aplicacao pseudo inversa

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Aplicao Pseudo-Inversa Ajuste linear clssico. Uma barra vertical submetida a uma fora axial (para baixo) alonga-se conforme mostrado na tabela abaixo: Graficamente: Fora (tf) 5101520 Comprimento (m)3.7003.8673.9504.083 8 10 12 14 16 18 20Fora3.73.83.9ComprimentoAjuste linear clssico. Queremos encontrar uma funo que relacione a fora aplicada e o comprimento da barra. A figura sugere que esta funo seja uma reta: d(t) = c1 + c2 t onde d o comprimento (em metros) e t a fora (em toneladas-fora). No existe uma reta que passa por todos os quatro pontos. Precisamos encontrar os coeficientesc1ec2

tais que a reta passe o mais perto possvel dos pontos. Porque usamos quatro pontos para encontrar apenas duas constantes (c1ec2): Por causa dos erros de medio (no medimos corretamente a fora aplicada ou o alongamento da barra). Por causa da impreciso do modelo (o fenmeno no representado exatamente por uma reta, mas esta aproximao suficiente). Sistema linear equivalente: Sabemos que d(t) = c1 + c2 t, Dispomos de quatro pares de dados: (t1,d1)=(5, 3.7),(t2,d2)=(10, 3.867),(t3,d3)=(15, 3.95),(t4,d4)=(20, 4.083) Podemos escrever o sistema linear: 083 . 4 20950 . 3 15867 . 3 10700 . 3 52 12 12 12 1= += += += +c cc cc cc cSistema linear equivalente: Esse sistema indeterminado (no tem soluo). 3.55 3.6 3.65 3.7 3.750.0150.0250.030.035Sistema linear equivalente: Queremos encontrar o ponto que "mais se aproxima de todas as retas". Sistema na forma matricial: (((((

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= =083 . 4950 . 3867 . 3700 . 3,20 115 110 15 11111,4321214321ddddd ecccttttA onde d AcSistema linear equivalente: Devemos encontrar o vetor c que minimiza o resduor = d - Ac. Interpretao geomtrica do resduo. Suponhamos que temos uma retad(t) = c1 + c2 t, Para cada par (ti, di) conhecido (dado do problema), o resduo dado por: Graficamente: Interpretao geomtrica do resduo. Graficamente: 5678910 t 3.7 3.75 3.8 3.85 d e1 e2 d1 d2 c1+c2t1 c1+c2t2 Interpretao geomtrica do resduo. Nosso objetivo minimizar o resduo "global", dado por uma norma. Normalmente usamos a norma 2, porque ela continuamente diferencivel em c. O resduo "global" escrito como: 22 12 2) ( = =ii it c c d Ac d rProblema linear de ajuste de curvas. Agora podemos escrever matematicamente nosso problema: 2,2,2 1 2 1min min Ac d rc c c c =Problema linear de ajuste de curvas. Ou seja: Dada uma matriz A, com posto coluna completo, e um vetor d; Queremos encontrar o vetor c = [c1, c2]T que faz com que a norma 2 do resduo seja mnima. Problema linear de ajuste de curvas. c = A+d = (ATA)-1ATd (A+ a "pseudo-inversa" de A). A pseudo-inversa de A pode ser escrita comoA+ = VS-1UT onde Umxn, Snxn e Vnxn so os fatores da SVD reduzida de A.