Relatório de Física I

TEORIA DE ERROS

SÃO PAULO 2013

INTRODUÇÃO

As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou

combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda dos métodos de

medidas, das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do

operador. A experiência mostra que, quando uma medida é repetida várias vezes, com

as mesmas precauções, pelo mesmo observador ou por vários observadores, os

resultados achados não são em geral idênticos.

Ao fazemos a medida de uma grandeza física achamos um número que a

caracteriza, cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja toda medida física deve ser

acompanhada de uma incerteza que deve ser expressa através de uma linguagem

universal. Além disto, para combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam

o resultado, não podemos usar quaisquer métodos. É a Teoria de Erros que fornece

tratamento adequado para os dados experimentais.

Algarismo Significativo

Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que são

corretos e o primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de uma incerteza

que depende dos fatores acima mencionados. Quanto maior for a precisão do

instrumento, maior será o número de algarismos significativos que podem e devem ser

usados

12,3cm 12,4cm 12,6cm

Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da virgula diferem, pois

suas avaliações dependem da pericia de cada observador. Portanto, não podemos saber

qual é o resultado correto. Notamos, ainda, que todos os observadores não têm dúvida

CORRETO

DUVIDOSO

quanto aos algarismos que antecedem à virgula (1 e 2). Desta forma, 1 e2 são

algarismos corretos e 3, 4 e 6são duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos.

A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita uma

transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3 algarismos

significativos, dos quais o 8 é duvidoso: AB = 12,8cm = 0,128 m = 128mm.

Regras de aproximação

Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando, deliberamos,

dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as seguintes regras:

I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda.

II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é

acrescido de uma unidade.

Exemplo:

a) 1,0234 arredondado 1,023

b) 1,0235 arredondado 1,024

c) 1,0236 arredondado 1,024

Incerteza Absoluta

A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida consiste em

expressá-la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao comprimento de uma

peça:

L = l ± l = ( 13,4 ± 0,1 ) cm

Onde l é o valor medido e l é a incerteza da medida.

Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, o qual reside a

incerteza da medida. Sendo assim, ± 0,1 cm é a amplitude da incerteza denominada

incerteza absoluta. Portanto, não há um único valor associado a medida, mas valores

compreendidos entre 13,3 cm e 13,4 cm é o mais provável.

O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma única leitura

no instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de uma grandeza, ela

deve ser expressa através de seu valor médio, cuja incerteza é obtida através de método

estatístico, conforme será visto.

Incerteza Relativa

A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da

grandeza, isto é:

𝑙

𝑙

Incerteza Percentual

A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada incerteza

percentual e é dada por:

𝑙

𝑙100

Classificação dos Erros

Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o seu

verdadeiro valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente impossível.

Podemos obter, entretanto, após uma séria de medidas, um valor que mais se aproxima

do real. O erro absoluto de uma medida é definido como sendo a diferença entre o valor

medido e o aceito como verdadeiro. O erro relativo é dado pela razão entre o erro

absoluto e o valor verdadeiro, em módulo, isto é:

Er = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐−𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐

O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro percentual e é

dado por :

E% = Er 100

Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas que

dependem do método, do operador e do instrumento de medida. São estas incertezas que

limitam a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas podem ser de origem

sistemática e acidental e originam os erros sistemáticos e acidentais, abordados a seguir.

Erro Sistemático

São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São provenientes

de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento utilizado. Os erros

sistemáticos, como o próprio nome sugere, são de amplitudes regulares e influenciam a

medida sempre da mesma forma, ou para mais ou para menos.

Erros Acidentais

São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável.

Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são:

Imperícia do operador.

Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de uma mesma

grandeza por vários observadores.

Erro de paralaxe.

Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um

cronômetro).

Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala,

aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em diferentes posições).

Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de

conseguir um valor mais representativo.

Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador.

Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais

Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de uma

grandeza, devemos dar um tratamento estatístico para analisar os resultados

experimentais. Passaremos a discuti-lo a seguir.

Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser limitadas a um

certo grupo ou conjunto de objetos, denominado população.

Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de uma certa

cidadde ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é uma parte da

população, selecionada aleatoriamente e usada para fazer estimativas e tirar conclusões

com relação a uma população.

Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos observar

várias características importantes, como por exemplo, a freqüência com que um dado se

repete. A distribuição de freqüências tem três características importantes: indica os

valores mais prováveis e menos prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a

tendência que certos valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor,

chamado valor médio da grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da

grandeza, ou seja, a sua dispersão.

Média Aritmética

Há várias formas para se mensurar o valor médio de um grandeza ou o mais

provável. Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que melhor

representa a grandeza observada, embora isto não se aplique em todos os casos. A

média aritmética de um conjunto de medidas é dada por: 𝑥 = 𝑥𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1 , onde n

é o número total de medidas e xi é o valor de cada medida.

Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por outros

parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média harmônica. Neste

módulo tais parâmetros não serão estudados. Desta forma , quando for mencionado

valor médio, estaremos nos referindo à média aritmética.

Desvio

Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza.

Desta forma, a diferença 𝑥𝑖 − 𝑥 não é definida como erro. Quando se conhece o valor

mais provável falamos em desvio: 𝛿𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥 . Desvio é a diferença entre o

valor medido e a média aritmética.

Dispersão

A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma série de

medidas . Precisamos saber de quanto as medidas individuais se afastam, em média, do

valor médio. Em outras palavras, de que maneira as medidas xi se distribuem em torno

do valor médio, isto é, qual a é dispersão das medidas. Para medir a dispersão

utilizamos os parâmetros: desvio médio, variância e desvio padrão.

Desvio Médio

O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com relação ao

valor médio.

Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a média

aritmética dos desvios:

𝛿𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛

𝑖=1

𝑛 =

𝛿𝑥𝑖 𝑛𝑖=1

𝑛

Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética, menor será a

dispersão e portanto o desvio médio.

Desvio Padrão

Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo a média

aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, com relação ao

valor médio, isto é:

𝜎2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

n = número total de xi na população.

O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância:

𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma gaussiana,

conforme mostra a figura abaixo, temos.

68% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± desvio padrão

95% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± 2 desvio padrão

99,7% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± 3 desvio padrão

Freqüência

Limite de Erro e Incerteza Sistemática Residual

A incerteza sistemática residual (𝜎𝑟 ) é decorrente da acurácia dos instrumentos e

do procedimento de medida, não existindo nenhum método adotado como padrão para

sua determinação. Entretanto, pode-se considerar como uma boa estratégia relaciona: a

incerteza sistemática residual com o limite de erro L, o qual é definido como sendo o

valor máximo que o erro pode apresentar. Nesse sentido, como uma regra prática para

instrumento ; analógicos considera-se que o limite de erro de calibração (𝐿𝑐) do

equipamento corresponde à menor divisão da sua escala.

Assim, a incerteza sistemática residual pode ser calculada por:

𝜎𝑟 = 𝐿𝑐

2

A Incerteza Padrão 𝜎𝑝

A incerteza padrão que afeta o resultado final de uma medida corresponde a um

valor que associa o desvio padrão da média (𝜎𝑚 ) e a incerteza sistemática residual

(𝜎𝑟 ), ou seja, a incerteza padrão incorpora as incertezas estatísticas com as incertezas

provenientes dos instrumentos de medidas e dos procedimentos de medição. Dessa

forma, a incerteza padrão 𝜎𝑝 pode ser calculada através das variâncias da seguinte

maneira (vuolo, 1996):

𝝈𝒑𝟐 = 𝝈𝒎

𝟐 + 𝝈𝒓𝟐

Portanto

𝝈𝒑 = 𝝈𝒎𝟐 + 𝝈𝒓

𝟐

Paquímetro

O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares

internas, externas e de profundidade de uma peça. Consiste em uma régua graduada,

com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor.

1. orelha fixa 8. encosto fixo

2. orelha móvel 9. encosto móvel

3. nônio ou vernier (polegada) 10. bico móvel

4. parafuso de trava 11. nônio ou vernier (milímetro)

5. cursor 12. impulsor

6. escala fixa de polegadas 13. escala fixa de milímetros

7. bico fixo 14. haste de profundidade

O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre movimentação, com um mínimo

de folga. Ele é dotado de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier. Essa escala

permite a leitura de frações da menor divisão da escala fixa.

O paquímetro é usado quando a quantidade de peças que se quer medir é

pequena. Os instrumentos mais utilizados apresentam uma resolução de:

0,05 mm, 0,02 mm,1

128” ou .001"

As superfícies do paquímetro são planas e polidas, e o instrumento geralmente é

feito de aço inoxidável. Suas graduações são calibradas a 20ºC.

O Paquímetro universal é utilizado em medições internas, externas, de

profundidade e de ressaltos. Trata-se do tipo mais usado e que utilizaremos em nosso

experimento.

Quando o paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero da

escala principal.

As medidas com paquímetro são efetuadas da seguinte forma:

A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as esperas.Tais

esperas devem ficar completamente encostadas na peça.

O comprimento da peça é dado pelo nº na escala principal corresponde à posição

imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este número décimo do

valor lido no nônio que melhor coincide com algum número da escala principal.

A figura que segue ilustra o que foi explicado.

Micrômetro

Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos comprimentos.

Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas óticas. Descreveremos,

entretanto, o micrômetro analógico constituído por parafuso micrométrico, que será

usado no laboratório.

O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as quais é

colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas, sendo uma

horizontal e a outra vertical, conforme a figura que segue.

Escala Horizontal

Escala Vertical

Leitura no micrômetro com resolução de 0,01 mm.

1º passo - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha.

2º passo - leitura dos meios milímetros, também na escala da bainha.

3º passo - leitura dos centésimos de milímetro na escala do tambor.

Exemplo

OBJETIVO

Familiarização com instrumentos de medida tais como régua, paquímetro e micrômetro.

Uso da Teoria de Erros para análise dos dados experimentais.

MATERIAIS

Objetos diversos como: bolinha de gude, cubos, etc.

Régua

Paquímetro

Micrômetro

PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

De acordo com o material existente na bancada, siga o seguinte roteiro:

1. Meça 10 vezes cada objeto em pontos diferentes utilizando todos os

instrumentos de medidas fornecidos (régua, paquímetro e micrômetro), e anote

os valores encontrados nas tabelas.

2. Preencha o restante da tabela utilizando-se do formulário a seguir. Em caso de

dúvidas leia novamente o resumo da teoria contido neste roteiro ou as

referências indicadas, que apresentem uma abordagem mais completa.

RESULTADOS E DISCUSSOES

Esfera

Medidas com a Régua

Ø Desvio( 𝛿𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐

Desvio Padrão

𝝈

Desvio Padrão

da Média (𝝈𝒎)

Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual 𝝈𝒓 = __________

Incerteza Padrão 𝝈𝒑 = _____

Resultado final (régua): ____ __ Incerteza relativa Percentual = ____%

Medidas com Paquímetro

Ø Desvio( 𝛿𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐

Desvio Padrão

𝝈

Desvio Padrão

da Média (𝝈𝒎)

Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual 𝝈𝒓 = __________

Incerteza Padrão 𝝈𝒑 = _____

Resultado final (Paquímetro): ___ __ Incerteza relativa Percentual = ____%

Medidas com Micrômetro

Ø Desvio( 𝛿𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐

Desvio Padrão

𝝈

Desvio Padrão

da Média (𝝈𝒎)

Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual 𝝈𝒓 = __________

Incerteza Padrão 𝝈𝒑 = _____

Resultado final (Micrômetro): ___ __ Incerteza relativa Percentual = ____%

FORMULAS

𝜹𝒍

𝒍𝟏𝟎𝟎 𝒙 =

𝒙𝒊

𝒏

𝒏𝒊=𝟏 𝜹𝒙𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙

𝝈 = 𝒙𝒊− 𝒙 𝟐𝒏

𝒊=𝟏

𝒏−𝟏 𝝈𝒎 =

𝝈

𝒏=

𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐𝒏𝒊=𝟏

𝒏 𝒏−𝟏 𝝈𝒓 =

𝑳𝒄

𝟐

𝝈𝒑 = 𝝈𝒎𝟐 + 𝝈𝒓

𝟐

CLONCLUSÃO

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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BIBLIOGRAFIA

VUOLO, José Henrique. Teoria de Erros. In: VUOLO, José Henrique.

Fundamentos da Teoria de Erros. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996.cap. 3,

p. 49.

ABNT. NBR 6393/1980: Paquímetros com leitura de 0,1 mm e 0,05 mm. S/i.

ABNT. NBR 6670/1981: Micrômetros externos com leitura de 0,01 mm. S/i.