Escola Secundária de AlcocheteEscola Secundária de Alcochete11.º Ano – Matemática A

Geometria no Plano e no Espaço II

Sejam I um intervalo e f uma função definida em I. Diz-se que f é injectiva em I

sse dados quaisquer a,b∈I:

Definição (Função Injectiva)

f é injectiva se o for em todo o seu domínio

!Em termos concretos, a definição traduz que uma função f será

injectiva se a objectos diferentes atribuir sempre imagens diferentes.

A B

1

2

3

a

b

c

fA B

1

2

3

a

b

c

g

Exemplos

c

f é injectiva

c

g não é injectiva

!Equivalentemente, é possível definir a injectividade do seguinte

modo:

Sejam I um intervalo e f uma função definida em I. Diz-se que f é injectiva em I

sse dados a,b∈I:

( ) ( ) babfaf =⇒=

f é injectiva se o for em todo o seu domínio

( ) ( ) babfaf =⇒=

Em termos concretos, diz-se que uma função f será injectiva se sempre que se

tenham imagens iguais estas obrigatoriamente provenham do mesmo objecto.

Exemplo

A função f dada por

( ) xxf2

=

não é injectiva, pois tem-se

11 −≠

e, contudo,

( ) ( ) ( )111 1122

−==== − ff

Exemplo

A função f dada por

( ) 12 += xxf

é injectiva, pois tem-se dados a e b tais que f(a) =f(b)

Sejam I um intervalo e f uma função definida em I em J. Diz-se que f é

sobrejectiva em I sobre J sse dado b∈J qualquer exista a∈I tal que f(a)=b, ou seja,

Definição (Função Sobrejectiva)

!Em termos concretos, a definição traduz que uma função f será

!Em termos concretos, a definição traduz que uma função f será

sobrejectiva se todos os elementos do conjunto de chegada forem

imagem de algum objectivo (não obrigatoriamente único)

!Pelas definições de contradomínio e de conjunto de chegada, tem-se

que uma função f é sobrejectiva quando estes dois conjuntos

coincidem.

A B

1

2

3

a

b

fA B

1

2

3

a

b

c

g

Exemplos

f é sobrejectiva

c

g não é sobrejectiva

Exemplo

A função f dada por

não é uma sobrejecção pois não existem objectos cujas imagens sejam números

negativosnegativos

Exemplo

A função f dada por

( ) 12 += xxf

é sobrejectiva, pois considerando-se b∈ qualquer

Fazendo a como acima, tem-se que existe um elemento x do domínio tal que f(x)=b.

Sejam I um intervalo e f uma função definida em I em J. Diz-se que f é bijectiva

(ou uma bijecção) de I em J sse f for injectiva e sobrejectiva

Definição (Função Bijectiva)

Exemplo

A função f dada por

( ) 12 += xxf

é, de acordo com o que se viu anteriormente, uma bijecção.

!Dado um conjunto A, a função identidade de A é uma função

definida de A em A tal que a cada elemento x de A faz corresponder

esse mesmo elemento.

representa função identidade do conjunto A.

Sejam A e B conjuntos, f definida de A em B. f é invertível sse existir uma função

g definida de B em A tal que

Definição (Função Invertível)

e

Tal g nestas condições designa-se por função inversa de f, denotando-se por f-1

!g é inversa de f sse f é, ela própria, inversa de g.

!Teorema

Uma função f é invertível sse for bijectiva.

A demonstração deste facto é feita em duas etapas:

a partir da bijectividade, constrói-se uma função inversa nas condições exigidas;

a partir da existência de inversa, provam-se injectividade e sobrejectividade.

!Teorema

Uma função f invertível admite, a menos de igualdade, uma única

função inversa.

A demonstração deste facto é feita supondo que existem duas funções inversas, A demonstração deste facto é feita supondo que existem duas funções inversas,

provando, a partir da definição, a sua igualdade.