8.9. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido

anteriormente que é 6. De novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.

  2 2 2  

72 30 12 6  

12 6 0    

10.11. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido

representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:

MDC(30,72) = 6

Exercícios:

a. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números?

Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18×7, o que é equivalente a: a-b=7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18.

b. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?

Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher números naturais tal que a+b=7, e assim, temos várias opções.

Page 12: Intervalos na Reta Real

Se a=6 e b=1 então X=360 e Y= 60

Se a=5 e b=2 então X=300 e Y=120

Se a=4 e b=3 então X=240 e Y=180

Se a=3 e b=4 então X=180 e Y=240

Se a=2 e b=5 então X=120 e Y=300

Se a=1 e b=6 então X= 60 e Y=360

c. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números?

Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=15, então X e Y devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim: (15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas soluções para o problema, são:

Se a= 6 e b= 5 então X= 90 e Y= 75

Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150

Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225

Relação entre o MMC e MDC

Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:

MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × bMDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15

Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.

Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e fazer:

5 × MMC(15,20) = 300

de onde se obtém que MMC(15,20)=60.

Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?

Page 13: Intervalos na Reta Real

Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600):

{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}

Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve pois MMC(300,20)=300. Os números que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e MDC(200,120)=40.

Primos entre si

Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21)=1.

Radiciação de números naturais

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:

bn = a

onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por

Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n),

que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:

b2 = a

A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a1/2.

Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numérico de b de forma que:

b2 = b × b = 36

Page 14: Intervalos na Reta Real

Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente

36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6

Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:

b3 = b . b . b = a

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3.

Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter um número b de forma a obter

b3=b×b×b=64

Por tentativa, temos:

1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64

Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

Calculando raízes com o browser Netscape

Para calcular raízes com o browser Netscape, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:

javascript:Math.sqrt(961)

(raiz quadrada, em inglês sqrt), ou

javascript:Math.pow(961,1/2)

exatamente da forma como está escrito, dentro da caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço).

Após isto, pressione a tecla ENTER. Você deverá ver uma nova janela como o número

Page 15: Intervalos na Reta Real

31

que é a raiz quadrada de 961. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Agora digite (ou copie com Control+C) na caixa:

javascript:Math.pow(343,1/3)

e pressione ENTER. Você obterá a raiz cúbica de 343 que é

6.999999999999999

que é uma excelente aproximação para 7, a raiz exata. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Para obter a raiz n-ésima de um número não negativo M, digite na caixa:

javascript:Math.pow(M,1/n)

e pressione ENTER. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) em seu navegador.

Construída por Robson Benito e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.

A análise dimensional é uma ferramenta poderosa e simples para avaliar e deduzir relações físicas. A similaridade é um conceito diretamente relacionado, que consiste basicamente na equivalência de experimentos ou fenômenos que são, na realidade, diferentes. Naturalmente, os métodos são genéricos e de ampla utilização. Não se limitam a área da Mecânica dos Fluidos. A inclusão da página no grupo Fluidos deste site é apenas uma questão de conveniência, em razão do maior número de exemplos.

Grandezas básicas, unidades, dimensões

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De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. Sejam, por exemplo, as grandezas da mesma espécie A1, A2 e A3:

Adição e subtração

Se A1 + A2 = A3 , então  A1 = A3 − A2

Page 16: Intervalos na Reta Real

Comparação

Se A1 + A2 = A3  e  A2 é finito e positivo, então  A3 > A1

Multiplicação e divisão

Se, por exemplo,  A2 = A1 + A1 + A1 , então  A2 = 3A1  ou  A1 = A2/3

O valor numérico de uma grandeza observada depende da unidade, isto é, do padrão de referência adotado. Exemplo: na Figura 01, A é a distância observada entre dois pontos fixos O e P. Pode-se usar uma unidade u e o valor numérico de A é um número N tal que

A = N u  #A.1#

Ou pode-se uma usar uma unidade u' e um valor numérico N' tal que

A = N' u'  #A.2#

Figura 01

Se a unidade u' é n vezes maior que u, isto é,

u' = n u  #A.3#

Então,

N' = n−1 N  #A.4#

Isso significa que, se a unidade for multiplicada por um fator n, o valor numérico da grandeza observada deverá ser multiplicado por n−1.

Há então duas coisas distintas no caso:

• a grandeza física distância (ou comprimento) A entre os pontos O e P (que é invariável se os pontos são fixos).

• o valor numérico dessa grandeza, que depende da unidade adotada.

As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.

Uma grandeza derivada genérica G pode sempre ser definida segundo a fórmula:

G = α Aa Bb Cc...  #B.1#

Page 17: Intervalos na Reta Real

Onde o coeficiente α e os expoentes a, b, c, … são números reais e A, B, C, … são grandezas básicas.

Tabela 01

Grandeza físicaSímbolo da dimensão

UnidadeSI

Símbolo da unidade SI

Comprimento L metro m

Massa Mquilogram

akg

Tempo T segundo s

Corrente elétrica I ampère A

Temperatura termodinâmica

θ kelvin K

Quantidade de matéria

N mol mol

Intensidade luminosa J candela cd

O conceito de dimensão indica as grandezas básicas e os respectivos expoentes que formam a grandeza derivada, ou seja, pode ser considerada a fórmula anterior sem o coeficiente α.

A dimensão de uma unidade é indicada por colchetes e, em termos dimensionais, a fórmula anterior fica

[G] = [A]a [B]b [C]c...  #C.1#

Naturalmente, a dimensão de uma grandeza básica é a própria. A Tabela 01 dá as grandezas básicas definidas pelo Sistema Internacional, os símbolos dimensionais comumente usados e as respectivas unidades básicas.

Usando raciocínio idêntico ao da transformação dada pelas igualdades anteriores #A.1# a #A.4#, pode-se facilmente deduzir:

Se a unidade da grandeza A é multiplicada por nA, da grandeza B por nB, etc, e o valor numérico de G era N, o novo valor N' é dado por:

N' = n−1 N  onde  n = (nA)a (nB)b (nC)c...  #D.1#

Exemplos:

• Se A é uma grandeza de comprimento, a dimensão de A é dada por  [A] = L

• Se c é uma grandeza de velocidade, c = comprimento / tempo e, portanto,  [c] = L/T = L T−1

• Se a é aceleração, a = velocidade / tempo e  [a] = L T−1/T = L T−2

• Se F é força, F = massa × aceleração e  [F] = L M T−2

• Se S é área, S = comprimento × comprimento e  [S] = L2

Page 18: Intervalos na Reta Real

• Se p é pressão, p = força / área e  [p] = L M T−2/L2 = L−1 M T−2

Portanto, a dimensão de uma grandeza derivada é obtida pela substituição, na relação que a define, das grandezas básicas pelas respectivas dimensões, mantendo-se os expoentes e desprezando-se o coeficiente de proporcionalidade se existir. Se houver grandezas derivadas na relação, o mesmo procedimento é adotado para essas e o resultado final deve ser simplificado matematicamente.

Observar que, embora sejam considerados sinôminos em muitas citações práticas, os conceitos de dimensão e de unidade são tecnicamente distintos.

Algumas propriedades das grandezas e dimensões:

• A dimensão de uma grandeza derivada é sempre um produto de potências das dimensões das grandezas básicas que a formam.

• Somas de grandezas de mesma dimensão são grandezas com a mesma dimensão. Produtos e divisões de grandezas são também grandezas derivadas, com dimensões normalmente diferentes das originais.

• Todas as grandezas de mesma dimensão mudam seus valores na mesma proporção quando os valores das unidades básicas são mudados.

• Funções não lineares (como logarítmicas, exponenciais, trigonométricas) de grandezas derivadas não são em geral grandezas derivadas.

• Uma grandeza é dita adimensional se o resultado final da dimensão é unitário. Exemplo: seja x = c t / l,

onde c é velocidade, t é tempo e l é comprimento. Então [x] = L T−1 T / L = 1

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Relações físicas, homogeneidade, constantes físicas |Teorema de Buckingham (teorema dos πs) |

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Relações físicas, homogeneidade, constantes físicas

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Muitos fenômenos físicos podem ser representados por uma grandeza G como função de uma ou mais grandezas G1, G2, …, Gn. Então, a relação ou equação física genérica é

Page 19: Intervalos na Reta Real

G = f(G1, G2, ..., Gn)  #A.1#

Essa relação só pode ser relevante se ambos os lados têm a mesma dimensão, ou seja, a equação deve ser dimensionalmente homogênea. Pode-se relacionar alguns aspectos que garantem a homogeneidade dimensional de uma relação física:

• Ambos os lados devem ter a mesma dimensão.

• Todos os termos de parcelas de soma ou subtração que existirem em f devem ter a mesma dimensão.

• Argumentos de funções logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e outras especiais devem ser adimensionais.

Exemplo 01: na Figura 01 (a), um corpo, supostamente no vácuo, é deixado em queda livre a partir do repouso. Segundo relações da mecânica elementar, a distância vertical percorrida y em função da aceleração da gravidade g e do tempo t é dada por:

y = (1/2) g t2  #B.1#

Essa relação é perfeitamente homogênea porque [y] = L  e o outro lado  [(1/2) g t2] = L T−2 T2 = L

Se, em vez da fórmula teórica, é feita uma medição da distância em função do tempo, dependendo do local e da precisão do método, pode-se chegar a um resultado como este:

y = 4,905 t2  #B.2#

À primeira vista, essa relação pode parecer inválida porque y e t têm dimensões distintas. Entretanto, deve-se notar que o valor 4,905 não é uma simples constante de proporcionalidade. Equivale a (1/2) g da equação anterior e, portanto, tem dimensão L T−2.

Para locais próximos da superfície terrestre, o valor de g pouco varia e pode ser considerado uma constante física. Da relação anterior, g = 9,81 m/s2, que é a aproximação usual. O valor padronizado é 9,80665 m/s2.

Observar que constantes físicas normalmente têm dimensão e, por conseqüência, seus valores dependem das unidades. Neste caso da aceleração da gravidade, o valor de 9,81 m/s2 equivale, por exemplo, a 32,19 ft/s2.

Voltando à igualdade #B.1#, y = (1/2) g t2 , nota-se que o único valor numérico invariável é a constante de

proporcionalidade 1/2, que é adimensional. No caso de g, a grandeza aceleração da gravidade é suposta constante, mas seu valor numérico depende das unidades adotadas, porque não é adimensional (ver equação #D.1# do tópico Grandezas básicas, unidades, dimensões).

Page 20: Intervalos na Reta Real

Figura 01

Exemplo 02: ver Figura 01 (b). Em uma determinada região foi observado que a pressão atmosférica p (em N/m2) varia com a altitude h (em m) segundo a relação:

p = 1,01 105 e−0,00012 h  #C.1#

Essa relação vale para um local em particular. Por analogia, pode-se generalizar e dizer que a pressão atmosférica varia com a altitude segundo a equação:

p = a e−b h  #C.2#. Onde a e b são constantes que dependem do local.

No aspecto dimensional, deve-se ter, conforme regra anterior, dimensão unitária do expoente. Portanto, [b] = L−1. E a dimensão de a deve ser pressão para homogeneidade da fórmula [a] = L−1 M T−2.

Observar que, além da homogeneidade dimensional, deve haver coerência de unidades. Assim, no caso particular de #C.1#, considerando as unidades informadas de p e de h, tem-se b = 0,00012 m−1  e  a = 1,01 105 N/m2.

Dos exemplos anteriores, pode-se verificar que as constantes g, a e b podem variar de acordo com o local e época porque o planeta Terra não é homogêneo. Ou seja, elas são válidas para determinadas condições.

Há também as constantes físicas universais (velocidade da luz no vácuo, massa do elétron, constante dos gases, etc), cujas grandezas independem de quaisquer condições. No entanto, seus valores numéricos continuam dependendo das unidades adotadas.

A homogeneidade dimensional é uma condição necessária para uma equação física válida, mas não é suficiente. Ou seja, uma fórmula pode estar dimensionalmente correta e não representar a relação real entre as grandezas.

Teorema de Buckingham (teorema dos πs)

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Seja um fenômeno físico representado por uma função genérica de n grandezas:

f(G1, G2, ... ,Gn) = 0  #A.1#

De outra forma,

G1 = φ(G2, ... ,Gn)  #A.2#

Se as n grandezas podem ser expressas em termos de k grandezas independentes, a relação acima é equivalente a:

F(Π1, Π2, ..., Πn−k) = 0  #B.1#

De outra forma,

Π1 = Φ(Π2, ..., Πn−k)  #B.2#

Onde Πi são números adimensionais formados a partir das grandezas originais:

Page 21: Intervalos na Reta Real

Πi = G1i1 G2

i2 ... Gnin  #C.1#

Onde os expoentes i1, i2, ..., in  são números racionais.

Exemplo: seja, conforme Figura 01 (a), uma esfera de material perfeitamente elástico que se choca com uma superfície perfeitamente rígida. Supondo a esfera revestida com uma tinta úmida, após o choque haverá uma marca circular na superfície, como em (b) da figura. Deseja-se saber a relação entre o diâmetro d dessa marca e outras grandezas físicas envolvidas no processo (desprezam-se os efeitos do ar).

Desde que a superfície é perfeitamente rígida, ela não deve ter propriedades que possam influenciar. A princípio, pode-se listar as grandezas que têm relação com o choque:

Figura 01

c  velocidade da esfera antes do choqueD  diâmetro da esferaE  módulo de elasticidade do material da esferam  massa da esferaμ  coeficiente de Poisson do material da esferaρ  massa específica do material da esfera

Entretanto esse conjunto não é independente porque a massa é função do diâmetro e da massa específica. Assim, uma dessas três grandezas deve ser retirada para formar um conjunto independente. Escolhe-se, por exemplo, a massa m para exclusão.

Pode-se então dizer que o diâmetro d da área marcada é função das seguintes grandezas independentes:

d = f(c, D, E, μ, ρ) 

As dimensões das grandezas são:

[d] = L

[c] = LT−1

[D] = L

[E] = ML−1T−2

[μ] = 1

[ρ] = ML−3

Page 22: Intervalos na Reta Real

Analisa-se agora o aspecto da dependência dimensional:

[d] = L = [D]

[E] = ML−1T−2 = (ML−3) (LT−1)2 = [ρ] [c]2

[μ] = 1

Formam-se grupos adimensionais para essas grandezas:

De acordo com o teorema de Buckingham,

Substituindo,