Função e equação logarítmica 14 1. LOGARITMO

Definição:

Dados os números reais positivos 𝑎 e 𝑏, com 𝑎 ≠ 1, se

𝑏 = 𝑎𝑐, então o expoente c chama-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎, ou

seja log𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏, com 𝑎 e 𝑏 positivos e 𝑎 ≠ 1.

Condição de existência do logaritmo

log𝑎 𝑁 existe quando e somente quando {𝑁 > 0 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1

Exemplos:

a) log3 82 = 𝑥 b) log1

2

32 = 𝑦

2. CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

i. log𝑎 1 = 0

ii. log𝑎 𝑎 = 1

iii. log𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛

iv. 𝑎log𝑎 𝑁 = 𝑁

v. log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦

3. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

Para 𝑎, 𝑀 e 𝑁 números reais positivos e 𝑎 ≠ 1, temos:

i. Logaritmo de um produto: log𝑎(𝑀 ∙ 𝑁) = log𝑎 𝑀 + log𝑎 𝑁

ii. Logaritmo de um quociente: log𝑎 (𝑀

𝑁) = log𝑎 𝑀 − log𝑎 𝑁

iii. Logaritmo de uma potência: log𝑎 𝑀𝑁 = N ∙ log𝑎 𝑀

Mudança de base:

log𝑏 𝑁 =log𝑎 𝑁

log𝑎 𝑏

4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A inversa da função exponencial de base a é a função

log𝑎 : 𝑅+∗ → 𝑅, que associa a cada número real positivo x o

número real log𝑎 𝑥, chamado logaritmo de x na base 𝑎, com 𝑎 real

positivo e 𝑎 ≠ 1

EXERCÍCIO

Questão 1

Calcule:

a) 27log3 b) 125log5

1

c) 32log 4 d) 27

8log

3

2

Questão 2

Calcule o valor de x:

a) 38log x b) 216

1log x c) 5log 2 x

d) x27log9 e) x32log2

1

Questão 3

Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule

c

ba 2.log

Questão 4

Resolva as seguintes equações:

a) 29log 3 x b) 2102log4 x

c) 21loglog 32 x d) 27log 2

1 xx

Questão 5

Em Química, defini-se o pH de uma solução como o

logaritmo decimal do inverso da respectiva

concentração de H3O+. O cérebro humano contém um

líquido cuja concentração de H3O+ é 4,8. 10 -8 mol/l.

Qual será o pH desse líquido?

Questão 6

(U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:

a) o número ao qual se eleva a para se obter b.

b) o número ao qual se eleva b para se obter a.

c) a potência de base b e expoente a.

d) a potência de base a e expoente b.

e) a potência de base 10 e expoente a.

Questão 7

(PUC) Assinale a propriedade válida sempre:

a) log (a . b) = log a . log b b) log (a + b) = log a + log b c) log m . a = m . log a d) log am = log m . a e) log am = m . log a (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos) Questão 8

(CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:

a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209 Questão 9

Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:

a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4 d) 9 e) 5 e -4