FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVAFUNO EXPONENCI AL 1I NTRODUO Asfunesexponenciaissoaquelasquecrescemoudecrescemmuit o rapidamente.Elastmaplicaoemdiversascincias,t aiscomo: ast ronomia, economia,biologiaepsicologia,emquestesqueenvolvemcrescimento populacional,j uroscompostos,desintegraoradioat iva,curvasdeaprendizagem, resfriamento de corpos et c. Vej a alguns exemplos. Exemplo 1: a)OnmeroNdebactriasdeumacult ura,thorasapsoinciodecerto experimento, dadopela expresso N( t) = 12 00. 20,4t.Nessascondies,quant o t empo aps o inciodo experiment o a cultura t er 3 8.4 00 bact rias? b)Numacert acidade,onmerodehabitant esP,numraioder km ( r > 0)apartir doseucent ro,dadoporP = k. 23,ondek const ante.Seh98.304 habitantesnumraio de 5kmdocent ro,quant oshabit anteshnumraiode 3km do cent ro? c)UmapessoadepositaR$200,00napoupanae,mensalmente,recebe1%de j urossobre osaldo.Determine:omontante apsumano; e orendimento(j uros) obt ido ao final do primeiro ano. d)(UFAL)Devidodesintegraoradioat iva,umamassa 0m decarbono14 reduzidaaumamassam emt anos.Asduasmassasestorelacionadaspela frmula m = m0. 2[-tS400.Nessascondies,emquantosanos5gdasubst ncia sero reduzidos a 1,25g? Ant es,porm,det ratarmosespecificament edafunoexponenciale, consequentement e,daresoluodeproblemascomoosacimaexemplificados conveniente fazermos uma reviso depotenciao. 2POTNCI A Chama-se potnciadebase real o e expoenteinteiron ( n > 1 )a expresso on que representa o produto de n fatores iguais ao nmero o. on = o. o. o. o . o _________n ]utocs Numapot ncia,abase,portant o,onmeroqueserepet e,eoexpoente, o nmero de vezes que a base se repete. FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVACasos particulares: Se o 0 cn = 1ent o o1 = o(t odo nmero no-nulo elevado aunidade igual a ele prprio) Se o 0 cn = 0ent o o0 = 1 (t odo nmero no-nulo elevado azero igual a unidade) Se o = 0 cn 0ent o 0n = 0 (zero elevado a qualquer nmero, exceto ele prprio, igual a zero) Se o = 1 cn 0ent o 1n = 1 (t oda potncia de baseunitria igual a um) Se o 0 cn porento, a pot ncia ser um nmero positivo Se o 0 cn mpor ent o, a potnciater o mesmo sinal da base Se o 0 cn < 1ent o o-n = [1nn=1un (t odonmerono-nuloelevado aumexpoent enegat ivo igualaoinversoda base elevado ao simt rico do expoente) Se o > 0cm c n Z, com n > 1ento omn= omn

(t oda potncia de expoente f racionrio pode ser escrita na forma deradical) Exemplo 2:a) 54 = 5.5 .5.5= 625 b) [453= [45 . [45 . [45 = 64125 c) 71 = 7d) 2-3 =123 =12.2.2 =18 e) 50 = 1f) 07 = 0g) 843 = 843= 40963= 16h) 16-0,25 = 16-14 = 1 6-14= _1164=12 2.1PROPRI EDADES DA POTENCI AO Sendooebnmerosreaisem ennmerosinteiros,valemasseguintes propriedades: I ) om. on = om+n Paramult iplicarpot nciasdemesmabase, conserva-seabaseeadicionam-seos expoentes FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVAI I ) omon= om-n( o 0) Paradividirpot nciasdemesmabase, conserva-seabaseesubt raem-seos expoentes I I I )( om)n= om.n Paraelevarumapotnciaaumnovo expoente,conserva-seabase emult iplicam-se os expoentes I V)( o. b)n = on. bn Paraelevarumprodutoaumexpoente, elevam-se cada fator a esse expoente V) [obn=onbn , b 0Paraelevarumquocienteaumexpoente, elevam-seonumeradoreodenominadora esse expoente Exemplo 3:a) 23. 24 = 23+4 = 27 = 128 b) 3S33 = 35-3 = 32 = 9 c) [353= 3353 = 27125d) [38-2= [832=8232 =649 e) ( 52)3 = 52.3 = 56 = 15 .625 f) ( 4.7)2 = 42. 72 = 16.4 9= 784 Exemplo 4: a) Simplifique a expresso 3x+3x+23x-1 3x + 3x+23x-1=3x + 3x. 323x31=3x( 1 + 9)3x3=3x. 10.33x = 1 0.3= 30 b) Calcule o valor da expresso E = ( 0,25 )0,5 + 810,25 + 16-0,5 E = _ 25100]1/ 2+ ( 34)1/ 4 + ( 24)-1/ 2 =_ 251 00 + 3+ 2-2 =51 0 + 3+14=154 3.FUNO EXPONENCI AL t odafuno: R R+,expressapor( x) = ox,emqueabaseoum nmero real posit ivo e diferente de 1 ( 0< o 1 ) . Exemplo 5:a) ( x) = 2xc) ( x) = [52x b) ( x) = 3xd) ( x) = [23x Noconceitodessafuno,hduasrest riesabaseo: o>0eo 1.O mot ivodessasrest riesgarant iraexist nciadafunoexponencialnoconj unto dos nmeros reais. Observe:FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVASeo = 1 ( x) = 1x = 1 xR.Logo,( x) nofunoexponencial e, sim, uma funo constante. Seo = 0 ( x) = 0x = 0 xR.Logo,( x) t ambmnouma funo exponencial e, sim, uma funo constant e. Seo < 0 ( x) = ox noest ariadefinidaparat odoxreal.Porexemplo,se o = 2 c x =12 , ento [12 = ( 2)1/ 2 = 2 que no umnmero real. 3.1GRFI CO Naconst ruodogrficodafunoexponencialt emosdoiscasosa considerar:o > 1 c 0< o < 1. 1Caso:o > 1 Const ruir o grfico de ( x) = 2x. At ribuindoalgunsvaloresreaisaxe const rumosatabelaeogrfico seguintes: x21012 ( x) 1/ 41/ 2124 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4-4-3-2-11234xy 2Caso:0< o < 1Const ruir o grfico de ( x) = [12x. At ribuindoalgunsvaloresreaisaxe const rumosatabelaeogrfico seguintes: x2 1012 ( x) 4 211 / 21/ 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4-4-3-2-11234xy 3.2CONSEQUNCI AS DOS GRFI COS a)Odomnioeoconj untoimagemdafunoexponencialso,respect ivamente, ( ) =R+cIm( ) = R+. b)Ogrficoumacurvachamadaexponencial,quecortaoeixoynopontode ordenada 1. FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVAc)Ogrficode( x) = oxsempreestaracimadoeixox; consequent emente,a funo exponencial no tem raiz. d)Afuno exponencial bijetora, logo admit e funo inversa. e)Afuno exponencial ilimit ada superiormente. f)Seo > 1,afuno( x) = oxcrescente,poisparaquaisquerx1cx2 ( ) , com x2 > x1, tem-se ( x2) > ( x1) . g)Se0< o < 1 ,afuno( x) = oxdecrescente,poisparaquaisquer x1cx2 ( ) , com x2 > x1, t em-se ( x2) < ( x1) . funo crescent efuno decrescent e 4EQUAO EXPONENCI AL t oda equao na qual a incgnita apareceno expoente. Exemplo 6:a) 814-3x = 95-x b) 2x+3 + 2x-1 = 17 c) 9x 10 .3x + 9= 0 Para resolver uma equao exponencialutilizamos o seguinte procedimento:1.reduzimososdoismembrosdaequaoapotnciasdemesmabase o( 0< o 1) ;e 2.aplicamosapropriedade: om = onm = n(duaspot nciasde mesmabaseo( 0< o 1 ) soiguaisse,esomentese,osrespectivos expoentes forem iguais. NOTA:Em alguns casos ser necessrio fazeruma t ransformao na equao ant es de usar o procedimento acima. Exemplo 7:Resolva as equaes indicadasno exemplo anterior: a) 814-3x = 95-x( 34)4-3x = ( 32)5-x316-12x= 310-2x 16 12x = 10 2x10x = 6x =610 =35S = ]35 FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVAb) 2x+3 + 2x-1 = 1 7 2x. 23 +2x21 = 172x[8 +12 = 17 2x.172= 172x = 2 x = 1 S = { 1} c) 9x 10 .3x + 9= 0 ( 32)x 10 . 3x + 9= 0 ( 3x)2 10. 3x + 9= 0 Fazendo 3x= m , t emos:m2 10m + 9= 0 m = 1cm = 9 Com efeito, 3x = 1 3x= 30 c 3x = 9 3x = 32 x = 2S = { 0 , 2} 5APLI CAES DA FUNO EXPONENCI AL Exemplo 8:Resolva os problemas apresent ados no exemplo 1. 1)OnmeroNdebact riasdeumacultura,thorasapsoinciodecerto experimento,dadopelaexpressoN( t) = 1 200 . 20,4t.Nessascondies, quanto tempo aps oincio do experimento a cult ura ter 38.400 bactrias? N( t) = 1 200 . 20,4t 38 400= 120 0. 20,4t 32= 20,4t25 = 20,4t 5= 0,4t t = 12,5 2.Numacert acidade, o nmero dehabit antesP,numraiode r km ( r > 0)a part ir doseucent ro, dadoporP = k. 23,onde k uma const antereal. Seh98.304 habitantes num raio de 5 km do cent ro, quantos habitantes h num raio de 3 km do cent ro? P( t) = k. 23 9 8304= k. 23.5 983 04= k. 215 9 830 4= 3 276 8k k = 3 P( t) = 3 . 23 P( 3 ) = 3 . 23.3 = 3. 29 = 1 .53 6 obitontcs 3.UmapessoadepositaR$200,00napoupanae,mensalmente,recebe1%de j urossobreosaldo.Determine: omontanteapsumano; eorendimento (j uros) obtido ao final do primeiro ano. Aps um ms, o montant e ser:H = C + [H = 200 + 0,01.200= 20 0( 1 + 0 ,01) = 200 . ( 1 ,01 ) = 202 ,00 Aps dois ms, o montante ser:H = ( 20 0.1 ,01 )+ 0,01. ( 20 0.1 ,01) = 200 .1,01( 1 + 0,01) = 2 00. ( 1,01)2 = 204 ,2 0 Aps t rs meses, omontante ser: H =( 2 00. 1 ,012)+ 0,0 1. ( 200 . 1 ,012) = 2 00. 1 ,012( 1 + 0,01) = 20 0. ( 1,0 1)3 =2 06,06 Aps x meses, o montante ser de:H( x) = 20 0. ( 1,01) x a) Aps umano =12 meses, omontante ser:H( x) = 200 . ( 1 ,01 )x = 20 0. ( 1,0 1)12= R$ 225 ,36 b) Rendimento obt ido ao final do 1ano =22 5,3 6 200 ,0 0= R$ 25 ,36 FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVA4.(UFAL)Devidodesintegraoradioat iva,umamassa 0m decarbono14 reduzidaaumamassam emt anos.Asduasmassasest orelacionadaspela frmulam = m0. 2[-tS400.Nessascondies,emquantosanos5gdasubstncia sero reduzidos a 1,25g? m = m0. 2[-t5400 1,2 5= 5 . 2[-t5400 1,2 55= 2[-t5400 0,25= 2[-t5400 14= 2[-t54002-2 = 2[-t54002= t5 400 t = 108 00 onos 6I NEQUAO EXPONENCI AL t oda inequao em que a incgnita apareceno expoente. Exemplo 9:a) 43x> 16x+1 b)[232x+3278 c) 25x 1 50. 5x + 3 125< 0 Pararesolverumainequaoexponencial,utilizamososseguintes procedimentos:1.reduzimososdoismembrosdainequaoapot nciasdemesmabaseo. Em alguns casos necessrio fazer uma t ransformao na inequao; e 2.aplicamosapropriedadedocrescimentoedecrescimentodafuno exponencial:Sebaseformaiorqueum( o > 1) conserva-seosinaldedesigualdade, pois ox1< ox2x1 < x2. Seabaseforpositivaemenorqueum( 0< o < 1 ) invert e-seosinalde desigualdade, pois ox1 < ox2x1 > x2. Exemplo 10:Resolva as inequaes exponenciais do exemplo ant erior: a) 43x> 16x+143x > ( 42) x+143x> 42x+2 3x > 2x + 2 x > 2 Logo, S = { x R/ x > 2} b) [232x+3278 [232x+33323[232x+3 [323[232x+3 [23-3 2x + 3 3 2x 6 x 3. Logo, S = { x R/ x 3} c) 2 5x 150 . 5x + 31 25< 0 ( 5x)2 150 . 5x + 312 5< 0 Fazendo 5x= m, t emos:m2 150 m+ 312 5< 0 Resolvendo a inequaovem:2 5< m < 125 52 < 5x< 53 2< x < 3. Logo, S = { x R/ 2< x < 3} FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVA7FI XAO DA APRENDI ZAGEM 1.Calcule:a) 8 10,7: 810,2b) 323.(3S)2.36( 34)S c) 312-311-310312+311+310 d) ( 0,1)-1-( 0,8)083.[23-3.[-13-1 e) o valor de A2 B2, sabendo que A =3x+3-x2cB =3x-3-x2 f) o valor de ob, sabendo que o = [14-2+ [13-2 cb =2.[13-1-22[12-2 2.Simplifique as expresses:a) (u2b3)S( u2)3b e) ( 4)x+2x-1: ( 4)xx-1 b) 2x+1+2x+22xf) 2n+4+2n+2+2n-12n-2+2n-1 c) ( x)6.(x4)2.S3.xS, com x, y 0 g) (2n-1+2n+2n+1).(3n-1+3n+3n+1)6n+6n+1 d) 10.0,0001+0,2.10-30,005+0,004.3.10-S0,0005.10-3h) (Unifor-CE) 26n-126n+23n+1+1 3.Sabendo que 2x + 2-x = 5, calcule:a) 4x + 4-xb) 8x + 8-x 4.Const rua o grfico das seguintes funes:a) ( x) = 3xb) y = [13x+ 1c)g( x) = 2 2x 5.Resolva as seguint es equaes exponenciais:a) [34x=2764b) 75x-2 = [17x-1 c) 3 22x+1 = 8 d)102x+33= 10 0 e) 9x= [13x2-x f) ( 3x)x+3 = 9x+1 g) j[53x[x=62581h) ( 2x) x = 44x-6 6.Resolva as seguint es equaes exponenciais:a) 2 . 5x + 3. 5x+1 = 17 e) 3x + 3x+1 + 3x-1 =1327 b) 2x+2 + 2x-3 = 132 f) 2x-1 4x-2 + [121-x= 4 FUNO EXPONENCI AL PROF.MSc. MOI SS SI LVAc) 5x+1 + 5x-2 = 63 0 g) 2. 3x + 5. 3x-1 = 4 . 3x+1 75 d) 3 . 2x-2 + 5. 2x-1 = 2x+1 + 20 h) 2 . 6x + 3. 6x+1 4. 6x-1 =299 7.Resolva as seguint es equaes exponenciais:a) 4x 3 . 2x-1 = 52 b) 2.3x-1 = 9x 7 c) 4x+45= 2x d) 5+ 25x = 6. 5x e) 4x 2 . 2x 8= 0 f) 8x4x-1 = 4x+2 g) 9x 3x+2 = 3x 9 h) 52x+1 + 1 24. 5x= 25 8.Resolva as seguint es inequaes exponenciais:a) 3 6x3-1> 6x+1 b) [0 ,53x 8c) ( 0 ,1)x2+24 1011x d) j[34x[x2916 e) 5x2-4x>1125f) 19 < 3-x< 9x+2 g) [533x+1< [53x-1