fundamentos da anÁlise i aula 10: cortes e intervalos prof. mário alves

FUNDAMENTOS DA ANÁLISE I

Aula 10: Cortes e IntervalosAula 10: Cortes e Intervalos

Prof. Mário AlvesProf. Mário Alves

Aula 10: Noções de TopologiaAula 10: Noções de Topologia

FUNDAMENTOS DA ANÁLISE IFUNDAMENTOS DA ANÁLISE I

Conteúdo Programático desta aula

Espaço Vetorial; Produto interno e Norma; Bola aberta e bola fechada



ESPAÇO VETORIAL- Dizemos que um conjunto é um espaço vetorial

sobre R quando, e somente quando:1)Existe uma adição em V com as seguinte

propriedades: a)Comutativa:b) Associativa:c) Existe tal qued) existe tal que

.



ESPAÇO VETORIAL2) Existe uma multiplicação de R x V em V, o que

significa que cada par de R x V está associado a um único elemento de V que indica por e para esta multiplicação temos as seguintes propriedades, para quaisquer :

a) b)c)d)

.



ESPAÇO VETORIAL- Assim, um espaço vetorial é um conjunto munido de

duas operações binárias: adição vetorial e multiplicação escalar, onde o elemento u+v é dito vetor soma de u e v, e o elemento é chamado produto de e u.

Exemplo: V = R² para

para - V, munido das operações definidas acima, é um espaço

vetorial.

.

22

11

2

1

2

1

yxyx

yy

xx 2

2

1

2

1 ,

yy

xx

2

1

2

1

xx

xx

K2

2

1

xx



PRODUTOS INTERNOS- Consideremos V um espaço vetorial. Dizemos que a

função:

é um produto interno (produto escalar) quando satisfaz as seguintes propriedades:

1) 2) 3)

.



PRODUTOS INTERNOS4) e , 5) ,

Nota: utiliza-se como notação de produto interno também:

<.,.>Exemplo: <x,y> = x.y

Quando temos um espaço vetorial no qual está definido um produto interno, dizemos então que é um espaço vetorial com produto interno.

.



PRODUTOS INTERNOS- Em , podemos definir um produto interno da forma:

- Esse produto é chamado de produto interno canônico.

- Dizemos que um espaço vetorial em munido com o produto interno é um espaço euclidiano e representa por

.

.

nnnn yxyxyxyyyxxx 22112121 ),,(),,(



NORMA- Seja V um espaço vetorial. Dizemos quem uma

norma em V é uma função em R, isto é e que satisfaz:

1) , ;2) ;3) , ;4) , .

- Percebemos que tal conceito está ligado ao conceito de comprimento de um vetor e/ou distância entre dois pontos.

.

xx



NORMA- Todo produto interno <,> de induz uma norma ||

|| em . Esta norma é dita norma euclidiana que, para cada

, associa a .

- Um espaço vetorial no qual está definida uma norma é dito espaço normado.

Exemplo: Em , podemos definir uma norma da forma:

.

21

22221 21

),,(nxxxxxx n



MÉTRICA- Chamamos de métrica em A a aplicação:

- Assim, o espaço vetorial com métrica definida por uma norma é denominado espaço vetorial métrico induzido pela norma, ou somente Espaço Métrico.

.



ESPAÇO CARTESIANO- Chamamos de espaço cartesiano real p-dimensional ao

conjunto munido:1) Da adição vetorial e da multiplicação por escalar:

(x1, x2,... xp ) + (y1, y2, ..., yp) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xp + yp)

2) Do produto interno:

3) Este produto interno produz a norma

Obs.: Os números reais são ditos coordenadas ou componentes do vetor

.

),,,(),,( 2121 pp xxxxxx

pppp yxyxyxyyyxxx 22112121 ),,(),,(

22221 21

),,( pp xxxxxx

pxxx ,, 21

),,( 21 pxxxx



BOLA ABERTA, BOLA FECHADA E ESFERA- Sejam , :

1) Dizemos que o conjunto é uma bola aberta de centro x e raio r;

2) Dizemos que o conjunto é uma bola fechada de centro x e raio r;

3) Dizemos que o conjunto é uma esfera de centro x e raio r.

.



CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS- Uma bola aberta de centro x e raio r é também

chamada de vizinhança de x e indicada por N(x,r) = ou ainda, utilizando a noção de distância, .

- Diz-se que um ponto é dito ponto interior de um conjunto , se existe uma vizinhança de x totalmente contida em A, ou seja, tal que .

- Analogamente, será ponto exterior deste conjunto se existe uma vizinhança de x inteiramente contida no complementar de A, ou ainda, tal que .

.

ryxy p /

ryxdyrxN p ),(/),(

px pA

ArxN ),(

ArxN p ),(



CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS- Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r

contém em ponto G e um ponto do complementar de G ( ), diz-se que x é um ponto fronteira de G.

- Diz-se que A é um conjunto fechado se e somente se contém todos os seus pontos fronteira.

- Diz-se que A é um conjunto aberto se e somente se A não contém nenhum de seus pontos fronteira.

.

Gp



CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOSPropriedade de Conjuntos Fechados:

- A união de dois conjuntos fechados quaisquer é fechada em ; e

- A interseção de qualquer coleção de conjuntos fechados é fechada em .

.

p

p



PONTO DE ACUMULAÇÃO

- Diz-se que é ponto de acumulação de se toda vizinhança de x - - contem pelo menos um ponto de A distinto de x.

.

px pA

),( xN

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