Captulo 1

Introduo

familiar na mecnica definir partcula como sendo um ente fsico sem dimenso mas com

massa, e corpo como sendo um ente fsico com dimenso e com distribuio contnua de

massa no volume. Em cada ponto material do corpo, onde o conceito de dimenso ou de uma

certa quantidade de massa no se aplica, possvel definir grandezas como massa especfica

(= limv0m/v onde m a massa de um volume v que reduz progressivamente, mas

sempre contendo o ponto material) dada a hiptese da continuidade. A mecnica ocupa-se

em descrever o comportamento de partculas e corpos sob a ao de foras.

A mecnica dividida em vrios ramos. Alm da mecnica da partcula, existem outros

ramos definidos em funo da natureza do corpo em anlise, com clara superposio entre

eles. Por exemplo, se o corpo em repouso no tem capacidade de resistir a tenses de

cisalhamento, ele dito um fluido (gs ou lquido) e seu comportamento analisado na

mecnica dos fluidos. Se, ao contrrio, capaz de oferecer em repouso resistncia a tenses

de cisalhamento, o corpo dito um slido, passando a ser analisado pela mecnica dos

slidos. Quando a deformao de um slido pode ser desprezada, sua anlise feita na

mecnica do corpo rgido. Uma coleo de slidos arranjados e apoiados com a funo de

resistir e transmitir cargas denominada estrutura, cujo comportamento analisado na

mecnica das estruturas. A mecnica dos meios contnuos (mecnica do contnuo para os

ntimos) um ramo relativamente novo que contm a mecnica dos slidos e a mecnica dos

fluidos tratadas de maneira unificada.

O advento do computador acrescentou aos dois pilares clssicos do mtodo cientfico,

teoria e experimento, um outro que tem expandido as fronteiras do conhecimento muito alm

1-1

Introduo 1-2

do que se podia imaginar. Na mecnica, particularmente, nasceu a mecnica computacional

que procura solucionar os problemas por meio de simulaes numricas implementadas em

computadores.

Um ramo da mecnica pode aparecer subdividido em vrios outros. A teoria da elasti-

cidade e a teoria da plasticidade so, por exemplo, ramos da mecnica dos slidos definidos

com base no material que constitui o corpo. Por sua vez, a teoria de vigas, de placas ou de

cascas so ramos da mecnica das estruturas definidos com base na geometria do corpo.

A engenharia estrutural trata do projeto e da construo de estruturas. Existem es-

truturas nas construes civis e nas mquinas, sejam elas guindastes, automveis, avies,

foguetes, navios ou submarinos. Existem tambm estruturas naturais, como a formada pelo

esqueleto e msculos dos corpos dos mamferos. A engenharia estrutural , portanto, uma

rea comum a vrias modalidades de engenharia (aeronutica, civil, mecnica, naval, etc.)

na qual muitos engenheiros se especializam.

Uma estrutura pode ser construda em ao, alumnio, concreto armado, madeira, plstico,

materiais compsitos em geral, dentre outros. Ela deve resistir a cargas que so impostas

durante sua vida til, tais como o peso prprio, variaes trmicas, recalques de apoio,

ventos, terremotos (desconsiderados no Brasil), etc. Entende-se por carga todas as causas

que provocam deformao.

Trs grupos de equaes compem qualquer modelo matemtico que descreve o compor-

tamento de uma estrutura: as equaes de equilbrio, as relaes deformao-deslocamento

e as equaes constitutivas, cuja soluo dever satisfazer certas condies de contorno. A

anlise estrutural procura resolver o modelo adotado para determinar o campo de deslo-

camento, deformao e tenso na estrutura devido ao das cargas aplicadas. O curso

procurar apresentar as principais ferramentas de que dispe a anlise estrutural, aplicando

a modelos matemticos mais simples e possibilitando que o aluno entenda os fundamentos

envolvidos tanto nas ferramentas como nos modelos.

O que determinamos de um modelo adotado corresponde exatamente ao que ocorre com

a estrutura? Provavelmente no. Cada modelo fruto de hipteses e, consequentemente,

sua aplicabilidade vai at onde as hipteses permitem. Saber identificar o limite da aplicao

e, quando necessrio, transpor esse limite por meio de modelos mais refinados nos ensina

a conviver com a incerteza. por no existir um modelo correto de forma absoluta que

Introduo 1-3

prefervel focar a ateno nos fundamentos. Estes, sim, so universais por lastrearem

todos os possveis modelos. Um modelo matemtico, mais do que uma receita para realizar

clculos, precisa ser visto como um guia do pensamento para uma melhor compreenso dos

fatos.

1.1 PEAS ESTRUTURAIS

Alm dos atributos fsicos do material, as dimenses das peas que compem uma estrutura

esto intimamente ligadas sua flexibilidade e segurana contra runa. Considerando que a

geometria de um slido possa ser delineada por meio de trs dimenses principais, fazemos

a classificao a seguir.

(a) Bloco: tem as trs dimenses principais da mesma ordem de grandeza.

L1

L2

L3L1 L2 L3

Introduo 1-4

(b) Estrutura de superfcie: tem duas dimenses principais da mesma ordem de grandeza

e bem maiores do que a terceira.

(b.1) Casca: estrutura de superfcie curva.

L1 L2q L3

L2

L1L3

(b.2) Placa: estrutura de superfcie plana, que tambm denominada laje quando

de concreto. comum se reservar este nome para estrutura de superfcie plana

solicitada flexo (indicada na figura abaixo esquerda), passando a ser denomi-

nada chapa, ou parede quando de concreto, quando solicitada como membrana

(indicada na figura abaixo direita).

L3

L1

L2

L1 L2q L3

L3

Introduo 1-5

(c) Barra: tem duas dimenses principais da mesma ordem de grandeza e bem menores do

que a terceira.

(c.1) Viga: barra solicitada, preponderantemente, flexo.

L1 L2 L3q

L2

L3

L1

(c.2) Coluna (ou pilar): barra solicitada, preponderantemente, compresso.

L1 L2 L3q L1

L2

L3

Introduo 1-6

(c.3) Tirante: barra solicitada, preponderantemente, trao.

L1 L2 L3q L1

L2

L3

1.2 APOIOS

Denominamos apoio qualquer restrio externa imposta ao movimento de uma estrutura. A

fora exercida pelo apoio denominada reao.

O movimento de corpo rgido , via de regra, inadmissvel nas estruturas empregadas na

construo civil. Para evit-lo basta que se remova, por meio de apoios, suas trs compo-

nentes independentes de translao e suas trs componentes independentes de rotao.

Os apoios so classificados de acordo com o tipo de movimento que permitem ou res-

tringem. Listemos os tipos de apoios mais comuns encontrados na prtica para movimentos

num plano (duas translaes e uma rotao a restringir).

(a) Apoio do 1 o gnero: impede o deslocamento na direo de y e permite o livre desloca-

mento na direo de x, assim como a livre rotao em torno de z (eixo perpendicular

ao plano xy).

rolorolos

pinoou

x

y

O apoio ter a representao esquemtica a seguir, onde Ry a reao (as reaes de

apoio aparecero no texto em tracejado).

Introduo 1-7

Ry

(b) Apoio do 2 o gnero: permite apenas a livre rotao em torno de z, assegurada pelo

pino indicado.

x

ypino

O apoio ter a representao esquemtica a seguir, onde Rx e Ry so as reaes.

Ry

Rx

(c) Apoio do 3 o gnero ou engaste: impede todos os movimentos.

x

y

estrutura

apoio

O apoio ter a representao esquemtica a seguir, onde Rx, Ry e Mz so as reaes.

Ry

Rx

Mz

Introduo 1-8

1.3 PROJETO DE UMA ESTRUTURA

O projeto estrutural tem como objetivo a concepo de uma estrutura que atenda a todas as

necessidades para as quais ser construda, satisfazendo condies de segurana, utilizao e

economia.

No faz sentido atualmente executar as tarefas envolvidas no projeto de uma estrutura

sem o uso de computador. Hoje os engenheiros estruturais j separam o aspecto qualitativo

do quantitativo, concentrando-se no primeiro e deixando o segundo para o computador. No

projeto, visamos uma estrutura resistente o suficiente para no se romper, rgida o suficiente

para no se deformar excessivamente e que tenha equilbrio estvel. Alm desses aspectos,

que poderiam ser satisfeitos por diversas estruturas, devemos saber identificar aquela que

apresente maior economia aps a construo. Assim, o projeto orientado pela resistncia,

rigidez, estabilidade do equilbrio e, tambm, pela economia. As etapas envolvidas num

projeto so listadas a seguir.

(a) Definio da geometria e do material : uma etapa subjetiva no que concerne definio

da geometria. A estrutura aqui definida pode resultar num projeto mais simples e

conveniente para execuo, que envolve menores custos.

(b) Avaliao das cargas: existem normas que orientam o engenheiro nesta etapa. Por

exemplo, a NBR 6120 fixa as cargas para o clculo de estruturas de edificaes.

(c) Anlise estrutural

(c.1) Idealizao da estrutura: fase em que se decide que partes da estrutura sero

consideradas como barras, placas, etc.; se as peas sero analisadas isoladamente

ou simultaneamente como um todo; tipo de apoio; etc. Considere, por exemplo,

a seguinte estrutura.

Introduo 1-9

P

A carga concentrada P uma forma aproximada de tratar a carga distribuda que

atua numa pequena rea. A estrutura pode ser idealizada como sendo formada

por barras. Podemos imaginar que as barras estejam trabalhando em conjunto

como uma grelha, sobre apoios que impedem translao.

P

grelha

barra 1

barra 2

Podemos, alternativamente, tratar as barras isoladamente supondo que a barra 1

tenha a extremidade direita apoiada na barra 2.

Introduo 1-10

P

R

barra 1

R

barra 2

uma idealizao que obriga a barra 1 a ser analisada antes para a determinao

da reao de apoio R, pois a anlise da barra 2 depender do conhecimento dessa

fora.

(c.2) Verificao da estabilidade do equilbrio: verificao feita, via de regra, somente

em estruturas esbeltas (barras, placas e cascas) sujeitas a compresso.

(c.3) Determinao do campo de deslocamento, deformao e tenso: os cursos de

anlise estrutural esto, normalmente, focados neste tpico. Entram em cena

com a estrutura j idealizada sob um carregamento j definido.

(d) Dimensionamento: a anlise na etapa (c) requer um pr-dimensionamento da estrutura.

Se houver um redimensionamento nesta etapa (d) devido estrutura, por exemplo, no

satisfazer o critrio de ruptura adotado, a rigor deveria se voltar a etapa (c) para uma

nova anlise.

(e) Detalhamento: elaborao dos desenhos para a execuo da estrutura.

As etapas de dimensionamento e detalhamento do projeto estrutural so abordadas em

disciplinas especficas, tais como concreto estrutural ou estruturas de ao.

Projetar um processo iterativo em que se procura otimizar o produto com relao ao

custo: se num ciclo percebemos que o projeto invivel, retornamos a procura de um outro;

se o projeto vivel, podemos igualmente retornar a procura de algo melhor. Um dado

projeto apenas uma das solues de um problema que admite vrias solues. O ideal seria

que a soluo final adotada coincidisse com a soluo tima. na fase de projeto que as

modificaes podem ser introduzidas sem maiores transtornos.

As cargas que atuam numa estrutura e as resistncias dos materiais constituintes seguem

Introduo 1-11

uma certa distribuio de frequncia, geralmente a distribuio normal (de Gauss1). No

existe um valor determinstico que caracterize essas quantidades. por isso que se diz

ser ilusria a procura por um projeto de uma estrutura 100% segura, dada a natureza

probabilstica das cargas e resistncias. Todo projeto envolver uma dose de risco que se

procura fixar dentro de padres aceitveis seguindo orientaes normativas.

1.4 ILUSTRAES

As peas estruturais podem ser interligadas de vrias maneiras, formando diferentes tipos

de estruturas. Observe as ilustraes apresentadas nas figuras a seguir.

1Carl Friedrich Gauss, astrnomo, matemtico e fsico alemo nascido em Braunschweig em 1777, falecido

em Gttingen em 1855.

Introduo 1-12

Figura 1.1 Sistema Financeiro Sudameris, na avenida Paulista em So Paulo. So mostra-

dos os cortes transversal e longitudinal do edifcio. Tem quatro pavimentos no subsolo

para estacionamento, almoxarifado, etc., e dezesseis pavimentos-tipo, fora pilotis, cobertura,

caixa-dgua, etc. De uma maneira simplista, podemos imaginar que as lajes se apoiam nas

vigas (nem sempre verdade), as vigas nos pilares (nem sempre verdade) e os pilares nas

fundaes (nem sempre verdade). Finalmente, as fundaes transmitem ao solo as cargas

recebidas. Este modelo nos d uma ideia da maneira como as cargas andam de cima

para baixo e do grau de importncia das peas estruturais, na seguinte ordem decrescente:

fundaes, pilares (as sees inferiores so mais crticas), vigas e lajes.

Introduo 1-13

Figura 1.2 Museu de Arte de So Paulo. um projeto de 1957 que envolveu a arquiteta

Lina Bo Bardi e o escritrio Figueiredo Ferraz. Os dois prticos foram pintados de vermelho

para realar o vigor da estrutura. Para amenizar dificuldades estruturais, aparentemente

cada prtico foi idealizado como duas vigas (superior e inferior) simplesmente apoiadas em

dois pilares. A viga superior apoia a laje de cobertura e a viga inferior apoia as lajes

intermediria e inferior (suspensa por meio de tirantes metlicos).

Introduo 1-14

Figura 1.3 Reservatrio dgua. Mostrado em fotografia e corte, o reservatrio consiste

de uma casca cnica apoiada num pilar de seo transversal circular vazada. A casca de

concreto protendido por cabos dispostos circunferencialmente. Sua construo se d no solo,

empregando-se posteriormente macacos hidrulicos para i-la at a posio final. No topo

existe uma plataforma de observao. Construes deste tipo tornam-se, muitas vezes, um

smbolo para a regio.

Introduo 1-15

Figura 1.4 Cobertura de um hangar. possvel que o exagero na quantidade de barras se

deva esttica e no necessidade estrutural.

Figura 1.5 Ponte em trs vos.

Introduo 1-16

Figura 1.6 Ponte em vrios vos. O arqueamento para passagem de embarcaes.

Figura 1.7 Ponte com tabuleiro superior. As barras, em compresso, transmitem a carga

do tabuleiro para a estrutura principal em arco.

Introduo 1-17

Figura 1.8 Ponte com tabuleiro inferior. As barras, em trao, transmitem a carga do

tabuleiro para a estrutura principal em arco. Era uma construo de 1930 sobre o rio Tiet,

em Pereira Barreto, desaparecida sob as guas com a construo da barragem de Trs Irmos.

Figura 1.9 Ponte pnsil. As barras verticais, em trao, transmitem a carga do tabuleiro

para os cabos, que retransmitem para os pilares e apoios extremos.

Introduo 1-18

Figura 1.10 Ponte estaiada. As barras, em trao, transmitem a carga do tabuleiro para

os pilares.

Figura 1.11 A estrutura de apoio da ponte idealizada em prtico.