Descrio do Programa:

1. Reviso: Esforos simples, vinculaes, reaes de apoio, equaes de

Disciplina: Anlise Estrutural 1

Esforos simples, vinculaes, reaes de apoio, equaes de equilbrio, diagramas de esforos em vigas isostticas.

2. Diagramas de esforos em estruturas isostticas planas:Vigas gerber, prticos, trelias, arcos, grelhas.

3. Clculo de deslocamentos em estruturas isostticas3. Clculo de deslocamentos em estruturas isostticasTeoremas de energia, Princpio dos Trabalhos Virtuais.

4. Linha de influncia em estruturas isostticas (vigas Gerber e prticos planos)

BIBLIOGRAFIA BSICA:SORIANO H. L., Esttica das Estruturas, Ed. Cincia Moderna, 1ed. 2007.ALMEIDA M. C. F. Estruturas Isostticas, Ed. Ofic. de Textos, 1ed., 2009.MACHADO Jr. E. F. Introduo Isosttica EdUSP, 1999.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:AMARAL, O.C. Estruturas isostticas. Belo Horizonte: UFMG, 1977.ROCHA, A.M. Teoria e prtica das estruturas: isosttica e isogeometria. v. ROCHA, A.M. Teoria e prtica das estruturas: isosttica e isogeometria. v. 1. Rio de Janeiro: Cientfica, 1973. CAMPANARI, F. Teoria das estruturas. v. 1 Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1975.BORESI, A.P.; SCHMIDT, R.J. Esttica. So Paulo: Thomson, 2003.FONSECA, A. Curso de mecnica. Rio de Janeiro: Ao Livro Tcnico, 1972. 2 v.GORFIN, B. Estruturas isostticas. Rio de Janeiro: LTC, 1978.GORFIN, B. Estruturas isostticas. Rio de Janeiro: LTC, 1978.KISELEV, V. Structural mechanics. Moscou: Mir, 1972.POLILLO, A. Mecnica das estruturas. Rio de Janeiro: Cientfica, 1973.SCHIEL, F. Introduo resistncia de materiais. So Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984.SUSSEKIND, J.C. Curso de anlise estrutural: estruturas isostticas. v.1. So Paulo: Globo, 1981.

AVALIAES 1 AVALIAO: 01/04/20101 VALOR: 2,5 PONTOS CONTEDO: - Vigas gerber,

- Prticos

2 AVALIAO: 13/05/2011 VALOR: 2,5 PONTOS 2 AVALIAO: 13/05/2011 VALOR: 2,5 PONTOS CONTEDO: - Trelias, Arcos, grelhas3 AVALIAO: 10/06/2011 VALOR: 2,5 PONTOS. CONTEDO: - Teoremas de energia,

- Princpio dos Trabalhos Virtuais;4 AVALIAO: 01/07/2011 VALOR: 2,5 PONTOS.

:CONTEDO: Linhas de influncia em estruturas isostticasATENDIMENTO: 2 de 13:10 s 14:50; 4 de 08:00 s 9:40

Durante a prova, no poder usar celular, ir ao banheiro, nem sairpara tomar gua (portanto, se previnam!)

Projeto de Edificaes

Projeto Arquitetnico

Projeto Estrutural

1

2

INTRODUO

Projeto Estrutural

Projeto de Fundaes

Projeto de Instalaes

2

3

4

Estrutura

Parte Resistente da Edificao

Vigas Pilares Lajes

DEFINIO DE ESTRUTURASDEFINIO DE ESTRUTURAS

a parte da obra com a finalidade de absorver as aes a ela submetidas de forma eficiente e econmica transmitindo-as ao solo (atravs da fundao) e, ainda transmitindo-as ao solo (atravs da fundao) e, ainda

dando forma ao modelo arquitetnico idealizado.

Funo da EstruturaGarantir a forma espacial idealizada para a construo, e assegurar sua integridade pelo perodo de tempo que se julga perodo de tempo que se julga necessrio

DEFINIO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

DEFINIO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

o estudo do comportamento dos elementos estruturais e suas relaes de modo a obter como

O que

Engenharia de

Estruturas ?

estruturais e suas relaes de modo a obter como produto final uma estrutura eficiente e segura.

1o Passo Determinao dos Esforos Solicitantes da estrutura

Aspectos Gerais do Projeto EstruturalAspectos Gerais do Projeto Estrutural

Disciplinas: Anlise de Estruturas 1 e 2

2o Passo Determinao da Resistncia da Estrutura

Estimada em funo das dimenses, da forma e do material dos elementos estruturais

Disciplinas: Estruturas em Concreto, Estruturas em ao, Estruturas em madeira

SolicitaoResistncia da Estrutura

> Ok !

SolicitaoResistncia da Estrutura

< Perigo Colapso da Estrutura

Se a estrutura no segura ...Se a estrutura no segura ...

ANLISE ESTRUTURAL(Disciplinas: Anlise Estrutural 1 e 2)

Tem por objetivo obter os valores dos esforos edeslocamentos de uma estrutura, os quais so obtidosaplicando os conceitos da Teoria das Estruturasaplicando os conceitos da Teoria das EstruturasIsostticas e Hiperestticas.

Geometria da Estrutura

10 Passo

Arquitetura Materiais Aes

Sistema EstruturalVnculos

20 Passo

Definio dos Carregamentos

Anlise Estrutural(Disciplinas: Anlise Estrutural 1 e 2)Anlise Estrutural(Disciplinas: Anlise Estrutural 1 e 2)

Peso Prprio Sobrecarga

Vento Equipamentos

30 Passo

Esforos Deslocamentos

Anlise da EstruturaDiagrama de momentos fletores

Reaes de apoio

Dimensionamento EstruturalDimensionamento Estrutural40 Passo

Conhecidos os esforos solicitantes, faz-se o dimensionamento da estrutura (verifica se as dimenses dos elementos estruturais e a resistncia do material que os constitui, so capazes de resistir aos esforos; em caso negativo, aumenta-se as dimenses dos elementos e/ou a resistncia do material constituinte. Calculam-se novamente os esforos e verifica se a estrutura resiste aos esforos)

Dimensionamento EstruturalDimensionamento Estrutural40 Passo

Segurana

Conforto

Resistncia Solicitao

Limitar Deslocamentos

Dimensionamento

Aplicao dos conceitos de Resistncia dos Materiais para o

material particular

(Disciplinas: Estruturas de ao, concreto ou madeira)

Conforto Limitar Deslocamentos

Deve-se garantir que a estrutura suporte de forma segura, estvel e sem deslocamentos excessivos todas as solicitaes que estar sujeita durante sua execuo e utilizao.

MDULO I

-REVISO: Momento de uma fora em relao a um pontoMomento de uma fora em relao a um pontoEquaes de equilbrio, Vinculaes,Reaes de apoio, Esforos simples,Esforos simples,Diagramas de esforos em vigas isostticas.

kMjMiMFFFrrr

kjiFrM zyx

zyx

zyx

rrr

rrr

rrr++===0

Momento de uma fora em relao a um pontoCaso Tridimensional:

Fr

rr

d

0Mr

FFF zyx

yzzyx FrFrM = zxxzy FrFrM = xyyxz FrFrM =jM yr

iM xr

x

y

kM zr

0Mr

Mx: tendncia de girar em torno de xMy: tendncia de girar em torno de y

o

z

kM zMz: tendncia de girar em torno de z

Mo: momento em relao a origem O, da fora aplicada em A.Sentidos de Mx My Mz : regra da mo direitaSentido anti-horrio: positivo

Momento de uma fora em relao a um ponto

o ngulo entre r e F

FBAFrM BABrrrr

==

/

Caso Tridimensional:

FdrFsenM == 0 o ngulo entre r e F

a distncia perpendicular linha de ao da fora

dB

A

MB: momento em relao a um ponto qualquer B, da fora aplicada em A.

FBAFrM BAB == /

A

BBAr /

r

Fr

EQUILBRIO DE ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS Em um determinado ponto de uma estrutura tridimensional,

pode-se ter 6 movimentos: 3 de translao nas direes x, y e z e 3 rotaes em torno dos eixos x, y e z.

6 Equaes de Equilbrio: 6 condies para a estrutura estar em equilbrio:-As somas das foras nas direes x, y e z devem ser nulas

-As somas dos momentos em torno dos eixos x, y, e z devem

0 =xF 0 =yF 0 =zF

-As somas dos momentos em torno dos eixos x, y, e z devem ser nulos:

0 =xM 0 =yM 0 =zM

MOMENTOS EM UMA ESTRUTURA PLANAEXEMPLOS: VIGAS E PRTICOS PLANOS - so estruturas definidas no plano (x,y) e sujeitas a foras aplicadas no plano (x,y)

Y

X

S

y

Para a seo S: xz

O momento em torno do eixo y nulo, pois Fz = rz =0 0=+= zxxzy rFrFM

O momento em torno do eixo x nulo pois F = r =0

=+=pois Fz = rz =0 0=+= zyyzx rFrFM

H apenas momento em torno do eixo z, perpendicular ao plano da figura: ou onde d a distncia perpendicular fora F

xyyxz FrFrMM == FdM =

H foras apenas nas direes x e y e momentos apenas em torno do eixo z (eixo perpendicular ao plano), logo:

0=xM 0=yM0=zF

EQUILBRIO DE UMA ESTRUTURA PLANA

0=xM 0=yM0=zF

zA MM =

A estrutura estar em equilbrio se:

Momento em torno do eixo z, em relao a um ponto qualquer A da estrutura

0 =xF 0 =yF 0 =AM

A estrutura estar em equilbrio se:

3 equaes de equilbrio

0 =AMObs: a condio deve ser verificada para qualquer ponto da estrutura

Reaes (foras de vnculo) numa estrutura Aes externas conhecidas foras ou qualquer outro tipo

de ao que cause deformao na estrutura. Exemplos: peso do corpo, vento, variao de temperatura, movimento do solo sobre o qual a estrutura est apoiada (recalque), foras sobre o qual a estrutura est apoiada (recalque), foras decorrentes do tipo de utilizao da estrutura (peso de paredes, equipamentos, etc)

Foras externas desconhecidas reaes ou foras de vnculos. Atravs dessas foras o solo e/ou outros corpos impedem que a estrutura se translade ou sofra rotao, obrigando-a a permanecer na mesma posio. As reaes obrigando-a a permanecer na mesma posio. As reaes ocorrem nos pontos da estrutura onde a mesma vinculada (tem contato) com o solo ou outro corpo.

Reaes incgnitas do problemaH uma reao incgnita na direo de cada movimento impedido

1. Apoio mvel (1 gnero) Impede apenas 1 movimento de translao (a reao tem linha de ao conhecida). Exemplos

Reaes (foras de vnculo) numa estrutura plana

Impedem o movimento vertical

Permite o giro e o deslocamento horizontal da barra

movimento verticalRy Reao: Ry

2. Apoio fixo (2 gnero) Impede a translao em todas as direes, mas no impede rotao. (a reao no tem linha de ao conhecida). Exemplos

Reaes (foras de vnculo) numa estrutura plana

ao conhecida). Exemplos

Impedem o movimento vertical e horizontal

RyRx

Reaes: Rx e Ry

Permite o giro da barra

Rx

Reaes: Rx, Ry e MZMz

3. Engaste (3 gnero) Impede movimentos de translao e rotao

Reaes: Rx, Ry e MZRy

ENGASTAMENTO

Impede a barra de girar e de se deslocar

Representao dos apoios nas estruturas:

(Impede deslocamento vertical)

A B

Apoio mvel RA

(Impede deslocamento horizontal)

Reaes (foras de vnculo) numa estrutura planaRepresentao:

a)Viga em balano engastada na extremidade:

b)Viga bi-apoiadaRxR

engaste Apoio fixo

Apoio mvel

Ry

Rx

RyRy

Rx

M

Exemplo: dente Gerber Representa um apoio fixo (uma

viga est se apoiando na outra)

VNCULOS EM ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS Em um determinado ponto de uma estrutura tridimensional,

pode-se ter 6 movimentos: 3 de translao nas direes x, y e z e 3 rotaes em torno dos eixos x, y e z.

O n de reaes incgnitas em um vnculo pode variar de 1 a 6, dependendo de quantos desses 6 movimentos estiverem impedidos. Ter uma reao incgnita na direo de cada movimento impedido. Por exemplo, em engaste (todos os movimentos so impedidos), tm-se como reaes: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz.Mx, My, Mz.

6 equaes de equilbrioAtravs das equaes de equilbrio, calculam-se as reaes nos vnculos, que so as foras incgnitas do problema.

CLCULO DAS REAES EM ESTRUTURAS PLANAS

0 =F 0 =F 0 =M

A estrutura estar em equilbrio se:

3 equaes de equilbrio0 =xF 0 =yF 0 =AM

Atravs das equaes de equilbrio, calculam-se as reaes nos vnculos, que so as foras incgnitas do problema.

ESTRUTURA ISOSTTICA N de reaes incgnitas = N de equaes de equilbrio

3 equaes de equilbrio

O n de vnculos que a estrutura possui, apenas aquele necessrio para impedir seu movimento ( a estrutura no se movimenta)

EQUILBRIO DE ESTRUTURASESTRUTURA HIPOSTTICA N de reaes incgnitas < N de

equaes de equilbrioO n de vnculos que a estrutura possui menor que aquele necessrio para impedir seu movimento ( a estrutura se movimenta)necessrio para impedir seu movimento ( a estrutura se movimenta)

ESTRUTURA HIPERESTTICA N de reaes incgnitas >N de

Movimento horizontal no est impedido!

Exemplo:

ESTRUTURA HIPERESTTICA N de reaes incgnitas >N de equaes de equilbrio

O n de vnculos que a estrutura possui maior que aquele necessrio para impedir seu movimento ( a estrutura no se movimenta)O clculo ser visto em anlise estrutural 2

EQUILBRIO DE ESTRUTURASATENO: pode acontecer do n de vnculos ser igual ao n de equaes de equilbrio, porm eles no serem suficientes para impedir que a estrutura se movimente. Nesse caso, diz-se que a estrutura est vinculada de forma ineficaz ( alguma das equaes de equilbrio no satisfeita. Exemplo:satisfeita. Exemplo:

A equao no satisfeita (a menos que a soma das componentes em x das foras externas aplicadas se anulem). A trelia pode se movimentar horizontalmente. Uma das reaes verticais no poder ser determinada.

0 =xF

verticais no poder ser determinada.

CLCULO DAS REAES DEVIDO A CARGAS DISTRIBUDAS

Para determinar as reaes da viga, substitui a carga distribuda p por uma carga concentrada P de mdulo igual rea A (P = A) e cuja linha de ao passa pelo centride da rea A.linha de ao passa pelo centride da rea A.

P=A

O B D x R R

RH =

p

O B

A

RH

Rv Rv Rv Rv

x : Coordenada x do centride da rea AA: rea definida pela carga distribuda p

ESFOROS SIMPLESSeja um corpo em equilbrio sujeito a um conjunto de foras. Se separarmos o corpo em duas partes (A e B) atravs de um corte qualquer, para que cada parte permanea em equilbrio devem aparecer no CG da seo do corte foras internas ( e ) equivalentes parte que foi retirada. Assim cada parte fica em

Fr

mr

equivalentes parte que foi retirada. Assim cada parte fica em equilbrio separadamente.

CFx

Fy

Fzm

PARTE A (em equilbrio)

Fr

C: CG da seo do corte : vetor da fora resultante no CG, devido parte que foi retiradaFx, Fy, Fz :componentes de F em x, y e z

mmr

Fr

ESFOROS SIMPLESSo obtidos decompondo a fora e o momento que atuam no CG da seo S do corte em 2 componentes: uma perpendicular ao plano do corte (fora e momento ) e outra no plano do corte N

rTr

r

Fr

mr

C

Fr

Qr r

(fora e momento ).Qr Mr

C

mr

Mv

r

DECOMPOSIO DA FORA DECOMPOSIO DO MOMENTO

Nr

Seo S

C M Tr

Seo S

ESFOROS SIMPLES

C

Fr

Qr

C

mr

Mv

Nr

TrQr Mr Esforos simples atuantes na seo S

C Q Nr

Seo S

C Mv

Tr

Seo S

Pode ser feito reduzindo as foras da esquerda para o CG da seo na parte B ou reduzindo as foras da direita para o CG da seo na

Clculo dos esforos em uma seo S qualquer da estrutura:

na parte B ou reduzindo as foras da direita para o CG da seo na parte A (escolhe-se o lado que der menos trabalho para calcular).

S

F1 F2

RH

Rv

S

F1 F2

Rv

Pelas foras da direita:

Pelas foras da esquerda:

ESFOROS SIMPLES

dS

1. ESFORO NORMAL ( )Nr

Sejam 2 sees quaisquer separadas de uma distncia infinitesimal ds:

CG

Nr

Seo S

Nr

dS Nr a soma de todas as componentes, na direo

normal seo, das foras externas que atuam em um dos lados da seo (esquerdo ou direito).

Efeito de : variar a distncia que separa as sees, permanecendo as mesmas paralelas (provoca um movimento da seo na direo normal mesma)

Nr

movimento da seo na direo normal mesma)

Nr

Nr

> 0: trao < 0: compresso

CG

Nr

Seo S

Nr

dS

CG

Nr

Seo S

Nr

dS

C

QrQr

dS

Sejam 2 sees quaisquer separadas de uma distncia infinitesimal ds:

Qr

Qr2. ESFORO CORTANTE ( )

a soma de todas as componentes, sobre o plano da seo, das foras externas que atuam em um dos lados da seo (esquerdo ou direito).

Qr

Seo S Efeito de : provoca um deslizamento de uma seo em relao outra, ou seja, provoca um corte

Qr

Ao invs de calcular pode calcular suas componentes e (sendo y e z eixos

Qr

QrQr

Qr z Qr componentes e (sendo y e z eixos

ortogonais definidos no plano da seo)y

QrzQC

yQr

y zQ

2. ESFORO CORTANTE ( )Qr

zQr ds

r z Se calculados pelas foras da esquerda e 0>Qr0>Qr

Sentidos positivos de ey

Qrz

QrConveno de sinais:

zQ

zQr yQ

r

yQr

z

y esquerda e quando tiverem os sentidos positivos dos eixos z e y.

0>yQ0>zQ

S

F1 F2

RH

R Se calculados pelas foras da direita e quando tiverem os sentidos contrrios aos eixos z e y.

0>y

Qr0>z

QrRv

S

F1 F2

Rv

Tr

dS

Sejam 2 sees quaisquer separadas de uma distncia infinitesimal ds:3. MOMENTO TOROR ( )T

r

Sentidos positivos de Tr

C Tr

dS Sentidos negativos deT

r

C Tr

Seo S Tr

Tr a soma de todas as componentes de momentos, em relao

ao eixo normal seo definido no CG, das foras externas

C T

Seo S Tr

T ao eixo normal seo definido no CG, das foras externas que atuam em um dos lados da seo (esquerdo ou direito).

Efeito de : provoca uma rotao relativa das duas sees em torno de um eixo perpendicular s sees e que passa pelo CG, ou seja, torce a pea.

Tr

CG

Mr

dS dS

Mr

Mr

Fr

r

Fr

Sejam 2 sees quaisquer separadas de uma distncia infinitesimal ds:4. MOMENTO FLETOR ( )Mr

CG

Seo S Mr

M

no plano

Fr

Fr

binrio de foras

Mr

a soma de todas as componentes de momentos, sobre o plano da seo e em relao ao CG, das foras externas que atuam em um dos lados da seo (esquerdo ou direito).em um dos lados da seo (esquerdo ou direito).

Efeito de : provoca uma rotao da seo em torno de um eixo situado no seu prprio plano; provoca um alongamento em uma parte da seo e um encurtamento na outra parte flete a pea

Mr

4. MOMENTO FLETOR ( ) (cont.)Mr

Ao invs de calcular pode calcular suas componentes e (sendo y e z eixos ortogonais definidos no plano da seo)

Mr

yMr

zMr

z

y v

yMr

Traciona as fibras superiores e comprime as fibras inferiores

yMr

y

zMv

yMr

zMv

zMr

comprime as fibras inferiores

Traciona as fibras da frente e comprime as fibras de trs

Sinal de e : Mr

Mr

Sinal de e : Muitas vezes no se define um sinal para o momento fletor, calcula-se o mdulo e informa quais as fibras tracionadas. Exemplo: M = 8kNm (traciona fibras superiores)

yM zM

ESTRUTURAS PLANAS CARREGADAS NO PRPRIO PLANOEXEMPLOS: VIGAS E PRTICOS PLANOS estruturas definidas no plano (x,y) e sujeitas a foras aplicadas no plano (x,y)

Y

X

S

0=yM 0== TM x

No tem carga na direo z 0=zQ

Para a seo S: x

y

z

0zM

No tem carga na direo z 0=zQ

ESFOROS NUMA SEO QUALQUER N, MZ = M e Qy = Q

H cargas na direo x 0NH cargas na direo y 0yQ

Conveno de sinais do momento fletor em estruturas planas:

Em prticos planosEm vigas:

Diagrama de momento fletor (DMF): representa a variao do momento fletor ao longo da estrutura (desenha o diagrama no lado tracionado da barra)

Mmx >0 DMF

+ +__

Em prticos planos

considera momento positivo se traciona as fibras internas

considera momento positivo se traciona as fibras inferiores

_

Mmx

ds

ESTRUTURAS PLANAS CARREGADAS NO PRPRIO PLANOESFOROS NUMA SEO QUALQUER N, M e Q

SENTIDOS POSITIVOS DOS ESFOROS:Se calculados pelas foras da esquerda ds

Q

Q

M M

N N

y

x

y

x

da esquerda

S

F1 F2

RH

Rv

Se calculados pelas foras da direita

S

F1 F2

Rv

ESTRUTURAS PLANAS CARREGADAS NO PRPRIO PLANO

Y

X

S1 Y

X

ds

z

S2 X

M M

Q

Q

N N Sentidos positivos

dos esforos S3

SEO S1:

SEO S2: Y

X

ds

z

M

M

Q Q N

N SEO S3:

Y

X

ds

z

M

M

Q Q

N

N

A barra representada por seu eixo

Adota o eixo x na direo do eixo da barra e o eixo y para cima (olhando por dentro do prtico)No clculo dos esforos olha cada barra de tal modo que fiquem horizontais e aplica a conveno de sinais

DIAGRAMAS DE ESFOROS NORMAL E CORTANTE Diagrama de esforo normal (DEN)Diagrama de esforo cortante (DEQ)No importa de qual lado da barra desenha os diagramas DEN e DEQ, o importante indicar o sinal do esforo: positivo ou negativo.

q

R = qL/2 R = qL/2 A B

ds

Q y y

Conveno

DEQ + - qL/2 qL/2

RV = qL/2 RV = qL/2 Q

Q

M M

N N x x

Em B (pela direita): Q=RVB Q = - RVB

Em A (pela esquerda): Q=RVA Q = RVA