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Fundamentos da Matemática

PROF. VLAMIR TEIXEIRA

2º SEMESTRE LETIVO: 2013

2

ÍNDICE

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS ...............................................................................................

2. INTERVALOS........................................................................................................................

3. EXERCÍCIOS.........................................................................................................................

5. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E REVISÃO GERAL – PROPRIEDADES BÁSICAS

DA ÁLGEBRA: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVIS.........................

4. EXERCÍCIOS........................................................................................................................

5. POTENCIAÇÃO ..................................................................................................................

6. RADICIAÇÃO ......................................................................................................................

7. RACIONALIZAÇÃO............................................................................................................

8. EXERCÍCIOS........................................................................................................................

9. CÁLCULO LGÉBRICO........................................................................................................

10. POLINÔMIOS .....................................................................................................................

11. EXERCÍCIOS........................................................................................................................

12. FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS.......................................................................

13. EXERCÍCIOS........................................................................................................................

14. EQUAÇÃO E SISTEMA DO 1º GRAU..............................................................................

15. EXERCÍCIOS.......................................................................................................................

16. EQUAÇÃO DO 2º GRAU..................... .............................................................................

17. EXERCÍCIOS......................................................................................................................

18. A TRIGOOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO..................................................

19. MEDIDAS DE ÂNGULOS E ARCOS; GRAUS E RADIANOS......................................

21. EXERCÍCIOS.....................................................................................................................

22. SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO.....................................................

23. LEI DOS SENOS................................................................................................................

3

24. LEI DOS COSSENOS..................................................................................................

25. EXERCÍCIOS...............................................................................................................

26. POTENCIAS E EXPONENCIAS DE BASE e..........................................................

27. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS..................................................................................

28. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS.................................................................................

29. EXERCÍCIOS.............................................................................................................

30. NÚMEROS COMPLEXOS.........................................................................................

31. COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA................................................................

32. COMPLEXOS NA FORMA POLAR..........................................................................

33. COMPLEXOS NA FORMA EXPONENCIAL..........................................................

34. EXERCÍCIOS...............................................................................................................

35. BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................

4

CONJUNTOS NUMÉRICOS I) Números Naturais Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. N = { 1 , 2 , 3 , ... } II) Números Inteiros Pertencem ao conjunto dos números inteiros, os números negativos e também os Números Naturais. Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }

Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }

N Z

→ Inteiros não nulos são os números inteiros, menos o zero. Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z. Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} → Inteiros não positivos são os números negativos incluindo o zero. Na sua representação deve ser colocado _ ao lado do Z. Z_ = {..., -3, -2, -1, 0} → Inteiros não positivos e não nulos são os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z. Z*_ = {..., -3, -2, -1} → Inteiros não negativos são os números positivos incluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z. Z + = { 0,1 ,2 ,3, 4,...} O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

5

→ Inteiros não negativos e não nulos são os números do conjunto Z+, excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z. Z* + = {1, 2, 3, 4,...} O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N* III) Números Racionais → São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Esses números tem a forma b

a com a , b Z e b ≠ 0.

→ Números decimais exatos são racionais

4

3

100

7575,0

4

1

100

2525,0

10

33,0

→ Números decimais com expansão infinita periódica são racionais. São dízimas periódicas simples ou compostas:

........2555,090

23

.........363636,011

4

.......333,03

1

08,0100

81008

........666666,113

35335

4,05

252

6

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = {x =b

a, com a Z e b Z*}

→ subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. Q

* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. Q

*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.

Q

*- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.

→ Representação Geométrica

IV) Números Irracionais → São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Exs: = 3,141592654... no número pi, após a virgula, não existe formação de períodos, por isso é

considerado irracional.

3 = 1,73205... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não

formam períodos), então é irracional. A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.

7

V) Números Reais → É a reunião (união) do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....

Resumindo:

Intervalos : Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo fechado nos extremos a e b:

bxaRxba /,

Intervalo fechado em a e aberto em b:

bxaRxba /,

Intervalo aberto em a e fechado em b:

bxaRxba /,

Intervalo aberto em a e b:

bxaRxba /,

Temos também:

axRxa /,

bxRxb /,

Exercícios resolvidos 1) Represente na reta real os intervalos: a) [1;7] b) [3;9[ Note que não inclui o ponto 9.

8

2) Sendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo: a) A ∩ B Analisando as retas abaixo, constatamos que a intersecção entre A e B é dada pela área compreendida entre 3 e 7. Logo: A ∩ B = [3;7] b) A U B Novamente analisando as retas, constamos que a união entre A e B é dada pela área compreendida entre 1 e 9, não contando 9, pois [3;9[ Logo: A U B = [1;9[ Exercícios: 1) Represente na reta real os seguintes intervalos: a) ]−3;4] b) [1;4]

c) [2;+∞ [ d) ]−∞;1] 2) Sendo A=]−1;3] e B=[3;5[, determine: a) A ∩ B b) A U B 3) Sendo A=[1;4] e B=]−1;2], determine: a) A U B b) A ∩ B

9

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Adição e Subtração + + = + + – = – – + = – – – = + Na soma de dois números inteiros com sinais iguais, o valor absoluto será a soma das parcelas, e o sinal será o mesmo das parcelas. Exercício Resolvido: (+ 5) + (+ 4) = + 9 (− 5) + (− 4) = − 9 Na soma de dois números inteiros com sinais diferentes, o valor absoluto será a diferença das parcelas e o sinal será o da parcela de maior valor absoluto. Exercício Resolvido: (−5) + (+ 4) = − 1 A Soma de dois números inteiros opostos é ZERO. Exercício Resolvido: (+ 10) + (- 10) = 0

10

Multiplicação ( + ) . ( + ) = ( + ) ( + ) . ( – ) = ( – ) ( – ) . ( + ) = ( – ) ( – ) . ( – ) = ( + ) Produto de dois números inteiros com sinais diferentes. (+5) × (– 2) = –10

(−4) × (+ 3) = −12 Produto de dois números inteiros com sinais iguais. (+ 8) × (+5) = + 40

(– 6) × (– 15) = + 90 Divisão ( + ) ÷ ( − ) = ( − ) ( – ) ÷ ( + ) = ( – ) ( + ) ÷ ( + ) = ( + ) ( – ) ÷ ( – ) = ( + ) Observações: • Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 ÷ 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja 15. → Quociente de dois números inteiros com sinais iguais.

Exercício Resolvido:

(– 60) ÷ (– 10) = + 6

(+ 60) ÷ (+ 10) = + 6

→ Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes.

Exercício Resolvido:

(–45) ÷ (+5) = – 9

(+45) ÷ (–5) = – 9

11

Potenciação de Números Reais

Número inteiro no expoente

16

81

2

3

3

2)4

251

5

1

5

5

1)3

64

1

4

14)2

4

1

2

1

2

12)1

:

1

44

2

222

3

3

2

22

2

1

Exercícios

aa

Propriedades da potenciação → Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

5432432

9432432

52323

777.7.7)3

101010.10.10)2

555.5)1

:

.

Exercícios

aaa yxyx

→ Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e subtrair os expoentes”.

7823)8()2(3823

23535

3

3

35252

4444:4:4)3

666:6)2

33

1

3.3.3.3.3

3.3,,333:3)1

:

:

sejaou

Exercícios

aaa yxyx

12

→ Potência de potência

124.343

84.242

.

222

333

yxyx aa

→ Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”.

222

5555

273.9

24)6.4(6.4

)(.

xxx abba

→ Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.

444

55

555

7321

3

2

4

6)46(46

)(

xxx baba

Exemplos:

1) 2³ = 2.2.2=8

2) 10101

3) 10101

4) 4

1

2

12

2

2

5) 1064 aaa

6) 2222

2 134

3

4

7) 3663232 2222

8) 9

4

3

2

3

22

2

2

9) 6422 632

10) 9333 212212

13

Radiciação

Dada a seguinte expressão:

raizx

índicen

radicandoa

radicalxan

* Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, quando n=4 chama-se raiz quarta, etc.

Raízes exatas

Aplicando o uso da fatoração para o cálculo de raízes. Exemplo 1

12144123.2.2144 222 édequadradaraiz

1

3933

39

24218

236

24272

2144

144

2

2

2

Fatorando

Exemplo 2

25625255.5625 22 édequadradaraiz

1

52555

525

5255125

5625

625

2

2

Fatorando

14

Exemplo 3 Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm³?

9

729

729

729

)(:

:

3

3

3

x

x

x

xxx

xxxLcubodoVolume

xAresta

A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm³ de volume é igual a 9 cm. Raízes não-exatas As raízes que não possuírem como resultado um número inteiro positivo, terá como resultado um número irracional. Exemplo 1 Simplifique o seguinte radical:

80

54522

52280

22

22

queTemos

Exemplo 2

353575 2 Exemplo 3

76732252 22

Outros exemplos:

a) 3 27 3

b) 25 5

c) 4 não existe

d) 3 27 - 3

d) 9 3

e) 9 3

15

Propriedades da Radiciação:

pn pmn m

n mn

m

mm

aa

aa

aa

b

a

b

a

baab

)5

)4

)3

)2

.)1

Exemplos:

2444)9

.6.6.6)8

6.66.666)7

2242

8

2

82:8)6

4222.22.2)5

3

2

9

4

9

4)4

124.316.916.9)3

44)2

3999)1

2 12

1

12 43 4 43 4

44 14 44 55

4

4 2444

444

23 63 423 43 2

39 3

2 18 4

aaa

Racionalização Existem frações cujo denominador é irracional. Como:

, , Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.

16

1º Caso:

2

2

2

2

2

1

2

1

22

1

anteracionalizFator

2º Caso:

6

3

32

3

3

3

32

1

32

1

332

1

anteracionalizFator

3º caso:

3 23 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

33

3 2

3

22

22

2

22

22

22

2

2

2

2

2

2

22

2

anteracionalizFator

4º Caso:

2323

23

23

23

23

1

23

1

2323

1

anteracionalizFator

5º Caso:

22212

)12(2

12

12

12

2

12

2

1212

2

anteracionalizFator

17

Resolva:

1) 310

7

2) 5 32.3

4

3) 13

3

4) 3 2.2

a

5)

22

21

6) 6 2

2

ab

ba

7)

15

15

8) 3 2

8

9) 132

11

Cálculo Algébrico Expressões Algébricas são aquelas que contém termos literais e numéricos 2ax² + bx

Variáveis são as partes literais das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido. 2ax parte numérica → 2 parte literal → ax Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações.

Sendo, x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y

→ 1² + 2 = 3 Portando o valor numérico da expressão é 3.

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POLINÔMIOS Monômio: um termo onde a parte numérica e a literal estão ligados apenas por produtos. 4x Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. 4x + 2y → Neste caso temos um binômio. Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis ) 2 x³ y² z e 3 x³ y² z → são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. Adição e Subtração de expressões algébricas → Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z − 3x³ y² z = −x³ y² z → Convém lembrar das regras de sinais. → Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) =

= x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = = x³ + y² +3

Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas → Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva. 1) a ( x + y ) = ax + ay 2) (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by → Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. x ( x ² + y ) = x³ + xy → Na divisão de potências de mesma base devemos conservar a base e subtrair os expoentes.

1) 4x² ÷ 2 x = 2 x 2) ( 6 x³ - 8 x ) ÷ 2 x = 3 x² − 4

19

3) (x4 – 5x

3 + 9x

2 – 7x +2) ÷ (x

2 – 2x + 1) = x

2 – 3x + 2

[Resolução] Exercícios: 1) Calcule:

Exemplo: (3x² + 2x − 1) + (−2x² + 4x + 2) = 3x² + 2x – 1 − 2x² + 4x + 2 = x² + 6x + 1

a) (3a − 2b + c) + (−6a – b − 2c) + (2a + 3b − c)

b) (3x² − 1/3) − (6x² − 4/5)

c) (2ª − 3ab + 5b) − (−a – ab + 2b) 2) Efetue e simplifique:

Exemplo: (2x + 3).(4x + 1) = 8x² + 2x + 12x + 3 = 8x² + 14x + 3

a) (2a + 3b).(5a − b)

b) (x − y).(x² − xy + y²)

c) (3x − y).(3x + y).(2x − y) 3) Simplifique:

Exemplo: xyyx

yx2

5

102

23

a) 2

23

2

8

ab

ba

b)

a

aaa

2

824 23

c) 32

23

6

18

yx

yx

4) O valor da expressão a³ − 3a² x² y², para a = 10, x = 3 e y = 1 é: 5) Se A = (x − y)/xy, x = 2/5 e y = 1/2, então A é igual a:

20

Fatoração Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x + y) Fator Comum em evidência Dado o polinômio: ax + ay → Colocamos o fator comum “a” em evidência. Forma fatorada = a.(x + y) Exemplos: a) bx + by − bz = b.(x + y − z) b) 2x

2 – 4xy = 2x(x – y)

c) 12ax

2z + 24axz

2 – 12a

2xz = 12axz.(x + 2z – a)

d) (a + b)x + (a + b)y = (a + b).(x + y) e) x

3 + 2x

2 – x = x.(x

2 + 2x – 1)

Fatoração por agrupamento Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência: a.(x + y) + b.(x + y) Agora o polinômio possui um novo termo em comum → (x + y) e colocando-o em evidência: (x+y).(a+b) Portanto: ax + ay + bx + by = (x + y).(a + b) Exemplo I:

2 3 3

. .

( 3) ( 3)

. . ( 3)

( 3).( )

x x ax a

F C x e a

x x a x

Novo F C x

Forma fatorada x x a

Exemplo II:

2 2 3 3

2 2

2 3

2 3

2 2

. .

(2 ) (2 )

. . (2 )

(2 )( )

b ab c ac

F C b ec

b a c a

Novo F C a

Forma fatorada a b c

21

Fatoração por diferença de quadrados: Transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, e extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. Exemplos:

a) a2 – b

2 = (a + b) . (a – b)

b) 16a2 – 1 = (4a + 1) . (4a – 1)

c) x2 – 9 = (x + 3) . (x – 3)

)]21).(21).[(41(

)41).(41(

161)

2

22

4

xxx

xx

xc

Repare que podemos fatorar a expressão duas vezes Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

Os trinômios 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) a ab b e a ab b são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva

(a + b) e (a - b) ao quadrado.

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(a – b)2 = a

2 – 2ab + b

2

Fatorando I: 4x

2 – 12xy + 9y

2

| |

24x

29y

| | 2x 3y |_____ ____| | 2.2x.3y = 12xy é igual ao segundo termo de 4x

2 – 12xy + 9y

2

Portanto é um trinômio do quadrado perfeito.

forma fatorada de 4x2 – 12xy + 9y

2 (2x – 3y)

2

22

Fatorando II: 4x

2 + 12xy + 9y

2

| |

24x

29y

| | 2x 3y |_____ ____| | 2.2x.3y = 12xy é igual ao segundo termo de 4x

2 + 12xy + 9y

2

Portanto é um trinômio do quadrado perfeito.

forma fatorada de 4x2 + 12xy + 9y

2 (2x + 3y)

2

Exemplo I:

a) x2 – 10x + 25 =

[Solução] → (x – 5)2

b)16x2 + 24xy + 9y

2 =

[Solução] → (4x + 3y)2

Exemplo II:

2

2

2 2

2

) 3 6 3

. . 3

3( 2 1)

( 2 1), ( 1)

:

3( 1)

a x x

F C

x x

Agora temos um trinômio do quadrado perfeito

Fatorando x x teremos x

Então

x

4 2

4 2

4 2 2 2

2 2

) 25 100

. . 25

25.( 4 )

( 4 ), ( 2 ).( 2 )

:

25.( 2 ).( 2 )

b a b

F C

a b

Agora temos um quadrado da soma pela diferença

Fatorando a b teremos a b a b

Então

a b a b

23

Exercícios Exemplos: ax + 2a = a(x + 2) a² − b² = (a + b)(a − b) a² − 4ab + 4b² = (a − 2b)² 2x² − 2 = 2(x² − 1) = 2(x + 1)(x − 1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: a) 3ax − 7ay =

b) x³ − x² + x =

c) x³y² + x²y² + xy² =

d) a²b² − ab³ =

e) a² + ab + ac + bc =

f) x² − b² =

g) x² − 25 =

h) 169

22 yx =

i) x² + 4x + 4 =

j) a² + 6ab + 9b² =

l) 144x² − 1 =

m) ab + ac + 10b + 10c =

n) 4a² − 4 =

o) x³y − xy³ =

p) x² + 16x + 64 =

q) 2x² + 4x + 2 =

24

Equação e sistema do 1º grau

Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.

Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro. Exemplos:

I) 2x – 8 = 10

2x = 10 + 8

2x = 18

x = 9 V = {9}

II) 3 – 7.(1 − 2x) = 5 – (x + 9)

3 – 7 + 14x = 5 – x – 9

14x + x = 5 – 9 – 3 + 7

15x= 0 x = 0 V= {0}

Exercícios

1) Resolva as seguinte equações: a) 2x – 3 = 17

b) 4x + 7 = x − 8

c) 3 − 7(1 − 2x) = 5 − (x − 9)

d) 2(2x + 7) + 3 (3x − 5) = 3(4x + 5) − 1

e) 12

53

8

1

6

32

xxx

f) 6

1

3

12

4

xxx

g) 4

22

3

2 xxx

25

2) Resolva os seguintes sistemas:

a)

123

102

yx

yx

b)

14

1032

yx

yx

c)

7

3

5

2

7

yx

yx

d)

9)2(5)1(8

4)2(3)1(5

yx

yx

3) Problemas com sistemas já montados: a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos? [Solução] x + y = 23 2x + 4y = 82 b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma? [Solução] x + y = 25 x – y = 13 c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números? [Solução] x + y = 50 x = 2y – 1 d) Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa? [Solução] x + y = 50 x = 1/4y e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira? [Solução] x = 2y x + 2y = 30

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Equação do 2º Grau 2x + 1 = 0, o expoente da variável x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau. 2x² + 2x + 6 = 0, temos duas variáveis x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau. x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, onde a é o coeficiente do monômio de grau 2, b é o coeficiente do monômio de grau 1 e c é o termo independente.

Exemplos: Equação a b c

x²+2x+1 1 2 1

5x-2x²-1 -2 5 -1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b = 0 x² − 9 = 0 x² = 9

x = 9

x = 3 V = {+3, −3}

2º caso: c = 0 x² − 9x = 0 Basta fatorar o fator comum x x.(x − 9) = 0 x = 0 e x – 9 = 0 x = 9 V = {0, 9}

3º caso: b = c = 0 2x² = 0 x = 0 V = {0} Fórmula de Bháskara:

2.

bx

a

onde: 2 4. .b a c

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Exemplo I: Vamos determinar pelo método de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆) ∆ = b² – 4.a.c ∆ = (–2)² – 4.1.(–3) ∆ = 4 + 12 ∆ = 16 2º passo

}3,1{

12

2

2

42''

32

6

2

42'

2

42

1.2

16)2(

.2

V

x

x

x

x

a

bx

Exemplo II: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0. Os coeficientes são: a = 1 b = 8 c = 16 ∆ = b² – 4ac ∆ = 8² – 4 × 1 × 16 ∆ = 64 – 64 ∆ = 0

}4{

42

08''

42

08'

1.2

08

.2

V

x

x

x

a

bx

28

Exemplo III: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau. ∆ = b² – 4.a.c ∆ = 6² – 4 × 10 × 10 ∆ = 36 – 400 ∆ = –364

V = { } ou → vazio

Duas raízes reais e diferentes

Duas raízes reais e iguais

Nenhuma raiz real

Exercícios: 1) Complete o quadro conforme o exemplo:

Equação Coeficientes

a b c 6x² − 3x + 1 = 0 6 −3 1 −3x² = 5/2 + 4x y² = 5y 6x² = 0

2) Determine as raízes das seguintes equações: a) x² − 3x + 2 = 0

b) 2y² − 14y + 12 = 0

c) −x² + 7x – 10 = 0

d) 5x² − x + 7 = 0

e) y² − 25 = 0

f) x² − 14

= 0

g) 5x² − 10x = 0

h) 5 + x² = 9

i) 7x² − 3x = 4x + x²

j) z² − 8z + 12 = 0

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Trigonometria no triângulo Retângulo

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. A soma dos ângulos internos do triângulo totaliza 180º e de acordo com o tamanho de seus lados pode ser classificado da seguinte forma: Equilátero: possui os lados com medidas iguais. Isósceles: possui dois lados com medidas iguais. Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes. Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados: Acutângulo (Agudo): possui os ângulos internos com medidas menores que 90º e maiores que 0.º Obtusângulo(Obtuso): possui um dos ângulos com medida maior que 90º e menor que 180º. Ângulo reto: possui um ângulo com medida igual a 90º. Uma importante relação no triângulo retângulo é o Teorema de Pitágoras.

2 2 2hipotenusa cateto cateto

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.

senoB = b/a cossenoB = c/a tangenteB = b/c

senoC = c/a

cossenoC = b/a tangenteC = c/b

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.

30

Medida de ângulos e arcos

Numa circunferência de centro O e raio r, temos dois pontos A e B, os quais dividirão a circunferência em dois arcos. Caso as extremidades A e B sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa.

O arco AB e de um ângulo central representado por α.

med(AÔB) = med(AB). O comprimento de um arco depende do valor do ângulo central. Medidas em Grau A circunferência é um arco de 360º com o ângulo central medindo uma volta completa, ou seja, 360º.

Medidas em Radianos Dada a circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco.

O arco mede um radiano quando o comprimento do arco for igual à medida do raio. Então, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto:

Podemos destacar uma regra de três para converter as medidas dos arcos.

medida em graus

medida em radianos

x α

180 π

31

Exercícios Resolvidos de conversões: a) 270º em radia b) 5π/12 em graus

2

3

180

270

270180

180

270

o

o

o

o

x

x

x

75

12

900

12

5.180.

12

5

180

Seno de um ângulo O segmento OR’ será o seno de PR.

Cosseno de um ângulo O segmento OR’ será o cosseno de PR.

Tangente de um ângulo A tangente de um arco é dada por um terceiro eixo que paralelo ao eixo Y (eixo dos senos). Prolongando o raio da circunferência até o eixo das tangentes, definimos que se x є 1ºQ, Tgx = AR > 0

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Lei dos senos Em casos envolvendo triângulos quaisquer (triângulos não retângulos) utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos.

→ Fórmula que representa a lei dos senos:

Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo. Exercício Resolvido 1: Determine o valor de x no triângulo a seguir. [Solução]

100x c

senB senA senC

100

120º 45º

x

sen sen

Sen 120º = sen(180º – 120º) = sen 60º = √3/2 ou 0,865 Sen 45º = √2/2 ou 0,705

100

60º 45º

100

0,866 0,707

0,707. 0,866.100

86,6

0,707

122,5

x

sen sen

x

x

x

x

33

Exercício Resolvido 2 No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.

[Solução]

Aplicando a lei dos senos

90

45º 30º

90

0,707 0,5

0,5 0,707.90

63,63

0,5

127, 26

x

sen sen

x

x

x

x

Lei dos cossenos

Exercício Resolvido 1 Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

Descobrindo o valor do terceiro ângulo do triângulo. α + 105º + 45º = 180º α + 150º = 180º α = 180º – 150º α = 30º

[Solução]

a = 7, b = x e c = 3

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosӨ

7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º 49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5 49 = x² + 9 – 3x x² –3x – 40 = 0

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Resolvendo a equação do 2º grau, por Bháskara temos: x’ = 8 e x” = – 5 Por se tratar de medidas descartamos x” = – 5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exercício Resolvido 2 Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A. Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º. Exemplo 3 Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

[Solução]

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

2 2 2 2. . .cosa b c a c x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * cos 60º x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5) x² = 125 + 50 x² = 175 √x² = √175 x = √5² * 7 x = 5√7 Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.

[Solução]

Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosӨ

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A 49 = 36 + 25 – 60 * cos A 49 – 36 – 25 = –60 * cos A –12 = –60 * cos A 12 = 60 * cos A 12/60 = cos A cos A = 0,2