Física 1 – Capítulo 7

Conservação de Energia

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Trabalho (W) e aVariação da Energia Cinética

W=∫12F⋅d s=K=K f−K i=

mv f2

2 −mvi

2

2

Força Conservativa

Quando uma força é conservativa?

Uma força é conservativa quando o trabalho por ela realizado sobre uma partícula em uma trajetória fechada é nula.

Outro detalhe é que o trabalho realizado sobre uma partícula de um ponto ao outro independe da trajetória.

Trabalho (W) e a Energia Potencial

Para descrever os movimentos, baseando-nos em conceitos de energia, precisamos definir mais um tipo de... … grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos.

A energia potencial (U) é a energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo de um sistema de objetos, que exercem forças uns sobre os outros. Se a configuração muda, a energia potencial também pode mudar

Relação entre energia potencial e trabalho:

U=−W

Energia Potencial

Variação de Energia Potencial (movimento unidimensional)

x0 define uma configuração de referência e x uma

configuração geral.A energia potencia para uma dada configuração x:

U=−W=−∫x0xF xdx

U x =U x0U=U x0−∫x0xF xdx

Energia Potencial

Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência:

Dos casos clássicos, podemos aplicar esse conceito a alguns tipos de força:- Força Elástica;- Força Gravitacional (próximo da superfície da terrestre).

U x0=0

Energia Potencial Elástica

U x =−F⋅d s

U x =−F x dx

U x =∫0x−−kx dx

U x =U x0kx2

2U x =kx

2

2

Energia Potencial Gravitacional

U y =−F⋅d s

U y =−F y dy

U y =∫0y−−mg dy

U y =U y0mgy

U y =mgy

Potência

P ot=dWdt =

F⋅d rdt =

F d rdt =F⋅v

P ot=Wt

Potência Instantânea:

Potência Média:

Lembrando que a unidade da potência é o Watt.

EquilíbrioDentro do tema que estamos apreciando um ponto de

equilíbrio é o ponto cuja a força é zero, ou seja, a derivada da energia potencial com relação à posição é nula.

Os pontos de equilíbrio podem ser separados em equilíbrio estáveis e instáveis.

U x vs x

F x =−U xdx

F x vs x

Conservação da Energia Mecânica

W= KW=−U

K=−USe estivermos nos referindo à forças conservativas (forças para as quais a energia mecânica de um sistema é conservada), teremos:

KU=0, K fU f=K iU iEmec , final=Emec , inicial

Lei da Conservação da Energia Mecânica

Observa-se que o aumento ou a diminuição da energia total de um sistema pode ser sempre igualada ao desaparecimento ou aparecimento de energia em uma outra parte do universo.

A energia total do sistema é constante. A energia pode ser convertida de uma forma em outra, pode ser transmitida de uma região para outra, mas não se pode criá-la ou destruí-la.

Teorema da Conservação do Trabalho-Energia:

Eentra no sistema−E sai no sistema=E sistema

E sistema=EmecânicaE térmicaEquímicaE outros

W ext=E sistema

Exemplo 7-2: Um pêndulo consiste em uma massa m ligada a uma haste de comprimento L. A massa é deslocada lateralmente, de modo que a haste faz um ângulo θ

0, com a vertical e é então

abandonada. Calcule a expressão para (a) a velocidade e (b) a tração na haste quando a massa passa pela base do arco. Considere a resistência do ar desprezível.

Emec , final=Emec , inicialmv f

2

2 mgy f=mvi

2

2 mgyi

mv base2

2 0=0mgh , h=L1−cos0

vbase=2gL 1−cos0

T−mg=ma y , Lembrando que ac=v2

r

T=mgma y=m ga y , a y=2gL 1−cos0

LT=mg 3−2cos0

Exemplo 7-3: Um bloco de 2kg em uma superfície horizontal sem atrito é empurrado contra uma mole que tem uma constante elástica de 500 N/m, comprimindo a mola por 20 cm. O bloco é então abandonado, e a mola projeto ao longo da superfície e, em seguida, por uma rampa inclinada de 45o sem atrito. Qual é a distância para cima na rampa que o bloco percorrerá antes de momentaneamente atingir o repouso?

Emec , final=Emec , inicial

Emec , inicial=mvi

2

2 kxi

2

2 =kx2

2

Emec , final=mv f

2

2 mgy f=mgh

kx 2

2 =mghh=kx 2

2mg

h=s sen s= hsen45o

s=0,72 m

Exemplo 7-4: Uma mola, cuja constante elástica é k, está pendurada verticalmente. Um bloco de massa m está ligado a esta mola na posição indeformada e cai a partir do repouso. Calcule uma expressão para a distância máxima de queda do bloco antes de se iniciar seu movimento de subida.

Emec , final=Emec , inicial

mgy fky f

2

2mv f

2

2=mgyi

ky i2

2mv i

2

2

mg −d k −d 2

20=000

kd 2

2−mgd=0 kd2 −mgd=0

d=0 kd−mg=0 d=2mgk

ou

Adicional: Uma partícula move-se ao longo da direção x sob o efeito de uma força F(x)

= −kx +Kx2, onde k = 200 N/m e K = 300 N/m2.(a) Calcule a energia potencial U(x) da partícula, tomando U(0) = 0, e faça um

gráfico de U(x) para -0,5 m < x < 1 m. (b) Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade.(c) Para que o domínio de valores de x e da energia total E a partícula pode ter um

movimento oscilatório?(d) Discuta qualitativamente a natureza do movimento da partícula nas demais

regiões do eixo dos x.

Dado :∫0xyndy= x

n1

n1

Sabemos que : F x=−dUdx

U=−∫0x −kx 'Kx ' 2dx '

U x −U 0= k2x2− K

3x3 U x = k

2x2−K

3x3

As posições de equilíbrio correspondem : dUdx

=0

kx−Kx2=0 cuja solução será : x= kK=

23m , e x=0

Como podemos observar x=2/3 e x=0 são pontos de equilíbrio. x=0 corresponde a

um equilíbrio estável e x=2/3 corresponde a um equilíbrio instável.

U x = k2x2− K

3x3

c) A partícula pode ter um movimento oscilatório para valores x tais que x < (2/3) m e energias menores que U(2/3) = 14,8 J.

d) Na região negativa do eixo x e energias superiores a 14,8 J a partícula sente uma forçaa atrativa que a acelera na direção da origem. Depois de passar pela origem a sua velocidade diminui mas a sua enrgia cinética é suficiente para escapar do campo de potencial. Para valores de x positivos e maiores do que x = (2/3) m a partícula experimenta uma forçaa repulsiva que a afasta da origem.

Exemplo 7-8: Uma caixa de 4 kg é empurrada a partir do repouso, sobre uma mesa horizontal, por uma distância de 3 m com uma força horizontal de 25 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre a caixa e a mesa é de 0,35. Calcule (a) o trabalho externo realizado pelo sistema bloco-mesa, (b) a energia dissipada pelo atrito, (c) a energia cinética final na caixa e (d) a velocidade da caixa

∑W ext=W força noblocoW força nobloco=F emp x=25N3m=75 J

Edissipada= f at x=d F N x=dmg x

Edissipada=0,354kg 9,8N /kg 3m =41,2 J

Energia dissipativa

W ext=EmecânicaEdissipadaW ext=K f EdissipadaK f=W ext−Edissipada=75,0−41,2=33,8 J

K f=mv f

2

2 v f = 2K fm = 233,8 J 4kg =4,11m /s

W ext=E sistema Pelo teorema da conservação do trabalho-energia

Exemplo 7-10: Uma criança com massa de 40 kg desce de um escorregador inclinado com 30o com a horizontal em um trecho de 8,0 m de comprimento. O coeficiente de atrito dinâmico entre a criança e o brinquedo é de 0,35. Se a criança parte do repouso no topo do escorregador, qual é a sua velocidade quando atinge a base?

Edissipada= f atrito=cF Normal=cmgcos Energia dissipativa

W ext=EmecânicaEdissipada=0

W ext=E sistema Pelo teorema da conservação do trabalho-energia

Não temos foras atuando no sistema

U=mgh

K=K f=mv f

2

2

Energia mecânica → Energia Potencial

Energia mecânica → Energia Cinética

0=−mghmv f

2

2d mgcos s

0=−mg sen smv f

2

2d mgcos s

h=sen s , F normal=mgcos

v f2 =2gs sen −d cos=29,88 sen30−0,35cos30

v f =5,60m / s

Adicional: No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, m

1 = 1 kg e m

2 = 2 kg. (a) O

sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são l

1 e l

2. Usando conservação de

energia, calcule as velocidades de m1 e m

2 depois que m

2

desceu uma distância x2. (b) Calcule a partir daí as

acelerações a1

e a2

das duas massas. (c) Verifique os resultados usando as leis de Newton.

m1=1kg , x1=− x2

2

m2=2kg , v1=−v2

2

v1i=v2i=0, a1=− a2

2

v1f≡v1 , v2f≡v2Pela conservação de energia

E i=E f U iK i=U fK fA energia potencial gravitacional pode ser calculada a partir da seguinte expressão

geral:

U=U x −U 0=−∫0x F x ' ⋅d x '=−∫0

xmgdx '

U=−mg∫0xdx '=mg [ x ' ]0

x=−mgx

Que aplicada ao sistema sob consideração, fornece o seguinte resultado para as energias totais inicial e final:

E i=U 1iU 2112m1 v1i

2 12m2 v2i

2

Onde usamos o fato de que v1i = v

2i = 0 e,

E i=−m1gl 1−m2gl 2=−g m1 l 1m2l 2

E f =U 1fU 2f12m1 v1

212m2 v2

2

E f =−m1gl 1−12 x2−m2 gl 212 x212 m1 v1212 m2 −2v1 2E f =−m1gl 1

12m1 gx2−m2 gl 2−m2gx 2

12m1 v1

22m2 v12

E f =−g m1l 1m2l 2 gx212 m1−m2v1212 m1−2m2

Igualando as expressões da energia inicial e final, temos:

E i=E f−g m1 l 1m2l 2 =−g m1 l1m2 l 2gx212 m1−m2v12 12 m1−2m2

v12=

−gx212 m1−m2 12 m1−2m 2

=−gx2 12 1−212 1−22

=−gx2−32

92v1=± gx23

Neste caso, de acordo com a converção adotada, o sinal negativo corresponde à situação física correta.

Agora, usando o fato de que:

v1=−12v2 , com isso temos : v2=±2 gx23

Sendo que, neste caso, o sinal positivo corresponde à solução fisicamente correta.

No item b. como as forças que atuam sobre m1 e m

2 são constantes, temos que as

acelerações a1 e a

2 também são constantes. Então:

v12=v1i

2 −2a1x12

a1=−v1

2

x2 a1=−

g3

No item c, considerando os diagramas de corpo livre para cada um dos corpos, temos que:

Na polia 1 : ∑ F x=0 T 1−2T2=0 T 1=2T2

Substituindo a equação da polia 1 na massa m1 e utilizado o fato de que a

2 = -2 a

1,

temos que :

v22=v2i

2 −2a2 x2 a2=v2

2

2x2 a2=

g3

m1 : ∑ F x=m1a1 P1−T 1=−m1a1 m1 g−T 1=−m1a1m2 : ∑ F x=m2a2 P2−T 2=m2a2 m2g−T 2=m2a2

m1 g−2T2=−m1a1

Combinando as duas expressões acima teremos:

m2 g−T 2=−2 m2a1 2 2m2 g−2T2=−4m2a1

a1=−g m1−2m 2−m14m2

Substituindo as massas:

a1=−g3, e a2=

2g3

Como queríamos demonstrar (cqd) !

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