ecv5219 - análise estrutural i

8/12/2019 ECV5219 - Anlise Estrutural I

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Universidade Federal de Santa Catarina

Centro TecnolgicoDepartamento de Engenharia Civil

Apostila de

Anlise Estrutural IAgosto de 2013

Grupo de Experimentao em Estruturas GRUPEX

Programa de Educao Tutorial PET


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Universidade Federal de Santa Catarina

Centro TecnolgicoDepartamento de Engenharia Civil

Apostila de

Anlise Estrutural I

ngela do Valle

Henriette Lebre La Rovere

Nora Maria De Patta Pillar

Colaborao dos Bolsistas PET: Alex Willian Buttchevitz

Alexandre Garghetti

Andr Ricardo Hadlich

Helen Berwanger

Stephanie Thiesen

Talita Campos Kumm

Valmir Cominara Jnior

Vanessa PflegerAndrei Nardelli

Brunela Francine da Cunha

Colaborao dos Monitores: Artur Dal Pr (2006-1)

Willian Pescador (2007-1)

Gabriel Ferreira (2013-1)


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SUMRIO1. INTRODUO ............................................................................................................

1.1 Parmetros que influenciam a concepo de sistemas estruturais ..........................1.2 Classificao das peas estruturais quanto geometria ..........................................1.3 Tipos de Vnculos ...................................................................................................

1.3.1 Vnculos no plano ............................................................................................1.4 Estaticidade e Estabilidade .....................................................................................1.5 Reaes de apoio em estruturas planas ...................................................................

1.5.1 Estrutura Aporticada ........................................................................................1.5.2 Prtico Isosttico .............................................................................................1.5.3 Trelia Isosttica ..............................................................................................1.5.4 Prtico Triarticulado Isosttico .......................................................................

1.6 Reaes de Apoio no Espao ..................................................................................1.6.1 Trelia Espacial ...............................................................................................1.6.2 Prtico Espacial ...............................................................................................

2. ESFOROS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS .................................2.1 Trelias ...................................................................................................................

2.1.1 Mtodo de Cremona .......................................................................................

2.1.2 Mtodo de Ritter .............................................................................................2.2 Vigas .......................................................................................................................2.2.1 Vigas Simples Mtodo Direto para Diagramas ...........................................2.2.2 Vigas Gerber ...................................................................................................2.2.3 Vigas Inclinadas .............................................................................................

2.3 Prticos ...................................................................................................................2.3.1 Estruturas Aporticadas ...................................................................................2.3.2 Prticos Simples .............................................................................................2.3.3 Prtico com Articulao e Tirante ..................................................................2.3.4 Prticos Compostos ........................................................................................

2.4 Cabos ......................................................................................................................2.4.1 Reaes de Apoio para Cabos ........................................................................

2.4.2 Esforos Normais de Trao Atuantes em Cabos ..........................................2.4.3 Conformao Geomtrica Final do Cabo .......................................................2.5 Arcos ......................................................................................................................

2.5.1 Arcos Biapoiados ............................................................................................2.5.2 Prticos com Arcos (ou Barras Curvas) ..........................................................2.5.3 Arcos Triarticulados .......................................................................................

2.6 Grelhas ....................................................................................................................3. ESTUDO DE CARGAS MVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS ..................

3.1 Cargas Mveis Trem-Tipo ..................................................................................3.2 O Problema a Resolver ...........................................................................................3.3 Linhas de Influncia Definio ...........................................................................3.4 Obteno dos Efeitos, Conhecidas as L.I. ..............................................................

3.5 Exemplos em Estruturas Isostticas Simples .........................................................3.5.1 Viga Engastada e Livre ...................................................................................3.5.2 Viga Biapoiada ................................................................................................

3.6 Anlise de Efeitos ...................................................................................................3.6.1 Teorema Geral ................................................................................................3.6.2 Obteno de Momento Fletor Mximo em uma Seo S de uma VigaBiapoiada para um dado Trem-tipo Constitudo de Cargas Concentradas ...............

LISTAS DE EXERCCIOS ................................................................................................Graus de estaticidade ....................................................................................................Trelias .........................................................................................................................Vigas ............................................................................................................................Cabos ............................................................................................................................Arcos ............................................................................................................................Grelhas .........................................................................................................................

111339

1616171718222223242430

404646525865667380828691

96101110119122124134143143143145149

150150152155155

155175176178187193195198


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ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProfa. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Profa. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)

1

1. INTRODUO

1.1. Parmetros que influenciam a concepo de sistemas estruturais

A estrutura conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um

objeto de projeto, por exemplo, uma edificao. Quando se projeta uma estrutura, a anlise do

comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificaes que conduzem a

modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma

determinada situao de projeto, devem ser considerados vrios fatores. Os principais so:

Projeto arquitetnico:

-Aspectos funcionais (dimenso do espao interno, iluminao, limitaes do espao

exterior, etc.);-Aspectos estticos (sistemas diferentes geram formas diferentes).

Carregamento atuante:

-Permanente;

-Varivel Acidental;

Efeito do vento.

Condies de fabricao, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, iamento);

Material estrutural a ser utilizado (cada material possui caractersticas mecnicaspeculiares): o material deve estar adequado aos tipos de esforos solicitantes pelas

estruturas.

Para identificao do sistema estrutural mais adequado deve-se:

1) Identificar as possveis opes;2) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um.

1.2. Classificao das peas estruturais quanto geometria

Os sistemas estruturais so modelos de comportamento idealizados para representao e

anlise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma conveno. Esta

conveno pode ser feita em funo da geometria das peas estruturais que compem o conjunto

denominado sistema estrutural.

Quanto geometria, um corpo pode ser identificado por trs dimenses principais que

definem seu volume. Conforme as relaes entre estas dimenses, surgem quatro tipos de peas

estruturais:

Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET


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Barra: duas dimenses da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.

Barra de elementos delgados: as trs dimenses principais so de diferentes ordens de

grandeza. o caso dos perfis metlicos, onde a espessura muito menor que as dimenses da

seo transversal, que menor que o comprimento da pea. As barras de elementos delgados so

tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceo feita

solicitao por toro.

Folhas ou lminas: duas dimenses de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira

dimenso. Subdividem-se em:

Placas: carregamento perpendicular ao plano mdio.

Chapas: carregamento contido no plano mdio.

Cascas: superfcie mdia curva.

Bloco: as trs dimenses so da mesma ordem de grandeza.



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3

1.3. Tipos de Vnculos

Vnculos so elementos que impedem o deslocamento de pontos das peas, introduzindo

esforos nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem

ser de translao ou de rotao.

1.3.1 Vnculos no plano

No plano, um corpo rgido qualquer tem trs graus de liberdade de movimento:

deslocamento em duas direes e rotao.

a) Apoio simples ou de primeiro gnero:

Reao na direo do movimento impedido.Exemplo de movimento: rolete do skate.

b) Articulao, rtula ou apoio do segundo gnero:

Exemplo de movimento: dobradia.c) Engaste: ou apoio de terceiro gnero:

Exemplo de movimento: poste enterrado no solo.

y

x

y

x

z

y

x

Mz=0Rx=0

Ry=0

RxRy

Rx

Ry

y

x

Mz=0y

x

Mz=0

Rx

Ry

Mz

y

x

z



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4

Vnculos no Plano

Tipo de Vnculo Smbolo _________ Reaes_____

Cabo

Ligao esbelta

Roletes

Rtula

Luva com articulao



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Tipo de Vnculo Smbolo ________ _Reaes_____

Articulao

Apoio deslizante

Luva rgida

Apoio rgido (engaste)



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6

=

MK

Rigidez de uma Ligao

Rigidez Rotao

geometria indeformadageometria deformada

Ligao Articulada

K 0

Ligao Rgida

K 0 o

Ligao Semi-Rgida

0 < K <

K=

M

M



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Exemplos de Vnculos

Apoio rotulado em viga de ponte.Apoio com material de baixo coeficiente de

atrito, funcionando como roletes.

Rolete nos apoios de vigas de

concreto protendido de umaponte rodoviria.

Ligao de canto rgida de um prtico deao. Observam-se as chapas formandouma ligao rgida com os pilares.

A inclinao da rtula de apoio entre as duas vigasindica a expanso trmica do tabuleiro da ponte. Osenrijecedores verticais na regio de apoio previnem aflambagem local causadas pelas altas reaes de apoio.



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Exemplo de planta baixa de uma construo:

Foras que atuam na viga 1 e na viga 6:

Nesse caso, as cargas distribudas q1 e q2 so provenientes das lajes que se apoiam na viga 1.

As cargas distribudas q3 e q4 so provenientes das lajes que se apoiam na viga 6 e a carga

concentrada V2 representa a carga da viga 2 apoiada na viga 6.



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1.4 Estaticidade e Estabilidade

a) A estrutura restringida e o nmero de incgnitas igual ao nmero de equaes de

equilbrio: ISOSTTICA.

b) A estrutura restringida e o nmero de incgnitas maior que o nmero de equaes de

equilbrio: HIPERESTTICA.

c) A estrutura no restringida ou o nmero de incgnitas menor que o nmero de

equaes de equilbrio: HIPOSTTICA.

Uma estrutura est restringida quando possui vnculos para restringir todos os movimentos

possveis da estrutura (translao e rotao) como um corpo rgido.

Uma forma de calcular o grau de hiperestaticidade, a fim de descobrir se a estrutura restringida, usando a seguinte frmula:

gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3 . m

Sendo C1= nmero de vnculos de 1 classe;

C2= nmero de vnculos de 2 classe;

C3= nmero de vnculos de 3 classe;

m = nmero de hastes presentes na estrutura.

Outra maneira de calcular utilizando o critrio apresentado por Sussekind:

gh = ge+ gi,

Sendo gh = grau de estaticidade ou hiperestaticidade;

ge= grau de hiperestaticidade externa;

gi = grau de hiperestaticidade interna.

Tipos de Equilbrio:

Estvel Instvel Indiferente

i.



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Exemplos: Estruturas PlanasVigas:

Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC1= 1 C2= 1 gh = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 . (1)

Nmero de barras: gh = 1 + 2 - 3m = 1 gh = 0ISOSTTICA

Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC3= 1 gh = (0) + 2 . (0) + 3 . (1) - 3 . (1)

Nmero de barras: gh = 3 - 3m = 1 gh = 0

ISOSTTICA

Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC1= 2 gh = (2) + 2 . (0) + 3 . (0) - 3 . (1)

Nmero de barras: gh = 2 - 3m = 1 gh = - 1

HIPOSTTICA(no restringida)

Quantidade de apoios:C1= 2 C2= 1

Nmero de barras:m = 1

gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mgh = (2) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 . (1)

gh = 2 + 2 3 HIPERESTTICAgh = 1

Quantidade de apoios:C1= 3


gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mgh = (3) + 2 . (0) + 3 . (0) - 3 . (1)

gh = 3 3 ISOSTTICAgh = 0



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Quantidade de apoios:C1= 2 C2= 1


Ligaes internas:C2= 2 - 1 = 1

gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mgh = (2) + 2 . (2) + 3 . (0) - 3 . (2)

gh = 2 + 4 6 ISOSTTICAgh = 0

Outra forma de resolver exerccios de grau de hiperestaticidade atravs do grau dehiperestaticidade externa (ge) e do grau de hiperestaticidade interna (gi). Partindo do princpio

que:

gh = ge + gi

i)Classificar os apoios e calcular o ge:

ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3ge = (2) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3ge = 2 + 2 - 3ge = + 1

ii)Classificar as ligaes internas e calcular o gi:

gi = - 1gh = ge + gigh = 1 - 1gh = 0

ISOSTTICA

A rtula interna uma conexo C2

Para calcular o ge utiliza-se sempre m = 1.As ligaes internas no entram no clculodo ge.

A rtula interna baixa o gino valor do seu respectivograu de conexo C2.



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Em ligaes internas, considera-se o tipo de ligao e onmero de barras conectadas menos 1.

Ligaes internas :

Tirante (C1)

Articulao ou Rtula (C2)

Ligao engastada (C3)

Exemplos: Prticos, Arcos;

Prticos:

Quantidade apoios:C1= 1 C2= 1 gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m

Nmero de barras: gh = (1) + 2 . (2) + 3 . (1) - 3 . (3)m = 3 gh = 1 + 4 + 3 - 9

Ligaes internas: gh = - 1C2= 2 1 = 1C3= 2 1 = 1

HIPOSTTICA

C2=4-1=3



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Quantidade apoios:C1= 1 C2= 1 gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m

Nmero de barras: gh = (2) + 2 . (2) + 3 . (1) - 3 . (3)m = 3 gh = 2 + 4 + 3 - 9

Ligaes internas: gh = 0C1= 2 1 = 1C2= 2 1 = 1C3= 2 1 = 1

ISOSTTICA

Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC2= 1 C3= 1 gh = (0) + 2 . (1) + 3 . (1) - 3 . (1)

Nmero de barras: gh = 2 + 3 - 3m = 1 gh = 2

HIPERESTTICA

Quantidade de apoios:C1= 1 C2= 1 gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m

Nmero de barras: gh = (2) + 2 . (2) + 3 . (0) - 3 . (2)

m = 2 gh = 2 + 4 - 6Ligaes internas: gh = 0C1= 2 1 = 1C2= 2 1 = 1

ISOSTTICA

Quadros:

gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3

gh = (1) + 2 . (1) + 3 . (4) 3 . (4) ge = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3gh = 1 + 2 + 12 12 ge = 1 + 2 - 3gh = 3 ge = 0

Logo: gh = ge + gi(3) = (0) + gi

gi = 3A partir do exemplo acima, pode-se notar que o gi de uma estrutura fechada, nesse caso um

quadro, igual a 3. Independentemente de sua forma geomtrica.

OBS: Um tipo especial de prtico a viga Virendel, exemplificada na figura anterior. A viga

Vierendelconstitui um painel retangular formado por barras engastadas ortogonalmente.



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14

Utilizando o conhecimento em quadros, calcula-se o grau de hiperestacidade externa (ge) e o

grau de hiperestacidade interna (gi) separadamente com a finalidade de obter o valor do grau de

hiperestacidade (gh).

gh = ge + gi

i)Classificar os apoios e calcular o ge:

ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3

ge = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3ge = 1 + 2 - 3ge = 0

ii)Classificar as ligaes internas, contar o nmero de quadros e calcular o gi:

gi = 3 . Q - C1- C2

gi = 3 . (1) (2) (1)

gi = 3 2 - 1gi = 0

gh = ge + gigh = (0) + (0)gh = 0

ISOSTTICAExemplos:

ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3ge = (2) + 2 . (1) (3) = 1

gi = 3 . Q C1 C2gi = 3 . (7) (2) (3) = 16

gh = ge + gigh = (1) + (16) = 17

HIPERESTTICARestringida



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15

ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3ge = (2) + 2 . (1) + 3 . (1) (3) = 4

gi = 3 . Q C1 C2gi = 3 . (7) (2) (4) = 16

gh = ge + gigh = (4) + (16) = 20


ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3ge = (1) + 2 . (2) + 3 . (2) (3) = 8

gi = 3 . Q C2gi = 3 . (12) (11) = 25

gh = ge + gigh = (8) + (25) = 33




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1.5. Reaes de apoio em estruturas planas

1.5.1. Estrutura Aporticada

Cos =4/5

Sen =3/5

Decompor a fora de 10kN nas direes x e y:

i) FX= 0 HA+ 6kN = 0 HA= - 6kN

ii) FY= 0 VA+ VB= (10x3) + 8 = 38kN

iii) MA= 0 7xVB (30x 5,5)- (8x2) (6x1,5) = 0

7VB= 190 VB= 27,14kN0

Logo, VA= 38kN 27,14kN = 10,86kN

Outra maneira seria:

MA= 0

7VB (30x 5,5)- (10x2,5) = 0

7VB= 165+25 = 190

VB= 27,14kN

Verificao:MB= 0

(10,86x7) + (6x3) (30x1,5) (8x5) (6x1,5) = 0

76 + 18 45 40 9 = 0

Y

X

10x(3/5)=6kN

10x(4/5)=8kN10kN



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1.5.2. Prtico Isosttico

i) FX= 0 -HA+ 40 = 0 HA= 40kN

ii) FY= 0 VA+ VB= 60kN

iii) MA= 0 8VB+ 80 - (40x6) (60x4) = 0

8VB = 400 VB = 50kN

VA = 60 50 = 10kN

Verificao:MB= 0 (10x8) + (40x3) 80 (60x4) + (40x3) = 0

120 + 120 240 = 0

1.5.3. Trelia Isosttica

i) FX= 0 HB+ 4 -12 = 0 HB= 8kN

ii) FY= 0 VA+ VB= 6 + 8 = 14kN

iii) MB= 0 (4x4) + (8x1,5) (12x2) 3VA= 0

3VA = 16 + 12 24 = 4

VA = (4/3) = 1,33kN

VB = 12,67kN

Verificao:MA= 0

(12,67x3) + (4x4) (6x3) (8x1,5) - (12x2) = 0

38 + 16 -18 -12 24 = 0

VA

HA VB

B

A

80kNm

60kN

40kN

4.00m 4.00m

3.00m

3.00m

VA VB

HB

4kN

1.50m 1.50m

2.00m

2.00m

6kN

8kN

12kN



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1.5.4. Prtico Triarticulado Isosttico

i) FX= 0 (+ ) HA+ HB+20 -12 = 0 HA+ HB= -8kN

ii) FY= 0 (+ ) VA+ VB= 10x4 = 40kN

iii) MA= 0 4VB- (40x2) + (12x2) (20x4) = 0

4VB = 80 24 + 80 VB = 34kN

VA = 40 34 = 6kN

iv) Momento Fletor em C nulo (Esq. Ou Dir.)

Anlise da Estrutura Esquerda da Rtula:

Verif. MD= 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) (40x2) = 0

32 + 24 +24 80 = 0

4 Incgnitas (Reaes) 3 Equaes Estticas (Plano)

1 Equao interna (Rtula)MCD= MCE= 0

Isosttica

MC (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0

ou MC = (6x2) (20x1) (4HA)

mas MC = 04HA= 12 20 = -8

HA = 2kN

HB = 8 + 2 = -6kN

2.00m

A B

BVA

HA HB

12kN4.00m

C D

20kN

2.00m 2.00m

HA

VC

MC

NC20kN

2.00m

4.00m



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Exerccios:Determinar a reao de apoio.

i) FX= 0 (+ ) RAX- RBX= 0 RAX= RBX (I)

ii) FY= 0 (+ ) RAY- RBY- 20 - 112= 0 RAY+ RBY = 132 (II)

iii)MA= 0 (20x8) + (112x4) (6xRBX) = 0

RBX = 160 + 448 RBX=101,33kN

6

RAX= RBX (I) RAX=101,33kN

RAX= RAY (45) RAY=101,33kN

RBY= 132 - RAY (II) RBY=30,67kN

RA= RAX/cos 45 RA= (RAX)x 2 = 143,30kN2

ConferindoMC= 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) (6xRAX) + (6xRAY) = 0

40 224 + (30,67x6) (101,33x6) + (101,33x6) = 0

-184 + 184 608 + 608 =0

184 184 = 0

a)

C

20kN

A

B

112kN RBY

RBX

RAX

RAY

14kN/m

20kN

C B

A

6.00m

6.00m2.00m



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20

i) FX= 0 (+ ) RAX= RBX

ii) FY= 0 (+ ) RAY 12(12) 30 RAY = 174kN

iii) MA= 0 12xRBX 30x20 144x6 = 0

RBX= 600 + 864 RBX = 122kN RAX = 122kN12

Conferindo

MB= 0 12xRAX 144x6 30x20 = 0

1464 864 600 = 0

MC= 0 6xRBX 144x14 + 6xRAX 20xRAY= 0

122x6 + 2016 + 122x6 174x20 = 0

732 + 2016 + 732 3480 = 0

c)Achar as reaes de apoio para a viga abaixo :

BA

3.00m 6.00m 3.00m 3.00m

16kN/m

8kN

10 2kN 10 2kN

b

12kN/m

A

B

C C

B

A

144kN

30kNRAX

RAY

RBX

6.00m

6.00m

8.00m12.00m

30kN



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21

81443434

111,33108,67

5454kN.m A B

9.00m

Balano

d)Determinar as reaes de apoio para a viga:

Viga entre as rtulas internas:

72 (144/2) = 72

34 10 + 24 = 34

(8x3)/9 = 2,67 (8x6)/9 = 5,33

108,67 111,33

6 (12/2) = 6

6 6 + 8 = 14

2,67 (20-12)/3=2,67

10kN

10kN

3x(16/2)=24kN10 2kN

As foras aplicadas nos balanos foram transferidas

para os apoios como momentos e foras verticais.



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22

3 incgnitasN1, N2, N3

3 equaes: FX= 0, FY= 0, FZ= 0

1.6. Reaes de apoio no espao

6 Equaes de Equilbrio:

FX= 0; FY= 0; FZ= 0; MX= 0; MY= 0; MZ= 0

1.6.1. Trelia Espacial

Isosttica r + b = 3n

Restringida

n=4

r+b=3n

9+3 = 3x4

12=12

Inicia-se pelo equilbrio do n D:

Em seguida passa-se aos ns com apoios: Conhecidos agora os esforos N1, N2 e N3, para cada

n A, B ou C existem 3 incgnitas (Reaes) e 3 equaes de equilbrio.

D

C

BA

1 2 3

4tf

2tf

RAZ

RAX

RAY RBY

RBX

RBZ RCY

RCX

RCZ



26/207


23

1.6.2. Prtico Espacial

5.00m

4.00m

RAZ

MAZRAY

MAY

RAX MAX

2tf

1tf4tf

3.00m

Y

X

Z

6 reaes

Isosttica 6 equaes de equilbrio

Restringida

i) FX= 0 RAX 2tf = 0 RAX= 2tf

ii) FY= 0 RAY 4tf = 0 RAY = 4tf

iii) FZ= 0 RAZ 1tf = 0 RAZ = 1tfiv) MX= 0 MAX (4x3) (1x5) = 0 MAX = 17tfm

v) MY= 0 MAY+ (2x3) + (1x4) = 0 MAY = -10tfm

vi) MZ= 0 MAZ+ (2x5) (4x4) = 0 MAZ = 6tfm



27/207


24

2. ESFOROS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS

2.1. Trelias

Trelias - Estruturas reticuladas, ou seja formadas por barras (em que uma direo

predominante) de eixo reto, ligadas por rtulas ou articulaes (ns).

Quando submetidas a cargas aplicadas nos ns apenas, as barras esto submetidas

somente a esforos axiais.

Estaticidade e Estabilidade:

Condies para obteno de uma trelia isosttica:

1. equilbrio Estvel (Restringida, ns indeslocveis);

2. nmero de incgnitas (*) igual ao nmero de equaes de

equilbrio da esttica (**).

* O nmero de incgnitas dados por:

nmero de reaes (r) + nmero de barras (b).

(Incgnitas Externas) (Incgnitas Internas)

** Nmero de equaes de equilbrio o resultado do:- nmero de ns (n) x 2 (o valor multiplicado devido a existncia

de uma equao no eixo x e outra no y).

Desta forma, podemos classific-las da seguinte maneira:

1a. Condio 2a. Condio Classificao

indeslocvel e r + b = 2n Isosttica

indeslocvel e r + b > 2n Hiperestticadeslocvel ou r + b < 2n Hiposttica

Os mtodos de obteno de esforos em trelias so:

1. Equilbrio dos Ns;

2. Cremona (Maxwell);

3. Ritter.



28/207


25

Trelias Planas

Fonte: Engel, Heino, 1981

Sentido dos Esforos

Trelia com diagonais comprimidas

Trelia com diagonais tracionadas

Fonte: Salvadori, Heller, 1975

AI E O' B F M

NHDOCG

L

W4 W2 W1 W3 W5

W4 W2 W1 W3 W5

AI E O' B F M

NHDOCD

L



29/207


26

Transmisso de Cargas para as Trelias

Trelia de Cobertura

Trelia de Ponte

Fonte: Sssekind, Jos Carlos, 1979, vol.1

Ligaes das Extremidades das Barras

Fonte: Salvadori, Heller, 1975 Fonte: Sssekind, Jos Carlos, 1979, vol.1



30/207


27

Mecanismo de Trelias Aplicado a Outros Sistemas Estruturais

Prtico de Trelia Biarticulado

Prticos de Trelia Triarticulado com Balanos

Arco de Trelia Triarticulado



31/207


28

Trelias com Diferentes Condies de Apoios

Trelias apoiadas nas duas extremidades: Estrutura de vo livre

Trelias com Apoio Duplo no Centro: Estruturas em Balano

Trelias com Extremidades em Balano: Estrutura com Vo Livre e Balano

Fonte: Engel, Heino, 1981



32/207


29

Lei de Formao de Trelias Isostticas:

r + b = 3 + 11 = 14

2n = 2 x 7 = 14

Trelia Hiperesttica:

r + b = 4 + 14 = 18

2n = 2 x 8 = 16

Trelia Hiposttica:

r + b = 4 + 18 = 22

2n = 2 x 10 = 20

Trelia no

restringida

A B

C D

A B E G

1 2

3 7

4 8

6 9 10

11

5



33/207


30

2.1.1. Mtodo de Cremona

Seja a seguinte trelia para a qual sero calculadas as reaes e esforos pelo equilbrio

dos ns:

FX= 0 3 RAX= 0 RAX= 3tf

MA= 0 3RBY 6 x 1,5 3 x 2 = 0 RBY= 5tf

FY= 0 RAY+ 5 - 6 = 0 RAY= 1tf

= 53,13

N A

FY= 0

1 + NACxsen 53,13 = 0 NAC= -1,25tf

FX= 0

-3 1,25 xcos 53,13 + NAB= 0 NAB= 3,75tf

N B

FY= 0

5 + NBCxsen 53,13 = 0 NBC = -6,25tf



34/207


31

1,5m 1,5m

3tf

3tf

5tf1tf

6tf

-1,25

3,75

-6,2

5

BA

C

2m

Se um n est em equilbrio, a soma vetorial de todas as foras que atuam sobre ele ser

nula:

N A:

3

3,75

1,251

N B:

5

3,75

6,2

5

N C:

A

3 tf

1tf

1,25

3,75

B

6,2

5

3,75

5tf



35/207


32

1,25

6,2

5

6

3

A soma vetorial das foras externas e internas atuantes forma sempre um polgono fechado.O mtodo de Cremona consiste em encontrar os esforos internos graficamente, a partir

do equilbrio dos ns da trelia, seguem-se os seguintes passos:

inicia-se por um n com apenas duas incgnitas;

marca-se em escala as foras externas atuantes, formando um polgono aberto;

pelas extremidades deste polgono traam-se paralelas s barras que concorrem no n, cujos

esforos desejamos conhecer;

a interseo destas paralelas determinar o polgono fechado de equilbrio; obtm-se assimos mdulos e sinais dos esforos nas barras;

Os sinais dos esforos so obtidos verificando-se:

- se o esforo normal aponta para o nnegativo (compresso);

- se o esforo normal sai do npositivo (trao);

O sentido do percurso de traado de foras arbitrrio, adotaremos o sentido horrio;

Obtm-se 2 a 2 incgnitas na anlise sobraro 3 equaes de equilbrio, j usadas para as

reaes.

6tf

3tf C

1,25

6,2

5



36/207


33

2.1.1.1. Notao de Bow

Marcar com letras todos espaos compreendidos entre as foras (exteriores e interiores),

que sero identificadas pelas duas letras adjacentes. No exemplo:

reao Vertical no n A : ab;

reao Horizontal no n A: bc;

esforo Normal na Barra AC: cf (ou fc);

esforo Normal na Barra AB: af (ou fa).

Roteiro do Mtodo:1. Iniciar o traado do Cremona pelo equilbrio de um n que contm somente duas barras

com esforos normais desconhecidos (incgnitas);

2. Comear com as foras conhecidas, deixando as incgnitas como foras finais;

3. Todos os ns so percorridos no mesmo sentido (horrio ou anti-horrio), para o exemplo

escolheu-se o horrio;

4. Prosseguir o traado do Cremona pelos ns onde s haja 2 incgnitas a determinar, at

esgotar todos os ns, encerrando-se a resoluo da trelia.5. Os valores dos esforos nas barras so medidos no grfico em escala;

6. Os sinais dos esforos so obtidos verificando-se:

- se o esforo normal aponta para o n: COMPRESSO (-);

- se o esforo normal sai do n: TRAO (+).

O polgono resultante do traado do Cremona dever resultar num polgono fechado para que

a trelia esteja em equilbrio.



37/207


34

Fonte: Sssekind, Jos Carlos, 1979, vol.1

e

2P

i

a

g

f

c

b

A C D

d

3P

FE

3P

P

B

h

3P

2

1

4

8

5

6

97

3

Sentido Horrio -Percurso do Traado



38/207


35

N A:

2P

3P

N7

a2

a7N2

2P

3P

N2

N7

Medir em escala N2e N7

N E:

N2conhecido - N3,N1incgnitas:

mede-se em escala

N2

N1

N3

a3

a1

N1 (Compresso)

N2 N3



39/207


36

Exemplos:

1.

2m 2m

C

D

BA

1m

1m

2 tf

A

1m

1m

B

D

C

2000kgf

cb d e

a

1000kgf 1000kgf

N A:



40/207


41/207


38

2.

A

DC E B

H

G

F

2tf

2tf

2tf

3tf 3tf

b

c d

e

f

a

k

j

ih

g

0 1 2 3 4

Escala doCremona (tf)

f,k

j

c

a

d

e

h,i

g

-6,7 -6,7

-5,85

-1,8

+2,0

+6,0 +4,0 +4,0 +6,0

-1,8

+2,0

0

-5,85



42/207


39

3.

6tf 6tf

6tf

2tf

2tf

2tf

6tf 6tf

6tf

2tf

2tf

2tf

i

b

h

g

j

k

a

e

d

c

f

6m

6m

6m

6m 6m

G

E

C

AB

D

F

-3,2+3,2

+2,0

-2,2-3,2

-4,8-2,9

-2,0

+6,4

+4,8

+3,0

a k

j

edcb,f

g

i

h

0 1 2 3 4

Escala do

Cremona (tf)



43/207


40

2.1.2. Mtodo de Ritter

Seja a seguinte trelia:

Suponhamos que deseja-se determinar os esforos axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a

estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, atravs da seo SS indicada.

Considerando a parte da esquerda, deve-se colocar os esforos internos axiais que surgem

nas barras para estabelecer o equilbrio:

As foras N3, N6e N10representam a ao da parte da direita da trelia sobre a parte da

esquerda.

HA

VA

P4

P1

P2D

N6

N10

N3

S

S

1

2 3

7

48

6

9 10 11

5HA

P4

P1

P2

PD

P5

C



44/207


41

indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita:

Os esforos indicados N3, N6e N10so iguais em mdulo e direo, mas tm os sentidos

opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ao da parte esquerda sobre a parte

da direita.

Para obter os esforos N3, N6 e N10 utilizam-se as equaes da esttica, devendo ser

escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incgnita diretamente.Para o exemplo, pode-se resolver utilizando:

MC= 0Obtm-se N3;

MD= 0Obtm-se N6;

Fy= 0Obtm-se N10. (tanto faz pela esquerda ou direita)

Se os esforos forem positivos tero o sentido indicado (trao) seno tero sentido

inverso (compresso).

Observaes:

1. sees de Ritter no podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no

mesmo ponto;

2. as sees podem ter forma qualquer (no necessitando ser retas);

3. para barras prximas s extremidades da trelia (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer

que a seo de Ritter s intercepte 2 barras neste caso obter os esforos fazendo equilbrio

dos ns.

P3

VBP5

C

S

S

N6

N10

N3



45/207


42

Exemplos:

1. Obter os esforos nas barras 2, 3, 9 e 10.

I. Obter as reaes de apoio:

Fx= 0 HA= -6 tf;

Fy= 0 VA + VB= 10 tf;

MA= 0 VB. 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x 2 = 0;

VB= 6 tf e VA= 4 tf.

II. Seo S1S1

MH= 0 N2x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N2= 14 tf (trao);

MD= 0 -N16x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N16= -14 tf (compresso);

Fy= 0 - N9 6 + 4 = 0 N9 = -2 tf (compresso).

8 9 10 11 12 13 1476

1 2 3 4 5

HA

VA VB

A C D E F B

G H I J15 16 17

2 m 2 m 2m 2m 2m

4tf

6tf

6tf

S1 S2

S2S1

2



46/207


43

III. Seo S2S2

Fx= 0 N3+ N10cos45 = 14 tf;

Fy= 0 N10sen45 + 4 - 6 = 0;

N10= 2,83 tf e N3= 12 tf.

6tf

E F B

J

4tf

2 m

I

S2

N10

N3

14tf

S2



47/207


44

Obter os esforos nas barras 2, 10, 19, 3 e 13.

I. Seo S1S1

MD= 0 N19x 2 + 6 x 2 + 5 x 4 = 0 N19= -16 tf (compresso);

Fx= 0 N19+ N2 = 0 N2= 16 tf (trao);

Fy= 0

N10 + 6 - 5 = 0 N10= -1 tf (compresso);

HA=6tf

6tf

6tf

VB=5tf

H I J K L

B

GFEDCA

2 m

1

7 8 9

19

2 3 4 5 6

18 20 21

171011

12 13 14 15 16

S1 S2 S 3

VA=5tf

4tf

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

2 m

A

C1

87

6tf

5tf

9

2

10

H6t 18 I

S16tf

N2

N10

N19 J

D



48/207


45

II. Seo S2S2

MJ= 0 N3x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3= 15 tf (trao);

II. Seo S3S3

Fy= 0 N13cos45 + 5 = 0; N13= -7,1 tf (compresso);

6tf A

C1

87

5tf

D

9

2 3

10 11

H6tf 18 19 JI

S26tf

N19

N3

N11

F4

13 14

B

G5 6

15 16 17

5tf

20 KS3

21 LN20

N4

N13

J



49/207


46

2.2. Vigas

2.2.1. Vigas Simples - Mtodo Direto para Diagramas

Esquerda

V

N

M

NDireita

V

Conveno de sinais:

Reviso:

a

VVF

M

a

F M

Esquerda com carga para cima Esquerda com carga para baixo

V F = 0V = +F positivo. V + F = 0V = - F negativo.

M F.a = 0M = +F.a positivo. M + F.a = 0M = - F.a negativo.

a

F

a

F

Direita com carga para cima Direita com carga para baixo

V + F = 0V = - F negativo. V F = 0V = +F positivo.

M - F.a = 0M = +F.a positivo. M + F.a = 0M = - F.a negativo.

Traar DEC diretamente vindo pela esquerda.



50/207


47

Traar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicao de fora

concentrada.

Lembrando:

Fora Concentrada: Descontinuidade no DEC

Binrio Aplicado: Descontinuidade no DMF

q=0 ; (entre cargas conc.)

V Constante

M Varia Linearmente em x

q= k ;

V Varia Linearmente em x

M Varia Parabolicamente em x

Integrando qV; Integrando VM.

dx

dVq=

dx

dM=V

dx

d Mq2

2

=



51/207


48

Exemplo 1:

MCEsq= 60.4 = 240 kN;

MDEsq= 60.8 50.4 = 280 kN;

MEDir.= 110.2 = 220 kN ou

MEEsq. = 60.11 50.7 30.3 = 220 kN

ou MD= MC+ VCx4m ou MEEsq. = MD+VD x3m

DMF (kN.m)

60kN

60

280240

(+)

220

-110

10

-20

DEC (kN)

110kN

30kN50kN 90kN

4 m 4 m 3 m 2 m

AC D E

B



52/207


49

DMF (kN.m)

+3

-3

(-)

3kN

DEC (kN)

-9

3kN

12kN/m

3 1 m

A B

C

Exemplo 2:

MCEsq = - 3.3 = - 9 kN;

MCDir. = 3.1 = 3 kN;



53/207


50

Exemplo 3:

MCEsq = 18.2 = 9 kN;

MMX= q.l2/8 + 36 = 12.32/8 + 36 = 13,5 + 36

MMX= 49,5 kN.m

36

(+)

18

V=0

(+)

18kN

12kN/m

DMF (kN.m)

36

DEC (kN)

-18

(-)

18kN

2 m 3 m 2 m

Mmx

A BC D



54/207


51

Exemplo 4:

MV=0Esq = 80.2 40.1 = 120 kN; MEDir = 60.1 = 60 kN;

MCEsq = 80.4 80.2 40.2 = 80 kN; MDDir = 60.2,5 20.1,5 = 120 kN;

MDEsq = 80.5,5 80.3,5 40.3,5 = 20 kN;

-40

120

80

120

60

DMF (kN.m)

-60

20

(-)

(+)

40

80 kN

80

DEC (kN)

60 kN

100kN.m20kN/m

40kN

20kN

(+)

2 m 2 m 1,5 m 1,5 m 1 m

A BC D E

10

10



55/207


52

2.2.2. Vigas Gerber

Aplicaes principais Pontes;

Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva;

Vigas Gerber Isostticas sero decompostas nas diversas vigas isostticas que as

constituem:

- Vigas com estabilidade prpria;

- Vigas que se apoiam sobre as demais;

Exemplos de Decomposio:

Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resoluo, para obteno das reaes

de apoio.

Comea-se a resolver as vigas sem estabilidade sem estabilidade prpria;

Os diagramas podem ser traados separadamente, juntando-os em seguida;

As rtulas transmitem foras verticais e horizontais, mas no transmitem momento;

Basta que um dos apoios resista a foras horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas

verticais provocam esforo cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na

decomposio no necessrio distinguir apoios do 1o ou 2o gnero. Usaremos

apenas:

II

I

II

II

I



56/207


53

IV

III

II

I

II



57/207


54

Esforos Internos Diagramas Exemplos:

1.

18 tf

F

F

6tf6tf6tf

22,67 tf

BA

9,33 tf

4tf/m

C D E

4tf/m

6tf 6tf

4tf/m

BA

6tf

C D E

4tf/m

36 tf.m

2 m 3 m 2 m 3 m 3 m



58/207


59/207


56

2.

4+6+3 =13 tf

3 tf 3+3 = 6 tf3 tf 3 tf

2+4+3+2=11 tf

3 tf

11 tf

3 tf

4 tf

126

6 tf

2 tf/m 3 tf/m

3 tf

A

2 tf/m

B C

3 tf/m

FD E

4 tf 3 tf

HG

4-3=1 tf

8 tf

8 tf

JI

2 tf/m

3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m1 m 1 m

Transfere-se afora de 6 tf:



60/207


57

Pela esquerda:

MA= 0 MB= 0

MA/Besq= (q l2) / 8 = (2.32) / 8 = 2,25 MCesq= - 3.1.- 2.0,5 = - 4

MDesq= -4+ (2.42)/8 + (4.4)/4 = 4

Pela direita:

MJ= 0 MIdir= 1.2 = 2

MHdir= 1.4 8.2 = -12 MG= 0

MF/G= (q l2) / 8 = (3.22)/8 = 1,5 MF= 0

A CB FED4

HG

-4

3

-5

-3

-4

-12

-6

-2

32

-6

-3

65

7

JI

2

DMF (tf.m)

-1DEC (tf)

2,25 1,5



61/207


58

2.2.3. Vigas Inclinadas

Independente do valor de b, as reaes verticais sero iguais (= q.a / 2)

1.

Esforos Internos: Seo S (a x do apoio A)

= cos.x.q2

a.qV

= sen.x.q2

a.qN

=

2

x.qx.

2

a.qM

2

(para fins de momento fletor a viga se comporta como se fosse horizontal)

(q.a)/2

S

V

(q.a)/2

q.x NM

A

S (q.a)/2

q

B

xa

b

x

x/2



62/207


59

Diagramas:

q.a.(sen /2

- q.a.(sen /2

q.a.(cos /2

(+)

(-)

(-)

(+)

DMF

- q.a(cos /2

DEC

DEN

q.a/8



63/207


60

2.

I. Fx= 0

HA= q.b

Esforos Internos:

II. Fy= 0

VA= VB

III. MA= 0

a.VB qb.b/2 = 0

VB= qb2/2a = VA

(q.b)/2.a

S

q.x

MN

V

q.b

x

x/2

y

N = (qb qx)cos+ (qb2/2.a) . sen

V = (qb qx)sen- (qb2/2.a) . cos

M = x.qb qx2/2 y.(qb2/2.a)

M = x.qb qx2/2 x.(a/b).(qb2/2.a)

M = qbx/2 qx2/2

A

VA

VBS

B

HA

a

b

x



64/207


61

Diagramas:

q.b.[cos+(b.sen)/2.a

q.b.(sen )/2.a

q.b.(sen b.cos / 2.a)

b2/2.a . cos

q.b/8

DEN

DEC

DMF

Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial PET


65/207


62

3.

R = q.(a + b)

A

q

B

A

B

q

q.b

q

q.a

A

B

b

a



66/207


63

Logo, o diagrama de momento fletor fica:

q.(a+b)/8

Se tivermos, por exemplo, as estruturas:

DMF

-6

A

6 tf.m

2

6

DMF

1 tf/m

2 tf.mB

8m

6m

-2

2



67/207


64

52,5

A

(+)

DMF(-)

-20

20 kN/m 20 kN.mB

4m

3m

10



68/207


65

2.3. Prticos

Prticos so estruturas lineares constitudas por barras retas ligadas entre si. Eles podem

ser planos (bidimensionais) ou espaciais (tridimensionais). Nesta apostila trabalharemos

apenas com prticos planos.

Nos prticos, as ligaes entre as barras so engastes ou rtulas internas. Isso faz com

que sua estrutura trabalhe em conjuntos e no de forma individual como acontece em

estruturas de colunas e vigas.

Os Diagramas de Esforo Normal (DEN) e Diagramas de Esforo Cortante (DEC) no

precisam ser feitos para o mesmo lado da barra que foram feitos nessa apostila, apenas ter os

mesmos valores e sinais. J os Diagramas de Momento Fletor (DMF) devem estar sempre no

lado tracionado da barra, podendo os sinais dos resultados serem diferentes dos sinais

utilizados nesta apostila.



69/207


66

2.3.1. Estruturas Aporticadas

1,5m

1,5m

27,14 kN

10 kN/m

10,86 kN

6 kN

S2

S1

10 kN

S3

2m 3m2m

yx

6 kN

10,86 kN

NM

V

S1

t n

Seo S1:

Fn= 0

N 6.cos+ 10,86.sen= 0

N = 6.cos- 10,86.sen

N = -1,72 kN (const.)

Ft= 0

V = 6.sen+ 10,86.cos= 12,29 kN (const.)

Mz= 0

M = 10,86.x + 6.yy = x.tg

M = 10,86.x + 4,5.x = 15,36.x

Para x=0, M=0;

x=2, M=30,72 kN.m;



70/207


67

Seo S2:

N = -1,72 kN (const.)

V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.)

M = 15,36.x 8(x-2) 6(y-1,5) = 2,86.x + 25y = x.tg

Para x=2, M=30,72 kN.m;

x=4, M=36,44 kN.m;

Seo S3: (direita)

10 kN/m

27,14 kN

M

V x'

V = 10.x 27,14

Para x=0, V=-27,14 kN;

x=3, V=2,86 kN;

M = 27,14.x 10.x2/2

Para x=0, M=0 kN.m;

x=3, M=36,42 kN.m;



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68

Diagramas:

-27,14

(+)

12,29

2,86

2,29

(+) (-)

-1,72

(-)

nulo

x = (10x3)/8 = 11,25

DMF (kN.m)

DEC (kN)

DEN (kN)

30,72

36,42

36,42x

0,286m



72/207


69

No havendo barras inclinadas, recomea-se o traado de diagramas pelo mtodo direto.

10 kN/m

17 kN

12 kN

DMF (kN.m)

DEC (kN)

DEN (kN)

(-)

(+)

(-)

12

12 kN

nulo

-17

(+)

17

-23

x = (10x4)/8 = 20

12

12

23 kN

(+)

(+)

4m

1m

1m

x



73/207


70

Consideraes Sobre os Sinais dos Diagramas:

As fibras inferiores sero tracejadas, definindo portanto a parte esquerda e direita da

seo. Exemplos:

S1

S3

S2

S3

N

V

S1

MV

MN



74/207


71

Exemplos:

01.

P

P

(+)

P

-P

(-) nulo

-Pa

Pa(-)

(+)

(+)

Pa

P

S1

S2

S3

Pa

Pa

nulo

nulo

P

DEN (kN)(+)

DMF (kN.m)

DEC (kN)

a a

a

Barra vertical

Fy= 0N = P

Fx= 0V = 0

Mz= 0M = -P.a + P.2a = P.a (constante)



75/207


72

02.

P/2 P/2

P

DMF (kN.m)

DEC (kN)

DEN (kN)

nulo

nulo

-P

(-)

(-)-P

(+)P/2

P

(+)

P(L/2 + a)

(+)

(+)(+)

P(L/2+a)

P(L/2+a)PL/2

nulo

L/2

a L a



76/207


73

2.3.2. Prticos Simples

80 kN.m

60 kN

40 kN

40 kN

10 kN

50 kN

40

DEN (kN)

(+)

DMF (kN.m)

DEC (kN)

-50

-10

(-)

(-)

nulo(-)

(+)

(+)

-50

10

40

200(+)

nulo

280

240

240 (+)

6m

4m 4m

3m



77/207


74

Pelo Mtodo Direto:

Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo:

Reaes:

Fx= 0 RAx= 1 tf

Fy= 0 RAy= 3 + 1.4 + 1

RAy= 8 tfMA= 0 3.2 1.4.2 1.1 + 1.2 + MA= 0

MA= 1 tf.m

Seo S1: trecho DC

N = 0;

V = -3 tf

MC= -6 tf.m

Seo S2: trecho CE

N = 0;

V = 1.x

Para x = 0; V = 0;

x = 4; V = 4 tf;

M = -1.x2/2

Para x = 0; M = 0;x = 4; M = -8 tf.m;

Seo S3: trecho FB

N = -1 tf

V = 1 tf

M = -1.x

Para x = 0; M = 0;

x = 1; M = -1 tf.m;

Seo S4: trecho BC

N = -7 tf

V = 0

M = -2 tf.m

3 tf1 tf/m

1 tf

1 tf1 tf.m

B

A

D EC

F

8 tf

1 tf

2m

2m

2m 1m 3m



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75

Seo S5: trecho AB

N = -8 tf

V = -1 tf

M = -1 1 . x

Para x = 0; M = -1 tf.m;

x = 2; M = -3 tf.m

Diagramas:

DEN (kN)

(-)

DMF (kN.m)

DEC (kN)

(-)

(+)

-8

-7

nulo

-1

-3

+4

+1

-1

nulo(-)

(-)

-2

(-)

-1

(-)-3

-8-6

-1(-)

(-)

(-)



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76

Reaes:

Fy= 0 1 + 6 4.5 + VA+ VB= 0VA+ VB= 13

MA= 0 1.2,5 4.5.2,5 + 6.5 + HB.10 = 0

HB= 1,75 tf

Fx= 0 HB= - HAHA= - 1,75 tf

MEDir= 0 HB.4 - VB.5 = 0

(embaixo) VB= 1,4 tfVA= 11,6 tf

Seo S1: [0 x 2,5]

N = + 1,75 tf;

V = 11,6 - 4.x

Para x = 0; V = 11,6;

x = 2,5; V = 1,6 tf;

M = 11,6.x - 2.x2

Para x = 0; M = 0;

x = 2,5; M = 16,5 tf.m;

1 tf

VA

HA

4 tf/m

6 tfN

HB

VB

A

B

CD

E

V

S1 S2

S3

S4

x

6m

4m



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77

Seo S2: [2,5 x 5,0]

N = + 1,75 tf;

V = 12,6 - 4.x

Para x = 2,5; V = 2,6 tf;

x = 5; V = -7,4 tf;

M = 11,6.x +1.(x2,5) 2 x2= 12,6.x - 2.x2 2,5

Para x = 2,5; M = 16,5 tf.m;

x = 5; M = 10,5 tf.m;

Seo S4: [0 x 5,0]

tg= 4/5 sen= 4/41

N + 1,75.cos+ 1,4 sen= 0N = - 2,24 tf;

V + 1,75.sen- 1,4.cos= 0V = 0;

M = 1,4.x 1,75.yM = 0;

Seo S3: [0 x 6,0]

N = - 7,4 tf;

V = -1,75 tf;

M = 1,75.(x+4) 1,4.5 = 1,75.x

Para x = 0; M = 0;

x = 6; M = 10,5 tf.m;

Nulo

DMF (tf.m)

DEN (tf)

DEC (tf)

16,517,3

10,5

(+) (+)

(+)

-7,4

Nulo

(-)

2,6

1,6

11,6

-1,75

(-)

1,75

-7,4

-2,24

(-)

(+)

(-)

10,5



81/207


78

Reaes:

Fx= 0 HA+ HB+ 12 3,33 = 0

HA+ HB= - 8,67 tf

Fy= 0 -10 + 4,99 + VA+ VB= 0

VA+ VB= 5,01 tf

MB= 0 6.1 + 10.4 12.3 9.VA = 0

VA= 1,11 tfVB= 3,9 tf;

MEEsq= 0 - HA.6 + VA.2,5 12.3 = 0

HA= -5,54 tfHB= -3,13 tf

Determinar os diagramas de esforos solicitantes:

-1,11

DEN (tf)

DMF (tf.m)

DEC (tf)(-)

(-)

(-)

(-)

-6,5

-10,98

-4,98

Nulo

0,44

(-)-6,0

1,11

-6,46

5,54

(+)

(+)

(-)

(+)

-2,8

(+)

-2,8

2,82,8

4,41

6,0

-1,6

7,66

(-)

(+)

2,77

Diagramas:



82/207


79

Para a barra inclinada:

N = - 5,1.sen 60 = - 4,42 kN

V = - 5,1 cos 60 = - 2,55 kN

Momento no apoio engastado:

M = 15,8 kN.m;

Momento na conexo engastada entre barras:

M = -15,8 + 5,1. 2 = -5,6 kN.m;

60

1,9kN 1,9

1,9kN2 kN/m

1 kN/m

2 kN/m

1 kN/m

5,1kN

15,8kN.m

3,46m

3,8m 1,6m 2m

60

Nulo

DEN (kN)

(-)

-4,42

DMF

(kN.m)

DEC (kN)

-2,55

-5,1

-1,9

(+)

(-)

(-)

-5,6

-5,6

-15,8

1,8(-)

(-)(+)



83/207


80

2.3.3. Prtico com Articulao e Tirante

Anlise da estaticidade:

ge = 2 + 1 3 = 0

gi = 3.1 1 1 - 1 = 0

gh = gi + ge = 0

Substitui-se a barra CD pelo par de

esforos N:

Reaes e N:

Fx= 0 HA= 0;

Fy= 0 VA+ VB= 8 tf

Mz= 0 (A) VB.4 8.2 = 0

VB= 4 tf.mVA= 4 tf.m

Momento Fletor em F, pela direita:

MFD= 0 4 2.N = 0

+ N = 2 tf.

4m

HA

VBVA

4 tf.m

2 tf/m

Tirante ou fio (se for

comprimidoescora)

FE

DC

BA

2m

2m

HA

VB

NN

VA

4 tf.m

8 tf

N

4 tf.mF

2m

2m

4 tf



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81

Diagramas:

Nulo

(-)

-4

4

Nulo

-4

Nulo

Nulo

Nulo

(-)

(-)

(-) -4

-4

DMF (kN.m)

-4

2Nulo

(-)

(+)

(-)

-2

(+)

-4-4

DEC (kN)

-2

2

(-)

(+)

(-) (-)DEN (kN)

x = (2 x 4) / 8 = 4

x



85/207


86/207


83

2.

3.

4.



87/207


84

5.

A D G

30 kN

B

10 kN/m

C

E

20 kN

F

5m8m 3m

2m

2m

4m

Decompondo:

Fx= 0 HC= 30 kN;

Fy= 0 VA+ VC= 80 kN;

MA= 0 8.VC+ 4.HC80.4 30.2 = 0

VC= 32,5 kNVA= 47,5 kN

Fx= 0 HD + HG+30 = 0

Fy= 0 VD+ VG= 20 + 32,5 + 80

VD+ VG= 132,5 kN

MD= 0 8.VG 20.5 80.4 30.4 = 0

VG= 67,5 kNVD= 65 kN

MCD= 0 4.HD= 0

HD= 0 HG= - 30 kN

A

VA

B

30 kN

10 kN/m

C

Vc

Hc

D

VD

GHD

C30 kN

32,5 kN

E

20 kN

VG

HG

F

10 kN/m



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85

Diagramas:

(+)60

(+)60

(+) (-)

80

120

(+)

(-) (-)(-)

120

nulo

60

47,5

(+)

(+)

30nulo

120

(+)

(+)

60

30

80

180(+)

DMF (kN.m)

180

-30(-)

(+)

(-)

-32,5

(-)

(+)

(+)

(-)-20

32,5

-65

-47,5

DEC (kN)

-67,5

(-)

-30

-47,5

-30

(-)

(-)

nulo

-32,5

(-)

-47,5

DEN (kN)

-

67,2

52,8



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86

2.4. Cabos

Cabos so estruturas lineares, extremamente flexveis, capazes de resistir aesforos de trao. Os esforos cortantes, de compresso, de flexo e de toro no so

resistidos por um cabo ideal.

Os cabos so utilizados em vrios tipos de estruturas. Nas pontes pnseis e

telefricos so principais elementos portantes, nas linhas de transmisso conduzem a

energia eltrica, vencendo vos entre as torres e so empregados como elemento portante

de coberturas de grandes vos (Sssekind, 1987).

No estudo esttico, assume-se a hiptese que os cabos so perfeitamente flexveis,

isto , possuem momento fletor e esforo cortante nulos ao longo do comprimento. Dessa

forma, os cabos ficam submetidos apenas a esforos normais de trao.

As formas assumidas pelo cabo dependem do carregamento que nele atua. Se o

carregamento externo for muito maior do que o peso prprio do cabo, este ltimo

desprezado no clculo. A geometria da configurao deformada do cabo, para um dado

carregamento, denominadaforma funicular(do latim,funis= corda) do cabo.



90/207


87



91/207


88



92/207


89

Exemplo de formas funiculares:

Catenria

Parbola

Polgono

Trapezide

Tringulo

Carga UniformementeDistribuda ao longo do vo

Carga Uniformemente Distribuda ao longo docomprimento do cabo (peso prprio)

Forma FunicularCarregamento



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94/207


91

2.4.1. Reaes de Apoio para Cabos:

Seja um cabo que suporta duas cargas concentradas de valor P, dispostas nos

teros do vo:

PP

f

L/3 L/3 L/3

H = Ax

Ay By

H = Bx x

y

A

C D

B

Os sistemas do tipo cabo desenvolvem em suas extremidades empuxos

horizontais, exigindo que os vnculos em A e B sejam do 2ognero.

Por ser um sistema estrutural plano, as equaes de equilbrio a serem satisfeitas

sero:

Fx = 0;

Fy = 0;

Mz = 0.

Lembrando que para qualquer ponto ao longo do cabo o momento fletor nulo

devido sua flexibilidade.

Aplicando as equaes de equilbrio ao cabo ACDB :

Fx = 0Ax Bx = 0, logo Ax = Bx = H (empuxo horizontal);

MA= 0PL / 3 + P (2L / 3) By.L = 0, portanto By = P;

Fy = 0Ay + By = 2P, ento Ay = 2P By = P.

Para o clculo do empuxo horizontal H necessria uma Quarta equao de

equilbrio que sai da hiptese de momento fletro nulo (M = 0) para qualquer ponto ao

longo do cabo. Escolhendo-se o ponto C:

Mc = 0.



95/207


92

Faz-se uma seo no cabo que coincida com o ponto C escolhido e trabalha-se

com a parte a esquerda ou a direita do ponto C, substituindo pelo seu efeito na seo.

AH

L/3

Ay = P

C

P

NCDf

Mc = 0- H.f + (P.L) / 3 = 0, portanto H = (P . L) / 3f.

Observe-se que quanto menor a flecha f, maior o empuxo H. E assim encontram-

se as reaes de apoio do cabo.

interessante a seguinte comparao:

D

L/3

A

L/3

H

PC

P

B H = PL / 3f

L/3

P

f

P

P

Ay* = P

A

P

By* = P

B

L/3 L/3 L/3



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97/207


94

a)

L/2 L/2

P

f

P/2P/2

PL / 4f H = PL / 4f

P

L/2 L/2P/2 P/2

(+)

PL/4

DMF

C

Mc = 0- H.f + (P/2).(L/2) = 0,

portanto H = (P . L) / 4f = M*max/f



98/207


99/207


96

2.4.2. Esforos Normais de Trao Atuantes em Cabos

Uma vez conhecidas as reaes de apoio, possvel determinar os esforos

normais atuantes no cabo.

Usando mais uma vez o exemplo do cabo submetido a duas cargas concentradas

eqidistantes, de valor P cada uma:

BA xPL/3fPL/3f

y

PDC

P

P

P

E

L/3L/3 L/3

f

Esforo normal no trecho AC:

Substitui-se a parte do cabo

retirada, pelo seu efeito, a Fora Normal

NAC. Aplicam-se as equaes de

equilbrio:

Fx = 0NACx= P L / 3 f;

Fy = 0NACy= P, logo

NAC2= (NACx) 2 + (NACy) 2 ;

NAC= [ (P L / 3 f) 2+ P 2]

PL/3f A

E

P

NAC

y

y

x

NACy

NACx



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97

Esforo normal no trecho CD:

f

P

P

F

C

APL/3f

NCD

Fx = 0NCD= H = P L / 3 f;Fy = 0P P = 0, equilbrio satisfeito

Esforo normal no trecho DB:

NDB = NAC= [ (P L / 3 f) 2+ P 2]

Observa-se, da comparao entre NAC e NCD, que o esforo normal mximo de

trao no cabo AB ocorre nos trechos AC e DB, trechos adjacentes aos apoios dasextremidades. Esta uma das caractersticas dos cabos, os esforos normais mximos

ocorrem nas sees dos cabos prximas aos vnculos externos, pois onde a componente

vertical do esforo normal, NY, de maior valor.

Calculando agora os esforos normais para um cabo com carga uniformemente

distribuda ao longo do vo:

y

q

L

qL/2

H

x

qL/2

f

H = qL / 8f



101/207


98

Cortando o cabo em uma seo genrica de coordenadas (x,y):

Nsy

y

q

S

H

qL/2

x

Ns

Nsx

Aplicando-se as equaes de equilbrio:

Fx = 0NSx= H ;

Fy = 0 NSy q L / 2 + q x = 0

NSy= q L / 2 - q x, sendo

para x = 0, NSy= q L / 2 ;

para x = L/2, NSy= 0.

Para o ponto x = L / 2, onde ocorre a flecha f, distncia mxima da linha AB, no

h componente vertical do esforo normal de trao.

Logo, o esforo normal varia ao longo do comprimento do cabo:

Para x = 0 NS= [ (NSx)2+ (NSy)2]

NS= [ (H)2+ (q L /2)2] Valor Mximo

Para x = L / 2 NS= [ (NSx)2+ (NSy)2]

NS= [ (H)2+ (0)2]

NS= H Valor Mnimo

Comparando o valor de NSycom os esforos da viga de substituio submetida a

idntico carregamento, constata-se que a variao de NSy

para x=0 q L / 2 e para x=L/2 nulo, coincidindo com a variao do esforo cortante na viga:



102/207


99

Portanto, pode-se concluir que o esforo normal de trao para um cabo

estimado pel

ecv5219 - análise estrutural i

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