Fórmula Mágica

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar e comparar expressões de volume

de alguns sólidos;

2. Rever área da circunferência e do volume do

paralelepípedo;

3. Evidenciar a importância da aplicação da

fórmula do volume do cilindro em situações

cotidianas diversas.

Fórmula Mágica

Série

Matemática na Escola

Conteúdos

Volume do Cilindro.

Duração

Aprox. 10 minutos.

Objetivos

1. Apresentar e comparar volume de sólidos;

2. Revisão de conteúdos: área da circunferência e volume do paralelepípedo.

3. Evidenciar a importância da aplicação da fórmula do volume do cilindro em situações cotidianas diversas.

Sinopse

Uma jovem fazendeira procura orientação para saber se suas terras estão produzindo árvores de forma ecologicamente correta. Para tanto, entra em contato com um Engenheiro Florestal e ambos debatem sobre algumas metodologias para o cálculo de volumes.

Material relacionado

Experimento: Cilindro=Cone+Esfera/2, Qual

cone de maior volume?, Caixa de

papel; Software: Forma e Volume de

Sólidos de Revolução, Qual o cone

de maior volume?

Vídeo: 3 2 1 mistério.

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Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do Ensino Médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

A jovem Helena que reside em Manaus herda de seu pai uma fazenda que produz madeira. Diante da preocupação com o meio ambiente, a nova madeireira entra em contato com um engenheiro florestal, que fornece informações a ela no intuito de fazer com que a fazenda só produza madeira de forma ecologicamente correta.

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Helena comenta com o engenheiro que nos registros antigos da fazenda está descrito um método para se calcular o volume das árvores. No entanto, ela não sabe se o método é correto e eficaz para se medir a produção, apesar de ser muito empregado.

A jovem fazendeira expõe que, para se calcular o volume individual de cada planta, valendo-se do método, faz-se o seguinte procedimento:

a- Mede-se o “rodo da árvore”, isto é, o valor da circunferência da árvore na altura do peito de um homem (por volta de 1,30 m);

b- Mede-se a altura da árvore com o auxílio de uma vara de 4 metros de comprimento, ou seja, avalia-se quantas vezes a vara cabe na árvore.

Daí, o volume do tronco, em metros cúbicos, é obtido pela fórmula:

Ela também reforça que, para o cálculo de uma tora já deitada, faz-se o seguinte procedimento:

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a- Mede-se a circunferência no meio da tora;

b- Mede-se o comprimento da tora.

Daí, o volume da tora deitada, em metros cúbicos, é obtido pela fórmula:

A partir disso, o programa menciona este método mais tradicional para estimar o volume da produção: formalmente conhecido como método da cubagem da madeira. O programa apresenta também os principais passos de como deduzir essas fórmulas contando com algumas aproximações.

Assim, o vídeo reforça que o cálculo da tora em pé se relaciona com o volume do cilindro ou do tronco de cone, e o cálculo da tora deitada se relaciona com o volume de um paralelepípedo. Concomitantemente, enfatiza-se o fato de que os objetos da natureza e do nosso cotidiano não são formas geométricas regulares e, assim, há algumas imprecisões nas fórmulas apresentadas. Apesar disso, essas fórmulas facilitam as contas e dão estimativas razoáveis para os devidos propósitos.

O Olha o curta do vídeo comenta sobre o número irracional mais famoso da história: o

número Pi (π). No programa, o número Pi é apresentado como sendo a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro. Também é explicitado que esse

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número irracional pode ser expresso por um decimal infinito não periódico 3,141592653589793..., que muitas vezes é aproximada para 3,14 para facilitar os cálculos em determinadas situações.

A jovem madeireira lembra então do tempo em que seu pai tinha gado na fazenda. Ela comenta que, na época da vacina, para medir o peso do animal, usava-se um método que também levava em conta o volume de um cilindro. Helena também diz que, pelo fato de eles não terem uma balança na fazenda, este método era muito útil e proveitoso. Essa fórmula pode ser expressa da seguinte forma:

Figura 1 A explicação para a fórmula do peso do boi. Onde está centímetro deve ser

decímetro também.

Professor! Esta versão do vídeo tem um erro de unidades: onde se lê

“centímetro”, deve ser “decímetro”. Isso vai ficar claro ao relacionar um

decímetro cúbico com um quilograma, ao usar a densidade de massa

do boi como próximo ao da água líquida.

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O engenheiro explica rapidamente essa fórmula e Helena consegue perceber a conexão dela com a fórmula da densidade do boi, pois ambas possuem uma relação entre uma medida de peso (em quilogramas) e uma medida de comprimento ao cubo. Depois disso, parte-

se da fórmula do cilindro bovino e, com o auxílio do valor do comprimento da circunferência (b=2πr), conclui-se que a “fórmula mágica” utilizada para o cálculo do volume do cilindro bovino nada mais é do que a fórmula do volume de um cilindro.

O vídeo também analisa a fórmula do volume da madeira. Através de simplificações algébricas com valores de antemão conhecidos (tal como rodo = (2πr)), mostra que há uma diferença entre a “fórmula mágica” para o volume da madeira e a fórmula do volume de um cilindro. Dessa forma, o programa esclarece que a referida diferença existe para compensar o erro que se emprega ao se considerar um tronco de cone como um cilindro cujo raio é medido na metade da altura do tronco de cone. Veja:

Comparando o Volume da Madeira com o Volume de um Cilindro, percebemos:

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Desta forma, ao se utilizar de tais compensações (no método de se considerar um tronco de cone como um cilindro), as diferenças existentes podem ser demonstradas da seguinte forma para vários

valores de r e R:

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É possível, então, mostrar explicitamente a diferença existente para compensação dos cálculos. Cabe ressaltar que não há significativa diferença tanto nos cálculos numéricos anteriores, como na demonstração genérica. Assim, pode-se concluir que o volume calculado pela fórmula do cilindro é razoável para o tronco de cone. Isso é possível também em outros métodos de metragem ou cálculos de volumes, explicando assim o título “fórmula mágica”.

Essas e outras fórmulas utilizadas cotidianamente, tais como a fórmula do volume da madeira e a do peso do boi, têm alguma justificativa matemática que as validam com alguma margem de erro aceitável.

Sugestões de atividades

Antes da execução

Fazemos aqui sugestões de conteúdos que possam ser abordados antes da execução do vídeo: área de figuras geométricas planas (destaque para a área de polígonos regulares e a área da circunferência, pois facilitarão a introdução do volume do cilindro), volume de poliedros, volume do cilindro, volume do cone etc.

Abaixo, seguem alguns exemplos de exercícios que poderiam ser propostos para revisar os conceitos relacionados à área da circunferência:

1- A medida do raio de uma circunferência, em centímetros, corresponde ao valor da raiz positiva da equação x2 – 10x – 24 = 0. Calcule a área desta circunferência.

2- Calcule a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, conforme a figura abaixo.

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3- Um jardim de formato circular com 6m de raio tem a metade de sua área removida para reduzir despesas. Para isto, foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda? Aqui, pode-se também enfatizar o momento do vídeo em que se faz menção ao método da cubagem da madeira (pelo cálculo da tora deitada), pois este se relaciona com o volume de um paralelepípedo. Depois disso, pode-se mencionar, a título de curiosidade, que esse método é utilizado por madeireiros e engenheiros florestais, e é chamado por eles de “método popular”. É importante fazer com que os alunos reparem que nesse modelo a tora é aproximada a um paralelepípedo.

Depois da execução

Fazer a exposição das fórmulas de forma comparativa, como é descrito no final do vídeo.

• Atividade da Circunferência:

Usando várias latinhas de diâmetros diferentes, deve-se propor aos alunos que meçam os diâmetros (D) de cada uma delas e, valendo-se de um barbante, meçam o tamanho (C) do barbante utilizado para dar a volta em torno da latinha. Isso deve ser feito para várias latinhas e então os alunos devem dividir C por D com a ajuda de uma calculadora.

Problemas

a) Uma roda-gigante tem 16m de diâmetro. Quanto percorrerá uma pessoa nesta roda gigante, após seis voltas?

b) Se os perímetros de duas circunferências são proporcionais à razão 2:3, qual a razão entre as áreas dessas circunferências?

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c) Uma praça quadrangular tem um jardim central circular. Os lados da praça medem 100m e o diâmetro do jardim mede 60m. Calcule a área da calçada.

• Atividade do Paralelepípedo

Utilizando caixinhas de diferentes tamanhos, calcular seus volumes, planificá-las e calcular sua área externa.

Pode-se também criar situações-problema envolvendo diferentes medidas, tais como:

a) As dimensões a, b e c de um paralelepípedo são proporcionais aos números 2, 4 e 7. Determine as suas dimensões, sabendo que a área total desse paralelepípedo é de 900cm2..

b) Dispondo-se de uma folha de cartolina de 70cm de comprimento por 50cm de largura, pode-se construir uma caixa, sem tampa, cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada canto dela. Determine o volume desta caixa.

c) Em um paralelepípedo retangular de 15cm de altura, o comprimento da base é igual ao dobro da medida da largura. Sabendo-se que a área

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total desse sólido mede 424cm2, calcule as dimensões da base e da largura deste paralelepípedo.

d) Uma caixa de fósforos tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 4,5cm, 3,2cm e 1,2cm. Na caixa há, em média, 40 palitos. Qual é aproximadamente o volume ocupado por um palito de fósforos? Quantos cm2 de papel serão necessários para forrar as faces internas da caixa?

• Atividade do Cilindro

Utilizando latinhas de diferentes tamanhos, propomos que o professor, juntamente com seus alunos, compare os volumes de cada uma entre elas.

O professor também pode propor situações-problema, tais como:

a) Um caminhão pipa carrega 9,42mil litros d'água. Para se encher uma cisterna cilíndrica com 2m de diâmetro e 3 metros de altura, são necessários, no mínimo, quantos caminhões?

b) O conteúdo de um barril em forma de cilindro circular reto com 5dm de raio é suficiente para encher completamente mil copos cilíndricos que têm 3cm de raio e 12cm de altura. Qual é a medida da altura do barril?

c) Ana comprou uma caixa com 4 velas, conforme a figura abaixo. Cada vela tem a forma de um cilindro com 1,1cm de altura e 3,5cm de diâmetro. Determine o volume aproximado da caixa de 4 velas que Ana comprou.

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d) Em muitas regiões do estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:

I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

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II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.

A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização.

Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de:

a)30% b)22% c)15% d)12% e)5%

ATIVIDADES DE ENSINO:

1) Variando-se os valores dos raios nas fórmulas do cálculo do volume do cilindro e do tronco de cone, pode-se fazer com que os alunos observem as diferenças. No entanto, acreditamos que seria interessante mostrar a eles os valores em que há menor perda e os valores em que há maior perda. Propomos que se utilize uma tabela semelhante à abaixo para isso:

Altura Raio menor(r)

Raio maior (R)

Volume cilindro

Volume tronco de cone

Diferença

5 2 4 141,3 146,44 5,14

5 2 6 251,2 271,96 20,76

5 1 4 98,12 109,83 11,71

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2) Utilizando a fórmula do volume do cilindro V = π.r2.h e considerando r variável e h constante, obtemos uma equação do 2º grau. Atribuindo diversos valores para r, obtemos dados que colocados no gráfico formam uma parábola. A partir disto, o aluno estará trabalhando com equações e análises de gráficos. Assim, deixamos a tabela abaixo como modelo para se fazer tal exercício.

Raio (m) Volume

0,24 1,09 0,26 1,23

0,28 1,48 0,50 4,71

1,0 18,8 1,7 54,5

2,0 75,3

Sugestões de leitura

LIMA, E.L. CARVALHO, P.C.P. WAGNER,E. MORGADO, A.C. . A Matemática do Ensino Médio vol I e II. Coleção professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática.Rio de Janeiro.. 2002.

COUTO, H.T. BATISTA, J.L.F RODRIGUES, L.C.E Mensuração e Gerenciamento de Pequenas Florestas, Documentos Florestais Nº 5, Novembro, 1989 (Arquivo PDF - 6.642kb).

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática Completa – Ensino Médio. São Paulo: Editora FTD. 2002.

Ficha técnica

Autores do Guia Antonio Marcos Gabetta Junior, Gislaine Maria R. de Almeida, Ligiane Aline Roque, Lislene Heloisa Alves. Revisão Samuel Rocha de Oliveira

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Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva

Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Diretor Caio José Colletti Negreiros

Vice-diretor Verónica Andrea González-López