fundamentos da análise estrutural

Fundamentos da anlise estrutural


3a edio

Kenneth M. LeetProfessor emrito, Universidade Northeastern

Chia-Ming UangProfessor, Universidade da Califrnia, San Diego

Anne M. GilbertConferencista, Universidade de Yale

Traduo:

Joo Eduardo Nbrega Tortello

Reviso Tcnica:

Pedro V. P. MendonaDepartamento de Engenharia de Estruturas

Universidade Federal de Minas Gerais

Verso impressaDesta obra: 2009

2010

Fundamentos da anlise estruturalTerceira edio ISBN: 978-85-7726-059-1

A reproduo total ou parcial deste volume por quaisquer formas ou meios, sem o consentimento escrito da editora, ilegal e configura apropriao indevida dos direitos intelectuais e patrimoniais dos autores.

2009 McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda. Todos os direitos reservados. Av. Brigadeiro Faria Lima, 201 17 andar So Paulo SP CEP 05426-100

2009 McGraw-Hill Interamericana Editores, S.A. de C. V. Todos os direitos reservados. Prol. Paseo de la Reforma 1015 Torre A Piso 17, Col. Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F.

Traduo da terceira edio em ingls de Fundamentals of structural analysisPublicada pela McGraw-Hill, uma unidade de negcios da McGraw-Hill Companies, Inc. 1221 Avenue of the Americas, New York, NY 10020 2008 by The McGraw-Hill Companies, Inc. ISBN: 978-0-07-313295-2

Coordenadora Editorial: Guacira SimonelliEditora de Desenvolvimento: Mel RibeiroProduo Editorial: Josie RogeroSupervisora de Pr-impresso: Natlia ToshiyukiPreparao de Texto: Lumi Casa de EdioDesign de Capa: John JoranImagem de Capa: Vince Streano: T.Y. Lin InternationalDiagramao: Casa de IdiasEsse material foi impresso na Grfica Santa Marta - Joo Pessoa/PB

L477f Leet, Kenneth M. Fundamentos da anlise estrutural [recurso eletrnico] / Keneth M. Leet, Chia-Ming Uang, Anne M. Gilbert ; traduo: Joo Eduardo Nbrega Tortello ; reviso tcnica: Pedro V. P. Mendona. 3. ed. Dados eletrnicos. Porto Alegre : AMGH, 2010.

Editado tambm como livro impresso em 2009. ISBN 978-85-63308-34-4

1. Engenharia Anlise estrutural. I. Uang, Chia-Ming. II. Gilbert, Anne M. III. Ttulo.

CDU 624

Catalogao na publicao: Ana Paula M. Magnus CRB-10/Prov-009/10

A McGraw-Hill tem forte compromisso com a qualidade e procura manter laos estreitos com seus leitores. Nosso principal objetivo oferecer obras de qualidade a preos justos, e um dos caminhos para atingir essa meta ouvir o que os leitores tm a dizer. Portanto, se voc tem dvidas, crticas ou suges-tes, entre em contato conosco preferencialmente por correio eletrnico ([email protected]) e nos ajude a aprimorar nosso trabalho. Teremos prazer em conversar com voc. Em Portugal, use o endereo [email protected].

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Para Judith H. Leet

vii

Kenneth Leet tem doutorado em Engenharia de Estruturas pelo Massa-chusetts Institute of Technology. Como professor de Engenharia Civil na Universidade Northeastern, deu cursos de graduao e ps-graduao sobre projeto de concreto armado, anlise estrutural, fundaes, placas e cascas e cursos de avaliao final sobre projetos abrangentes de engenha-ria por mais de 30 anos. Em 1992, recebeu o prmio Excellence in Tea-ching da Universidade Northeastern. Tambm foi membro, por 10 anos, do corpo docente da Universidade de Drexel, em Filadlfia, EUA.

Alm de ser o autor da primeira edio deste livro sobre anlise estrutural, publicado originalmente pela Macmillan, em 1988, tambm autor do livro Fundamentals of reinforced concrete, publicado pela McGraw-Hill em 1982 e agora em sua terceira edio.

Antes de lecionar, foi engenheiro supervisor de construes do Corps of Army Engineers, engenheiro de campo da Catalytic Construction Company e projetista de estruturas em vrias empresas de engenharia estrutural. Tambm foi consultor de estruturas em vrios rgos governa-mentais e empresas privadas, incluindo o Departamento de Transportes dos EUA, a Procter & Gamble, a Teledyne Engineering Services e o Departamento de Pontes de Filadlfia e de Boston.

Como membro da American Arbitration Association, do American Concrete Institute, da ASCE e da Boston Society of Civil Engineers, o professor Leet participou ativamente de comunidades profissionais por muitos anos.

Chia-Ming Uang professor de Engenharia de Estruturas da Universi-dade da Califrnia, San Diego (UCSD). Graduou-se em Engenharia Civil pela National Taiwan University e tem mestrado e doutorado em Enge-nharia Civil pela Universidade da Califrnia, Berkeley. Suas reas de pesquisa incluem anlise ssmica e projeto de estruturas de ao, compos-tas e de madeira.

O professor Uang coautor do livro Ductile design of steel structures, da McGraw-Hill. Em 2004, recebeu o prmio UCSD Academic Senate Distinguished Teaching Award. Tambm recebeu os prmios ASCE Ray-mond C. Reese Research Prize em 2001 e Moisseiff Award, em 2004.

O s A u t O r e s

viii Os autores

Anne M. Gilbert, PE, professora assistente de Engenharia de Estrutu-ras da Escola de Arquitetura da Universidade de Yale. Tambm enge-nheira de projetos snior da Spiegel Zamecnik & Shah, Inc., engenheiros de estruturas de New Haven, Conn. e Washington, D.C. graduada em arquitetura pela Universidade da Carolina do Norte, em Engenharia Civil pela Universidade Northeastern e tem mestrado em Engenharia Civil pela Universidade de Connecticut.

especializada em projeto estrutural de hospitais, laboratrios, uni-versidades e prdios residenciais, preparao de desenhos e especifica-es, avaliao ssmica (renovao de estruturas em reas de alta ativi-dade ssmica) e administrao de construes. Sua experincia em projetos arquitetnicos inclui o projeto de prdios comerciais e residen-ciais, assim como a reabilitao de conjuntos residenciais populares.

ix

s u m r i O

Prefcio xv

Captulo 1 Introduo 3 1.1 Viso geral do texto 3 1.2 O processo do projeto: relao

da anlise com o projeto 5 1.3 Resistncia e utilidade 7 1.4 Desenvolvimento histrico dos sistemas

estruturais 8 1.5 Elementos estruturais bsicos 11 1.6 Montando elementos bsicos para formar

um sistema estrutural estvel 20 1.7 Anlise por computador 23 1.8 Preparao dos clculos 24 Resumo 25

Captulo 2 Cargas de projeto 27 2.1 Cdigo de construo e de projeto 27 2.2 Cargas 28 2.3 Cargas permanentes 29 2.4 Sobrecargas 36 2.5 Cargas de vento 43 2.6 Foras de terremoto 59 2.7 Outras cargas 63 2.8 Combinaes de carga 64 Resumo 65

Captulo 3 Esttica das estruturas reaes 73 3.1 Introduo 73 3.2 Foras 74 3.3 Apoios 81 3.4 Idealizando estruturas 85 3.5 Diagramas de corpo livre 86 3.6 Equaes de equilbrio esttico 88 3.7 Equaes de condio 94 3.8 Influncia das reaes na estabilidade

e determinao de estruturas 97

x Sumrio

3.9 Classificando estruturas 106 3.10 Comparao entre estruturas

determinadas e indeterminadas 110 Resumo 112

Captulo 4 Trelias 123 4.1 Introduo 123 4.2 Tipos de trelias 126 4.3 Anlise de trelias 127 4.4 Mtodo dos ns 128 4.5 Barras zero 132 4.6 Mtodo das sees 134 4.7 Determinao e estabilidade 142 4.8 Anlise de trelias por computador 148 Resumo 151

Captulo 5 Vigas e prticos 167 5.1 Introduo 167 5.2 Escopo do captulo 172 5.3 Equaes de cortante e de momento 173 5.4 Diagramas de cortante e de momento 180 5.5 Princpio da superposio 198 5.6 Esboando a forma defletida

de uma viga ou prtico 202 5.7 Grau de indeterminao 207 Resumo 211

Captulo 6 Cabos 225 6.1 Introduo 225 6.2 Caractersticas dos cabos 226 6.3 Variao da fora no cabo 227 6.4 Anlise de um cabo suportando cargas

gravitacionais (verticais) 228 6.5 Teorema geral dos cabos 229 6.6 Estabelecendo a forma funicular

de um arco 232 Resumo 235

Captulo 7 Arcos 241 7.1 Introduo 241 7.2 Tipos de arcos 241 7.3 Arcos triarticulados 244 7.4 Forma funicular de um arco que suporta

carga uniformemente distribuda 245 Resumo 250

xiSumrio

Captulo 8 Cargas mveis: linhas de influncia para estruturas determinadas 257

8.1 Introduo 257 8.2 Linhas de influncia 257 8.3 Construo de uma linha de influncia 258 8.4 O princpio de MllerBreslau 266 8.5 Uso das linhas de influncia 269 8.6 Linhas de influncia de vigas mestras

suportando sistemas de piso 272 8.7 Linhas de influncia de trelias 278 8.8 Cargas mveis para pontes de rodovias

e estradas de ferro 283 8.9 Mtodo do aumentodiminuio 286 8.10 Momento de carga mvel mximo

absoluto 291 8.11 Cortante mximo 295 Resumo 296

Captulo 9 Deflexes de vigas e prticos 309 9.1 Introduo 309 9.2 Mtodo da integrao dupla 309 9.3 Mtodo dos momentos de reas 317 9.4 Mtodo da carga elstica 336 9.5 Mtodo da viga conjugada 340 9.6 Ferramentas para projeto de vigas 349 Resumo 352

Captulo 10 Mtodos de trabalho-energia para calcular deflexes 363

10.1 Introduo 363 10.2 Trabalho 364 10.3 Energia de deformao 366 10.4 Deflexes pelo mtodo do

trabalho-energia (trabalho real) 368 10.5 Trabalho virtual: trelias 370 10.6 Trabalho virtual: vigas e prticos 387 10.7 Somatrio finito 399 10.8 Princpio de Bernoulli dos

deslocamentos virtuais 401 10.9 Lei de Maxwell-Betti das deflexes

recprocas 404 Resumo 408

xii Sumrio

Captulo 11 Anlise de estruturas indeterminadas pelo mtodo da flexibilidade 421

11.1 Introduo 421 11.2 Conceito de redundante 421 11.3 Fundamentos do mtodo da flexibilidade 422 11.4 Concepo alternativa do mtodo da

flexibilidade (fechamento de uma lacuna) 426 11.5 Anlise usando liberaes internas 436 11.6 Recalques de apoio, mudana

de temperatura e erros de fabricao 443 11.7 Anlise de estruturas com vrios graus

de indeterminao 448 11.8 Viga sobre apoios elsticos 455 Resumo 458

Captulo 12 Anlise de vigas e prticos indeterminados pelo mtodo da inclinao-deflexo 469

12.1 Introduo 469 12.2 Ilustrao do mtodo da

inclinao-deflexo 469 12.3 Deduzindo a equao da

inclinao-deflexo 471 12.4 Anlise de estruturas pelo mtodo

da inclinao-deflexo 478 12.5 Anlise de estruturas livres para

se deslocar lateralmente 494 12.6 Indeterminao cinemtica 504 Resumo 505

Captulo 13 Distribuio de momentos 513 13.1 Introduo 513 13.2 Desenvolvimento do mtodo

da distribuio de momentos 514 13.3 Resumo do mtodo da distribuio

de momentos sem translao de n 519 13.4 Anlise de vigas pela distribuio

de momentos 520 13.5 Modificao da rigidez do membro 528 13.6 Anlise de prticos livres para deslocar

lateralmente 543 13.7 Anlise de prtico no contraventado

para carga geral 549

xiiiSumrio

13.8 Anlise de prticos de vrios pavimentos 554 13.9 Membros no prismticos 555 Resumo 566

Captulo 14 Estruturas indeterminadas: linhas de influncia 575

14.1 Introduo 575 14.2 Construo de linhas de influncia

usando distribuio de momentos 576 14.3 Princpio de MllerBreslau 580 14.4 Linhas de influncia qualitativas

para vigas 582 14.5 Posicionamento da sobrecarga para

maximizar as foras em prdios de vrios andares 588

Resumo 598

Captulo 15 Anlise aproximada de estruturas indeterminadas 603

15.1 Introduo 603 15.2 Anlise aproximada para carga

gravitacional em uma viga contnua 605 15.3 Anlise aproximada para carga vertical

em um prtico rgido 611 15.4 Anlise aproximada de uma trelia

contnua 615 15.5 Estimando deflexes de trelias 621 15.6 Trelias com diagonais duplas 623 15.7 Anlise aproximada para carga

gravitacional de um prtico rgido de vrios pavimentos 626

15.8 Anlise para carga lateral em prticos no contraventados 635

15.9 Mtodo do portal 638 15.10 Mtodo da viga em balano 646 Resumo 651

Captulo 16 Introduo ao mtodo da rigidez geral 659

16.1 Introduo 659 16.2 Comparao entre os mtodos

da flexibilidade e da rigidez 660 16.3 Anlise de uma viga indeterminada pelo

mtodo da rigidez geral 665 Resumo 678

xiv Sumrio

Captulo 17 Anlise matricial de trelias pelo mtodo da rigidez direta 683

17.1 Introduo 683 17.2 Matrizes de rigidez de membro

e da estrutura 688 17.3 Construo da matriz de rigidez

de membro para uma barra individual de trelia 688

17.4 Montagem da matriz de rigidez da estrutura 690

17.5 Soluo do mtodo da rigidez direta 693 17.6 Matriz de rigidez de membro de uma

barra de trelia inclinada 697 17.7 Transformao de coordenadas de uma

matriz de rigidez de membro 709 Resumo 710

Captulo 18 Anlise matricial de vigas e prticos pelo mtodo da rigidez direta 715

18.1 Introduo 715 18.2 Matriz de rigidez da estrutura 717 18.3 A matriz 2 2 de rigidez rotacional

de um membro sob flexo 718 18.4 A matriz 4 4 de rigidez de membro

em coordenadas locais 729 18.5 A matriz 6 6 de rigidez de membro

em coordenadas locais 739 18.6 A matriz 6 6 de rigidez de membro

em coordenadas globais 748 18.7 Montagem de uma matriz de rigidez

da estrutura mtodo da rigidez direta 750 Resumo 753

Apndice Reviso das operaes bsicas com matrizes 757Glossrio 769Respostas dos problemas de numerao mpar 772Crditos 777ndice remissivo 778

xv

P r e F c i O

Este livro introduz os estudantes de Engenharia e Arquitetura nas tc-nicas bsicas necessrias para analisar a maioria das estruturas e os elementos dos quais a maior parte delas composta, incluindo vigas, prticos, arcos, trelias e cabos. Embora os autores suponham que os leitores tenham concludo cursos bsicos de esttica e resistncia dos materiais, examinamos brevemente as tcnicas fundamentais desses cursos na primeira vez que as mencionamos. Para esclarecer a discus-so, utilizamos muitos exemplos cuidadosamente escolhidos para ilus-trar as diversas tcnicas analticas apresentadas e, quando possvel, selecionamos exemplos confrontando os engenheiros com a prtica profissional da vida real.

Caractersticas deste texto*

1. Tratamento de cargas ampliado. O Captulo 2 dedicado a uma ampla discusso das cargas, que incluem peso prprio e sobre-carga, reas de influncia e foras ssmicas e elicas. As especifi-caes de vento e terremoto atualizadas correspondem edio mais recente do padro ASCE. Simplificamos as clusulas mais complexas do cdigo de construo nacional norte-americano mais recente (ANSI/ASCE), destinado a engenheiros profissio-nais, para fornecer aos leitores um entendimento bsico de como os prdios de vrios pavimentos, pontes e outras estruturas respon-dem aos terremotos e ao vento.

2. Novos problemas propostos. Um nmero significativo dos pro-blemas novo ou foi revisado para esta edio (no Sistema Inter-nacional e unidades americanas) e muitos so tpicos de anlise, encontrados na prtica. As muitas opes permitem ao instrutor escolher aqueles adequados a uma classe ou a uma nfase em particular.

3. Problemas de computador e aplicaes. Os problemas de com-putador, alguns novos nesta edio, proporcionam aos leitores um entendimento mais aprofundado do comportamento estrutural de trelias, prticos, arcos e outros sistemas estruturais. Esses proble-

* Os sites com contedo on-line descritos neste livro esto em ingls e podero sofrer alte-raes ao longo do tempo, pois so atualizados sempre que so publicadas novas edies dos livros. Caso no consiga ter acesso a algum recurso informado neste livro, entre em contato com a McGraw-Hill Interamericana do Brasil pelo e-mail: [email protected].

xvi Prefcio

mas cuidadosamente personalizados ilustram aspectos significativos do comportamento estrutural que, no passado, os projetistas expe-rientes precisavam de muitos anos de prtica para entender e analisar corretamente. Os problemas de computador so identificados com um cone de tela de computador e comeam no Captulo 4 do livro. Esses problemas podem ser resolvidos usando-se a verso educa-tiva do software comercial RISA-2D, disponvel em ingls para os usurios no centro de aprendizado on-line do texto. Contudo, qual-quer software que produza formas deformadas, assim como diagra-mas de cortante, momento e carga axial, pode ser usado para solucion-los. Uma viso geral sobre o uso do software RISA-2D e um exerccio dirigido escrito pelo autor tambm esto disponveis no centro de aprendizado on-line.

4. Leiaute melhorado dos exemplos de problemas. O contedo dos exemplos mais bem apresentado, pois so mostrados em uma pgina ou duas adjacentes circundadas com linhas para que os estudantes possam ver o problema completo sem virar a pgina.

5. Discusso ampliada do mtodo da rigidez geral. O Captulo 16, sobre o mtodo da rigidez geral, oferece uma transio clara dos mtodos de anlise clssicos para os que utilizam formulaes matriciais para anlise no computador, de acordo com o que est discutido nos captulos 17 e 18.

6. Ilustraes realistas e representadas completamente. As ilustra-es do texto fornecem um quadro realista dos elementos estrutu-rais reais e um claro entendimento de como o projetista modela ligaes e condies de contorno. Fotografias complementam o texto ilustrando exemplos de falhas em prdios e pontes.

7. A preciso das solues dos problemas foi cuidadosamente verificada. Os autores verificaram as solues dos problemas vrias vezes, mas gostariam que os leitores indicassem quaisquer ambiguidades ou erros. As correes podem ser enviadas para o professor Chia-Ming Uang ([email protected]).

8. Centro de aprendizado on-line. Este texto oferece um centro de aprendizado na internet, disponvel em ingls para os usurios no endereo www.mhhe.com/leet3e. O site oferece vrias ferramen-tas, um banco de imagens da arte do texto, links teis da web, o software educativo RISA-2D e muito mais.

Contedo e sequncia dos captulos

Apresentamos os assuntos deste livro em uma sequncia cuidadosamente planejada para facilitar o estudo da anlise pelo estudante. Alm disso, adequamos as explicaes no nvel dos estudantes em estgio inicial do curso de Engenharia. Essas explicaes so baseadas nos muitos anos de experincia dos autores no ensino da anlise.

xviiPrefcio

O Captulo 1 fornece um panorama histrico da Engenharia de Estruturas (desde as primeiras estruturas de pilares e vergas at os edifcios altos e pontes de cabo atuais) e uma breve explicao da correlao entre anlise e projeto. Tambm descrevemos as carac-tersticas fundamentais das estruturas bsicas, detalhando tanto as vantagens como as desvantagens.

O Captulo 2, sobre cargas, foi descrito anteriormente no item 1 da seo Caractersticas deste texto.

Os Captulos 3, 4 e 5 abordam as tcnicas bsicas necessrias para determinar foras nas barras de trelias, e o cortante e momento em vigas e prticos. Os mtodos apresentados nesses captulos so utilizados para resolver quase todos os problemas do restante do texto.

Os Captulos 6 e 7 correlacionam o comportamento dos arcos e cabos e examinam suas caractersticas especiais (de atuar geralmente em tenso normal direta e usar os materiais com eficincia).

O Captulo 8 aborda mtodos de posicionamento de sobrecarga em estruturas estaticamente determinadas para maximizar a fora interna em uma seo especfica de uma viga, prtico ou em bar-ras de uma trelia.

Os Captulos 9 e 10 fornecem mtodos utilizados para calcular as deformaes de estruturas, para verificar se uma estrutura no excessivamente flexvel e analisar estruturas estaticamente inde-terminadas pelo mtodo das deformaes consistentes.

Os Captulos 11, 12 e 13 apresentam vrios mtodos clssicos de anlise de estruturas estaticamente indeterminadas. Embora as estruturas estaticamente indeterminadas mais complexas agora sejam analisadas por computador, certos mtodos tradicionais (por exemplo, distribuio do momento) so teis para estimar as foras em vigas e prticos hiperestticos e para estabelecer as propriedades iniciais das barras para a anlise no computador.

O Captulo 14 amplia o mtodo de linha de influncia introduzido no Captulo 8 para a anlise de estruturas estaticamente indeter-minadas. Os engenheiros utilizam as tcnicas desses dois captu-los para projetar pontes e outras estruturas sujeitas a cargas mveis ou a sobrecargas cuja posio na estrutura possa mudar.

O Captulo 15 examina mtodos de anlise aproximados utilizados para estimar o valor das foras em pontos selecionados de estru-turas hiperestticas. Com os mtodos aproximados, os projetistas podem verificar a preciso dos estudos feitos por computador ou conferir os resultados de longas anlises mais tradicionais feitas manualmente, descritas em captulos anteriores.

Os Captulos 16, 17 e 18 apresentam os mtodos matriciais de an-lise. O Captulo 16 amplia o mtodo da rigidez geral para uma variedade de estruturas simples. A formulao matricial do mtodo da rigidez aplicada na anlise de trelias (Captulo 17) e de vigas e prticos (Captulo 18).

xviii Prefcio

AGrADECIMEnTos

Como autor principal, gostaria de agradecer as muitas horas de edio e apoio de minha esposa, Judith Leet, h mais de 40 anos; sua ajuda inestimvel.

Gostaria de lembrar meu ltimo editor, David E. Johnstone, da Mac-millan, e agradecer sua valiosa ajuda na primeira edio deste livro.

Tambm quero agradecer a Richard Scranton, Saul Namyet, Robert Taylor, Marilyn Scheffler e Anne Gilbert, pela ajuda na primeira edio, e a Dennis Bernal, que escreveu o Captulo 18; todos, poca, da Uni-versidade Northeastern.

Pela ajuda na primeira edio da McGraw-Hill, agradecemos a Amy Hill, Gloria Schiesl, Eric Munson e Patti Scott, da McGraw-Hill, e a Jeff Lachina, da Lachina Publishing Services.

Pela ajuda na segunda e terceira edies, agradecemos a Amanda Green, Suzanne Jeans, Jane Mohr e Gloria Schiesl, da McGraw-Hill, a Rose Kernan, da RPK Editorial Services, Inc., e a Patti Scott, que editou a segunda edio.

Tambm queremos agradecer a Bruce R. Bates, da RISA Technolo-gies, por fornecer uma verso para o estudante do avanado programa de computador RISA-2D, com suas muitas opes para apresentar resultados.

Gostaramos de agradecer ainda aos seguintes revisores pelos seus comentrios e conselhos muitos apreciados:

Ramzi B. Abdul-Ahad, Universidade de TennesseeAbi Aghayere, Rochester Institute of TechnologyLawrence C. Bank, Universidade de Wisconsin, MadisonDavid M. Bayer, Universidade da Carolina do Norte, CharlotteRobert Barnes, Universidade AuburnJerry Bayless, Universidade de Missouri, RollaCharles Merrill Bowen, Universidade Estadual de OklahomaF. Necati Catbas, Universidade da Flrida CentralWilliam F. Cofer, Universidade Estadual de WashingtonRoss Corotis, Universidade de Colorado, BoulderRichard A. DeVries, Faculdade de Engenharia de MilwaukeeAsad Esmaeily, Universidade Estadual de KansasFouad Fanous, Universidade Estadual de IowaJames Hanson, Instituto de Tecnologia Rose-HulmanYue Li, Universidade Tecnolgica de MichiganDaniel Linzell, Universidade Estadual da PensilvniaDonald Liou, Universidade da Carolina do Norte, CharlotteJohn D. McNamara, Universidade Estadual do Novo MxicoThomas Miller, Universidade Estadual de OregonJim Morgan, Texas A&M UniversityHusam Najm, Universidade Rutgers

xixPrefcio

Duc T. Nguyen, Old Dominion UniversityMalcolm H. Ray, Worcester Polytechnic InstituteT. T. Soong, Universidade Estadual de Nova York em BuffaloBozidar Stojadinovic, Universidade da Califrnia, BerkeleyMichael Symans, Rensselaer Polytechnic InstituteGeorge Turkiyyah, Universidade de WashingtonJohn W. van de Lindt, Universidade Estadual do ColoradoShien (Jim) Wang, Universidade de KentuckyJerry Wekezer, Florida State UniversityNadim Wehbe, Universidade Estadual de Dakota do Sul

Kenneth LeetProfessor emrito

Universidade Northeastern

Chia-Ming UangProfessor

Universidade da Califrnia, San Diego

Anne M. GilbertProfessora assistenteUniversidade de Yale

xxi

P A s s e i O g u i A d O

Estratgia

Leet, Uang e Gilbert combinam uma mistura de mtodos clssicos e anlise de computador.

Neste texto, um grande nmero de problemas compostos novo ou foi revisado.

P5.41. Desenhe os diagramas de cortante e momento para todos as barras do prtico da Figura P5.41. Esboce a forma defletida (reaes dadas).

DE

A

B

C

AY = 7,5 kips

RE = 16,5 kips

AX = 9 kips

6

6

3 kips/ft

4 kips/ft

6

6

4

P5.41

Aplicao prtica

P5.43. As duas cargas concentradas, apoiadas na sapata combinada, na Figura P5.43, produzem uma dis-tribuio trapezoidal de presso no solo. Construa os diagramas de cortante e momento. Marque todas as ordenadas dos diagramas. Esboce a forma defletida.

50 kips

20

69

A B C D

5

8 kips/ft

2 kips/ft

50 kips

P5.43

inicial que deve ser causada no ponto C, a ponta da viga em balano, para eliminar a deflexo produzida pela carga total? Despreze o peso da viga. Dados: I = 46.656 pol4 e E

S = 30.000 ksi. Veja a equao da defle -

xo no caso 5 da Tabela 9.1. A ligao de cantoneira em A pode ser tratada como um pino, e o apoio da placa de topo em B, como um rolo.

BA C

PD = 600 kipsPL = 150 kips

contraflecha?escala

incorreta

618

P9.39

P9.40. O prtico de ao com n rgido, com uma base fixa no apoio A, precisa suportar as cargas permanentes e as sobrecargas mostradas na Figura P9.40. Tanto a

P9.41. Estudo por computador do comporta-mento de prticos de prdio de vrios andares. O objetivo deste estudo examinar o compor-

tamento dos prticos de prdio fabricados com dois tipos de ligaes comuns. Quando espaos interiores abertos e a flexibilidade de futura uso so considera-es primordiais, os prticos de prdio podem ser construdos com ligaes rgidas, normalmente fabri-cadas por meio de soldagem. Os ns rgidos (veja a Figura P9.41b) tm alto custo de fabricao, atual-mente na faixa de US$700 a US$850, dependendo do tamanho dos membros. Como a capacidade de um pr-tico soldado de resistir s cargas laterais depende da rigidez flexo das vigas e colunas, membros pesados podem ser necessrios quando as cargas laterais so grandes ou quando as deflexes laterais devem ser limitadas. Alternativamente, os prticos podem ser construdos de forma menos dispendiosa, ligando-se as almas das vigas s colunas por meio de cantoneiras ou placas, chamadas de ligaes para fora cortante, que atualmente custam cerca de US$80 cada uma (Figura P9.41c). Se forem usadas ligaes para fora cortante, normalmente ser necessrio um contraventamento

sOFtWarE EDUCatiVO

Os estudantes podem fazer o download de uma verso acadmica em ingls gratuita do RISA-2D.

Em todo o texto, cones indicam problemas propostos que podem ser analisados utilizando-se um computador.

xxii

L

(a)

almofadade borracha sinttica

L

(b)

FF

rachadura

PrOgrama DE artE altamEntE rEalista

As ilustraes do texto fornecem uma imagem realista dos elementosestruturais reais.

matErial COmPlEmEntar

O texto oferece um centro de apren-dizado on-line na internet, no en-dereo www.mhhe.com/leet3e. O site oferece vrias ferramentas em ingls, como links teis, a verso educativa do software RISA-2D, um exerccio dirigido escrito pelo autor etc.

Ponte do Brooklyn. Inaugurada em 1883, a um custo de US$ 9 milhes, esta ponte foi proclamada a oitava maravilha do mundo. O vo central, que chega a mais de 40 metros de altura sobre o rio East, estende-se por aproximadamente 490 metros entre as torres. Projetada em parte por avaliao de engenharia e em parte por meio de clculos, a ponte capaz de suportar mais de trs vezes a carga projetada original. As enormes torres de alvenaria so apoiadas em caixes pneumticos de mais de 30 por 50 metros em planta. Em 1872, o coronel Washington A. Roebling, diretor do projeto, ficou paraltico devido a acidente de des-compresso, enquanto supervisionava a construo de um dos pilares submersos. Com invalidez perma-nente, dirigiu o restante do projeto na cama, com a ajuda de sua esposa e da equipe de engenharia.

C A P T U L O

Introduo

1.1 Viso geral do texto

Como engenheiro ou arquiteto envolvido no projeto de prdios, pontes e outras estruturas, voc ser obrigado a tomar muitas decises tcnicas sobre sistemas estruturais. Essas decises incluem: (1) sele-cionar uma forma estrutural eficiente, econmica e atraente; (2) avaliar sua segurana, ou seja, sua resistncia e rigidez; e (3) planejar sua edificao sob cargas de construo temporrias.

Para projetar uma estrutura, voc vai aprender a pr em prtica uma anlise estrutural que estabelece as foras internas e deslocamentos em todos os pontos, produzidos pelas cargas de projeto. Os projetistas determinam as foras internas nos membros importantes para dimen-sionar tanto os membros como as ligaes entre eles. Alm disso, avaliam os deslocamentos para garantir uma estrutura resistente que no apresente deslocamento ou vibrao excessivos sob carga de modo que sua funo seja prejudicada.

Anlise de elementos estruturais bsicos

Durante os cursos anteriores de esttica e resistncia dos materiais, voc desenvolveu alguma formao em anlise estrutural, quando cal-culou as foras de barras em trelias e construiu diagramas de cisalha-mento e momento para vigas. Agora, voc vai expandir sua base em anlise estrutural aplicando, de maneira sistemtica, uma variedade de tcnicas para determinar as foras e deslocamentos de diversos ele-mentos estruturais bsicos: vigas, trelias, prticos, arcos e cabos. Esses elementos representam os componentes bsicos utilizados para formar sistemas estruturais mais complexos.

Alm disso, medida que voc trabalhar nos problemas de anlise e examinar a distribuio das foras em vrios tipos de estruturas, entender mais como as estruturas so solicitadas e deformadas pelo carregamento. Gradualmente, voc tambm desenvolver uma percep-o clara sobre qual configurao estrutural a mais adequada para uma situao de projeto em particular.

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4 Captulo 1 Introduo

medida que voc desenvolver uma percepo quase intuitiva sobre o comportamento de uma estrutura, tambm aprender a avaliar, com alguns clculos simples, os valores aproximados das foras nas sees mais importantes da estrutura. Essa habilidade ser muito til para voc, e permitir (1) verificar a preciso dos resultados de uma anlise feita por computador de estruturas grandes e complexas e (2) estimar as for-as de projeto preliminares necessrias para dimensionar os componen-tes individuais de estruturas de vrios membros, durante a fase inicial do projeto, quando a configurao experimental e as propores da estrutura so estabelecidas.

Analisando estruturas bidimensionais

Conforme voc pode ter observado ao assistir a construo de um prdio de andares mltiplos, a estrutura, quando est totalmente exposta, um sistema tridimensional complexo, composto de vigas, colunas, lajes, paredes e contraventamentos. Embora a carga aplicada em um ponto especfico de uma estrutura tridimensional solicite todos os membros adjacentes, normalmente a maior parte da carga transmitida, por inter-mdio de certos membros-chave, diretamente para outros membros de apoio ou para a fundao.

Uma vez entendidos o comportamento e a funo dos vrios compo-nentes da maioria das estruturas tridimensionais, normalmente o proje-tista pode simplificar a anlise da estrutura real, subdividindo-a em sub-sistemas bidimensionais menores que atuam como vigas, trelias ou prticos. Esse procedimento tambm reduz significativamente a comple-xidade da anlise, pois as estruturas bidimensionais so muito mais fceis e rpidas de analisar do que as estruturas tridimensionais. Visto que, com poucas excees (por exemplo, cpulas geodsicas construdas com barras tubulares leves), os projetistas normalmente analisam uma srie de estruturas bidimensionais simples mesmo quando esto projetando as estruturas tri-dimensionais mais complexas , dedicaremos uma grande parte deste livro anlise de estruturas bidimensionais ou planares, aquelas que transmitem as foras situadas no plano da estrutura.

Uma vez que voc entenda claramente os tpicos bsicos abordados neste texto, ter aprendido as tcnicas fundamentais necessrias para analisar a maioria dos prdios, pontes e sistemas estruturais normal-mente encontrados na prtica profissional. Evidentemente, antes de projetar e analisar com segurana, sero necessrios alguns meses de expe-rincia em projetos reais em um escritrio de engenharia para compreender melhor o processo de um projeto completo da perspectiva profissional.

Para aqueles que pretendem se especializar em estruturas, o domnio dos assuntos deste livro fornecer os princpios estruturais bsicos necessrios em cursos de anlise mais avanados que abordam, por exemplo, mtodos matriciais ou placas e cascas. Alm disso, como o projeto e a anlise esto intimamente relacionados, voc vai utilizar novamente muitos dos procedimentos analticos deste texto em cursos mais especializados, em projetos com ao, concreto armado e pontes.

5Seo 1.2 O processo do projeto: relao da anlise com o projeto

1.2 O processo do projeto: relao da anlise com o projeto

O projeto de qualquer estrutura seja o arcabouo de um veculo espacial, um prdio alto, uma ponte pnsil, uma plataforma de perfurao de petrleo no mar, um tnel etc. normalmente executado em etapas alternadas de projeto e anlise. Cada etapa fornece novas informaes que permitem ao projetista passar para a fase seguinte. O processo conti-nua at que a anlise indique que no mais necessria nenhuma altera-o no tamanho dos membros. As etapas especficas do procedimento esto descritas a seguir.

Projeto conceitual

Um projeto comea com a necessidade especfica de um cliente. Um construtor, por exemplo, pode autorizar uma empresa de engenharia ou arquitetura a preparar planos de um complexo esportivo para abrigar um campo de futebol oficial, assim como lugares para 60 mil pessoas, esta-cionamento para 4 mil carros e espao para as instalaes bsicas. Em outro caso, uma cidade pode contratar um engenheiro para projetar uma ponte sobre um rio de 600 metros de largura e suportar certo volume de trfego por hora.

O projetista comea considerando todas as disposies e sistemas estruturais que possam atender aos requisitos do projeto. Frequente-mente, os arquitetos e engenheiros consultam uma equipe nesse estgio, para estabelecer as disposies que proporcionam sistemas estruturais eficientes, alm de satisfazer os requisitos arquitetnicos (funcionais e estticos) do projeto. Em seguida, o projetista prepara esboos de natureza arquitetnica, mostrando os principais elementos estruturais de cada pro-jeto, embora nesse ponto os detalhes do sistema estrutural sejam geralmente incompletos.

Projeto preliminar

Na fase do projeto preliminar, o engenheiro seleciona vrios sistemas estruturais do projeto conceitual que parecem ser mais promissores e dimensiona seus componentes principais. Esse dimensionamento prelimi-nar dos membros estruturais exige um entendimento do comportamento estrutural e conhecimento das condies de carga (peso prprio, aciden-tal, vento e outras) que provavelmente afetaro o projeto. Nesse ponto, o projetista experiente pode fazer alguns clculos aproximados para estimar as propores de cada estrutura em suas sees crticas.

Anlise de projetos preliminares

Neste estgio, as cargas precisas que a estrutura suportar no so conhe-cidas, pois o tamanho exato dos membros e os detalhes arquitetnicos do projeto no esto finalizados. Utilizando os valores estimados da carga, o engenheiro realiza uma anlise dos diversos sistemas estruturais sob consi-


derao para determinar as foras nas sees crticas e os deslocamentos em qualquer ponto que influenciem a resistncia da estrutura.

O peso real dos membros no pode ser calculado at que a estrutura seja dimensionada exatamente, e certos detalhes arquitetnicos sero influenciados pela estrutura. Por exemplo, o tamanho e o peso do equi-pamento mecnico no podem ser determinados at que o volume da construo seja estabelecido, o qual, por sua vez, depende do sistema estrutural. Contudo, o projetista sabe da experincia passada com estru-turas semelhantes como estimar valores para a carga que sejam aproxi-maes razoveis dos valores finais.

Redefinio das estruturas

Usando os resultados da anlise dos projetos preliminares, o proje-tista recalcula as propores dos principais elementos de todas as estru-turas. Embora cada anlise tenha sido baseada em valores de carga esti-mados, as foras estabelecidas neste estgio provavelmente so indicativas do que uma estrutura em particular deve suportar; portanto, improvvel que as propores mudem significativamente, mesmo depois que os deta-lhes do projeto final forem estabelecidos.

Avaliao de projetos preliminares

Em seguida, os diversos projetos preliminares so comparados com relao ao custo, disponibilidade de materiais, aparncia, manuteno, tempo de construo e outras consideraes pertinentes. A estrutura que melhor atende aos critrios estabelecidos pelo cliente escolhida para um maior refinamento na fase de projeto final.

Fases finais de projeto e anlise

Na fase final, o engenheiro faz pequenos ajustes na estrutura esco-lhida para melhorar sua economia ou aparncia. Agora o projetista avalia cuidadosamente os pesos prprios e considera as posies especficas da carga acidental que maximizaro as tenses nas sees crticas. Como parte da anlise final, a resistncia e a rigidez da estrutura so avaliadas para todas as cargas significativas e combinaes de carga permanente e acidental, incluindo vento, neve, terremoto, mudana de temperatura e recalques. Se os resultados do projeto final confirmarem que as propor-es da estrutura so adequadas para suportar as foras primitivas, o projeto estar terminado. Por outro lado, se o projeto final revelar certas deficincias (por exemplo, certos membros so solicitados demais, a estrutura incapaz de resistir eficientemente s cargas de vento laterais, membros so excessivamente flexveis ou os custos esto acima do ora-mento), o projetista ter de modificar a configurao da estrutura ou considerar um sistema estrutural alternativo.

Ao, concreto armado, madeira e metais, como o alumnio, so todos analisados da mesma maneira. As diferentes propriedades dos materiais so levadas em considerao durante o processo de projeto. Quando os membros so dimensionados, os projetistas consultam nor-

7Seo 1.3 Resistncia e utilidade

mas tcnicas de projeto, as quais levam em conta as propriedades espe-ciais de cada material.

Este texto se preocupa principalmente com a anlise das estruturas, conforme detalhado anteriormente. Na maioria dos cursos de engenharia, o projeto estudado em outras disciplinas; contudo, como os dois assun-tos so to intimamente relacionados, abordaremos necessariamente alguns problemas de projeto.

1.3 Resistncia e utilidade

O projetista deve dimensionar as estruturas de modo que no apre-sentem falhas nem deformem excessivamente sob quaisquer condies de carregamento. Os membros so sempre projetados com uma capaci-dade significativamente maior do que a exigida para suportar as cargas de servio previstas (as cargas reais ou as cargas especificadas pelas normas tcnicas de projeto). Essa capacidade adicional tambm deter-mina um fator de segurana contra uma sobrecarga acidental. Alm disso, limitando o nvel de solicitao, o projetista fornece indireta-mente algum controle sobre as deformaes da estrutura. A tenso mxima permitida em um membro determinada pela resistncia tra-o ou compresso do material ou, no caso de membros de compresso delgados, pela tenso sob a qual um membro (ou um componente de um membro) flamba.

Embora as estruturas precisem ser projetadas com um fator de segu-rana adequado para reduzir a probabilidade de falha a um nvel aceitvel, o engenheiro tambm precisa garantir que a estrutura tenha rigidez sufi-ciente para funcionar de forma adequada sob todas as condies de carre-gamento. Por exemplo, as vigas de piso no devem se deslocar excessiva-mente ou vibrar sob carga acidental. Deslocamentos muito grandes das vigas podem produzir rachadura de paredes de alvenaria e tetos de arga-massa ou danificar equipamento que venha a ficar desalinhado. Os pr-dios altos no devem balanar demasiadamente sob cargas de vento (seno o prdio poder causar nusea nos moradores dos andares superio-res). Os movimentos excessivos no apenas incomodam os moradores, que ficam preocupados com a segurana da estrutura, mas tambm podem levar rachadura das paredes de vedao e janelas exteriores. A Foto 1.1 mostra um moderno prdio de escritrios cuja fachada foi construda com grandes painis de vidro do cho ao teto. Logo depois de construdo o edifcio, cargas de vento maiores do que as previstas fizeram muitos pai-nis rachar e cair, com perigo evidente para os transeuntes. Aps uma investigao completa e mais testes, todos os painis originais foram removidos. Para corrigir as deficincias do projeto, a estrutura do prdio foi reforada, e a fachada reconstruda com painis de vidro temperado mais grosso. As reas escuras na Foto 1.1 mostram os painis de compen-sado utilizados temporariamente para envolver o prdio durante o perodo em que os painis originais foram removidos e substitudos pelos de vidro temperado mais durvel.

Foto 1.1: Danos causados pelo vento. Logo depois que as janelas de vidro trmico foram colo-cadas neste edifcio de escritrios, comearam a cair e dispersar, espalhando vidro quebrado sobre os transeuntes.

Antes que o prdio pudesse ser ocupado, a estrutura teve de ser reforada e todos os painis de vidro originais precisaram ser substitudos por vidro temperado mais grosso procedimentos dispendiosos que atrasaram a inaugurao do prdio por vrios anos.


1.4 Desenvolvimento histrico dos sistemas estruturais

Para mostrar uma perspectiva histrica da engenharia de estruturas, apresentaremos brevemente a evoluo dos sistemas estruturais, desde os projetos de tentativa e erro usados pelos egpcios e gregos antigos at as configuraes altamente sofisticadas empregadas atualmente. A evoluo das formas estruturais est intimamente relacionada com os materiais disponveis, o estado da tecnologia da construo, o conhecimento do projetista sobre o comportamento estrutural (e, muito depois, a anlise) e a habilidade dos trabalhadores de construo.

Para suas notveis faanhas de engenharia, os antigos construtores egp-cios usaram pedras retiradas de pedreiras ao longo do Nilo para construir templos e pirmides. Como a resistncia trao da pedra, um material frgil, baixa e altamente varivel (devido a uma profuso de rachaduras e vazios internos), os vos das vigas nos templos precisavam ser curtos (ver Figura 1.1) para evitar falhas por flexo. Como esse sistema de coluna e verga vigas de rocha macia distribudas igualmente sobre colunas de pedra relativamente grossas possua capacidade limitada para cargas horizontais ou verticais excntricas, as construes tinham de ser relativa-mente baixas. Para dar estabilidade, as colunas precisavam ser grossas uma coluna delgada cai mais facilmente do que uma grossa.

Os gregos, muito interessados em refinar a aparncia esttica da coluna de pedra, usaram o mesmo tipo de construo com coluna e verga no Parthenon (cerca de 400 a.C.), templo considerado um dos exemplos mais elegantes de construo em pedra de todos os tempos (Figura 1.2). At o incio do sculo XX, muito tempo depois de a construo com coluna e verga ter sido superada pelos prticos de ao e concreto armado, os arquitetos continuavam a impor a fachada do clssico templo grego na entrada dos prdios pblicos. A tradio clssica dos gregos antigos exer-ceu influncia por vrios sculos depois do declnio de sua civilizao.

Construtores talentosos, os engenheiros romanos fizeram uso amplo do arco, frequentemente empregando-o em vrios nveis em anfiteatros, aquedutos e pontes (Foto 1.2). A forma curva do arco possibilita um afastamento das linhas retangulares e permite vos livres muito mais longos do que na construo com coluna e verga de alvenaria. A estabi-lidade do arco de alvenaria exige (1) que sua seo transversal inteira seja solicitada em compresso sob todas as combinaes de carga e (2) que os encontros ou blocos de base tenham resistncia suficiente para absorver o grande empuxo na base do arco. Os romanos tambm desen-volveram (em grande parte por tentativa e erro) um mtodo para confi-nar um espao interior com uma cpula de alvenaria, que pode ser observada no Panteo ainda existente em Roma.

Durante o perodo gtico das grandes construes de catedrais (Char-tres, Notre Dame), o arco foi refinado pelo corte de material excedente, e seu formato tornou-se bem mais alongado. O teto abobadado, uma forma tridimensional do arco, tambm apareceu na construo de catedrais. Elementos de alvenaria em arco, chamados arcobotantes, foram usados junto com pilares (grossas colunas de alvenaria) ou paredes para transmi-tir o empuxo dos tetos abobadados para o cho (Figura 1.3). A engenharia

Figura 1.1: Antiga construo de coluna e verga encontrada em um templo egpcio.

Figura 1.2: Frente do Parthenon, com colunas afuniladas e estriadas para decorao.

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trelia do teto

arcobotante

abbada de pedra

clerestrio

coluna de pedra macia

nave lateralnave centralnave lateral

pilar de alvenaria

Foto 1.2: Os romanos foram os pioneiros no uso de arcos para pontes, prdios e aquedutos. Pont du Gard. Aqueduto romano construdo em 19 a.C. para transportar gua pelo vale do Gardon at Nimes. Os vos dos arcos de primeiro e segundo nveis so de aproximadamente 16 a 24 metros. (Prximo a Remoulins, Frana.)

Figura 1.3: Corte transversal simplificado mos-trando os principais elementos estruturais da cons-truo gtica. Arcos de alvenaria exteriores, cha-mados de arcobotantes, eram utilizados para estabilizar a abbada de pedra sobre a nave central. O empuxo da abbada transmitido por meio dos arcobotantes para robustos pilares de alvenaria no exterior da construo. Normalmente, os pilares se alargam em direo base da construo. Para que a estrutura seja estvel, a alvenaria precisa ser solicitada em compresso por toda parte. As setas mostram o fluxo das foras.


desse perodo era extremamente emprica, baseada no que os pedreiros mestres aprendiam e passavam para os seus aprendizes; essas habilidades eram passadas de gerao em gerao.

Embora catedrais e palcios suntuosos tenham sido construdos durante muitos sculos na Europa por mestres construtores, no ocorreu nenhuma mudana significativa na tecnologia da construo at a produo do ferro fundido em quantidades comerciais, em meados do sculo XVIII. A intro-duo do ferro fundido possibilitou aos engenheiros desenhar prdios com vigas delgadas, porm fortes, e colunas com sees transversais compactas, permitindo o projeto de estruturas mais leves, com vos livres mais longos e reas de iluminao maiores. As paredes resistentes e macias exigidas para a construo de alvenaria no eram mais necessrias. Posteriormente, o ao com alta resistncia trao e compresso permitiu a construo de estru-turas mais altas e, finalmente, levou aos arranha-cus atuais.

No final do sculo XIX, o engenheiro francs Eiffel construiu muitas pontes de ao de vos longos, alm de sua inovadora Torre Eiffel, o marco internacionalmente conhecido de Paris (Foto 1.3). Com o desenvolvi-mento dos cabos de ao de alta resistncia, os engenheiros foram capazes de construir pontes pnseis de vos longos. A ponte Verrazano-Narrows, na entrada do porto de Nova York uma das mais longas do mundo , tem vo de quase 1 300 metros entre as torres.

A adio de reforo de ao no concreto permitiu aos engenheiros transformar concreto simples (um material frgil como a pedra) em mem-bros estruturais resistentes e maleveis. O concreto armado assume a forma dos moldes temporrios em que derramado e possibilita a cons-truo de uma grande variedade de configuraes. Como as estruturas de concreto armado so monolticas, significando que agem como unidade contnua, elas so estaticamente indeterminadas.

At que mtodos aprimorados de anlise estaticamente indeterminada permitissem aos projetistas prever as foras internas na construo de concreto armado, o projeto permaneceu semiemprico; isto , clculos simplificados eram baseados no comportamento observado e em testes, assim como nos princpios da mecnica. Com a introduo, no incio dos anos 1920, do mtodo da distribuio de momentos por Hardy Cross, os engenheiros conseguiram uma tcnica relativamente simples para analisar estruturas contnuas. medida que os projetistas se tornaram familiariza-dos com a distribuio de momentos, puderam analisar prticos estatica-mente indeterminados, e o uso do concreto armado como material de construo aumentou rapidamente.

A introduo da soldagem no final do sculo XIX facilitou a ligao de membros de ao eliminou as placas pesadas e as cantoneiras exigi-das pelos mtodos de rebitagem anteriores e simplificou a construo de prticos de ao de ns rgidos.

Nos ltimos anos, o computador e a pesquisa da cincia dos mate-riais produziram grandes alteraes na capacidade dos engenheiros de construir estruturas para fins especficos, como os veculos espaciais. A introduo do computador e o subsequente desenvolvimento das matri-zes de rigidez para vigas, placas e elementos de casca permitiram aos projetistas analisar muitas estruturas complexas rpida e precisamente. Estruturas que at os anos 1950 exigiam das equipes de engenheiros

Foto 1.3: A Torre Eiffel, construda em ferro forjado, em 1889, domina a linha do horizonte de Paris nesta fotografia antiga. Precursora da edifi-cao moderna com estrutura de ao, a torre se eleva a uma altura de 300 m a partir de uma base quadrada de 100,6 m. A base larga e o eixo afuni-lado apresentam uma eficiente forma estrutural para resistir s grandes foras de tombamento do vento. No topo da torre, onde as foras do vento so maiores, a largura da construo menor.

11 Seo 1.5 Elementos estruturais bsicos

meses para a anlise, agora podem ser avaliadas com mais preciso em questo de minutos, por um nico projetista usando um computador.

1.5 Elementos estruturais bsicos

Todos os sistemas estruturais so compostos de vrios elementos estruturais bsicos vigas, colunas, tirantes, trelias e outros. Nesta seo, descreveremos as principais caractersticas desses elementos bsi-cos para que voc aprenda como utiliz-los mais eficientemente.

Tirantes, cabos de suspenso barras axialmente carregadas em trao

Como todas as sees transversais das barras axialmente carregadas so tracionadas de modo uniforme, o material usado com mxima eficincia. A capacidade de tensionar membros uma funo direta da resistncia trao do material. Quando as barras so construdas de materiais com alta resistncia, como as ligas de ao, at as barras de sees transversais peque-nas tm capacidade de suportar cargas grandes (ver Figura 1.4).

Como caracterstica negativa, as barras de sees transversais pequenas so muito flexveis e tendem a vibrar facilmente sob cargas mveis. Para reduzir essa tendncia vibrao, a maioria das normas tcnicas de constru-o determina que certos tipos de barras tracionadas devem ter uma quanti-dade mnima de rigidez flexo, impondo um limite superior em seu ndice de esbeltez l/r, em que l o comprimento da barra e r o raio de girao. Por definio, r 2I A, em que I o momento de inrcia e A a rea da seo transversal. Se a direo da carga inverte repentinamente (uma condi-o produzida pelo vento ou por um terremoto), uma barra tracionada esbelta flambar, antes que possa oferecer qualquer resistncia carga.

Colunas barras axialmente carregadas em compresso

As colunas tambm transmitem carga em compresso direta muito eficientemente. A capacidade de uma barra em compresso uma funo de seu ndice de esbeltez l/r. Se l/r grande, a barra esbelta e falhar por flambagem, quando as tenses forem baixas frequentemente sem muito aviso. Se l/r pequeno, o membro compacto. Como os membros compactos falham por excesso de carregamento por esmagamento ou escoamento , sua capacidade para carga axial alta. A capacidade de uma coluna esbelta tambm depende da conteno fornecida em suas extremidades. Por exemplo, uma coluna esbelta em balano engas-tada em uma extremidade e livre na outra suportar uma carga equiva-lente a um quarto daquela suportada por uma coluna idntica com as duas extremidades articuladas (Figura 1.5b e c).

Na verdade, colunas suportando carga axial pura s ocorrem em situaes idealizadas. Na prtica, a ligeira curvatura inicial das colunas ou uma excen-tricidade da carga aplicada cria momentos de flexo que devem ser levados em conta pelo projetista. Alm disso, em estruturas em concreto armado ou elementos soldados, nas quais as vigas e colunas so conectadas por ligaes

tirantes

TT

W

F

F

(a) (b) (c) (d)

PcP

M

4Pc

Figura 1.4: Tanque de armazenamento qumico apoiado por tirantes tracionados suportando a fora T.

Figura 1.5: (a) Coluna carregada axialmente; (b) coluna em balano com carga de flambagem Pc; (c) coluna biarticulada com carga de flambagem 4Pc; (d) viga-coluna.


rgidas, as colunas transmitem carga axial e momento fletor. Esses membros so chamados de vigas-colunas (veja a Figura 1.5d).

Vigas cisalhamento e momento de flexo criados por cargas

As vigas so membros delgados carregados perpendicularmente ao seu eixo longitudinal (ver Figura 1.6a). Quando a carga aplicada, a viga se deforma em uma curva suave. Em uma seo tpica de uma viga, desenvolvem-se foras internas de cisalhamento V e momento fletor M (Figura 1.6b). A no ser em vigas curtas e extremamente carregadas, as tenses de cisalhamento produzidas por V so relativamente pequenas, mas as tenses normais de flexo longitudinais produzidas por M so grandes. Se a viga tem comportamento elstico, as tenses normais de flexo em uma seo transversal (compresso na parte superior e trao na parte inferior) variam linearmente a partir de um eixo horizontal, pas-sando pelo centroide da seo transversal. As tenses de flexo so dire-tamente proporcionais ao momento fletor e variam em amplitude ao longo do eixo da viga.

As vigas rasas (delgadas) so relativamente ineficientes na transmisso da carga, pois o brao entre as foras C e T que constitui o momento interno pequeno. Para aumentar o tamanho do brao, frequentemente removido material do centro da seo transversal e concentrado nas superfcies supe-rior e inferior, produzindo uma seo em forma de I (Figura 1.6c e d).

Trelias planas todos os membros axialmente carregados

Trelia um elemento estrutural composto de barras delgadas cujas extremidades so supostamente conectadas por articulaes sem atrito. Se trelias de ns articulados so carregadas apenas nos ns, desenvolve-se um carregamento axial em todas as barras. Assim, o material usado com mxima eficincia. Normalmente, as barras da trelia so montadas em padro triangular a configurao geomtrica estvel mais simples (Figura 1.7a). No sculo XIX, geralmente as trelias recebiam seus nomes como homenagem aos projetistas que estabeleciam uma configu-rao especfica de barras (ver Figura 1.7b).

O comportamento de uma trelia semelhante ao de uma viga, pois a alma slida (que transmite o cisalhamento) substituda por uma srie de barras verticais e diagonais. Eliminando a alma slida, o projetista

mesa

(c)

alma

mesa

(d)

alma de compensado

(a)

P

RA RB

(b)

brao de alavanca

T

CMV

par internotenses normais de flexo

t

c

mesa

(c)

alma

(a)

RA RB

(b)

brao de alavanca

T

CMV

RA

par internotenses normais de flexo

t

c

mesa

(c)

alma

mesa

(d)

alma de compensado

RB

brao de alavanca

par interno

Figura 1.6: (a) A viga deforma em uma curva suave; (b) foras internas (cisalhamento V e momento fletor M); (c) seo de ao em forma de I; (d) viga I de madeira laminada colada.

13Seo 1.5 Elementos estruturais bsicos

pode reduzir significativamente o prprio peso da trelia. Como as tre-lias so muito mais leves do que as vigas de mesma capacidade, so mais fceis de erigir. Embora a maioria das ligaes de trelia seja for-mada pela soldagem ou pelo aparafusamento das extremidades das barras em uma placa de conexo (ou ligao) (Figura 1.8a), uma anlise da trelia baseada na suposio de ligaes articuladas produz um resul-tado aceitvel.

Embora as trelias sejam muito rgidas em seu plano especfico, so muito flexveis quando carregadas perpendicularmente a esse plano. Por isso, as cordas de compresso das trelias devem ser estabilizadas e ali-nhadas por meio de contraventamento cruzado (Figura 1.8b). Por exem-plo, nos prdios, os sistemas de teto ou piso ligados aos ns da corda superior servem como apoios laterais para evitar a flambagem lateral desse membro.

Figura 1.7: (a) Montagem de elementos triangu-lares para formar uma trelia; (b) dois tipos comuns de trelia com nomes dados em homena-gem ao projetista original.

painel

corda inferior

corda superior

diagonal

montante

(a)

trelia Pratt

trelia Warren

(b)


Arcos membros curvos fortemente solicitados em compresso direta

Normalmente, os arcos so solicitados em compresso sob seu peso prprio. Devido ao uso eficiente do material, os arcos tm sido constru-dos com vos de mais de 600 metros. Para estar em compresso pura, um estado de tenso eficiente, o arco deve ser projetado de modo que a resul-tante das foras internas de cada seo passe pelo centroide. Para deter-minado vo e elevao, existe somente uma forma de arco na qual a solicitao direta ocorrer para um sistema de foras em particular. Para outras condies de carga, desenvolvem-se momentos fletores que podem produzir grandes deslocamentos em arcos delgados. A escolha da forma de arco apropriada por parte dos antigos construtores nos perodos romano e gtico representou um entendimento bastante sofisticado do comportamento estrutural. (Como os registros histricos relatam muitas falhas de arcos de alvenaria, obviamente nem todos os construtores enten-deram a ao do arco.)

Como a base do arco cruza os apoios extremos (chamados de encontros ou peges) em um ngulo agudo, a fora interna nesse ponto exerce um empuxo horizontal, assim como vertical, sobre os encon-tros. Quando os vos so grandes, as cargas so pesadas e a inclinao

Figura 1.8: (a) Detalhe da ligao aparafusada; (b) ponte de trelia mostrando o contraventa-mento cruzado necessrio para estabilizar as duas trelias principais.

(a)

(b)

corda inferior

trelia

trelia

contraventamento do portal

diagonal da trelia

longarina

contraventamento cruzado da corda superior,

todos os painis

contraventamentocruzado da corda inferior,

todos os painis

transversinasbalancim chapa de piso assentada

em longarinas no mostradas

(a)

(b)

corda inferior

trelia

trelia

entamento

longarina

contraventamento cruzado da corda superior,

todos os painis

contraventamentocruzado da corda inferior,

todos os painis

transversinaschapa de piso assentada

em longarinas no mostradas

barras da trelia

chapa de ligao


do arco rasa, o componente horizontal do empuxo grande. A no ser que existam paredes de rocha naturais para absorver o empuxo horizontal (Figura 1.9a), devem ser construdos encontros macios (Figura 1.9b) ou as extremidades do arco devem ser interligadas por um tirante (Figura 1.9c) ou o encontro deve ser apoiado em estacas (Figura 1.9d).

Cabos membros flexveis solicitados em trao por cargas transversais

Os cabos so membros relativamente delgados e flexveis, compostos por um grupo de fios de ao de alta resistncia tranados mecanicamente. Trefilando barras de liga de ao por meio de moldes processo que alinha as molculas do metal , os fabricantes so capazes de produzir fios com resistncia trao que chega a 1,86 GPa. Como os cabos no tm nenhuma rigidez flexo, s podem transmitir fora de trao direta (obviamente, eles se deformariam sob menor fora compressiva). Devido sua alta resistncia trao e maneira eficiente de transmitir carga (por trao direta), as estruturas a cabo tm fora para suportar as grandes cargas de estruturas de vo longo com mais economia do que a maioria dos outros elementos estruturais. Por exemplo, quando as distncias dos vos ultrapassam 600 metros, os projetistas normalmente escolhem pon-tes pnseis ou estaiadas (ver Foto 1.4). Os cabos podem ser usados para construir tetos, assim como torres estaiadas.

Sob o prprio peso (uma carga uniforme atuando ao longo do arco do cabo), o cabo assume a forma de catenria (Figura 1.10a). Se o cabo suportar uma carga distribuda uniformemente sobre a projeo hori-zontal de seu vo, assumir a forma de parbola (Figura 1.10b). Quando a flecha (a distncia vertical entre a corda do cabo e o cabo na metade do vo) pequena (Figura 1.10a), o formato do cabo produzido pelo prprio peso pode ser bem prximo de uma parbola.

encontro encontro

tirante

pista

(b)

(a)

rocha rocha

T T

arco

H H

estaca inclinada

estaca inclinada

(d )

(c)

R R

Figura 1.9: (a) Um arco com extremidades fixas suporta a pista sobre um desfiladeiro onde pare-des de rocha fornecem um apoio natural para o empuxo do arco T; (b) encontros grandes destina-dos a suportar o empuxo do arco; (c) tirante adi-cionado na base para suportar o empuxo horizon-tal; fundaes projetadas apenas para reao vertical R; (d) fundao colocada sobre estacas; estacas inclinadas usadas para transferir o com-ponente horizontal do empuxo para o cho.

Figura 1.10: (a) Cabo na forma de catenria sob o prprio peso; (b) cabo parablico produzido por uma carga uniforme; (c) diagrama de corpo livre de uma seo de cabo suportando uma carga ver-tical uniforme; o equilbrio na direo horizontal mostra que a componente de trao horizontal H no cabo constante.

V2 T2

2

L/2

(a)

(b)

w

L/2

cordado cabo

flecha

TT

parbola

V1

H

V2 T2

T1

H

1

2

L/2

(a)

(b)

w

(c)

w

L/2

cordado cabo

flecha

TT

parbola

16

Foto 1.4: (a) Ponte Golden Gate (Baa de So Francisco). Inaugurada em 1937, o vo principal de mais de 1 280 metros era o mais longo daquela poca e manteve esse ttulo por 29 anos. O projetista principal foi Joseph Strauss, que anteriormente colaborou com Ammann na ponte George Washington, em Nova York; (b) ponte do rio Rhine, em Flehe, prximo a Dusseldorf, Alemanha. Projeto de torre nica. A linha nica de cabos ligada ao centro do piso da ponte e existem trs faixas de rolamento em cada lado. Essa disposio depende da rigidez toro da estrutura do piso da ponte para obter uma esta-bilidade global.

(a)

(b)


Devido falta de rigidez flexo, os cabos passam por grandes alteraes na forma, quando cargas concentradas so aplicadas. A falta de rigidez flexo tambm torna muito fcil pequenas foras perturbadoras (por exemplo, o vento) causarem oscilaes (tremor) em tetos e pontes apoiados por cabos. Para utilizar eficientemente cabos como membros estruturais, os engenheiros inventaram diversas tcnicas para minimizar as deformaes e vibraes produzidas por sobrecarga. As tcnicas para enrijecer cabos incluem (1) pr-tensiona-mento, (2) uso de cabos ancorados; e (3) adio de peso prprio extra (ver Figura 1.11).

Como parte dos sistemas de cabo, devem ser projetados apoios para absorver as reaes das extremidades do cabo. Onde existe rocha slida disponvel, os cabos podem ser ancorados de forma econmica, cimen-tando a ancoragem na rocha (ver Figura 1.12). Se no houver rocha dis-ponvel, devem ser construdas fundaes pesadas para ancorar os cabos. No caso de pontes pnseis, so necessrias torres grandes para suportar o cabo, do mesmo modo que um poste suporta um varal de roupas.

cabos tracionados

pilares

blocos de concreto

fundao

torre

cabos ancorados

TT

TT

fixaes

(a) (b)

(c)

T

T T

T

cabo

teto apoiado

Figura 1.11: Tcnicas para enrijecer cabos: (a) torre estaiada com cabos pr-tensionados com apro-ximadamente 50% de sua resistncia trao mxima; (b) rede de cabos tridimensional; cabos ancorados estabilizam os cabos inclinados para cima; (c) teto em cabo coberto por blocos de con-creto para manter o cabo tracionado a fim de eliminar as vibraes. Cabos apoiados por pila-res macios (colunas) em cada extremidade.

T

fixao

barra com olhal

cabo

argamassa especial (grout)

rocha

Figura 1.12: Detalhe de uma ancoragem de cabo na rocha.


Prticos rgidos solicitados por carga axial e momento

Exemplos de prticos rgidos (estruturas com ns rgidos) aparecem na Figura 1.13a e b. As barras de um prtico rgido, que normalmente suportam carga axial e momento, so chamadas de vigas-pilares. Para que uma ligao seja rgida, o ngulo entre as barras vinculadas a essa ligao no deve mudar quando carregado. Em estruturas de concreto armado, as ligaes rgidas so simples de construir, devido natureza monoltica do concreto vertido. Contudo, as ligaes rgidas fabricadas com vigas de ao com mesas (Figura 1.6c) geralmente exigem enrijecedores para trans-ferir as foras intensas nas mesas entre as barras que compem a ligao (ver Figura 1.13c). Embora as ligaes possam ser formadas por rebita-gem ou aparafusamento, a soldagem simplifica muito a fabricao de ligaes rgidas em prticos de ao.

Placas ou lajes carga transmitida por flexo

As placas so elementos planares cuja profundidade (ou espessura) pequena, comparada ao comprimento e largura. Normalmente, elas so usadas como pisos em prdios e pontes ou como paredes de tanques de armazenamento. O comportamento de uma placa depende da posio dos apoios ao longo das bordas. Se placas retangulares so apoiadas em bordas opostas, elas se flexionam em curvatura nica (ver Figura 1.14a). Se os apoios so contnuos em torno das bordas, ocorre flexo de curvatura dupla.

Como as chapas so flexveis, por causa da pequena espessura, a dis-tncia que podem vencer sem se deformar excessivamente relativamente pequena. (Por exemplo, as lajes de concreto armado podem abranger aproximadamente de 3,6 a 4,8 metros.) Se os vos so grandes, normal-mente as lajes so apoiadas em vigas ou reforadas pela adio de nervu-ras (Figura 1.14b).

Se a ligao entre uma laje e sua viga de apoio projetada adequada-mente, os dois elementos agem em conjunto (condio chamada de ao composta) para formar uma viga T (Figura 1.14c). Quando a laje atua como a mesa de uma viga retangular, a rigidez da viga aumenta por um fator aproximadamente igual a 2.

Corrugando as placas, o projetista pode criar uma srie de vigas altas (chamadas placas dobradas) que podem vencer longos vos. No aero-porto Logan, em Boston, EUA, uma placa dobrada de concreto proten-dido do tipo mostrado na Figura 1.14d se estende por mais de 82 metros para atuar como teto de um hangar.

Cascas finas (elementos de superfcie curvos) tenses atuando principalmente no plano do elemento

As cascas finas so superfcies curvas tridimensionais. Embora sua espessura seja muitas vezes pequena ( comum terem alguns centme-tros no caso de uma casca de concreto armado), elas podem vencer grandes vos, devido resistncia e rigidez inerentes forma curva. Cpulas esfricas, que so comumente utilizadas para cobrir praas de

(a)

enrijecedores

(c)

(b)

(d )

(a)

enrijecedores

(c)

(b)

(d )

(b)

(d )

(b)

(d )

Figura 1.13: Estruturas com ns rgidos: (a) prtico rgido de um andar; (b) viga Vierendeel, cargas transmitidas por trao direta e flexo; (c) detalhes de uma ligao soldada no canto de um prtico rgido de ao; (d) detalhe do reforo do canto do prtico de concreto em (b).


esporte e tanques de armazenamento, so dos tipos mais comuns de cascas construdas.

Sob cargas uniformemente distribudas, as cascas desenvolvem tenses no plano (chamadas tenses de membrana) que suportam a carga externa eficientemente (Figura 1.15). Alm das tenses de mem-brana, que normalmente tm magnitude pequena, tambm se desen-volvem tenses de cisalhamento perpendiculares ao plano da casca, momentos fletores e momentos de toro. Se a cobertura tiver bordas que possam equilibrar as tenses de membrana em todos os pontos (ver Figura 1.16a e b), a maior parte da carga ser transmitida pelas tenses de membrana. Mas se as bordas da casca no puderem forne-cer reaes para as tenses de membrana (Figura 1.16d), a regio da casca prxima s bordas se deformar. Como essas deformaes criam cisalhamento normal superfcie da casca, assim como momentos, deve-se engrossar a casca ou fornecer um elemento de borda. Na maioria das cascas, o cisalhamento e os momentos da borda diminuem rapidamente com a distncia da borda.

A capacidade das cascas finas de abranger grandes reas desobstrudas sempre despertou grande interesse dos engenheiros e arquitetos. Contudo, o alto custo para moldar a casca, os problemas acsticos, a dificuldade de produzir um teto impermevel e problemas de flambagem com tenses baixas tm restringido seu uso. Alm disso, as cascas finas no so capa-zes de suportar cargas intensamente concentradas sem a adio de nervu-ras ou outros tipos de enrijecedores.

(a)

(c)

mesaconector de cisalhamento

alma

(b)

(d)

laje

lajeviga

(tpica)

viga de ao

flexo de curvatura simples

flexo de curvatura dupla

Figura 1.14: (a) Influncia das bordas na curvatura; (b) sistema de viga e laje; (c) laje e vigas atuam como uma unidade. esquerda, a laje de concreto se funde com a viga para formar uma viga T; direita, o conector de cisalhamento une a laje de concreto viga de ao produzindo uma viga composta; (d) teto de placa dobrada.

Figura 1.15: Tenses de membrana atuando em um pequeno elemento de casca.

Ty

Ty

Tx

Tx

WVV

VV


1.6 Montando elementos bsicos para formar um sistema estrutural estvel

Prdio de um andar

Para ilustrar como o projetista combina os elementos estruturais bsi-cos (descritos na Seo 1.5) em um sistema estrutural estvel, discutire-mos em detalhes o comportamento de uma estrutura simples, conside-rando a estrutura de um andar tipo caixa da Figura 1.17a. Essa construo, representando um pequeno estabelecimento de armazenagem, consiste em prticos de ao estrutural cobertos com painis leves de metal corru-gado. (Por simplicidade, ignoramos as janelas, portas e outros detalhes arquitetnicos.)

Na Figura 1.17b, mostramos um dos prticos de ao localizado imediatamente dentro da parede da extremidade (indicada como ABCD na Figura 1.17a) do prdio. Aqui, a plataforma do teto de metal apoiada na viga CD que se estende entre duas colunas de ligao localizadas nos cantos do prdio. Como mostrado na Figura 1.17c, as extremidades da viga so conectadas nas partes superiores das colunas por parafusos que passam pela mesa inferior da viga e uma chapa de topo soldada na parte superior da coluna. Como esse tipo de conexo no pode transmitir momento eficientemente entre a extremidade da

Figura 1.16: Tipos de cascas comumente cons-trudas: (a) cpula esfrica apoiada continua-mente. fornecida a condio de contorno da ao de membrana; (b) cpula modificada com apoios prximos entre si. Devido s aberturas, a condio de membrana um pouco alterada nas bordas. Deve-se engrossar a casca ou fornecer vigas de borda nas aberturas; (c) paraboloide hiperblico. Geratrizes em linha reta formam esta casca. So necessrias vigas de borda para fornecer reao para as tenses de membrana; (d) cpula com apoios distantes entre si. Foras de membrana no podem se desenvolver nas bordas. So necessrias vigas de borda e espes-samento da casca em torno do permetro; (e) cpula com um anel de compresso no topo e um anel de trao na parte inferior. Esses anis for-necem reaes para as tenses de membrana. As colunas devem suportar somente carga vertical; (f) casca cilndrica.

(a) (b) (c)

vigas de borda

seo A-A

AA

Flambagem com ruptura de lado a lado: esse tipo de falha evitado pela adio de nervuras de reforo ou tornando a casca mais grossa

(e)(d) ( f )

anel de compresso

anel de trao

viga de borda

21Seo 1.6 Montando elementos bsicos para formar um sistema estrutural estvel

(a) (c)(b)

(d) (e) ( f )

flamba

tracionada

V V

P

P

P

V

PA

0

B

CD

V

F = 0

w

A

D C

D C

B

2wL

2wL

2wL

2wL

L

L

w

Posio dos prticos contraventados no prdio (ver Figura 1.17b), mostrados com linhas tracejadas. Todos os outros membros estruturais foram omitidos.

A B

CD

A B

CD

telhado

isolamento

plataforma do teto

viga

chapa de topo

colunatubular

vista posterior

detalhe A

vista frontal

plataforma do tetover detalhe A

viga

colunaplaca

de base

parafuso de ancoragem

contraventamento

C

BA

D

viga e o topo da coluna, o projetista supe que ele atua como uma arti-culao de dimetro pequeno.

Como essas junes aparafusadas no so rgidas, membros leves adicionais (geralmente barras circulares ou cantoneiras de ao) so dispostos diagonalmente entre colunas adjacentes no plano do prtico e servem para estabilizar ainda mais a estrutura. Sem esse reforo diagonal (Figura 1.17b), a resistncia do prtico s cargas laterais seria pequena e a estrutura no teria rigidez. Os projetistas inserem contraventamento semelhante nas outras trs paredes e, s vezes, no plano do teto.

O prtico ligado fundao por meio de parafusos que passam por uma placa de base leve de ao, soldada na parte inferior da coluna. As extremidades inferiores dos parafusos, chamados parafusos de ancoragem, so engastadas nas bases de concreto, localizadas imedia-

Figura 1.17: (a) Viso tridimensional do prdio (a seta indica a direo na qual a plataforma do teto se estende); (b) detalhes do prtico com con-traventamento com ligaes aparafusadas; (c) detalhes das ligaes entre viga e coluna; (d) modelo idealizado do sistema estrutural transmi-tindo cargas gravitacionais do teto; (e) modelo da viga CD; (f) modelo idealizado de sistema de tre-lia para transmitir carga lateral atuando direita. A barra diagonal DB se deforma e ineficiente.


tamente sob a coluna. Normalmente, os projetistas supem que uma conexo aparafusada simples desse tipo atua como um apoio de pino; isto , a conexo impede que a base da coluna se desloque vertical e horizontalmente, mas no tem rigidez suficiente para evitar a rotao (frequentemente, os estudantes de engenharia presumem erronea-mente que uma placa de base plana aparafusada em uma base de con-creto produz uma condio de extremidade fixa, mas no levam em considerao a grande perda de restrio rotacional induzida mesmo por pequenas deformaes de curvatura da placa).

Embora a conexo aparafusada tenha capacidade de aplicar uma pequena, porm incerta, quantidade de restrio rotacional na base da coluna, normalmente o projetista a trata de forma conservadora como um pino sem atrito. Contudo, normalmente desnecessrio obter uma cone-xo mais rgida, pois cara e a rigidez adicional pode ser fornecida de forma mais simples e econmica, aumentando o momento de inrcia das colunas. Se os projetistas quiserem produzir um apoio fixo na base de uma coluna para aumentar sua rigidez, devem utilizar uma placa de base grossa e reforada, e a fundao deve ser macia.

Projeto de prtico para carga gravitacional. Para analisar esse pequeno prtico sob a ao de carga gravitacional, o projetista presume que o peso do teto e de qualquer carga acidental vertical (por exemplo, neve ou gelo) suportado pela plataforma do teto (atuando como uma srie de pequenas vigas paralelas) no prtico mostrado na Figura 1.17d. Esse prtico ideali-zado pelo projetista como uma viga conectada nas colunas por uma ligao presa com pinos. O projetista despreza o contraventamento diagonal como um membro secundrio supostamente inativo quando a carga vertical atua. Como supostamente nenhum momento se desenvolve nas extremida-des da viga, o projetista a analisa simplesmente como uma barra biapoiada, com uma carga uniforme (ver Figura 1.17e). Como as reaes da viga so aplicadas diretamente sobre as linhas de centro das colunas, o projetista presume que a coluna transmite apenas compresso direta e se comporta como um membro de compresso carregado axialmente.

Projeto para carga lateral. Em seguida, o projetista verifica as cargas laterais. Se uma carga lateral P (produzida pelo vento, por exemplo) aplicada no topo do teto (ver Figura 1.17f), o projetista pode supor que uma das diagonais, atuando junto com a viga de teto e com as colunas, forma uma trelia. Se as diagonais so membros leves e flexveis, ape-nas a diagonal que vai de A a C, que alonga e desenvolve foras de trao medida que a viga se desloca para a direita, presumida como efetiva. Supe-se uma deformao na diagonal oposta BD, pois ela delgada e colocada em compresso pelo movimento lateral da viga. Se a direo do vento invertesse, a outra diagonal BD se tornaria efetiva e a diagonal AC deformaria.

Conforme ilustramos nesse problema simples, sob determinados tipos de cargas alguns membros entram em ao para transmitir as car-gas para os apoios. Desde que o projetista saiba como escolher um caminho lgico para essas cargas, a anlise pode ser bastante simplifi-cada pela eliminao de membros no efetivos.

23Seo 1.7 Anlise por computador

1.7 Anlise por computador

At o final dos anos 1950, a anlise de alguns tipos de estruturas inde-terminadas era um procedimento longo e maante. A anlise de uma estrutura com muitas ligaes e barras (uma trelia espacial, por exemplo) poderia exigir muitos meses de clculos de uma equipe de engenheiros estruturais experientes. Alm disso, como muitas vezes eram necessrias vrias suposies sobre o comportamento estrutural para simplificao, a preciso dos resultados finais era incerta. Atualmente, esto disponveis programas de computador que podem analisar a maioria das estruturas rapida e precisamente. Ainda existem algumas excees. Se a estrutura tem uma forma incomum e complexa um recipiente de conteno nuclear de paredes grossas ou o casco de um submarino , a anlise por computador ainda pode ser complicada e demorada.

A maioria dos programas de computador para anlise de estruturas escrita para produzir uma anlise de primeira ordem; isto , eles presu-mem (1) que o comportamento linear e elstico; (2) que as foras dos membros no so afetadas pelas deformaes (mudana na geometria) da estrutura e (3) que nenhuma reduo na rigidez flexo produzida nas colunas por foras de compresso.

Os mtodos clssicos de anlise abordados neste livro produzem uma anlise de primeira ordem, conveniente para a maioria das estruturas, como trelias, vigas contnuas e prticos, encontradas na prtica da enge-nharia. Quando utilizada uma anlise de primeira ordem, as normas tcnicas para o projeto estrutural fornecem os procedimentos empricos necessrios para ajustar as foras que podem ser subestimadas.

Embora sejam mais complicados de usar, os programas de segunda ordem, que levam em conta o comportamento inelstico, mudanas na geometria e outros efeitos que influenciam a magnitude das foras nos membros, so mais precisos e produzem uma anlise mais fiel. Por exem-plo, arcos longos e delgados sob cargas mveis podem passar por mudanas na geometria que aumentam significativamente os momentos de flexo. Para estruturas desse tipo, essencial uma anlise de segunda ordem.

Normalmente, os engenheiros utilizam programas de computador preparados por equipes de especialistas em estruturas que tambm so hbeis programadores e matemticos. Obviamente, se o projetista no estabelecer uma estrutura estvel ou se uma condio de carga importante for negligenciada, a informao fornecida pela anlise no ser adequada para produzir uma estrutura til e segura.

Em 1977, a falha da grande trelia espacial tridimensional (ver pginas 72 e 682) que apoiava o teto de aproximadamente 90 por 110 metros do Hartford Civic Center Arena um exemplo de projeto estrutural em que os projetistas confiaram em uma anlise incompleta feita por computador e no produziram uma estrutura segura. Dentre os fatores que contriburam para esse desastre estavam dados imprecisos (o projetista subestimou o peso prprio do teto em mais de 680 mil kg) e a incapacidade do programa de computador de prever a carga de flambagem das barras sob compresso na trelia. Em outras palavras, havia no programa a suposio de que a estrutura era estvel suposio essa presente na maioria dos antigos programas de computador utilizados para analisar estruturas. Logo depois


que uma tempestade de inverno depositou uma pesada carga de neve enso-pada pela chuva e pelo gelo no teto, a flambagem de certas barras delga-das sob compresso na trelia do teto causou o desmoronamento repen-tino do teto inteiro. Felizmente, a falha ocorreu horas depois que 5 mil espectadores de um jogo de basquete tinham deixado o prdio. Se a falha tivesse ocorrido horas antes (quando o prdio estava ocupado), centenas de pessoas teriam morrido. Embora no tenha havido nenhuma perda de vida, o lugar ficou inutilizado por um tempo considervel, e foi necess-rio muito dinheiro para limpar os destroos, reprojetar o prdio e recons-truir a praa de esportes.

Embora o computador tenha reduzido o nmero de horas de clculos necessrias para analisar estruturas, o projetista ainda precisa ter um dis-cernimento bsico sobre todos os tipos de falha em potencial para avaliar a confiabilidade das solues geradas pelo computador. A preparao de um modelo matemtico que represente adequadamente a estrutura conti-nua sendo um dos aspectos mais importantes da engenharia de estruturas.

1.8 Preparao dos clculos

A preparao de um conjunto de clculos bem definido e completo para cada anlise responsabilidade importante de cada engenheiro. Um conjunto de clculos bem organizado no somente reduzir a pos-sibilidade de erros, mas tambm fornecer informaes fundamentais, caso a resistncia de uma estrutura existente precise ser investigada no futuro. Por exemplo, talvez o proprietrio de um prdio queira determi-nar se um ou mais andares podem ser adicionados estrutura existente sem solicitar em excesso o arcabouo estrutural e as fundaes. Se os clculos originais so completos e o engenheiro pode determinar as cargas de projeto, as tenses admissveis e as hipteses nas quais a an-lise e o projeto original foram baseadas, a avaliao da resistncia da estrutura modificada fica facilitada.

Ocasionalmente, uma estrutura falha (no pior caso, vidas so perdi-das) ou se mostra insatisfatria em servio (por exemplo, pisos afundam ou vibram; paredes racham). Nessas situaes, os clculos originais sero examinados com cuidado por todos os envolvidos para estabelecer a res-ponsabilidade do projetista. Um conjunto de clculos desleixado ou incompleto pode causar danos reputao de um engenheiro.

Como os clculos exigidos para resolver os problemas propostos neste livro so semelhantes aos feitos por engenheiros profissionais em escrit-rios de projeto, os estudantes devem considerar cada tarefa como uma oportunidade de aprimorar os conhecimentos necessrios para produzir clculos de qualidade profissional. Com esse objetivo em mente, so ofe-recidas as seguintes sugestes:

1. Formule o objetivo da anlise em uma frase curta.2. Faa um esboo claro da estrutura, mostrando todas as cargas e

dimenses. Use um lpis apontado e uma rgua para desenhar as linhas. Figuras e nmeros claros e organizados tm uma aparncia mais profissional.

25 Seo 1.8 Preparao dos clculos

3. Inclua todas as etapas de seus clculos. Clculos no podem ser facilmente verificados por outro engenheiro a no ser que todas as etapas sejam mostradas. Escreva uma ou duas palavras dizendo o que est sendo feito, conforme for necessrio para esclarecimento.

4. Verifique os resultados de seus clculos por meio de uma checagem esttica (isto , escrevendo equaes de equilbrio adicionais).

5. Se a estrutura for complexa, verifique os clculos fazendo uma anlise aproximada (consultar Captulo 14).

6. Verifique se a direo das deformaes coerente com a direo das foras aplicadas. Se uma estrutura analisada por computador, os deslocamentos dos ns (parte dos dados de sada) podem ser representados em escala em um grfico para produzir uma viso clara da estrutura deformada.

Resumo

Para iniciar nosso estudo da anlise estrutural, examinamos a relao entre planejamento, projeto e anlise. Nesse processo correlacionado, o engenheiro de estruturas primeiramente estabelece uma ou mais configuraes iniciais das formas estruturais possveis, estima os pesos prprios, seleciona as cargas de projeto importantes e analisa a estrutura. Analisada a estrutura, os membros principais so redimensionados. Se os resultados do projeto confirmarem que as suposies iniciais estavam corretas, o projeto est concludo. Se houver grandes diferenas entre as propores iniciais e finais, o projeto ser modificado, e a anlise e o dimensionamento sero repetidos. Esse processo continua at que os resultados finais confirmem que as propores da estrutura no exigem mais modificaes.Examinamos tambm as caractersticas dos elementos estruturais comuns que compem prdios e pontes tpicos. Eles incluem vigas, trelias, arcos, prticos com ligaes rgidas, cabos e cascas.Embora a maioria das estruturas seja tridimensional, o projetista que desenvolve um entendimento do comportamento estrutural muitas vezes pode dividir a estrutura em uma srie de estruturas planares mais simples para anlise. O projetista capaz de escolher um modelo simplificado e idealizado que represente precisamente os fundamentos da estrutura real. Por exemplo, embora a alvenaria exterior ou janelas e painis de parede de um prdio ligados ao arcabouo estrutural aumentem a rigidez da estrutura, normalmente essa interao desprezada.Como a maioria das estruturas analisada por computador, os engenheiros de estruturas devem desenvolver uma compreenso do comportamento estrutural para que, com alguns clculos simples, possam verificar se os resultados da anlise feita pelo computador so razoveis. As falhas estruturais no somente envolvem altos custos, mas tambm podem resultar em leses nas pessoas ou perda de vidas.

O forte terremoto de 1999 (magnitude 7,7) ocorrido em Chi-Chi, Taiwan, fez que os andares superiores dos prdios de apartamentos, mostrados na foto, desabassem como um conjunto. Embora as colunas de apoio do prdio fossem projetadas para foras ssmicas, a ligao de paredes divisrias de concreto rgido e tijo-los s colunas dos andares superiores invalidou o objetivo do projetista e causou a falha dos segmentos mais flexveis das colunas dos andares inferiores, quando o bloco superior do prdio se deslocou lateral-mente como um todo.

C A P T U L O

Cargas de projeto

2.1 Cdigo de construo e de projeto

Cdigo um conjunto de especificaes e padres tcnicos que controlam os principais detalhes da anlise, projeto e construo de prdios, equipamentos e pontes. O objetivo dos cdigos produzir estruturas seguras e econmicas para proteger o pblico de projetos e construes de baixa qualidade ou inadequados.

Existem dois tipos de cdigo. Um deles, chamado cdigo estrutural, escrito por engenheiros e outros especialistas interessados no projeto de uma classe de estrutura especfica (por exemplo, prdios, pontes em rodovias ou usinas nucleares) ou na utilizao correta de um material especfico (ao, concreto armado, alumnio ou madeira). Normalmente, os cdigos estruturais especificam as cargas de projeto, as tenses

fundamentos da análise estrutural

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