1. PR-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR MATEMTICA Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br

2. 2006-2009 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. Produo Projeto e Desenvolvimento Pedaggico Disciplinas Autores Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima Bezerra Literatura Fbio Dvila Danton Pedro dos Santos Matemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Fsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Qumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Biologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio Fernandes Histria Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogrio de Sousa Gonalves Vanessa Silva Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: 978-85-387-0571-0 1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo. CDD 370.71 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 3. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 4. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 5. 1 EM_V_MAT_003 Lgica, Conjuntos Numricos e Relaes O estudo da Lgica tem aplicao nas mais di- versas reas do conhecimento humano, pois trata das Leis do Pensamento, ttulo da primeira grande obra sobre lgica de autoria de George Boole, em 1854. No campo da Matemtica, esse estudo est associado ao entendimento do significado de propo- sies associadas por smbolos lgicos. A Teoria dos Conjuntos regida por regras similares s da Lgica e tem aplicaes em diversas reas, como anlise combinatria e estatstica. Noes de Lgica Proposio ou sentena Toda orao declarativa pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Toda proposio apresenta um, e somente um, dos valores lgicos: verdadeira (V) ou falsa (F). Exemplos:`` So proposies verdadeiras 9 5 e 2 Z. So proposies falsas 1 N e 2 > 5. Negao A negao de uma proposio p indicada por p (ou ~p) e tem sempre valor oposto ao de p. Tabela verdade: p p V F F V Exemplo:`` A negao de 9 = 5 (F) 9 5 (V). importante tomar cuidado ao negar uma proposio. Atente para os casos a seguir: p: todos os alunos usam culos. p: existe pelo menos um aluno que no usa culos. q: algum aluno usa culos. q: nenhum aluno usa culos. r: 9 > 5 r: 9 5 Conectivos A conjuno (e) p q (ou pq) verdadeira se p e q forem ambas verdadeiras. Se ao menos uma delas for falsa, ento p q falsa. A disjuno (ou) p q (ou p+q) verdadeira se ao menos uma das proposies p ou q for verdadeira. Se p e q so ambas falsas, ento p q falsa. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 6. 2 EM_V_MAT_003 Tautologias (proposio logicamente verdadeira) a proposio que possui valor V (verdadeira) independente dos valores lgicos das proposies das quais depende. Exemplo:`` p q Proposies logicamente falsas a proposio que possui valor F (falsa) inde- pendente dos valores lgicos das proposies das quais depende. Exemplo:`` p Relao de implicao Diz-se que p implica q (p q) quando na tabela de p e q no ocorre VF em nenhuma linha, isto , quando o condicional p q for verdadeiro. Nesse caso, pode-se dizer que p condio suficiente para q ou que q condio necessria para p. Todo teorema uma implicao da forma hipotse tese. Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que no ocorre o caso da hiptese ser verdadeira e a tese falsa. Exemplo:`` x = 2 x2 = 4. Note que a volta (o contrrio) no necessariamente verdadeira. Relao de equivalncia Diz-se que p equivalente a q (p q) quando p e q tm tabelas-verdades iguais, isto , quando p e q tm sempre o mesmo valor lgico, ou seja, p q verdadeiro. Nesse caso, diz-se que p condio necessria e suficiente para q. Exemplo:`` 3x + 1 = 4 3x = 4 1 Na resoluo de equaes e inequaes deve-se atentar para o significado das relaes de implicao e equivalncia. Passagens relacionadas por equiva- lncia mantm exatamente o mesmo conjunto-verda- de, pois ambas so verdadeiras ou falsas, simultane- Tabelaverdade: p q pq pq V V V V V F F V F V F V F F F F Exemplos:`` 1) (9 > 5) (0 1) falsa, pois V) F falso. 2) (9 > 5) (0 1) verdadeira, pois V F verdadeiro. Condicionais O condicional p q falso somente quando p for verdadeiro e q falso; caso contrrio, p q verdadeiro. O bicondicional p q verdadeiro somente quando p e q forem ambos verdadeiros ou ambos falsos; se isso no acontecer p q ser falso. Tabela verdade: p q p q p q V V V V V F F F F V V F F F V V Exemplos:`` p: 5 > 2 e q: 71) 3, temos p q verdadeira, pois V V verdadeira. p: 5 > 2 e q: 7 < 3, temos p2) q falsa, pois V F falsa. p: 5 < 2 e q: 73) 3, temos p q verdadeira, pois F V verdadeira. p: 5 < 2 e q: 7 < 3, temos p4) q verdadeira, pois F F verdadeira. p: 5 > 2 e q: 75) 3, temos p q verdadeira, pois V V verdadeira. p: 5 > 2 e q: 7 < 3, temos p6) q falsa, pois V F falsa. p: 5 < 2 e q: 77) 3, temos p q falsa, pois F V falsa. p: 5 < 2 e q: 7 < 3, temos p8) q verdadeira, pois F F verdadeira. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 7. 3 EM_V_MAT_003 de, pois ambas so verdadeiras ou falsas, simultane- amente. J passagens relacionadas por implicao no garantem o mesmo conjunto-verdade. Nesse caso, o novo conjunto-verdade contm o anterior, devendo-se ter cuidado com a introduo de razes que no so vlidas. Isso ocorre com frequncia na resoluo de equaes irracionais. Exemplo:`` Testando as razes obtidas verifica-se que x = 0 no uma raiz vlida. Essa raiz apareceu exatamente quando elevou-se ao quadrado ambos os membros da equao, pois, nesse caso, no valia a relao de equivalncia, somente a implicao. Como se pode notar, o novo conjunto-soluo S = {0, 3} continha o conjunto soluo da equao inicial S = {3}. Quantificadores Quantificador universal: indica qualquer que seja, para todo. Exemplo:`` ( x R) (x2 0) Quantificador existencial: indica existe, existe pelo menos um, existe um. indica exis- te um nico, existe um e um s. Exemplo:`` ( x N ) (x + 1 2) e ( | x N) (x + 1 2). Negao de proposies p q p q p q p q _______ __ _______ __ __ ___ __ p q p q _______ Exemplo:`` A negao de Juca bom e honesto Juca no1) bom ou no honesto. A negao de Juca bom ou honesto Juca no2) bom e no honesto. A negao de Se Juca bom, ento honesto 3) se Juca bom, e no honesto. Demonstrao indireta ou reduo ao absurdo Consiste em admitir a negao da concluso q e depois deduzir logicamente uma contradio qual- quer c (uma proposio logicamente falsa como, por exemplo, p ). Isso pode ser verificado observando que (~q c) (~~q c) (q c). Exemplo:`` Sendo x, y R+ *, prove que x y + y x 2. Soluo:`` Supondo por absurdo a negao da proposio inicial x y + y x < 2, teremos: x y + y x < 2 x2 + y2 xy < 2 x2 + y2 2xy (pois xy > 0) (x - y)2 0 Contradio + < 2 2 x y xy 2 x2 + y2 2xy SOMENTE se xy for positivo. Logo, a proposio inicial vlida. Contraexemplo Para mostrar que uma proposio da forma ( x A) (p(x)) falsa (F) basta mostrar que a sua negao ( x A) (~p(x)) verdadeira (V), isto , que existe pelo menos um elemento xo A, tal que p(xo ) uma proposio falsa (F). O elemento xo diz-se um contra- exemplo para a proposio ( x A) (p(x)). Exemplo:`` Prove que a proposio (x N) (2n > n2 ) falsa. Soluo:`` Basta verificar que para n = 2 tem-se (22 > 22 ) falsa. Logo, 2 um contraexemplo para a proposio apresen- tada que, em consequncia, falsa. Princpio da induo finita (PIF) Axiomas de Peano O conjunto N dos nmeros naturais caracteri- zado pelos seguintes fatos: Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 8. 4 EM_V_MAT_003 Existe uma funo injetiva s: N1) N. A imagem s(n) de cada nmero natural n N chama-se o sucessor de n. Existe um nico nmero natural 12) N, tal que 1 s(n) para todo n N. Se um conjunto X3) N tal que 1 X e s(X) X (isto , n X s(n) X ento X = N. Interpretao Todo nmero natural tem um sucessor, que1) ainda um nmero natural; nmeros diferen- tes tm sucessores diferentes. Existe um nico nmero natural 1 que no 2) sucessor de nenhum outro. Se um conjunto de nmeros naturais contm3) o nmero 1 e contm tambm o sucessor de cada um dos seus elementos, ento esse conjunto contm todos os nmeros naturais (Princpio da Induo). Mtodo da induo finita (recorrncia) Se uma propriedade P vlida para o nmero 1 e se, supondo P vlida para o nmero n, isso resulta que P vlida tambm para seu sucessor s(n), ento P vlida para todos os nmeros naturais. Aplicao do PIF Demonstrar que a afirmao verdadeira para um caso particular, por exemplo, n = 1 (ou o primeiro termo do conjunto). Supor que a afirmao vlida para n = k. Demonstrar, a partir disso, que a afirmao vlida para n = k + 1. Exemplo:`` Demonstrar que 1 + 2 + ... + n = n . (n + 1) : 2 Soluo:`` Para n = 1, vlido 1 = 1.(1 + 1) : 2 Supondo que a propriedade vlida para n = k, ento 1 + 2 + ... + k = k.(k + 1) : 2 Para n = k + 1, temos: 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = k.(k+1) : 2 + (k+1) = (k+1). (k/ 2 + 1) = (k + 1).(k + 2) : 2 Como a propriedade vlida tambm para n = k + 1, ela vlida para todo natural C.Q.D. Teoria dos Conjuntos Noes primitivas So noes primitivas, ou seja, sem definio: conjunto, elemento e pertinncia entre elemento e conjunto. Notao Conjunto geralmente letras maisculas. Elemento geralmente letras minsculas. Pertinncia x A: elemento x pertence ao conjunto A, x A : elemento x no pertence ao conjunto A. Exemplo:`` Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, ento 1A, 2A e 4A. Descrio de um conjunto Citao dos elementos: A = {a, e, i, o, u}.1.) Propriedade: A = {x | x vogal}.2.) Conjunto vazio aquele que no possui elementos. Notao: . Exemplo:`` A= {x | x mpar e mltiplo de 2} = . Conjunto unitrio aquele que possui somente um elemento. Exemplo:`` A= {1}; B = {x x um nmero primo par e positivo}; C ={{2,3}} e D={} Conjunto universo Quando os conjuntos em anlise so todos subconjuntos de um mesmo conjunto, este recebe o nome de conjunto universo. Notao: U. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 9. 5 EM_V_MAT_003 Conjuntos iguais A = B ( x) (x A x B) Exemplo:`` {a,b,c}={b,c,a} ; {a,b,c} {a,b,c,d}; {a, b, c, a, c} = {a, b, c} Subconjuntos Um conjunto A subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A tambm elemento de B. Notao: A B. A B = ( x) (x A x B) Exemplo:`` {a,b} {a,b,c,d} ; {a,b} {b,c,d} Propriedades da incluso Para quaisquer conjuntos A, B e C, tem-se: 1) A A2) A reflexiva (A3) B e B A) A=B antissimtrica (A4) B e B C) A C transitiva A subconjunto prprio de B quando A B e A B. Exemplo:`` {1, 2} subconjunto prprio de {1, 2, 3}. O conjunto vazio no tem subconjunto prprio. Qual- quer conjunto no-vazio tem vazio como subconjunto prprio. Conjunto das partes (ou conjunto potncia) aquele formado por todos os subconjuntos de um certo conjunto. Notao: o conjunto das partes de A repre- sentado por (A). Exemplo:`` A={a,b} (A) = {,{a},{b},{a,b}} A quatidade de elementos do conjunto das partes de um conjunto A pode ser calculada pela expresso a seguir. Nmero de elementos de (A) = 2n(A) , onde n(A) o nmero de elementos do conjunto A. Reunio de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, a sua reunio o conjunto formado por todos os elementos que per- tenam a A ou a B. A B = {x | x A ou x B} Exemplo:`` {a, b} {c, d, e} = {a, b, c, d, e}; {m, n} = {m, n}. A unio de dois conjuntos A e B tambm pode ser representada por diagramas chamados Diagra- mas de Venn, onde os conjuntos so em forma de linhas fechadas. A B Propriedades: sejam A, B e C conjuntos quais- quer, vale: A1) A = A idempotente A2) = A elemento neutro A3) B = B A comutativa (A4) B) C = A (B C) associativa O nmero de elementos da unio de 2 e 3 con- juntos pode ser obtido pelas relaes a seguir: n(A B) = n(A) +n(B) n(A B) n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(A B C) Interseo de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, a sua interseo formada pelos elementos que pertencem a A e B, ou seja, pelos elementos comuns aos dois conjuntos. A B = {x | x A e x B } Exemplo:`` {1, 2} {2, 3, 4} = { 2}; {a, b, c, d} {c, d, e} = {c, d}; {m, n} {p, q} = . A interseo de A e B representada em dia- gramas de Venn pela figura a seguir. A B Propriedades: sejam A, B e C conjuntos quais- quer, vale: Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 10. 6 EM_V_MAT_003 A1) = A2) A = A idempotente A3) B = B A comutativa (A4) B) C = A (B C) associativa Propriedade distributiva da unio e da interseo A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Conjuntos disjuntos So aqueles que possuem interseo vazia, ou seja, no possuem elementos comuns. A e B so disjuntos A B = Diferena de conjuntos A diferena entre dois conjuntos A e B o con- junto formado pelos elementos que pertencem a A e no pertencem a B. A B = {x | x A e x B } A diferena entre A e B representada em dia- gramas de Venn pela figura abaixo. A B Exemplo:`` {1, 2, 3} {1, 3} = {2}; {a, b, c} {c, d, e} = {a, b}; {a, b} {a, b, c, d} = Complementar de B em A Dados dois conjuntos A e B, tais que B A, chama- se complementar de B em relao A o conjunto A B. B A CA B = A B Exemplo:`` 1) A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e} C B A ={a,b}; 2) A = {a, b, c, d} e B = {a, b, c, d} C B A = C(A), A e A so notaes que representam o complementar de A com relao ao universo. Conjuntos numricos O famoso matemtico Kronecker supostamente disse: Deus criou os nmeros naturais; todo o resto obra do homem. Isso mostra bem que os nmeros naturais, conhecidos h mais tempo, surgiram do co- tidiano do ser humano pela necessidade de contar. Outros conjuntos numricos foram sendo utili- zados para suprir determinadas necessidades. Os racionais (fraes), por exemplo, estavam ligados a problemas de razes geomtricas. Os irracionais, polmica diagonal do quadrado. Os nmeros nega- tivos foram inicialmente interpretados como dvidas e sua existncia foi, por muito tempo, contestada, sendo, inclusive, chamados de nmeros absurdos. Os nmeros complexos, necessrios soluo de equaes, s conseguiram legitimidade aps seu desenvolvimento formal. Como se pode notar, a evoluo dos conjuntos numricos est intimamente ligada ao prprio de- senvolvimento da humanidade. Os conjuntos numricos so apresentados, a seguir, do mais simples para o mais complexo. Deve-se observar que os conjuntos so ampliaes dos anteriores para possibilitar a realizao de de- terminadas operaes. Para uma melhor compreenso importante entender o siginificado da propriedade do fecha- mento: um conjunto fechado em relao a uma determinada operao se quaisquer que sejam os elementos do conjunto a serem operados, o resultado pertencer ao conjunto. Por exemplo, a soma de dois nmeros naturais sempre um nmero natural, logo, os naturais so fechados em relao adio; j a subtrao de dois nmeros naturais nem sempre natural, assim os naturais no so fechados em relao subtrao. Conjunto dos nmeros naturais So os nmeros usados para contar. N = {0, 1, 2, 3,....} Fechamento: adio e multiplicao. O conjunto dos naturais positivos N - {0} denotado por N* N* = {1, 2, 3, ...} Propriedades da adio e multiplicao: Associatividade: (m +n) +p = m + (n +p) m . (n . p) = (m . n) . p Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 11. 7 EM_V_MAT_003 Distributividade: m . (n +p) = m . n + m . p Comutatividade: m +n = n +m m n = n m Lei do corte: m + n = m +p n = p m n = m p n = p (com m 0) Tricotomia: dados dois naturais m e n quais- quer, tem-se que ou a < b ou a = b ou a > b. Princpio da boa-ordenao: todo subconjunto no-vazio dos nmeros naturais possui um menor elemento. Conjunto dos nmeros inteiros Surgiram a fim de garantir o fechamento em relao subtrao. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Fechamento: adio, subtrao e multiplicao. Suconjuntos notveis: Conjunto dos inteiros no-nulos Z* = {..., 3, -2, -1, 1, 2, 3,...} Conjunto dos inteiros no-negativos Z+ = {0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos inteiros no-positivos Z = {..., -3, -2, -1, 0} Conjunto dos inteiros positivos Z+ * = {1, 2, 3,...} Conjunto dos inteiros negativos Z * = {..., -3, -2, -1} O conjunto dos nmeros inteiros possui todas as propriedades dos nmeros naturais e adicionalmente fechado em relao subtrao. Pode-se definir o simtrico ou oposto para a adio da seguinte forma: a Z, -a Z tal que a + (a) = 0. Com isso possvel definir a subtrao em Z como: a b = a + (b) Na subtrao acima, a chama-se minuendo, b subtraendo e o resultado da operao resto. O minuendo igual soma do subtraendo com o resto. O produto ou diviso de dois inteiros de mesmo sinal positivo. Para dois inteiros de sinais contrrios, o resultado negativo. Exemplo:`` (2) (3) = 2 3 = 6 e (2) 3 = 2 (3) = 6 Diviso de inteiros Teorema: Se D , d Z e d > 0, existem inteiros q e r, univocamente determinados, tais que D = d q + r, onde 0 r < d. Exemplo:`` 37 = 8 4 + 5 Na expresso acima D chamado dividendo; d, divisor; q quociente e r, resto. Quando o resto r = 0 diz-se que a diviso exata. Outra expresso til a seguinte: d . q D < d . (q + 1). Valor absoluto ou mdulo de um inteiro a a a = - < se a 0 se 0 Exemplo:`` |1| = 1, |-1| = 1 e |0| = 0. Propriedades: |x|1) 0 |x| |y| = |xy|2) |x|3) 2 = x2 |x +y|4) |x| +|y| |x -y|5) |x| -|y| Conjunto dos nmeros racionais o conjunto dos nmeros que podem ser escri- tos sob forma de frao. Q a b a Z b= Z* e mdc (a,b)=1, Exemplo:`` 1 2 5 7 3 6 10 3 5 7 1 ) 2) 3)0,6 = 4)7 = 5 - = ))0 666 6 9 2 3 , ... = = 1 2 5 7 3 6 10 3 5 7 1 ) 2) 3)0,6 = 4)7 = 5 - = ))0 666 6 9 2 3 , ... = = Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 12. 8 EM_V_MAT_003 Fechamento: adio, subtrao, multiplicao e diviso (denominador no-nulo). Nesse conjunto encontram-se as fraes, deci- mais exatos e as dzimas peridicas. Considerando a decomposio em fatores primos do denominador de uma frao irredutvel, tem-se: apenas fatores 2 e 5 a frao converte-se em um decimal exato; apenas fatores diferentes de 2 e 5 a frao converte-se em uma dzima peridica sim- ples; fatores 2 ou 5 com outros diferentes deles a frao converte-se em uma dzima peridica composta. Veja os exemplos abaixo: Os nmeros inteiros so tambm nmeros racionais, pois podem ser considerados fraes de denominador 1. No conjunto dos racionais so adotadas as se- guintes definies: Dzima peridica Nomenclatura: parte inteira, parte no-peri- dica e perodo. Exemplo:`` 1,25434343... parte inteira: 1 parte no-peridica: 25 perodo: 43 Geratriz de uma dzima peridica frao ordinria que d origem dzima peridica. A geratriz de uma dzima peridica uma fra- o com: Numerador parte inteira seguida de parte no-peridica e do perodo, menos a parte inteira seguida da parte no-peridica. Denominador nmero formado de tantos 9 quantos forem os algarismos do perodo , seguidos de tantos 0 quantos forem os algarismos da parte no-peridica. Exemplo:`` 0 333 3 9 1 3 0 242424 24 99 8 33 0 133 13 1 90 12 90 2 15 , ... , ... , ... = = = = = - = = 22 133 213 21 90 192 90 32 15 1 23454545 12345 123 9900 1 , ... , ... = - = = = - = 2222 9900 679 550 = Conjunto dos nmeros reais O conjunto dos nmeros reais R a unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais (dzimas no-peridicas). Os nmeros irracionais so representados por I ou Q, so nmeros que no podem ser escritos sob forma de frao e constituem dzimas no- peridicas. Exemplo:`` 2 3, , , e etc. No fechado para a adio, multiplicao e diviso. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 13. 9 EM_V_MAT_003 Representao em diagramas Como pde ser observado pelas definies dos conjuntos, vale a seguinte relao: N Z Q R e Q I=R Isso pode ser representado pelo seguinte dia- grama. Reta real Entre o conjunto dos pontos de uma reta orien- tada e o conjunto dos nmeros reais existe uma cor- respondncia biunvoca, ou seja, o conjunto R pode ser representado por uma reta orientada que recebe o nome de reta real. -1 0 1 O mdulo de um nmero definido anteriormente pode ser entendido como a distncia entre o ponto correspondente ao nmero na reta real e a origem da mesma. Os conjuntos numricos podem ser representa- dos pelos seguintes smbolos: = Conjunto dos nmeros naturais. = Conjunto dos nmeros inteiros. = Conjunto dos nmeros reais. = Conjunto dos nmeros complexos. Em nossos estudos adotaremos os seguintes smbolos: N = Conjunto dos nmeros naturais. Z = Conjunto dos nmeros inteiros. R = Conjunto dos nmeros reais. C = Conjunto dos nmeros complexos. Intervalos Dados dois nmeros reais a < b, define-se: [a,b] = {xRa x b} intervalo fechado em a e b. [a, b[ = {xRa x < b} intervalo fechado em a e aberto em b. ]a, b] = {xRa < x b} intervalo aberto em a e fechado em b. ]a, b[ = {xRa < x < b} intervalo aberto em a e b. [a,+[ = {xRx a} ]a,+[ = {xRx > a} ], a] = {xRx a} ], a[ = {xRx < a} Os intervalos reais podem ser representados sobre a reta real como segue: a b ] a, b [ [ a, b ] a b ] a, b ] [ a, b [ ] - , a ] ] a, + [ a b a b a a comum usar tambm parntese no lugar do colchete para fora para representar uma extremida- de aberta de intervalo. Assim, ]2,3[ = (2,3). Deve-se tomar cuidado, porm, para que essa notao no cause confuso com a notao para par ordenado. As extremidades infinitas de intervalos so sempre representadas abertas como, por exemplo [2,+3[. Na representao grfica de intervalos sobre a reta real, extremidades fechadas so sempre repre- sentadas por bolas cheias e extremidades abertas por bolas no-preenchidas. Assim, o intervalo [2,3[ pode ser representado como segue: 2 3 As operaes entre intervalos so as mesmas vistas no estudo dos conjuntos e podem ser mais facilmente efetuadas com o auxlio de representa- es grficas. Exemplo:`` Sejam os intervalos I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine IJ. Resolvendo: Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 14. 10 EM_V_MAT_003 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I J I J 5 9 5 7 I J = ] 5, 7 ] Par ordenado um conceito primitivo representado por (a, b), sendo um conjunto de dois elementos ordenados. Igualdade Dois pares ordenados so iguais se, e somente se, as suas duas coordenadas so iguais. (a,b) = (c,d) a = c e b = d Os pares ordenados podem ser representados no sistema cartesiano ortogonal, onde o primeiro elemento do par ordenado representado no eixo ho- rizontal Ox (eixo das abscissas) e o segundo elemento do par ordenado representado no eixo horizontal Oy (eixo das ordenadas). Isso pode ser observado na figura a seguir: b aO P(a,b) x y Produto cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos A e B o conjunto de todos os pares ordenados que tm o primeiro termo em A e o segundo termo em B. A B = {(x, y) | x A y B} Se um dos conjuntos for vazio, o produto carte- siano vazio. B = , A = e = O produto cartesiano no comutativo, assim A B B A, quando A B. O nmero de elementos do produto cartesiano pode ser obtido multiplicando a quantidade de ele- mentos de cada um dos conjuntos. n(A B) = n(A) n(B) Exemplo:`` A = {0, 2} e B = {1, 3, 5} A B = {(0, 1); (0, 3); (0, 5); (2, 1); (2, 3); (2, 5)} B A = {(1, 0); (1, 2); (3, 0); (3, 2); (5, 0); (5, 2)} n (A B) = n (B . A) = 2 3 = 6 O produto cartesiano A . A denotado por A2. A diagonal de A2 A={(x,y) A2 x = y}. possvel representar o produto cartesiano graficamente por meio de um diagrama de flechas. Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}, A . B = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)}ter a representao abaixo. 1 2 3 1 2 3 4 BA O produto cartesiano pode ser representado gra- ficamente no plano cartesiano ortogonal, atravs da representao dos pares ordenados que o compe. A representao grfica til tambm para apresentar o resultado do produto cartesiano entre intervalos reais. Exemplo:`` A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} 2 A . B O x y 1 1 2 3 (1,2) (2,2) (3,2) (1,1) (2,1) (3,1) 2 B . A O x y 1 1 2 (1,2) (2,2) (1,1) (2,1) 3 (1,3) (2,3) A = [1, 3] e B = [1, 5] Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 15. 11 EM_V_MAT_003 2 A . B O x y 1 1 2 3 5 3 B . A O x y 1 1 5 Propriedades A1) (BC) = (A B) (A C) A2) (BC) = (A B) (A C) A3) (B C) = (A B) (A C) Relao Uma relao de A em B qualquer subconjunto de A B. Nota:`` Quando R uma relao de A em A, diz-se apenas que R uma relao em A. Numa relao de A em B, A chamado conjunto de partida e B, conjunto de chegada. O conjunto de todas as primeiras coordenadas que pertencem a R chamado domnio e o conjunto de todas as segundas coordenadas que pertencem a R chamado imagem, ou seja, o domnio e a imagem so formados por elementos que efetivamente esto em algum par ordenado da relao. D (R) A e Im (R) B 1 2 3 4 1 2 3 4 A = {1,2,3,4} e B = {1,2,3,4} R = {(x,y) A B | x = y} Relao inversa arelaoobtidaapartirdosparesordenadosde R, invertendo-se a ordem dos termos de cada par. R-1 = {(y,x) B A (x,y) R} Notas:`` D (R1) -1 ) = Im (R) Im (R2) -1 ) = D (R) (R3) -1 )-1 = R Trs amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto1. ebranco,respectivamente.Seusparesdesapatoapresen- tavam essas mesmas trs cores, mas somente Ana usava vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatosdeJliaerambrancos.Marisausavasapatosazuis. Descreva a cor do vestido de cada uma das moas. Soluo:`` Vamos montar um quadro represntando as condies apresentadas no problema: Ana Jlia Marisa Vestido cor X no branco 2 no azul Sapato cor X no branco 1 azul Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 16. 12 EM_V_MAT_003 Como os sapatos de Marisa eram azuis e os de Jlia no eram brancos, conclui-se que os sapatos de Jlia eram pretos. Como os sapatos de Jlia eram pretos e o vestido de cor diferente e no-branco, ento o vestido de Jlia era azul. Considerando que os sapatos de Marisa eram azuis e os de Jlia pretos, conclui-se que os sapatos de Ana eram brancos e tambm o vestido. Finalmente, como o vestido de Ana era branco e o de Jlia era azul, ento o vestido de Marisa era preto. Resposta: Ana estava de vestido branco, Jlia de vestido azul e Marisa de vestido preto. Sendo A = {2. , a, {b}}, com {b} a b , ento: {a) , {b}} A {b) , b} A {c) , {a}} A {a, b}d) A {{a}, {b}}e) A Soluo:`` A Devemos identificar os elementos de A que so: , a e {b}. Um subconjunto de A deve possuir somente elementos que sejam de A. Logo, {,{b}} A. Numa comunidade so consumidos 3 produtos A, B e3. C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados da tabela abaixo: Produtos n. de consumidores A 100 B 150 C 200 A e B 20 B e C 40 A e C 30 A, B e C 10 nenhum dos 3 130 Pergunta-se: quantas pessoas foram consultadas?a) quantas pessoas no consomem o produto B?b) quantas pessoas consomem s 2 produtos?c) quantas pessoas no consomem A ou no conso-d) mem C? Soluo:`` Deve-se comear colocando-se no diagrama de Venn o valor correspondente interseo dos 3 conjuntos. n(ABC) = 10 Posteriormente, colocam-se os valores correspondentes s intersees 2 a 2, atentando para a necessidade de se subtrair o valor da interseo dos 3. Finalmente, colocam-se as quantidades de elementos que pertencem a somente um dos conjuntos, subtraindo os valores colocados anteriormente. Tendo feito as operaes acima, obtm-se o diagrama: Basta agora procurar no diagrama os valores adequados: soma de todos os valores do diagramaa) n (U) = 500 soma de todos os valores que no esto em Bb) n(U) n (B) = 350 10 + 20 + 30 = 60c) n(U) n(Ad) C) = 130 + 100 = 230 A B U C 20 10 10 30 10060 130 140 Projetar um circuito eltrico para um quarto com uma4. lmpada eltrica e dois interruptores, um junto porta e outro prximo cabeceira da cama. Quando qualquer um dos interruptores for acionado, o circuito deve tornar- se aberto (desligado) se estiver previamente fechado (ligado) e vice-versa, independentemente do estado do outro interruptor. Soluo:`` Chamemos os interruptores do circuito de A e B. O problema se reduz a projetar uma combinao C de interruptores A e B, tal que a mudana de estado de qualquer um dos dois interruptores mude o estado do circuito C. Vamos considerar que a proposio c o estado do circuito C e as proposies a e b, os estados dos inter- ruptores A e B. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 17. 13 EM_V_MAT_003 A condio apresentada satisfeita quando c uma pro- posio que verdadeira se a e b so simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas, e que falsa em todos os outros casos. Assim, c = a b + a b A construo desse circuito est representada na figura abaixo: A A B B AB + AB Calcule o valor numrico da expresso:5. 0 625 1 3 2 3 4 0 777 8 , : , ... - - 9a) 6b) c) 9 10 d) 9 37 e) 9 45 Soluo:`` C 0.625 = 625 1000 = 5 8 0,777... = 7 9 5 1 7 15 8 78 3 9 24: : 2 2 128 124 3 3 7 3 72 9 . . 24 ( 10 ) 7 10 - - = = - - = - - Sejam A = {x6. R |3 x < 1}, B = [1, 2[ e C = ]2, 5/4[, determine: Aa) B C (A B)b) C (Ac) B) C Bd) C Soluo:`` -3 1 -1 2 5/4-2 A B C Basta fazer a representao grfica dos intervalos e efetuar as operaes indicadas. Aa) B C = [1, 1[ (A B)b) C = [3, 1[ C = [3, 5/4[ (Ac) B) C = [1, 1[ C = Bd) C = [1, 5/4[ Um conjunto A possui 2 elementos e um conjunto B pos-7. sui 3 elementos. Quantas so as relaes de A em B? Soluo:`` Quantidade de elementos do produto cartesiano n (A B) = n(A) n(B) = 2 3 = 6 Qualquer subconjunto de A B uma relao de A em B. Assim, a quantidade de relaes de A em B igual quantidade de subconjuntos de um conjunto de 6 elementos, ou seja, 26 = 64. Logo, h 64 relaes de A em B. (UFCE) Considere os grficos abaixo e assinale a afir-8. mativa verdadeira: O ponto A tem como coordenadas geogrficas 15a) lat. norte e 20 long. oeste de Greenwich. O ponto B est situado no hemisfrio meridional eb) na zona intertropical do globo. O ponto C est situado a oeste do ponto D.c) No existe diferena horria entre os pontos B e D.d) 10 35 30 405 55 15 D A C B 30 Soluo:`` A localizao de pontos na superfcie terrestre atravs de latitude e longitude guarda muitas similaridades com a representao de pares ordenados no plano cartesiano. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 18. 14 EM_V_MAT_003 (UNIRIO) Considerando os conjuntos A, B e C, a regio6. hachurada no diagrama abaixo representa: A B C Aa) (C B) b) Ab) (C B) Ac) (B C) d) (Ad) B) C Ae) (B C) (UFF) Considere os conjuntos representados abaixo:7. Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: P, Q e Ra) (Pb) Q) R (Pc) Q) R (Qd) R) P (Qe) R) P (UFF) Dados trs conjuntos M, N e P no-vazios tais8. que M N = P, considere as afirmativas: PI. N = MII. P = P PIII. (M N) = M Com relao a essas afirmativas conclui-se que: todas so verdadeiras.a) somente a II e a III so verdadeiras.b) somente a I e a II so verdadeiras.c) somente a I e a III so verdadeiras.d) nenhuma verdadeira.e) Entre 500 rapazes que estudam em uma escola,9. constatou-se que: 160 jogam futebol;1. 170 jogam vlei;2. 180 jogam basquete;3. Analisando a localizao do ponto B podemos observar que alatitudeestcrescendoparabaixooqueindicaqueoponto est no hemisfrio meridional (sul) e o valor de sua latitude de 10 S. Como o Trpico de Capricrnio est a 23 lat. sul, o ponto B encontra-se na zona intertropical (isto , entre os trpicos). A negao da proposio: Todos os gatos so negros :1. nenhum gato negro.a) alguns gatos no so negros.b) nenhum gato branco.c) todos os gatos so brancos.d) (UFF) Na cidade litornea de Ioretin rigorosamente2. obedecida a seguinte ordem do prefeito: Se no chover, ento, todos os bares beira-mar devero ser abertos . Pode-se afirmar que: se todos os bares beira-mar esto abertos, ento,a) choveu. se todos os bares beira-mar esto abertos, ento,b) no choveu. se choveu, ento, todos os bares beira-mar noc) esto abertos. se choveu, ento, todos os bares beira-mar estod) abertos. se um bar beira-mar no est aberto, ento, cho-e) veu. (PUC-RJ) Sejam x e y nmeros tais que os conjuntos3. {1, 4, 5} e {x, y, 1} sejam iguais. Ento, podemos afirmar que: x = 4 e y = 5a) xb) 4 yc) 4 x + y = 9d) x < ye) (UFF) Dados os conjuntos A = {x4. R |x| > 2} e B = {x R x2 16}, determine A B. (UFF) So subconjuntos do conjunto A = {{1}, 2, {1, 2},5. } os seguintes conjuntos: {{2}}, {1, 2}a) A,b) , {{2}} A,c) , {1, 2} A,d) , {1}, {2} A,e) , {2}, {{1}, 2} Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 19. 15 EM_V_MAT_003 50 jogam futebol e vlei;4. 80 jogam basquete e vlei;5. 60 jogam futebol e basquete;6. 30 jogam futebol, basquete e vlei.7. Pergunta-se Quantos no jogam vlei?a) Quantos s jogam basquete?b) Quantos praticam exatamente dois esportes?c) Quantos s praticam um dos esportes?d) Quantos jogam, somente, futebol e vlei?e) (UFF) Dado o conjunto P = {{0}, 0,10. , {}}, considere as afirmativas: {0}I. P {0}II. P III. P Com relao a essas afirmativas conclui-se que: todas so verdadeiras.a) apenas a I verdadeira.b) apenas a II verdadeira.c) apenas a III verdadeira.d) todas so falsas.e) (UFF) Os conjuntos no-vazios M, N e P esto, isolada-11. mente, representados abaixo. M N P Considere a seguinte figura que esses conjuntos formam. A regio hachurada pode ser representada por: Ma) (N P) Mb) (N P) Mc) (N P) N (Md) P) Ne) (P M) (ENEM) O nmero de indivduos de certa populao 12. representado pelo grfico abaixo. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Nmerodeindivduos(x1000) t (anos) Em 1975, a populao tinha um tamanho, aproximada- mente, igual ao de: 1960a) 1963b) 1967c) 1970d) 1980e) (ENEM) Jos e Antnio viajaro em seus carros com13. as respectivas famlias para a cidade de Serra Branca. Com a inteno de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegaro, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como no querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperar pelo outro, no mximo, meia hora; aps esse tempo, seguir viagem sozinho. Chamando de x o horrio de chegada de Jos e de y o horrio de chegada de Antnio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a regio OPQR ao lado indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y): Na regio indicada, o conjunto de pontos que representa o evento Jos e Antnio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horrio corresponde: Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 20. 16 EM_V_MAT_003 diagonal OQ.a) diagonal PR.b) ao lado PQ.c) ao lado QR.d) ao lado OR.e) Segundo o combinado, para que Jos e Antnio viajem14. juntos, necessrio que y x 1/2 ou que x y 1/2. I II III IV Antnio Jos 0 1/2 1/2 1 1 y= x1/2 y= x y= x-1/2 De acordo com o grfico e nas condies combinadas, as chances de Jos e Antnio viajarem juntos so de: 0%.a) 25%.b) 50%.c) 75%.d) 100%.e) (ENEM) Considerando que o Calendrio Muulmano15. teve incio em 622 da era crist e que cada 33 anos mu- ulmanos correspondem a 32 anos cristos, possvel estabelecer uma correspondncia aproximada de anos entre os dois calendrios, dada por: (C = Anos Cristos e M = Anos Muulmanos) C = M + 622 (M : 33).a) C = M 622 + (C 622 : 32).b) C = M 622 (M/33).c) C = M 622 + (C 622 : 33).d) C = M + 622 (M : 32).e) (ENEM 2004) Em quase todo o Brasil existem restau-16. rantes em que o cliente, aps se servir, pesa o prato de comida e paga o valor correspondente, registrado na nota pela balana. Em um restaurante desse tipo, o preo do quilo era R$12,80. Certa vez, a funcionria digitou por engano na balana eletrnica o valor de R$18,20 e s percebeu o erro algum tempo depois, quando vrios clientes j estavam almoando. Ela fez alguns clculos e verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por: 0,54a) 0,65b) 0,70c) 1,28d) 1,42e) (UERJ) Para calcular17. 3 2 12 5 - , Paulo subtraiu os nume- radores e dividiu o resultado por 10 obtendo: 3 2 12 5 3 12 10 0 9- = - = - , Determine de forma correta o valor da expressoa) 3 2 12 5 - . Considerando que Pb) aulo tenha calculado com base na frmula x y x y 2 5 10 - = - , onde x e y so reais, identifique o lugar geomtrico dos pontos (x, y) do plano cartesiano que tornam essa igualdade verda- deira. Esboce, tambm, o grfico cartesiano. (CESGRANRIO) A interseo dos trs conjuntos R18. C, (NZ)Q e N(ZQ) : Na) b) Qc) Rd) Ze) (UERJ) Um restaurante19. self-service cobra pela refeio R$6,00, por pessoa, mais uma multa pela comida deixada no prato, de acordo com a tabela: Intervalo do desperdcio (em gramas) Multa (em reais) [0,100[ 0 [100, 200[ 1 [200, 300[ 2 [300, 400[ 3 Se Julia pagou R$9,00 por uma refeio, indiquea) a quantidade mnima de comida que ela pode ter desperdiado. Y o valor total pago em reais, por pessoa, e Xb) a quantidade desperdiada, em gramas. Esboce o grfico de Y em funo de X. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 21. 17 EM_V_MAT_003 (PUC-RJ) A soma 1,3333... + 0,16666... igual a:20. 1/2a) 5/2b) 4/3c) 5/3d) 3/2e) (PUC-RJ) Dividir um nmero por 0,0125 equivale a21. multiplic-lo por: 1 125 a) 1 8 b) 8c) 12,5d) 80e) (UFF) O nmero22. 2 pertence ao intervalo: [1, 3/2 ]a) (1/2, 1]b) [3/2 , 2]c) (1, 1)d) [3/2, 0)e) (UFF 2001) O elenco de um filme publicitrio composto23. por pessoas com cabelos louros ou olhos verdes. Sabe- se que esse elenco tem, no mximo, vinte pessoas dentre as quais, pelo menos, doze possuem cabelos louros e, no mximo, cinco possuem olhos verdes. No grfico a seguir, pretende-se marcar um ponto P(L,V), em que L representa o nmero de pessoas do elenco que tm cabelos louros e V o nmero de pessoas do elenco que tm olhos verdes. y 20 5 0 12 20 x R2 R1 R4 R5 R3 O ponto P dever ser marcado na regio indicada por: Ra) 1 Rb) 2 Rc) 3 Rd) 4 Re) 5 Considere as seguintes premissas.1. Quem sabe caar borboletas no engraado.1. Coelhos no sabem andar de bicicleta.2. Quem no sabe andar de bicicleta engraado.3. Dentre as sentenas a seguir, diga qual pode ser a concluso das premissas: Quem no sabe andar de bicicleta coelho.a) Quem sabe andar de bicicleta no engraado.b) Quem no sabe caar borboleta engraado.c) Coelhos no sabem caar borboletas.d) As pessoas engraadas no sabem andar de bici-e) cleta. (UFF) As trs filhas de Seu Anselmo Ana, Regina e2. Hel vo para o colgio usando, cada uma, seu meio de transporte preferido: bicicleta, nibus ou moto. Uma delas estuda no Colgio Santo Antnio, outra no So Joo e outra no So Pedro. Seu Anselmo est confuso em relao ao meio de transporte usado e ao colgio em que cada filha estuda. Lembra-se, entretanto, de alguns detalhes: Hel a filha que anda de bicicleta; a filha que anda de nibus no estuda no Colgio Santo Antnio; Ana no estuda no Colgio So Joo e Regina es- tuda no Colgio So Pedro. Pretendendo ajudar Seu Anselmo, sua mulher junta essas informaes e afirma: Regina vai de nibus para o Colgio So Pedro.I. Ana vai de moto.II. Hel estuda no Colgio Santo Antnio.III. Com relao a estas afirmativas, conclui-se: apenas a I verdadeira.a) apenas a I e a II so verdadeiras.b) apenas a II verdadeira.c) apenas a III verdadeira.d) todas so verdadeiras.e) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 22. 18 EM_V_MAT_003 (UNIFICADO) Se A = {x3. R x < 1}, B = {x R 1 < x 3} e C = {x R x 0}, ento o conjunto que representa (A B) C : {xa) R 1 < x < 0} {xb) R 1 < x 0} {xc) R1 < x < 1} {xd) R x 3} {xe) Rx > 1} Um conjunto A tem4. n elementos e p subconjuntos e um conjunto B tem 3 elementos a mais do que o conjunto A. Se q o nmero de subconjuntos de B, ento: q = 3pa) p = 8qb) p = q + 8c) p/q = 1/8d) q = p + 8e) (UFF) Com relao aos conjuntos5. P = {x Z | | x | 7 } e Q = {x Z | x2 0,333...} afirma-se: PI. Q = P Q P = {0}II. PIII. Q PIV. Q = Q Somente so verdadeiras as afirmativas: I e III.a) I e IV.b) II e III.c) II e IV.d) III e IV.e) (UNIRIO) Considere trs conjuntos A, B e C, tais que:6. n(A)=28,n(B)=21,n(C)=20,n(AB)=8,n(BC)=9, n (A C) = 4 e n(A B C) = 3. Assim sendo, o valor de n ((A B) C) : 3a) 10b) 20c) 21d) 24e) (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de trs7. modalidades de esporte: natao, tnis e futebol. Nenhum associado pode se inscrever simultaneamente em tnis e futebol,pois,porproblemasadministrativos,asaulasdesses dois esportes sero dadas no mesmo horrio. Encerradas asinscries,verificou-seque:dos85inscritosemnatao, 50 s faro natao; o total de inscritos para as aulas de tnis foi de 17 e, para futebol, de 38; o nmero de inscritos s para as aulas de futebol excede em 10 o nmero de inscritos s para as de tnis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natao? (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de plulas anticon-8. cepcionais, fabricadas pela Nascebem S.A., foi enviada para a fiscalizao sanitria. Notestedequalidade,60foramaprovadase40reprovadas, por conterem plulas de farinha. No teste de quantidade 74 foram aprovadas e 26 reprovadas por conterem um nmero de plulas menor do que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes? (UNB) Uma pesquisa com 1 000 pessoas revelou que9. 70% delas tm aparelho de som, 85% tm telefone, 47,2% tm computador e 98,7% tm televisor. Nessa situao, considere que S, F, C e T representam, respectivamente, os conjuntos das pessoas que possuem aparelho de som, telefone, computador e televisor. Considerando ainda que x representa o nmero de pessoas do con- junto X e que XC representa o conjunto complementar de X, julgue os itens que seguem. S1. F C T 472 2. C +TC = 488 S3. C FC 450 4. S F C T 9. (UFF) O seguinte enunciado verdadeiro:10. Se uma mulher est grvida, ento a substncia gonadotrofina corinica est presente na sua urina. Duas amigas, Ftima e Mariana, fizeram exames e constatou-se que a substncia gonadotrofina corinica est presente na urina de Ftima e no est presente na urina de Mariana. Utilizando a proposio enunciada, os resultados dos exames e o raciocnio lgico-dedutivo: garante-se que Ftima est grvida e no sea) pode garantir que Mariana est grvida. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 23. 19 EM_V_MAT_003 (UNB) Em uma pesquisa realizada com um grupo de 10011. turistas, constatouse que 42 falam ingls, 12 falam ingls e italiano, 18 falam espanhol e ingls e 16 falam espanhol e italiano. O nmero de turistas que falam espanhol , precisamente, 50% maior que o nmero daqueles que falam italiano. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir. O nmero de turistas que falam italiano igual a 2/3()( do nmero dos que falam espanhol. Se nove dos turistas consultados falam as trs ln-()( guas, espanhol, ingls e italiano, enquanto cinco de- les no falam nenhuma dessas lnguas, ento, mais da metade dos turistas falam espanhol. Se nove dos turistas consultados falam as trs ln-()( guas, espanhol, ingls e italiano, enquanto cinco de- les no falam nenhuma dessas lnguas, ento, exata- mente 24 desses turistas falam apenas ingls. Se todos os turistas falam pelo menos uma das trs()( lnguas, ento, escolhendose aleatoriamente um dos turistas, a chance de ele falar italiano ser maior que 30%. (UFF) Calcule o valor da expresso:12. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + +( ) (UFF) Dos 135 funcionrios de uma empresa localizada13. em Niteri, 2/3 moram na cidade do Rio de Janeiro. Dos funcionrios que moram na cidade do Rio de Janeiro, 3/5 usam nibus at a estao das barcas e, em seguida, pegam uma barca para chegar ao trabalho. Sabe-se que 24 funcionrios da empresa usam exclusivamente seus prprios automveis para chegar ao trabalho, sendo que 1/3 destes no mora na cidade do Rio de Janeiro. Os demais funcionrios da empresa usam somente nibus para chegar ao trabalho. Determine: o nmero de funcionrios que usam somente ni-a) bus para chegar ao trabalho; o nmero de funcionrios da empresa que usamb) somente nibus para chegar ao trabalho e que no moram na cidade do Rio de Janeiro. (UFF) Considere o conjunto X dos nmeros racionais da14. forma p 3 , com p Z+ *, tais que p e 3 so primos entre si. A soma dos elementos de X, que so maiores que cinco e menores que 12, : 17a) 51b) 119c) 170d) 510e) (UNIRIO) Um grupo de amigos vai acampar num final15. de semana. Sabendo-se que numa certa hora da manh de domingo, o equivalente a um tero desse grupo est envolvido com o preparo do almoo, o equivalente metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, o equivalente dcima parte desses dois subgrupos colhe flores nas redondezas e um elemento do grupo deleita- se com um livro de crnicas de Zuenir Ventura, quantos elementos tem esse grupo de amigos? 18a) 24b) 12c) 6d) 30e) (UNICAMP) Sabe-se que o nmero natural D, quando16. dividido por 31, deixa resto r e que o mesmo nmero D, quando dividido por 17, deixa resto 2r. Qual o maior valor possvel para o nmero naturala) r? Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quo-b) ciente for igual a 7, calcule o valor numrico de D. (FUVEST-SP) Uma senhora tinha entre trinta e quarenta17. aes de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, deixaria 1 ao sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo nmero de aes, ela observou que sobrariam 3 aes. Nessa ltima situao, quantas aes receber cada neto? 6a) 7b) 8c) garante-se que Mariana no est grvida e nob) se pode garantir que Ftima est grvida. garante-se que Mariana est grvida e que Fti-c) ma tambm est grvida. garante-se que Ftima no est grvida e no sed) pode garantir que Mariana est grvida. garante-se que Mariana no est grvida e quee) Ftima est grvida. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 24. 20 EM_V_MAT_003 9d) 10e) (UFRJ) Cntia, Paulo e Paula leram a seguinte informao18. numa revista: conhece-se, h mais de um sculo, uma frmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em funo da altura: P = (a 100) ((a 150)/k) onde P o peso em quilos, a a altura em centmetros e k = 4 para homens e k = 2 para mulheres. Cntia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as con-a) tas com k = 2 e constatou que, segundo a frmula, estava 3 quilos abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cntia. Paulo e Paula tm a mesma altura e ficaram felizesb) em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal, segundo a informao da revista. Sa- bendo que Paulo pesa 2 quilos a mais do que Paula, determine o peso de cada um deles. Em face dessas informaes, faa o que se pede nas alternativas a seguir, desprezando no resultado final a parte fracionria. Determine o numerador da frao irredutvela) q = + + + 2 1 2 1 3 1 Escreva q (127 : 52) como uma frao irredutvelb) e determine o seu numerador. Escrevendo q (127 : 52) como uma frao irre-c) dutvel, encontre a soluo (x, y) da equao (I) e calcule o valor de x + y. (UFSCAR) Um determinado corpo celeste visvel19. da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela ltima vez no ano de 1968. De acordo com o calendrio atualmente em uso, o primeiro ano da era Crist em que esse corpo celeste esteve visvel a olho nu da Terra foi o ano: 15a) 19b) 23c) 27d) 31e) (UNB) Encontrar solues inteiras para uma equao20. linear pode ser necessrio quando se trata de aplicaes que envolvem variveis que no podem ser fracionrias, como, por exemplo, o nmero de habitantes de um pas. Nesse sentido, deseja-se encontrar uma soluo da equao ( I ) 52x 127y = 1, de modo que x e y sejam nmeros inteiros positivos e, para tanto, considera-se a seguinte frao contnua finita: 127 52 2 1 2 1 3 1 1 1 5 = + + + + Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 25. 21 EM_V_MAT_003 B1. E2. D3. A4. B = [4, 2[ ]2, 4] E5. E6. 7. P = { 3, 4, 5, 7}; Q = { 1, 2, 3, 7} e R = { 2, 5, 6, 7}a) (Pb) Q) R = {3} (Pc) Q) R = {2, 5, 7} (Qd) R) P = {1, 2, 6} (Qe) R) P = {2, 3, 4, 5, 7} A8. 9. 330a) 70b) 100c) 220d) 20e) A10. B11. B12. A13. D14. A15. C16. 17. 0,9a) Reta.b) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 26. 22 EM_V_MAT_003 y x 4 1 E18. 19. 9 6 = 3 reaisa) Desperdcio mnimo = 300 g b) y (R$) x (g) 6 100 200 400 300 E20. E21. C22. D23. D1. B2. A3. D4. B5. B6. 237. 488. V, F, V, V9. B10. V, V, F, V11. 625/168112. 13. 57a) 37b) C14. C15. 16. 8a) 129b) B17. 18. 164cma) Paulo 56kg e Paula 54kgb) A19. 20. 22a) 1b) (22,9) e 31c) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 27. 23 EM_V_MAT_003 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 28. 24 EM_V_MAT_003 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br